文档内容
1
学科网（北京）股份有限公司目 录
基础巩固篇
☛1.集合..........................................................................................................................................................................3
☛2.常用逻辑用语.........................................................................................................................................................4
☛3.复数..........................................................................................................................................................................6
☛4.平面向量.................................................................................................................................................................7
☛5.三角函数...............................................................................................................................................................10
☛6.解斜三角...............................................................................................................................................................12
☛7.数列........................................................................................................................................................................13
☛8.立体几何...............................................................................................................................................................18
☛9.直线和圆...............................................................................................................................................................18
☛10.椭圆、双曲线、抛物线....................................................................................................................................20
☛11.计数原理.............................................................................................................................................................23
☛12.统计.....................................................................................................................................................................25
☛13.概率.....................................................................................................................................................................28
☛14.初等函数.............................................................................................................................................................30
☛15.函数与导数.........................................................................................................................................................32
☛16.参考答案..............................................................................................................................................................85
多选题专攻篇
☛1.函数与导数...........................................................................................................................................................34
☛2.三角函数与解三角形..........................................................................................................................................37
☛3.空间向量与立体几何..........................................................................................................................................40
☛4.平面解析几何.......................................................................................................................................................43
☛5.统计概率...............................................................................................................................................................46
命题猜想篇
☛1.简单几何体的表面积和体积................................................................................................................................49
☛2.抽象函数................................................................................................................................................................56
☛3.数列创新问题........................................................................................................................................................61
考前技巧篇
☛1.2024年高考数学考前冲剌备忘录.......................................................................................................................70
☛2.高考数学核心考点解题方法与策略....................................................................................................................76
☛3.高考数学临场解题策略 ......................................................................................................................................81
☛4.多选题的特点及解题策略....................................................................................................................................84
☛5.高考数学阅卷和答题卡的注意事项 ..................................................................................................................89
