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2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷【答案】
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．π3（或60°）
2．x－3y＋4＝0
3．2x－y＝0. ；
4． (2，0)；
5．3x＋4y＋5＝0；
6．(x－2)2＋y2＝10
7．x2＋y2＝a2
8．y＝1或4x－3y－5＝0
9．20；
10．
11．4；
12． 且
二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选
项)
13 14 15 16
D B C A
三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)
17．（1）方法1：当a＝1时，l：x＋2y＋6＝0，l：x＝0，l 不平行于l；【1分】
1 2 1 2
当a＝0时，l：y＝－3，l：x－y－1＝0，l 不平行于l；【2分】
1 2 1 2
当a≠1且a≠0时，两直线方程可化为l：y＝－a2x－3，l：y＝11－ax－(a＋1)，【3分】
1 2
l l －\f(a11－aa＋1)，解得a＝－1，【5分】综上可知，当a＝－1时，l l；【7分】
1 2 1 2
方法2：显然a≠0，l l，则1a＝a－12≠a2－16 a(a－1)－1×2＝0，a(a2－1)－1×6≠0) a2－a－2＝0，
∥ ⇔ 1 2 ∥
a(a2－1)≠6，)【5分】
∥ ⇔ ⇒
可得a＝－1，【6分】故当a＝－1时，l l . 【7分】
1 2
（2）方法1：当a＝1时，l ：x＋2y＋6＝0，l ：x＝0，l 与l 不垂直，故a＝1不成立；【1分】
1 ∥2 1 2
当a＝0时，l ：y＝－3，l ：x－y－1＝0，l 不垂直于l ，故a＝0不成立；【2分】
1 2 1 2
当a≠1且a≠0时，l ：y＝－a2x－3，l ：y＝11－ax－(a＋1)，【4分】
1 2
由\a\vs4\al\co1(－\f(a2))·11－a＝－1，得a＝23；【7分】
方法2：由A A ＋B B ＝0，得a＋2(a－1)＝0，【6分】可得a＝23；【7分】
1 2 1 2
1 / 418．由题意得圆心C(1，2)，半径r＝2；【2分】
（1）因为(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4，所以点P在圆C上．【3分】
又k ＝2)－2\r(2)＋1－1＝－1，【4分】
PC
所以过点P的切线的斜率为－1kPC＝1，【5分】
所以过点P的圆C的切线方程是y－(2－2)＝1×[x－(2＋1)]，即x－y＋1－22＝0【7分】（2）因为
(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，所以点M在圆C外．【9分】
当过点M的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.
又点C(1，2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，所以直线x＝3是圆的切线；
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，
由圆心C到切线的距离d′＝|k－2＋1－3k|\r(k2＋1)＝r＝2，解得k＝34;
所以切线方程为y－1＝34(x－3)，【12分】
即3x－4y－5＝0.
综上，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.
因为|MC|＝(3－1)2＋(1－2)2＝5，所以过点M的圆C的切线长为|MC|2－r2＝5－4＝1；
【14分】
19．【答案】（1）x24＋y23＝1；（2）x215＋y25＝1；（3）x28＋y26＝1或y2253＋x2254＝1；
【解析】（1）根据题意，椭圆的焦点在x轴上，
故设其方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，
显然c＝1，b＝3，则a2＝b2＋c2＝4，
故椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1; 【4分】
（2）设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，
则有12m＋n＝1，3m＋4n＝1，)解得m＝\f(11515)，
则所求椭圆的标准方程为x215＋y25＝1; 【8分】
（3）椭圆x24＋y23＝1的离心率是e＝12，
当焦点在x轴上时，
设所求椭圆的方程是x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，
所以\f(c12a2＝b2＋c2，43b2)＝1，解得a2＝8，b2＝6，)
所以所求椭圆方程为x28＋y26＝1.
当焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)，
所以\f(c12a2＝b2＋c2，34b2)＝1，所以a2＝\f(253254)，
所以椭圆的标准方程为y2253＋x2254＝1.
2 / 4所求椭圆标准方程为x28＋y26＝1或y2253＋x2254＝1；【14分】
20．【解析】（1）[证明] 直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令x＋2＝0，1－y＝0，)解得x＝－2，y＝1.)
所以无论k取何值，直线总经过定点(－2，1) 【4分】
（2）[解] 由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－1＋2kk，在y轴上的截距为1＋2k，
要使直线不经过第四象限，则必须有－\f(1＋2kk1＋2k≥1，解得k>0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，
故k的取值范围是[0，＋∞)；【10分】
（3）[解] 由题意可知k≠0，再由l的方程，
得A\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2kk)，0)，B(0，1＋2k).
依题意得－\f(1＋2kk1＋2k＞0，解得k>0.
因为S＝12·|OA|·|OB|＝12·\f(1＋2kk))·|1＋2k|
＝12·(1＋2k)2k＝12\a\vs4\al\co1(4k＋\f(1k)＋4)≥12×(2×2＋4)＝4，
等号成立的条件是k>0，且4k＝1k，即k＝12，
所以S ＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0；【18分】
min
【说明】1、求直线方程：弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程；
2、求解与直线方程有关的最值问题：先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式(或二次
函数)求解最值；
3、求参数值或范围：注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本
不等式求解；
21．【提示】（1）利用双曲线的定义求出双曲线C的标准方程.
（2）设出直线 的方程，与双曲线方程联立，结合中点坐标公式求出直线方程.
（3）利用双曲线定义，结合线段和差大小关系求出最小值；
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；
【解析】（1）依题意，双曲线焦点在 轴上，半焦距 ，
实半轴长 ，则虚半轴长 ，
所以双曲线C的标准方程为 ；【4分】
（2）显然直线 不垂直于 轴，否则弦 中点纵坐标为0，
设直线 的方程为 ，即 ，设 ，
由 消去 得： ，
3 / 4依题意， ，由M为 的中点，得 ，解得 ，
此时方程为 ， ，符合题意，
所以直线 的方程为 ；【10分】
（3）由 ，得点 在双曲线夹含虚轴的区域内，
又点 在双曲线右支上，即 ，
因此 ，
当且仅当 是线段 与双曲线右支的交点时取等号，
所以 的最小值为 ；【18分】
4 / 4
