安徽省淮南市和淮北市 2025 届高三上学期第一次质量检测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|(x+1)(x−2)<0}，B={x|0<x<3}，则A∩B=
A. (0,2) B. (−1,3) C. (0,1) D. (−2,3)
1+√3i
2.已知复数z= ，则z的实部为
√3−i
A. −1 B. 0 C. 1 D. 2
3.“a=2”是“直线x+ay−1=0与直线4x−ay+1=0垂直”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.权，是中国传统度量衡器具，历史悠久，文化底蕴深厚，承载着中华民族在政治、经济、文化方面的大
量信息．“环权”类似于砝码(如下图)，用于测量物体质量．已知九枚环权的质量(单位：铢)从小到大构
成项数为9的数列{a }，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a =2，a =6，a =192，则
n 2 4 9
{a }的前8项和为
n
A. 194 B. 193 C. 192 D. 191
1
5.下列各式的值为 的是
2
A. sin15∘cos15∘ B. cos215∘−sin215∘
C. tan22.5 ∘ D.
1−2sin222.5∘
1−tan222.5 ∘
6.已知正三角形的三个顶点坐标分别为(1,1)，(2,2)，(m,n)，若m>1，则n=
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 1 1√2 √3 3−√2 3−√3
A. B. C. D.
2 2 2 2
7.定义在[0,2]上的函数f(x)=xm (2−x) n的图象如图所示，则实数对(m,n)可以是
A. (1,2) B. (1,3) C. (2,2) D. (2,1)
8.已知点 A(2,0) ， B(4,0) ，P是直线 y=x 上的动点，B在直线AP上的投影为Q，则
|P
⃗
Q|⋅|P
⃗
A|
的最
小值为
7 9
A. 3 B. C. 4 D.
2 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，
部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.如图，在正方体ABCD−A B C D 中，M，N，P是对应棱的中点，则
1 1 1 1
A. 直线A C//平面PMN B. 直线BD ⊥平面PMN
1 1
C. 直线AD 与MN的夹角为60∘ D. 平面PMN与平面A B C 的交线平行于MN
1 1 1 1
10.已知函数 { 1−ex,&x≤0, 则下列说法正确的是
f(x)=
f(x−1),&x>0,
A. 函数f(x)的图象是连续不断的曲线
4
B. f(ln4)=1−
e2
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 2 1C. ( 1)
f(ln6)<f −
2
D. 若方程 有三个不同的根，则k的取值范围是[1 1 1]
f(x)=kx − ,1−
2 2e e
11.如图，点P(a,b)是以(1,0)，(0,1)，(−1,0)，(0,−1)为顶点的正方形边上的动点，角θ以Ox为始边，
b a
OP为终边，定义S(θ)= ，C(θ)= .则
|a|+|b| |a|+|b|
A. (π) 1，
S = C(π)=1
4 2
B. ( π)
S θ+ =C(θ)
2
C. 函数 ， [ π]的图象关于点(π 1)对称
y=S(x) x∈ 0, ,
2 4 2
D. 函数y=S(x)，x∈[0,2π]的图象与x轴围成封闭图形的面积为π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知f(x)为奇函数，当x>0时f(x)=log x，则f(−8)=________.
2
13.若a，b>0，且ab=2a+b+16，则ab的最小值为 .
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 3 114.如图，点M，N分别是正四棱锥P−ABCD的棱PA，PC的中点，设PD∩平面BMN=Q，则PQ与
PD长度之比为 ，四棱锥P−ABCD被平面BMN分成上下两部分体积之比为 .
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tanB=2cosA，b2+c2−a2=√3bc.
(Ⅰ)求B；
AE AE
(Ⅱ)若D为AB边上任意一点，作AE⊥CD于E，设∠BCD=θ，试用θ表示 ，并求 的最大值．
CD CD
16.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=√2AD，点M
在线段PD上，PM=3MD.
(Ⅰ)求证：AM⊥平面PCD；
(Ⅱ)求平面MAC与平面PAB夹角的余弦值．
17.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，圆C： R ，点
(x−a) 2+(y+2a−4) 2=1(a∈ ) P(0,−3).
