文档内容
新高二开学摸底考试卷（上海专用）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试范围：必修第二册+第三册第10章
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．已知复数 ， （i是虚数单位），则 ．
2．已知扇形的周长为6，则面积 ，该扇形的圆心角大小为 弧度.
3．函数 的最小正周期为 ．
4．设向量 ，则 在 方向上的数量投影为 .
5．方程 在 内的解为 .
6．已知复数 是实系数二次方程 的一根，则b= .
7．如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度
3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹
角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面 米处观看?（精确到0.1米）.
8．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ，则 ．
9．已知 是空间的两条不同直线， 是两个不同的平面，下列四个命题中真命题的编号是 .
① ，则 ② ，则
③ ，则 ④ ，则
10．函数 的部分图像的示意图如图所示，已知 ，且 ，则 ．
11．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PA＝1，则侧面
PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是 ．
12．在锐角 中， ，它的面积为10， ， ， 分别在 、 上，且满足
， 对任意 ， 恒成立，则 .
二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正
确选项)
13．下列命题中真命题是（ ）
A．四边形一定是平面图形
B．相交于一点的三条直线只能确定一个平面
C．四边形四边上的中点可以确定一个平面
D．如果点 ， ， 平面 ，且 ， ， 平面 ，则平面 与平面 为同一平面
14．已知向量 ， ，则下列结论：
①若 ，则
②若 ，则
③若 与 的夹角为 ，则
其中正确结论的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个15．若 ， ，且 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
16．已知 是定义在复数集上的 次实系数多项
式（ 是正整数），给出下列两个命题：
①如果虚数 是 的根，即 ，那么 也是 的根，即 ；
② 可以因式分解成若干一次或二次实系数多项式的乘积；
则下列说法正确的是（ ）
A．命题①②都是真命题 B．命题①②都是假命题
C．命题①是真命题，命题②是假命题 D．命题①是假命题，命题②是真命题
三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20题16分，第21题20分.)
17．在 中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c， ， .
(1)若 ，求A和 外接圆半径R的值；
(2)若三角形的面积 ，求c.
18．如图，点 是单位圆与 轴正半轴的交点，点 在单位圆上， （ ），
，四边形 的面积为 ．
(1)求 的最大值及此时 的值 ；
(2)设点 的坐标为 ， ，在（1）的条件下，求 的值．
19．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为1的正方形， ， 、 分别是 、
的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)若二面角 的大小为 ，求直线 与平面 所成角的大小.20．上海花博会的成功举办离不开对展览区域的精心规划.如图所示，将展区中扇形空地 分隔成三部
分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、白玉兰和菊花.知扇形的半径为 米， ，动点 在扇
形 的弧上，点 在半径 上，且 .
(1)当 米时，求分隔栏 的长；
(2)综合考虑到成本和美观等原因，希望使白玉兰种植区的面积尽可能的大，求该种植区三角 的
面积 的最大值.
21．对于函数 （ ），若存在非零常数 ，使得对任意的 ，都有 成立，我
们称函数 为“ 函数”，若对任意的 ，都有 成立，则称函数 为“严
格 函数”．
(1)求证： ， 是“ 函数”；
(2)若函数 是“ 函数”，求 的取值范围；
(3)对于定义域为 的函数 ， ．函数 是奇函数，且对任意的正实数 ， 均
是“严格 函数”．若 ， ，求 的值.