☛6.高考数学解答题结题模型....................................................................................................................................93
考前考后心理篇
☛1.考前考生需要做哪些准备....................................................................................................................................97
☛2.高考前一天需要做哪些准备................................................................................................................................99
☛3.考后需要注意哪些事项？..................................................................................................................................100
终极押题篇
☛2024年新高考数学冲刺押题1卷（22题型）....................................................................................................102
☛2024年新高考数学冲刺押题2卷（19题型）...................................................................................................108
☛2024年新高考数学冲刺押题1卷（解析）........................................................................................................113
☛2024年新高考数学冲刺押题2卷（解析）........................................................................................................128
2
学科网（北京）股份有限公司基础巩固篇
1、集合★★★★★
新高考考情：
考卷 题号 详细知识点
2020 1 交集的概念及运算；
20211 1 交集的概念及运算；
20212 2 交集的概念及运算；补集的概念及运算；
20221 1 交集的概念及运算；
20222 1 交集的概念及运算；公式法解绝对值不等式；
20231 1 交集的概念及运算；解不含参数的一元二次不等式；
20232 2 根据集合的包含关系求参数；
此考点在每年的考试中均占据重要地位，第一题的掌握尤为关键。从考查内容来
看，主要涉及交并补运算，常与解不等式等知识点相结合。虽然新定义的运算也可能
出现，但其难度通常不高。综合历年经验，预计命题小组对集合部分的考题进行大幅
度调整的可能性较小。因此，考生应重点掌握交并补运算的基础知识，并熟悉其与其
他知识点的交汇点，以确保在考试中能够稳定得分。此外，排除法（特殊法）也是解
决此类问题优选方法。
常见集合元素限定条件;对数不等式、指数不等式、分式不等式、一元二次不等
式、绝对值不等式、对数函数的定义域、二次根式、点集（直线、圆、方程组的
解）；补集、交集和并集；不等式问题画数轴很重要；指数形式永远大于0不要忽
记；特别注意代表元素的字母是x还是y。
2024高考预测：
1．已知集合 ,则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知集合 ， ，则集合 的元素个数为
（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合 ，则集合 的子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．16
4．已知集合 ， ，则集合 等于（ ）
A． ； B． ； C． ； D． ．
5．设全集 ，集合 ， ，则
A． B． C． D．
3
学科网（北京）股份有限公司6．若集合 ,则能使 成立的所有 组成
的集合为（ ）
A． B． C． D．
7．已知集合 和 ，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知集合 ， ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
9．若全集 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知集合 ， ， ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
2、常用逻辑用语★★
新高考考情：
考卷 题号 详细知识点
20231 7 充要条件的证明；判断等差数列；由递推关系证明数列是等差数列；
求等差数列前n项和；
显然，近年来这板块考察的比较少，分析发现地方考卷考得比较多，全国卷考
得少，新高考才出现了一次，很显然这一考点不是一个热门考点，但我觉得依然需
要大家引起足够得重视，尤其是“充要条件”和“全称与特称”。2024年要注意
“全称量词与特称量词”。
“充要条件”的判断要先区分清楚条件和结论，充分性“条件⇒结论”，必要
性“结论⇒条件”。要注意“三角与充要条件”结合的考题
2024高考预测：
1．设a， ，则“ ”是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4
学科网（北京）股份有限公司2．已知 且 ，“函数 为增函数”是“函数 在 上单
调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设命题p： ，(x－1)(x+2)>0，则 为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ， 或
4．下列说法正确的是（ ）
A．“ ”是“ ”的充要条件
B．“ ”是“ ”的必要不充分条件
C．命题“ ”的否定形式是“ ”
D．“ ”是“ ”的充分不必要条件
5．“ ”是“直线 与圆 相切”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．既是充分条件又是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件
6．设 ，则“ ”是“ ”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．命题“ ”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
5
学科网（北京）股份有限公司8．若命题“ ”为假命题，则实数x的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
9．已知向量 ，则“ ”是“ 与 的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．在等比数列 中，已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3、复数★★★★★
新高考考情：
考卷 题号 详细知识点
2020 2 复数代数形式的乘法运算；
20211 2 复数代数形式的乘法运算；共轭复数的概念及计算；
20212 1 在各象限内点对应复数的特征；复数的除法运算；
20221 2 共轭复数的概念及计算；
20222 2 复数代数形式的乘法运算；
20231 2 复数的除法运算；共轭复数的概念及计算；
20232 1 在各象限内点对应复数的特征；复数代数形式的乘法运算；
每年一题，稳得不得了，我觉得这也是送分题之一，但九省联考，不再是以选
择题的方式来考，而是放在了填空题的位置。说明考试题型由可能会变，但我认为
不管怎么变，这仍然是一道送分题，大家要细心，确保拿下。考查四则运算为主，
偶尔与其他知识交汇，难度较小．考查代数运算的同时，主要涉及考查概念有：实
部、虚部、共轭复数、复数的模、对应复平面的点坐标、复数运算等.无法直接计算
时可以先设z=a+bi。
重要提示：不管考察的是什么问题，一定要先把复数转化为标准模式z=a+bi！
2024高考预测：
1．设 ，则 （ ）
A．i B． C．1 D．
6
学科网（北京）股份有限公司2．在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．若复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．在复平面内，复数 对应的点关于直线 对称，若 ，则
（ ）
A． B．2 C． D．4
5．已知 为复数单位， ，则 的模为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
6．设复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
7．若复数 是纯虚数，则实数 （ ）
A． B． C． D．
8．若复数 的实部与虚部相等，则实数a的值为（ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
9．（多选）已知复数 ，下列命题正确的是（ ）
A． B．若 ，则
C． D．若 ，则 为实数
7
学科网（北京）股份有限公司10．（多选）已知复数 均不为0，则（ ）
A． B．
C． D．
4、平面向量★★★★★
新高考考情：
考卷 题号 详细知识点
2020` 3 向量加法的法则；向量减法的法则；
20211 10 数量积的坐标表示；坐标计算向量的模；
20212 15 数量积的运算律；
20221 3 用基底表示向量；
20222 4 平面向量线性运算的坐标表示；向量夹角的坐标表示；
10 数量积的坐标表示；
20231 3 平面向量线性运算的坐标表示；向量垂直的坐标表示；利用向量垂直求参数；
20232 13 数量积的运算律；
17 三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形；数量积的运算律；
向量每年一题或两题，单选题4题，多选题2题，填空题2题，解答题1题，覆
盖了所有的题型。考察的比较基础,难度不大,很少与其它知识交汇,重点考查向量的基
本运算。数量积问题有坐标按照坐标算 ，没有坐标按照模运算
；可以建系的建系（直角三角形、等腰、等边、矩形、正方形、直角
梯形等）、投影向量问题考的可能性不大.
几何运算注意利用三角形法则和平行四边形法则转化（注意用好作图法）；单位
向量要看清，模为1；向量夹角为锐角，数量积大于0且向量不能同向（夹角为0）；
向量夹角为钝角，数量积小于0且不能反向（夹角为π）；两个向量不共线才可以作为
基底；多个向量和差带模先平方后开方.