(Ⅰ)若圆心C在直线x+ y−3=0上，过点P作圆C的切线，求切线方程；
(Ⅱ)若圆C上存在点Q，使|PQ|=2|OQ|，求a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=(x+1)ln(x+1).
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 4 1x2
(Ⅰ)求证：当x>0时，f(x)< +x；
2
(Ⅱ)若x>0时，f(x)>ax恒成立，求实数a的取值范围；
1 3
( Ⅲ ) 求证：对任意 n∈ N ❑∗ ， e2< ( 1+ 1 )( 1+ 2 ) … ( 1+ n ) <e4.
n2 n2 n2
19.(本小题12分)
已知无穷数列{a }满足：a =|a −a |，n∈N❑∗.
n n n+1 n+2
(Ⅰ)若a =1，a =2，试写出a 的所有可能值；
1 3 4
Ⅱ 若 ， ，记 ，求 的前2025项之积；
( ) a =a =1 a ≥a b =a a −a2 {b }
1 2 n+1 n n n n+2 n+1 n
(Ⅲ)若数列{a
n
}存在最大项，证明：存在m∈N❑∗，使得a
m
=0.
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 5 1答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查集合的交集，属于基础题．
先把集合A解出来，然后求A∩B即可.
【解答】解：因为集合A={x|(x+1)(x−2)<0}={x|−1<x<2}，
所以A∩B=(0,2)，
故选：A.
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了复数的四则运算和复数的概念.
利用复数的四则运算得z=i，再利用复数的概念得结论.
【解答】
解：因为复数 1+√3i −i2+√3i i(−i+√3) ，
z= = = =i
√3−i √3−i √3−i
所以z的实部为0.
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件以及直线垂直的等价条件，属于基础题．
根据充分条件和必要条件的定义结合直线垂直的等价条件进行判断即可．
【解答】
1
解：①当a=2时，两方程可化为x+2y−1=0，4x−2y+1=0，斜率分别为− 和2，
2
∴两直线垂直，∴充分性成立，
②x+ay−1=0与直线4x−ay+1=0垂直，则4×1+a×(−a)=0，
∴a=±2，∴必要性不成立，
∴a=2”是“直线x+ay−1=0与直线4x−ay+1=0垂直的充分不必要条件
4.【答案】C
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 6 1【解析】【分析】
本题考查等比数列的性质、等比数列的前n项和公式，属于基础题.
根据题意，求出后7项的公比，再结合等比数列的求和公式，即可求出结果.
【解答】
解：因为后7项成等比数列，设公比为q，且a =6，a =192，
4 9
所以 a ，
q5= 9=32
a
4
所以q=2，
则a =3，
3
因为数列的前3项成等差数列，a =2，
2
所以a =1，
1
所以数列的前8项和为：
3(1−26)
S =1+2+ =3+3×26−3=192.
8 1−2
故选C.
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查二倍角公式的应用，属于基础题．
由条件利用二倍角公式求得各个选项中式子的值，从而得出结论．
【解答】
1 1
解：根据sin15∘cos15∘= sin30∘= ；
2 4
√2
1−2sin222.5∘=cos45∘= ；
2
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 7 1tan22.5∘ 1 2tan22.5∘ 1 1；
= = tan45∘=
1−tan222.5∘ 2 1−tan222.5 2 2
√3
cos215∘−sin215∘=cos30∘= .
2
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查两条直线垂直的判定及应用、点斜式方程、两点间的距离公式，属于一般题.
设A(1,1)，B(2,2)，C(m,n)，求出直线AB的中垂线方程，得出n=3−m，再由|AC|=|AB|，得出
，即可求出结果.
(m−1) 2+(n−1) 2=(2−1) 2+(2−1) 2
【解答】
解：设A(1,1)，B(2,2)，C(m,n)，
则AB的重点坐标为(3 3)， 2−1 ，，
, k = =1
2 2 AB 2−1
3 3
所以AB中垂线的方程为y− =−x+ ，即x+ y−3=0，
2 2
则C点在直线x+ y−3=0，即m+n−3=0，
即n=3−m，
又因为△ABC为正三角形，
所以|AC|=|AB|，
则 ，
(m−1) 2+(n−1) 2=(2−1) 2+(2−1) 2
整理，得 ，
(m−1) 2+(2−m) 2=2
3±√3
即2m2−6m+3=0，解得m= ，
2
因为m>1，
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 8 13+√3 3+√3 3−√3
所以m= ，则n=3−m=3− = .
