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石嘴山市第一中学 2024-2025 学年高三年级（上）期末考试
数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 设集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 函数 的最小正周期为（ ）
A. 16 B. 8 C. D.
3. 已知复数z满足z（1-i）=2i，则复数z的共轭复数 在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 已知向量 ， ，若 ，则实数 （ ）．
A. B. C. D.
5. 若抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，则 （ ）
A. B. C. D.
6. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，则 的面积为
（ ）
A. B. 1 C. D. 2
7. 已知函数 有一个零点所在的区间为 ，则 可能等于（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8. 已知圆锥的高为 ，底面半径为4．若一球的表面积与此圆锥的侧面积相等，则该球的半径为（
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A. B. C. D. 2
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符
合题目要求的，
9. 已知函数 ，其部分图象如图所示，点P，Q分别为图象上相邻的最高点与
最低点，R是图象与x轴的交点，若点Q坐标为 ，且 ，则函数 的解析式可以是(
)
A. B.
C. D.
10. 关于二项式 的展开式，下列结论正确的是（ ）
A. 展开式所有项的系数和为 B. 展开式二项式系数和为
C. 展开式中第5项为 D. 展开式中不含常数项
11. 如图是一个所有棱长均为4的正八面体，若点 在正方形 内运动（包含边界），点 在线段
上运动（不包括端点），则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 异面直线 与 不可能垂直
B. 当 时，点M的轨迹长度是
的
C. 该八面体被平面 所截得 截面积既有最大值又有最小值
D. 凡棱长不超过 的正方体均可在该八面体内自由转动
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知随机变量 ,且 ，若 ,则 的最小
值为_________．
的
13. 在2024年巴黎奥运会志愿者活动中，甲、乙、丙、丁4人要参与到 ， ， 三个项目 志愿者工作
中，每个项目必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一个项目，若甲只能参加 项目，那么不同的志愿
者分配方案共有_______种（用数字表示）.
14. 已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，点 在双曲线 上，且满足
，倾斜角为锐角的渐近线与线段 交于点 ，且 ，则 的值为______.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某机构为了解2023年当地居民网购消费情况，随机抽取了100人，对其2023年全年网购消费金额（单
位：千元）进行了统计，所统计的金额均在区间 内，并按 ， ，…， 分成6组，
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学科网（北京）股份有限公司制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中a的值，并估计居民网购消费金额的中位数．
（2）若将全年网购消费金额在20千元及以上者称为网购迷，结合图表数据，补全下面的 列联表，并
判断能否依据小概率值 的 独立性检验认为样本数据中网购迷与性别有关．
男 女 合计
网购迷 20
非网购迷 47
合计
附 ，其中 ．
0.01 0.00
α 0.10 0.05 0.001
0 5
2.70 3.84 6.63 7.87 10.82
6 1 5 9 8
.
16 已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
的
（2）对任意实数 ，都有 恒成立，求实数 取值范围.
第4页/共6页
学科网（北京）股份有限公司17. 甲､乙两人进行投篮比赛，甲先投2次，然后乙投2次，投进次数多者为胜，结束比赛，若甲､乙投进
的次数相同，则甲､乙需要再各投1次（称为第3次投篮），结束比赛，规定3次投篮投进次数多者为胜，
若3次投篮甲､乙投进的次数相同，则判定甲､乙平局.已知甲每次投进的概率为 ，乙每次投进的概率为 ，
各次投进与否相互独立.
（1）求甲､乙需要进行第3次投篮的概率；
（2）若每次投篮投进得1分，否则得0分，求甲得分 的分布列与数学期望.
18. 如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都大于2，则称这个数列为“G型数列”．
（1）若数列 满足 ， ，求证：数列 是“G型数列”．
（2）若数列 的各项均为正整数，且 ， 为“G型数列”，记 ，数列 为等比数
列，公比q为正整数，当 不是“G型数列”时，求数列 的通项公式．
（3）在（2）的条件下，令 ，记 的前n项和为 ，是否存在正整数m，使得对任意的
，都有 成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
19. 如 图 ， 四 棱 锥 中 ， ， ， ， ，
， 为线段 中点，线段 与平面 交于点 .
（1）证明：平面 平面 ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）求平面 与平面 夹角的余弦值；
（3）求四棱锥 的体积.
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