2024高考预测：
1．已知O,A,B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
2．已知公比为q的等比数列 中， ，平面向量 ，
，则下列 与 共线的是（ ）
A． B． C． D．
8
学科网（北京）股份有限公司3．对于平面内 个起点相同的单位向量 ，若每个向量与
其相邻向量的夹角均为 ，则 与 的位置关系为（ ）
A．垂直 B．反向平行 C．同向平行 D．无法确定
4．如图所示，边长为2的正三角形ABC中，若 （ ），
（ ），则关于 的说法正确的是（ ）
A．当 时， 取到最大值 B．当 或1时， 取到最小值
C． ，使得 D． ， 为定值
5．已知平行四边形 ，若点 是边 的三等分点（靠近点 处），点 是边
的中点，直线 与 相交于点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．已知点G为三角形ABC的重心，且 ，当 取最大值时，
（ ）
A． B． C． D．
7．已知向量 ，则下列结论正确的是（ ）
A．当 时，
B．当 时，向量 与向量 的夹角为锐角
9
学科网（北京）股份有限公司C．存在 ，使得
D．若 ，则
8．已知 是坐标原点，平面向量 ， ， ，且 是单位向量，
， ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若A，B，C三点共线，则
C．若向量 与 垂直，则 的最小值为1
D．向量 与 的夹角正切值的最大值为
9．大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称
“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2： 为正
三角形， ， ， 围成的 也为正三角形．若 为 的中点，① 与
的面积比为 ；②设 ，则 ．
10．已知平面向量 ， ，设 ， ， ，则 与
的夹角为 ，当 时，
5、三角函数★★★★★
新高考考情：
10
学科网（北京）股份有限公司考卷 题号 详细知识点
2020 11 由图象确定正（余）弦型函数解析式；
16 三角函数在生活中的应用；
20211 4 求sinx型三角函数的单调性；
6 正、余弦齐次式的计算；二倍角的正弦公式；给值求值型问题；
10 逆用和、差角的余弦公式化简、求值；二倍角的余弦公式；
20221 6 由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）；
20222 6 用和、差角的余弦公式化简、求值；
9 求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；利用正弦函数的对称性求参数；
求sinx型三角函数的单调性；
20231 6 给值求值型问题；余弦定理解三角形；
8 用和、差角的正弦公式化简、求值；二倍角的余弦公式；给值求值型问题；
15 余弦函数图象的应用；
20232 7 半角公式；二倍角的余弦公式；
16 特殊角的三角函数值；由图象确定正（余）弦型函数解析式；
几乎每年至少一小题．题目难度不大，主要考察公式熟练运用、平移、图像性质
（重点+难点）、化简求值（热点+几乎年年考）、基本属于“送分题”．小心平移伸
缩问题．最担心ω和φ问题（这是热点也是难点，注意用好数形结合）.
三角函数的定义式:会巧妙利用定义求解 sin、cos、tan,特别要注意正负;熟练诱导
公式、两角和与差公式、倍角公式、辅助角公式,符号问题太重要;牢记 sin、cos、tan
的图像性质;注意利用整体思想解决问题。出现 等的时候记着用诱导
公式,其他角的形式用两角和与差公式展开或合并; 用降幂公式的较多;巧妙
选择倍角公式进行凑角和转化;巧妙选择两角和与差公式进行凑角和转化。
2024高考预测：
1．已知 为锐角，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知函数 ，（ ）的图象在区间 内至多存在3条
对称轴，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．在 中， ， ， ，则下列各式一定成立的
是（ ）
11
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
4．如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心 到水面的距离为 ，筒车的半径是 ，盛
水筒的初始位置为 与水平正方向的夹角为 ．若筒车以角速度 沿逆时
针方向转动， 为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点 所需的时间（单位： ），
则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知 为第一象限角. ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．若函数 ， 的值域为 ，则 的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
12
学科网（北京）股份有限公司7．已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知点G为三角形ABC的重心，且 ，当 取最大值时，
（ ）
A． B． C． D．
9．函数 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象，若函数
是偶函数，则 ．
10．在 中， ， ，则 外接圆半径为 .
6、解斜三角★★★★★
新高考考情：
考卷 题 详细知识点
号
2020 17 正弦定理解三角形；余弦定理解三角形；
202011 19 正弦定理边角互化的应用；几何图形中的计算；
20212 18 正弦定理边角互化的应用；三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形；
20221 18 正弦定理边角互化的应用；
20222 18 正弦定理解三角形；三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形；
20231 17 用和、差角的正弦公式化简、求值；正弦定理解三角形；三角形面积公式及其应
用；
20232 17 三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形；
之前6道大题时，新高考每年解斜三角都会有一道题。但今年新高考大题如果真的
调整为5道解答题得话，解三角出大题的概率必然会降低，但这又是一个很重要的考
点，因此出小题几率将会增大。余弦定理、正弦定理、面积公式要熟记；对正余弦定
理的考查主要涉及三角形的边角互化，如果是化成角的话，下一步按三角→两角→一角
进行；如果转化成边，就努力往余弦定理靠。如判断三角形的形状等，利用正、余弦
定理将条件中含有的边和角的关系转化为边或角的关系是解三角形的常规思路。三角
形内的三角函数求值、三角恒等式的证明、三角形外接圆的半径等都体现了三角函数
知识与三角形知识的交汇。
2024高考预测：
1．在 中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若
，则 （ ）
13
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
2．在 中，内角 所对应的边分别是 ，若 ， ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
3．钝角三角形ABC的面积是 ，AB=1，BC= ，则AC=
A．5 B． C．2 D．1
4．在 中，角 所对的边分别为 ， ，且 的面积为 ，
若 ，则 （ ）
A． B．5 C． D．
5． 中，“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．在 中， ， ， ，则 （ ）
A． B．4 C． D．
7．设在 中,角 所对的边分别为 , 若 , 则
的形状为 （ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
8． 的内角 的对边分别为 ， ， ，若 的面积为 ，
则
A． B． C． D．
9．在 中， ， ，M为BC的中点， ，则
.