2 2 2
故选D.
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查利用导数判断或证明已知函数的单调性，属于一般题.
由由图像可知，当x∈(0,a)时，函数单调递增，当x∈(a,2)时，函数单调递减，其中1<a<2，再利用
导数判断出各选项的单调性，即可求出结果.
【解答】
解：由图像可知，当x∈(0,a)时，函数单调递增，
当x∈(a,2)时，函数单调递减，其中1<a<2，
A选项，当(m,n)为(1,2)时，
函数 ，
f (x)=x(2−x) 2=x(4−4x+x2)=x3−4x2+4x
则 ，
f ′(x)=3x2−8x+4
2
由f ′(x)>0，得x>2或x< ，
3
2
由f ′(x)<0，得 <x<2，
3
所以函数在( 2)上单调递增，在(2 )上单调递减，不符合题意，故A错误；
0, ,2
3 3
B选项，当(m,n)为(1,3)时，
函数 ，
f (x)=x(2−x) 3
则 ，
f ′(x)=(2−x) 3−3x(2−x) 2=2(2−x) 2 (1−2x)
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 9 1当 ( 1)时， ， 单调递增，不符合题意，故B错误；
x∈ 0, f ′(x)>0 f(x)
2
C选项，当(m,n)为(2,2)时，
函数 ，
f (x)=x2(2−x) 2=x2(4−4x+x2)=x4−4x3+4x2
则 ，
f ′(x)=4x3−12x2+8x=4x(x2−3x+2)=4x(x−1)(x−2)
当x∈(0,1)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，不符合题意，故C错误；
D选项，当(m,n)为(2,1)时，
函数 ，
f (x)=x2(2−x)=2x2−x3
则 ，
f ′(x)=4x−3x2=x(4−3x)
当 ( 4)时， ， 单调递增，
x∈ 0, f ′(x)>0 f(x)
3
当 (4 )时， ， 单调递减，符合题意，故D正确.
x∈ ,2 f ′(x)<0 f(x)
3
故选D.
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查圆的轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，属于中档题.
利用B在直线AP上的投影为Q，所以Q的轨迹是以AB为直径的圆，圆心为D(3,0)，半径为1，过P作
圆的切线PC，切点为C，则
|P
⃗
Q|⋅|P
⃗
A|=PC2
，所以
|P
⃗
Q|⋅|P
⃗
A|
的最小值为 PC2 的最小值，进而
可得结论.
【解答】
解：因为B在直线AP上的投影为Q，
所以Q的轨迹是以AB为直径的圆，圆心为D(3,0)，半径为1，
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 10 1过P作圆的切线PC，切点为C，则 ⃗ ⃗ ，
|PQ|⋅|PA|=PC2
所以
|P
⃗
Q|⋅|P
⃗
A|
的最小值为 PC2的最小值，
3√2
PC2=PA2−1，而D到直线y=x的距离为 ，
2
3√2
所以PA的最小值为 ，
2
3√2 7
所以PC2的最小值为( ) 2−1= ，
2 2
7
⃗ ⃗
所以 |PQ|⋅|PA| 的最小值为
2
.
故选B.
9.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、异面直线所成的角、面面平行的性质，属于中档题.
利用线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、异面直线所成的角、面面平行的性质，即可得出结论.