14
学科网（北京）股份有限公司10．在 中， ， ，则 外接圆半径为 .
7、数列★★★★★
新高考考情：
考卷 题号 详细知识点
2020 15 求等差数列前n项和；
18 写出等比数列的通项公式；求等比数列前n项和；
20211 16 错位相减法求和；数与式中的归纳推理；
17 由递推数列研究数列的有关性质；利用定义求等差数列通项公式；求等差数列前n项和；
20212 12 求等比数列前n项和；数列新定义；
17 等差数列通项公式的基本量计算；求等差数列前n项和；解不含参数的一元二次不等式；
20221 17 裂项相消法求和；累乘法求数列通项；利用a 与s 关系求通项或项；利用等差数列通项公式
n n
求数列中的项；
20222 3 等差数列通项公式的基本量计算；
17 等差数列通项公式的基本量计算；等比数列通项公式的基本量计算；数列不等式能成立（有
解）问题；
22 利用导数研究不等式恒成立问题；裂项相消法求和；含参分类讨论求函数的单调区间；
20231 7 充要条件的证明；判断等差数列；由递推关系证明数列是等差数列；求等差数列前n项和；
等差数列通项公式的基本量计算；利用等差数列的性质计算；等差数列前n项和的基本量计
20
算；
20232 8 等比数列前n项和的基本量计算；等比数列片段和性质及应用；
18 利用定义求等差数列通项公式；等差数列通项公式的基本量计算；求等差数列前n项和；分
组（并项）法求和；
新高考对数列的考察，这几年基本上是以一大一小的形式出现。今年新高考题
量改为19题之后，数列有没有可能削弱。我有一种大胆的猜想，2024年高考第19
题压抽题，有可能考察与数列有关内容，当然这不影响小题的考察。如果大题有数
列，那小题很可能会是一道多选题，和其他内容组合而成。
等差等比用通项公式和前n项公式，等比问题学会作比值化简；累加法、累乘
法、构造法求通项，裂项相消、错位相减、分组求和求前n项和要掌握类型特点。
特别注意S 和a 的关系, ,两个方向都可以转化;分组求和、裂
n n
项相消法和错位相减法要看清通项的形式; 等基本量的求解很重要,多解问
题要多次验证进行取舍。
2024高考预测：
1．《将夜》中宁缺参加书院的数科考试，碰到了这样一道题目：那年春，夫子游桃山，
一路摘花饮酒而行，始切一斤桃花，饮一壶酒，复切一斤桃花，又饮一壶酒，后夫子
惜酒，故再切一斤桃花，只饮半壶酒，再切一斤桃花，饮半半壶酒，如是而行，终夫
子切六斤桃花而醉卧桃山.问：夫子切了五斤桃花一共饮了几壶酒？（ ）
A． B． C． D．
2．已知等差数列 满足 ，则下列命题：① 是递减数列；
15
学科网（北京）股份有限公司②使 成立的 的最大值是9；③当 时， 取得最大值；④ ，其中正确
的是（ ）
A．①② B．①③
C．①④ D．①②③
3．已知等比数列 ，对任意 ， ， 是数列 的前 项和，若存
在一个常数 ，使得 ， ；下列结论中正确的是（ ）
A． 是递减数列 B． 是递增数列
C． D．一定存在 ，当 时，
4．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中，研究了二阶等差数列．若 是公差
不为零的等差数列，则称数列 为二阶等差数列．现有一个“三角垛”，共有40层，
各层小球个数构成一个二阶等差数列，第一层放1个小球，第二层放3个小球，第三
层放6个小球，第四层放10个小球， ，则第40层放小球的个数为（ ）
A．1640 B．1560 C．820 D．780
5．已知 ， ， ， ， 成等比数列，且1和4为其中的两项，则 的最小值为
（ ）
A．－64 B．－8 C． D．
6．已知各项均为正数的数列 满足 ，且数列 的前
项积为 ，则下列结论错误的是（ ）
16
学科网（北京）股份有限公司A．若 ，则
B．若 ，则
C．存在 及正整数 ，使得
D．若 为等比数列，则
7．毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们把美学视为
自然科学的一个组成部分．美表现在数量比例上的对称与和谐，和谐起于差异的对立，
美的本质在于和谐．他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并由它们排列而成的
形状对自然数进行研究．如图所示，图形的点数分别为 ，总结规律并以此
类推下去，第 个图形对应的点数为 ，若这些数构成一个数列，记为数列
，则 ．
8．88键钢琴从左到右各键的音的频率组成一个递增的等比数列．若中音A（左起第
49个键）的频率为 ，钢琴上最低音的频率为 ，则左起第61个键的音的
频率为 ．
9．对于数列 ，由 作通项得到的数列 ，称 为数列 的差分