【解答】
解：对于A，连接AC，AB ,CB ，则
1 1
因为M，N是对应棱的中点，所以MN//AC，
因为MN⊄平面AB C，AC⊂平面AB C，
1 1
所以MN//平面AB C，
1
同理PM//平面AB C，
1
因为PM∩MN=M，PM,MN⊂平 面P，M所N以平面PMN//平面AB C，
1
因为直线A C不平行平面AB C，所以直线A C不平行平面PMN，A错误；
1 1 1
因为BD⊥AC，AC⊥D D，BD∩D D=D，BD,D D⊂平 面BD ，所以AC⊥平面BD ，
1 1 1 1 1
因为BD ⊂平面BD ，所以BD ⊥AC，
1 1 1
同理可得，BD ⊥AB ，
1 1
由于AC和AB 是平面AB C上的两条相交直线，
1 1
所以根据直线与平面垂直的判定定理，得直线BD ⊥平面AB C，
1 1
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 11 1因为PMN//平面AB C，所以直线BD ⊥平面PMN，B正确；
1 1
由题意，∠D AC为直线AD 与MN的夹角，
1 1
因为 为等边三角形，所以 ，C正确；
△AD C ∠D AC=60∘
1 1
因为平面A B C //平面ABC，平面PMN与平面ABC的交线为MN，
1 1 1
所以根据面面平行的性质可知平面PMN与平面A B C 的交线平行于MN，D正确.
1 1 1
故选BCD.
10.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查分段函数的单调性与图象，属于中档题.
利用函数 { 1−ex,&x≤0, 求出函数的解析式，再数形结合得出结论.
f(x)=
f(x−1),&x>0,
【解答】
1
解：由题意，0<x≤1时，f(x)=f(x−1)=1−ex−1，x=0，x→1− ，
e
又f(0)=1，所以可知函数f(x)的图象不是连续不断的曲线，A错误；
， 时， ，
1<x≤2 0<x−1≤1 f(x)=f(x−1)=1−ex−2
4
所以f(ln4)=1−eln4−2=1−
，B正确；
e2
f(ln6)=1−eln6−2=1− 6 ， f(− 1 )=1−e − 1 2=1− 1 ，
e2 2 √e
因为6 > 1 ，所以 f(ln6)<f ( − 1)，C正确；
e2 √e 2
同理 时， ， 时， ，
2<x≤3 f(x)=1−ex−3 3<x≤4 f(x)=1−ex−4
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 12 11 1 1
将(2,1− )代入y=kx，则k= − ，
e 2 2e
此时方程f(x)=kx有两个不同的根，故D错误.
故选BC.
11.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查曲线与方程，属于难题.
利用条件，结合对称性及正弦函数面积的计算方法得出结论.
【解答】
解：由题意， π， ，则 (π) 1， ， ， ，所以 ，A错误；
θ= a=b>0 S = θ=π a=−1 b=0 C(π)=−1
4 4 2
π
角θ以Ox为始边，OP为终边，P(a,b)，则θ+ 以Ox为始边，OQ为终边，A(b,a)，
2
π a
所以S(θ+ )= =C(θ)，B正确；
2 |a|+|b|
由题意，0≤a≤1,0≤b≤1，
π a b
所以S(θ+ )+S(θ)=C(θ)+S(θ)= + =1，
2 a+b a+b
所以函数 ， [ π]的图象关于点(π 1)对称，C正确；
y=S(x) x∈ 0, ,
2 4 2
b
在第一象限，a+b=1，所以S(θ)= =b，0<b<1，
|a|+|b|
函数 ， [ π]的图象关于点(π 1)对称，
y=S(x) x∈ 0, ,
2 4 2
利用正弦函数的图象与性质，可知 [ π]的图象与x轴围成封闭图形的面积为π，
x∈ 0,
2 4
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 13 1结合对称性，可知函数y=S(x)，x∈[0,2π]的图象与x轴围成封闭图形的面积为π，D正确.
故选BCD.
12.【答案】−3
【解析】【分析】
本题主要考查了奇函数定义在函数求值中的应用，属于基础题．
根据奇函数的定义和对数运算求解．
【解答】
解：因为函数f(x)为奇函数，
所以f(−8)=−f(8)=−log 8=−3.
2
故答案为：−3.
13.【答案】32
【解析】【分析】
本题考查基本不等式求最值的基本应用，属于基础题.
由基本不等式，根据条件ab=2a+b+16可得关于ab的不等式，解之即可.
【解答】
解：由于a，b>0，则ab=2a+b+16≥2√2ab+16，即(√ab+2√2)(√ab−4√2)≥0，
于是√ab≥4√2，ab≥32，当且仅当2a=b=8取等号，故ab的最小值是32.
故答案为：32.
1 1
14.【答案】 ；
3 5
【解析】【分析】
本题考查了棱锥的结构特征，考查棱锥体积的计算，属于中档题．
利用三角形中位线的性质得出结论；利用棱锥的体积公式计算可得结论.
【解答】
解：连接MN，AC、BD，
设AC∩BD=O，连接OP，设MN∩OP=H，
因为M，N为棱PA，PC的中点，所以MN//AC，则H为OP的中点，
延长BH交PD于点Q，取QD的中点E，连接EO，则EO//QH，
所以Q为PD的三等分点，
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 14 11
所以PQ与PD长度之比为 ；
3
2
不妨设PA=2，AB=√2，则PO=√3，BD=2，PQ= ，
3
因为平面PBD⊥平面BMN，且BE为交线，所以P到平面BMN的距离等于P到直线BE的距离，
√ √3 2 √7 √3 ，
BH=√BO2+OF2= 12+( )= ,PF= ,PB=2
2 2 2
√7 3
22+(
)
2−(
)
2
2 2 5 5
在△PBH中，由余弦定理得cos∠PBH= = = √7，
√7 2√7 14
2×2×
2
√3 √21
则sin∠PBH= = ，
2√7 14
√3 √21
则P到直线BQ的距离d=PBsin∠PBH=2× = ，
2√7 7
√ 2 2 2
在△PBQ中，BQ= 22+( ) 2−2×2× cos60∘= √7，
3 3 3
显然GM=GN，BM=BN，四边形BMQN的对角线垂直，
1 1 1 1 2 √21 √3
则V = × ×BQ×MN×d= × × √7×1× = ，
P−BMQN 3 2 3 2 3 7 9
1 2
四棱锥P−ABCD的高PO=√3，则V = ×√2×√2×√3= √3，
P−ABCD 3 3
所以下方几何体体积 2 √3 5√3，所以V 1
V =V −V = √3− = 1= .
2 P−ABCD P−BMEN 3 9 9 V 5
2
15.【答案】解：(Ⅰ)因为b2+c2−a2=√3bc，
b2+c2−a2 √3
所以cosA= = ，
2bc 2
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 15 1π
所以tanB=2cosA=√3，故B= .
3
π π
(Ⅱ)由(Ⅰ)知A= ，B= ，从而△ABC为直角三角形，
6 3
CD BC
=
在△BCD中，由正弦定理知 π 2π ，
sin sin( −θ)
3 3
√3BC
CD=
即 2π ，
2sin( −θ)
3
π
在△ACE中，有AE=ACsin( −θ)=ACcosθ，
2
2π
2sin( −θ)ACcosθ
所以AE 3
=
CD √3BC
2π
=2sin( −θ)cosθ
3
√3 1
=2( cosθ+ sinθ)cosθ
2 2
=√3cos2θ+sinθcosθ
√3cos2θ+sin2θ+√3
=
2
π √3 π
=sin(2θ+ )+ ，θ∈[0, ]，
3 2 2
π π π π AE √3
当2θ+ = ，即θ= ∈[0, ]时， 取得最大值1+ .
3 2 12 2 CD 2
【解析】本题考查了利用正余弦定理解三角形、三角恒等变换和正弦函数的性质，是中档题.
√3
(Ⅰ)由余弦定理得cosA= ，可得B的值；
2
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 16 1√3BC
CD=
(Ⅱ)易得△ABC为直角三角形，在△BCD中，由正弦定理得 2π ，在△ACE中，有
2sin( −θ)
3
AE AE
AE=ACcosθ，可得 ；再利用三角恒等变换和三角函数性质可得 的最大值．
CD CD
16.【答案】解：设AD=2，则PA=PD=2√2，AD中点为O，BC中点为E，
分别以OE，OD，OP为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，
3 √7
(Ⅰ)A(0,−1,0)，B(2,−1,0)C(2,1,0)，D(0,1,0)，P(0,0,√7)，M(0, , )，
4 4
⃗ 7 √7 ⃗ ⃗
AM=(0, , )，PD=(0,1,−√7) ，CD=(−2,0,0) ，
4 4
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
所以 AM⋅PD=0 ， AM⋅CD=0 ，
故AM⊥PD，AM⊥CD，
因为PD∩CD=D，PD、CD⊂平面PCD，
所以AM⊥平面PCD.