数列，已知数列 为数列 的差分数列，且 是以1为首项以2为公差的等差数
列，则 ．
10．如图，已知在扇形OAB中，半径 ， ，圆 内切于扇形
17
学科网（北京）股份有限公司OAB（圆 和OA、OB、弧AB均相切），作圆 与圆 、OA、OB相切，再作圆
与圆 、OA、OB相切，以此类推．设圆 、圆 ……的面积依次为 ， ……，
那么 ．
8、立体几何★★★★★
新高考考情：
考卷 题号 详细知识点
2020 13 锥体体积的有关计算；
20211 3 圆锥中截面的有关计算；
4 球的表面积的有关计算；
20212 5 棱台的结构特征和分类；台体体积的有关计算；
10 求异面直线所成的角；证明线面垂直；线面垂直证明线线垂直；
4 台体体积的有关计算；
20221 8 锥体体积的有关计算；球的体积的有关计算；多面体与球体内切外接问题；
9 求异面直线所成的角；求线面角；
7 球的表面积的有关计算；多面体与球体内切外接问题；
20222
11 锥体体积的有关计算；证明线面垂直；
12 正棱锥及其有关计算；多面体与球体内切外接问题；
20231
14 台体体积的有关计算
圆锥表面积的有关计算；锥体体积的有关计算；
9
20232 二面角的概念及辨析；由二面角大小求线段长度或距离；
14 正棱台及其有关计算；锥体体积的有关计算；台体体积的有关计算；
新课标卷的小题主要集中在几何体的表面积和体积问题上，这一点是明确且不
容忽视的。对于考生而言，必须对此给予特别的关注。深入理解并熟练掌握空间几
何体的结构特征是解答这类问题的关键，这包括能够准确计算长度、表面积和体积
等。在实践中，常采用的方法包括分割法、补体法、还台为锥法以及等积变换法等，
这些方法在处理不规则几何体体积计算时尤为有效。
此外，球与几何体的切接问题也是高考中的重要考点，通常作为客观题中的难
点出现。这类问题主要考察几何体的外接球，要求学生具备较强的空间想象能力和
精确的计算能力。在选择题和填空题中，图形通常不会直接给出，这就要求考生不
仅要具备解题所需的数学技能，还需要有读题画图的能力。
总的来说，对于空间几何体的表面积和体积问题，考生需要深入理解其结构特
征，掌握相关计算方法，并具备空间想象能力和精确的计算技巧，才能顺利应对各
种考查。
2024高考预测：
1．如图，在正方体 中，异面直线 与 所成的角为（ ）
18
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
2．圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60°，底面圆的半径为8，则圆锥的侧面积为（
）
A． B． C． D．
3．某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径15cm，高10cm，加工方
法为在底面中心处打一个半径为rcm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加
工后的表面积最大，则r的值应设计为（ ）
A． B． C．4 D．5
4．三棱锥 中， 平面 ， ．若 ， ，则该三棱锥
体积的最大值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
5．已知正四棱锥 各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积
为 ，则该球表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为 、 和 ，则（ ）
A． B． C． D．
19
学科网（北京）股份有限公司7．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径
为2，且该圆台侧面积为 ，则原圆锥的母线长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
8．半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．如
图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱
锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，
六个面为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．
则得到的二十四等边体与原正方体的体积之比为 ．
9．四棱锥 各顶点都在球心 为的球面上，且 平面 ，底面
为矩形， ，设 分别是 的中点，则平面 截球
所得截面的面积为 .