⃗ ⃗
(Ⅱ)设n =(x ,y ,z ) ，n =(x ,y ,z ) 分别是平面MAC，平面PAB的法向量，
1 1 1 1 2 2 2 2
⃗ ⃗ ⃗
AC=(2,2,0) ，AB=(2,0,0) ，AP=(0,1,√7) ，
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
由n ⋅AM=0且n ⋅AC=0，
1 1
{2x +2y =0
1 1 ⃗
得
7 y +√7z =0
，所以可取n
1
=(1,−1,√7) ，
1 1
{ 2x =0
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 2
由n
2
⋅AB=0且n
2
⋅AP=0，得
y +√7z =0
，
2 2
⃗
所以可取n =(0,−7,√7) ，
2
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 17 1设两平面夹角为θ，
⃗ ⃗
|n ⋅n | √14
则cosθ= 1 2 = .
⃗ ⃗ 6
|n ||n |
1 2
【解析】本题考查了线面垂直的向量表示和平面与平面所成角的向量求法，是中档题.
( Ⅰ ) 设 AD=2 ，建立空间直角坐标系，易得 A ⃗ M⋅P ⃗ D=0 ， A ⃗ M⋅C ⃗ D=0 ，故 AM⊥PD ， AM⊥CD ，利
用线面垂直的判定即可得证；
(Ⅱ)得出平面MAC，平面PAB的法向量，利用空间向量求解即可.
17.【答案】解：(Ⅰ)因为圆心C(a,−2a+4)在直线x+ y−3=0上，
所以a−2a+4−3=0，即a=1，所以圆心C的坐标为(1,2).
(i)当过P点的切线斜率存在时，
方程可设为 ，即 ，则|k−5| ，解得 12，
y=kx−3 kx−y−3=0 =1 k=
√1+k2 5
12
得切线方程为y= x−3.
5
(ii)当过A点切线斜率不存在时，直线x=0也满足，
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 18 1综上，所求直线方程为x=0或12x−5 y−15=0.
(Ⅱ)设点Q(x,y)，C(a,−2a+4)，
由 ，化简得：
|PQ|=2|OQ| x2+(y−1) 2=4.
点Q的轨迹为以C′(0,1)为圆心，2为半径的圆，
又点Q在圆C上，所以圆C与圆C′的关系为相交或相切，
因此，1≤|CC′|≤3，
12
即1≤√a2+(2a−3) 2≤3，解得：0≤a≤ .
5
【解析】本题考查了直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系，是中档题.
(Ⅰ)由圆心C(a,−2a+4)在直线x+ y−3=0上，得出a的值，再分切线斜率存在和不存在两种情况求解即
可；
(Ⅱ)设点Q(x,y)，C(a,−2a+4)，由|PQ|=2|OQ|，得出点Q的轨迹方程，易得圆C与圆C′的关系
为相交或相切，则1≤|CC′|≤3，计算即可.
x2
18.【答案】解：(Ⅰ)设g(x)=f(x)− −x，x∈[0,+∞),
2
−x
则g′(x)=ln(x+1)−x，令φ(x)=ln(x+1)−x，则φ′(x)= ≤0，
x+1
所以g′(x)在[0,+∞)上单调递减，又g′(0)=0，所以g′(x)≤0在[0,+∞)上恒成立，
所以g(x)在[0,+∞)上单调递减，又g(0)=0，所以g(x)<0在(0,+∞)上恒成立，
x2
所以当x>0时，f(x)< +x.
2
(Ⅱ)设 ℎ(x)=f(x)−ax，x∈[0,+∞)，则 ℎ′(x)=ln(x+1)+1−a，
当a≤1时，ℎ′(x)≥0，ℎ(x)单调递增，且ℎ(0)=0，所以当x>0时，ℎ(x)>0.
当 时，令 ，得 ，
a>1 ℎ′(x)=0 x =ea−1−1
0
当x∈(0,x )时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，又ℎ(0)=0，所以ℎ(x)<0，不满足题意.
0
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 19 1综上可得，a的取值范围是(−∞,1].
n
Ⅲ 原命题等价于1 k 3
( ) <∑ln( +1)< .
2 n2 4
k=1
x
由(Ⅱ)知ln(x+1)> (x>0)，
x+1
k
k n2 k k
所以ln( +1)> = ≥ ，
n2 k k+n2 n+n2
+1
n2
n(n+1)
n n
从而 k k 2 1
∑ln( +1)>∑ = = .
n2 n+n2 n+n2 2
k=1 k=1
另一方面，设t(x)=ln(x+1)−x，x∈[0,+∞),
1 −x
则t′(x)= −1= ≤0，从而t(x)在[0,+∞)上单调递减，
x+1 x+1
当x>0时t(x)<t(0)=0，即ln(x+1)<x，
k k
所以ln( +1)< ，
n2 n2
n(n+1)
n n
从而当n≥2时，有 k k 2 1 1 3，
∑ln( +1)<∑ = = (1+ )≤
n2 n2 n2 2 n 4
k=1 k=1
n
当 时不等式也成立，所以 k 3， *.综上可得，原结论成立.
n=1 ∑ln( +1)< k∈N
n2 4
k=1
【解析】本题考查利用导数解(证明)不等式、利用导数求函数的单调区间、利用导数求函数的最值等，属
于较难题.
x2
(Ⅰ)设g(x)=f(x)− −x，x∈[0,+∞)，研究g(x)的单调区间和最值即可证明;
2
(Ⅱ)设 ℎ(x)=f(x)−ax，x∈[0,+∞)，利用导数解不等式即可;
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 20 1Ⅲ 原命题等价于1 n k 3，由 Ⅱ 知 x ，结合函数 ，
( ) <∑ln( +1)< ( ) ln(x+1)> (x>0) t(x)=ln(x+1)−x
2 n2 4 x+1
k=1
x∈[0,+∞)的单调性和最值即可证明.
19.【答案】解：(Ⅰ)由题意知a =|a −a |≥0，
n n+1 n+2
因为a =1，a =2，a =|a −a |，所以a =1或3.
1 3 1 2 3 2
若a =1，a =|a −a |，则a =1或3;
2 2 3 4 4
若a =3，a =|a −a |，则a =5或−1，
2 2 3 4 4
又a =|a −a |≥0，所以舍去−1.
4 5 6
从而a 的所有可能值为：1，3，5.
4
(Ⅱ)因为a ≥a ，所以a =a −a .
n+1 n n n+2 n+1
从而 ，
a =a +a =2 b =a a −a2=1.
3 1 2 1 1 3 2
b =a a −a2 =a (a +a )−a2
n+1 n+1 n+3 n+2 n+1 n+2 n+1 n+2
，
=a2 −a (a −a )=a2 −a a =−b
n+1 n+2 n+2 n+1 n+1 n+2 n n
所以{b }是首项为1，公比为−1的等比数列，
n
从而其前2025项之积为1.
(Ⅲ)设a 为{a }的最大项，
k n
若a ≥a ，则a =|a −a |=a −a ≤a ，
k+1 k+2 k k+1 k+2 k+1 k+2 k+1
又a ≥a ，所以a =a ，进而有a =0，此时可取m=k+2满足a =0.
k k+1 k k+1 k+2 m
同理，若a <a ，则a =0，此时可取m=k+1满足a =0.
k+1 k+2 k+1 m
综上，存在m∈N∗使得a =0.
m
【解析】本题考查根据数列的递推公式求数列的项、等比数列的判定、等比数列的通项公式、数列的最大
项问题等，属于较难题.
(Ⅰ)根据数列的递推公式求数列的项即可求解;
(Ⅱ)根据等比数列的判定和等比数列的通项公式求解出数列{b }的通项公式，即可求解;
n
(Ⅲ)设a 为{a }的最大项，分别讨论a ≥a 和a <a 的情况，即可证明.
k n k+1 k+2 k+1 k+2
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 21 1