10．已知轴截面为正三角形的圆锥 的高与球 的直径相等，则圆锥 的体积
与球 的体积的比值是 ，圆锥 的表面积与球 的表面积的比值是
．
9、直线和圆★★★★★
新高考考情：
考卷 题号 涉及知识点
2020 10 二元二次方程表示的曲线与圆的关系
20211 11 切线长；直线与圆的位置关系求距离的最值；
20212 3 已知点到直线距离求参数；
11 点与圆的位置关系求参数；判断直线与圆的位置关系；
16 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题；直线的点斜式方程及辨析；
20221 14 判断圆与圆的位置关系；圆的公切线方程；
20222 3 已知斜率求参数；
10 已知两点求斜率；
15 求点关于直线的对称点；直线关于直线对称问题；由直线与圆的位置关系求
参数；
20
学科网（北京）股份有限公司16 根据弦长求参数；由弦中点求弦方程或斜率；
直线的考察基本上没有单独成题，而是作为一个条件或者一个选项出现在某一
道题当中。我们熟悉掌握基本知识即可。直线与圆的位置关系这几年出现的次数显
著增加，值得我们重视。直线与圆相交的弦长问题要结合点线距离和勾股定理（垂径
定理）。
2024高考预测：
1．已知圆 的半径为3，圆 的半径为7，若两圆相交，则两圆的圆心距可能是
（ ）
A．0 B．4 C．8 D．12
2．若与 轴相切的圆 与直线 也相切，且圆 经过点 ，则圆 的
直径为（ ）
A．2 B．2或 C． D． 或
3．已知有100个半径互不相等的同心圆，其中最小圆的半径为1，在每相邻的两个圆
中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为2，则这100个圆中最大圆的半径是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．100
4．已知动直线l的方程为 ， ， ，O为坐标原
点，过点O作直线l的垂线，垂足为Q，则线段PQ长度的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知两条直线 ， ，有一动圆（圆心和半径都在变
动）与 都相交，并且 被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动
圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．在平面直角坐标系xOy中，已知 ， ，动点 满足 ，
21
学科网（北京）股份有限公司直线l： 与动点Q的轨迹交于A，B两点，记动点
Q轨迹的对称中心为点C，则当 面积最大时，直线l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．求圆的切点弦方程可利用“同构”思想．如“已知圆 ，过 作
圆O的两条切线，切点记为A，B，求直线 方程”，部分解答如下：设 ，
，由 ，化简可得 ，又因为 ，所以
，同理可得 ，…．则直线 的方程为 ．
8．圆 ， ，过 作圆 的切线 ， ，过 作斜率为1的直线
与圆 交于点 （ 在 内），线段 上有一点 使 ，
则 的坐标为 ．
9．已知曲线 与曲线 ，长度为1的线段AB的两端点A、B
分别在曲线 、 上沿顺时针方向运动，若点A从点 开始运动，点B到达点
时停止运动，则线段AB所扫过的区域的面积为 .
10．已知点 ，定义 为 的“镜像距
离”.若点 在曲线 上，且 的最小值为2，则实数 的值为
.
10、椭圆、双曲线、抛物线★★★★★
新高考考情：
22
学科网（北京）股份有限公司考卷 题号 涉及知识点
2020 10 判断方程是否表示椭圆；双曲线定义的理解；
14 求直线与抛物线相交所得弦的弦长；
20211 5 椭圆定义及辨析；
14 根据抛物线方程求焦点或准线；根据抛物线上的点求标准方程；
20212 3 根据抛物线方程求焦点或准线；
13 由双曲线的离心率求参数的取值范围；根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程；
20221 11 根据抛物线方程求焦点或准线；判断直线与抛物线的位置关系；
求直线与抛物线相交所得弦的弦长；
16 椭圆中焦点三角形的周长问题；根据离心率求椭圆的标准方程；
20222 10 抛物线定义的理解；求直线与抛物线的交点坐标；
16 根据弦长求参数；由弦中点求弦方程或斜率；
20231 求椭圆的离心率或离心率的取值范围；由椭圆的离心率求参数的取值范围；
5
利用定义解决双曲线中焦点三角形问题；求双曲线的离心率或离心率的取值范围；
16
20232 根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围；椭圆中三角形（四边形）的面积；
5
求椭圆中的参数及范围；
抛物线定义的理解；根据焦点或准线写出抛物线的标准方程；求直线与抛物线的交点坐
10
标；与抛物线焦点弦有关的几何性质；
圆锥曲线，每年一大两小，椭圆、双曲线、抛物线都考了个遍！太稳定了！太重
要了！！全国卷注重考查基础知识和基本概念，综合一点的小题侧重考查圆锥曲线与
直线位置关系。数形结合很重要。椭圆的定义、标准方程、通经 、勾股定理、余
弦定理、设而不求、点差法
、焦点三角形面积 ；
双曲线的定义、标准方程、通经 、勾股定理、余弦定理、设而不求、点差法
、焦点到渐近线距离b、渐近线斜率、相似三角形、
焦点三角形面积 ；
折线和差最值要考虑用定义进行转化；求离心率问题得到 a,c的二次方程后可以等
式两边同时除 化简为e的二次方程.
抛物线的定义、标准方程、通经 、勾股定理、余弦定理、设而不求、点差法
、相似三角形、重心结论（
）、焦点弦的三种求法 （最常用
后边两种，要注意开口方向）、焦半径比值（A点在第一象限） ；开口
向上或向下的抛物线中切线问题可求导，求斜率； 以 为直径的圆与抛物线的准线
相切；
过点 作 垂直于准线，过点 作 垂直于准线，以 为直径的圆与抛物
线的弦 相切；以 为直径的圆与 轴相切；
23
学科网（北京）股份有限公司2024高考预测：
1．已知抛物线 ： 为抛物线 的焦点， 为抛物线 上的动点（不
含原点）， 的半径为 ，若 与 外切，则（ ）
A． 与直线 相切 B． 与直线 相切
C． 与直线 相切 D． 与直线 相切
2．已知点 、 ，动点 满足：直线 的斜率与直线 的斜率之
积为 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．下列结论正确的是（ ）
A. 若方程 表示椭圆，则实数k的取值范围是 ；
B. 双曲线 与椭圆 的焦点相同．
C. M是双曲线 上一点，点 ， 分别是双曲线左右焦点，若 ，则
或1．
D. 直线 与椭圆C： 交于P，Q两点，A是椭圆上任一点（与P，Q不
重合），已知直线AP与直线AQ的斜率之积为 ，则椭圆C的离心率为 ．
4．已知抛物线 的顶点为坐标原点 ，焦点 在 轴上，过点 的直线交 于
24
学科网（北京）股份有限公司两点，且 ，线段 的中点为 ，则直线 的斜率的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
5．已知 为椭圆 上不同的三点，直线
，直线 交 于点 ，直线 交 于点 ，若 ，则 （ ）
A．0 B． C． D．
6．已知直线 与双曲线 交于P，Q两点， 轴于点
H，直线 与双曲线C的另一个交点为T，则下列选项中错误的是（ ）
A． 且 B．
C． 为定值 D． 的最小值为2
7．勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，若椭圆 的一个焦点把长
轴分成长度分别为 的两段，且 恰好为一组勾股数，则 的一个标准方程为
. (写出满足条件的一个即可)
8．十九世纪初，我国数学家董祐诚在研究椭圆求周长时曾说：“椭圆求周旧无其术，
秀水朱先生鸿为言圆柱斜剖成椭圆，是可以勾股形求之．”也就是说可以通过斜截圆
柱法得到椭圆．若用一个与圆柱底面成60°的平面截该圆柱，则截得的椭圆的离心率为
．
9．抛物线的光学性质是：位于抛物线焦点处的点光源发出的每一束光经抛物线反射后
的反射线都与抛物线的对称轴平行．已知抛物线 的焦点为F，直线 ，
点P，Q分别是C，l上的动点，若Q在某个位置时，P仅存在唯一的位置使得
，则满足条件的所有 的值为 ．
10．设 是面积为1的等腰直角三角形， 是斜边 的中点，点 在 所在
25
学科网（北京）股份有限公司的平面内，记 与 的面积分别为 ， ，且 ．当 ，且
时， ；记 ，则实数 的取值范围为 ．
11、计数原理★★★★★
新高考考情：
年份 题号 详细知识点
2020 6 分组分配问题；
20211 8 独立事件的判断；
20221 5 实际问题中的组合计数问题；
20222 5 元素（位置）有限制的排列问题；相邻问题的排列问题；
13 两个二项式乘积展开式的系数问题；
20231 13 分类加法计数原理；实际问题中的组合计数问题；
20232 3 分步乘法计数原理及简单应用；实际问题中的组合计数问题；
通过对上表分析，我们发现这几年，这以内容考察得很散，几乎所有的基本知
识点都考了个遍，没有发现侧重哪点，往年的二项式定理出现较多，而新高考这几
年只出现了一次。排列组合考题的难度不大，无需投入过多时间（无底洞），注意
掌握好基本题型，处理好分配问题，排列问题，以及掌握好分类讨论思想即可！二
项式定理“通项问题”出现较多。赋值法不要忘记。
2024高考预测：
1．为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕，某高中举行“献礼二十大”活
动，高三年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名学生代表参加，活动结束后5名代表排成一排
合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有（ ）
种．
A．40 B．24 C．20 D．12
2．“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之
问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师．已知浙江大学、复
旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地，某班级有5位同
学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择的不同方法数共
有（ ）
A．120种 B．180种 C．240种 D．300种
3．2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭
州”，名为“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴
的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科
技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志
愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为（ ）
26
学科网（北京）股份有限公司A．50 B．36 C．26 D．14
4．“回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等，数学上
具有这样特征的一类数称为“回文数”､“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样
的正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的
“回文数”共有（ ）
A．100个 B．125个 C．225个 D．250个
5．小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密
码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（ ）
A．48 B．32 C．24 D．16
6．已知函数 （k，n为正奇
数）， 是 的导函数，则 （ ）
A． B．
C． D．
7．在 的二项展开式中， 称为二项展开式的第 项，其中r=0，
1，2，3，……，n．下列关于 的命题中，不正确的一项是（ ）
A．若 ，则二项展开式中系数最大的项是 ．
B．已知 ，若 ，则二项展开式中第2项不大于第3项的实数 的取值范围
是 ．
C．若 ，则二项展开式中的常数项是 ．
D．若 ，则二项展开式中 的幂指数是负数的项一共有12项．
27
学科网（北京）股份有限公司8．有7名运动员（5男2女）参加 三个集训营集训，其中 集训营安排5人，
集训营与 集训营各安排1人，且两名女运动员不在同一个集训营，则不同的安排
方案种数为（ ）
A．18 B．22 C．30 D．36
9．为推进体育教学改革和发展，提升体育教学质量中丰富学校体育教学内容，某市根
据各学校工作实际，在4所学校设立兼职教练岗位．现聘请甲、乙等6名教练去这4
所中学指导体育教学，要求每名教练只能去一所中学，每所中学至少有一名教练，则
甲、乙分在同一所中学的不同的安排方法种数为（ ）
A．96 B．120 C．144 D．240
10．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1
名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（ ）
A．48 B．54 C．60 D．72
12、统计★★★★
新高考考情：
年份 题号 详细知识点
2020 9 根据折线统计图解决实际问题；
20211 9 众数、平均数、中位数的比较；计算几个数据的极差、方差、标准差；
20212 9 计算几个数的众数、中位数、平均数；计算几个数据的极差、方差、标准差；
20221 5 实际问题中的组合计数问题；计算古典概型问题的概率；
13 两个二项式乘积展开式的系数问题；
20231 9 计算几个数的中位数、平均数；计算几个数据的极差、方差、标准差；
13 分类加法计数原理；实际问题中的组合计数问题；
20232 3 抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算；分步乘法计数原理及简单应用；
实际问题中的组合计数问题；
近年来，统计小题在考试中频繁出现，今年再次出现此类题目的概率极高。考
察的内容涵盖了多个方面，如频率分布表、直方图、抽样方法、样本平均数、中位
数、众数、百位数、方差、标准差、散点图、回归分析、独立性检验等。此外，还
包括正相关、负相关、完全相关、相关系数、样本中心点以及频率分布直方图和频
数分布表中的平均数和中位数等概念。虽然考察的内容较多，但考试难度并不大，
主要考察学生对相关考点的基本理解。因此，希望同学们能够充分掌握这些基本概
念，以免在考试时因不熟悉基本概念而失分。
2024高考预测：
1．某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位
数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为（ ）
A． B． C．8 D．
2．已知变量x，y之间的线性回归方程为 ，且变量x，y之间的一组相关数据
如表所示，
28
学科网（北京）股份有限公司x 2 4 6 8
y 5 8.2 13 m
则下列说法正确的是（ ）
A．
B．变量y与x是负相关关系
C．该回归直线必过点
D．x增加1个单位，y一定增加2个单位
3．为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取
初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每
天睡眠时间均值为8小时，方差为 ，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为
（ ）
A． B． C． D．
4．样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
5．某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的
比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的 分位
数为（ ）
A．93 B．93.5 C．94 D．94.5
6．下列关于统计概率知识的判断，正确的是（ ）
A．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分
别为 和 ，且已知 ，则总体方差
B．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数 越接近于1
C．已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则
D．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组： ；乙组：
，若这两组数据的第30百分位数､第50百分位数都分别对应相等，
则
7．为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三一班，二
29
学科网（北京）股份有限公司班各10名同学的体温记录（从低到高）：
高三一班：36.1，36.2， ，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位：℃），
高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7， ，37.1（单位：℃）
若这两组数据的第25百分位数、第90百分位数都分别对应相等，则 为（ ）
A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3
8．2023年10月31日，神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学
生对航天的热爱.某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成
绩的频率分布直方图如图所示，设这组样本数据的75%分位数为x，众数为y，则（
）
A． B．
C． D．
9．下图为2012年─2021年我国电子信息制造业企业和工业企业利润总额增速情况折
线图，根据该图，下列结论正确的是（ ）
A．2012年─2021年电子信息制造业企业利润总额逐年递增
B．2012年─2021年工业企业利润总额逐年递增
C．2012年─2017年电子信息制造业企业利润总额均较上一年实现增长，且其增速
30
学科网（北京）股份有限公司均快于当年工业企业利润总额增速
D．2012年─2021年工业企业利润总额增速的均值大于电子信息制造业企业利润总
额增速的均值
10．现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为 ，
方差为 ，乙组数据的平均数为 ，方差为 ．若将这两组数据混合成一组，则新的一
组数据的方差为（ ）
A． B． C． D．
13、概率小题★★★
新高考考情：
年份 题量 题号 难度 详细知识点
20221 3 5 0.85 实际问题中的组合计数问题；计算古典概型问题的概率；
20 0.65 独立性检验解决实际问题；计算条件概率；
20222 3 13 0.94 指定区间的概率；
19 0.65 利用对立事件的概率公式求概率；计算条件概率；
20231 3 21 0.65 求离散型随机变量的均值；利用全概率公式求概率；
20232 3 12 0.65 利用互斥事件的概率公式求概率；独立重复试验的概率问题；
这几年概率题出现的频率很高，几乎每年都有一题．主要考古典概型（与排列
组合相结合）和条件概率、相互独立事件的概率、全概率公式，难度不算大，相信
大家能拿得下来。
概率题近年来在数学考试中频繁出现，凸显了概率论的重要性及对学生逻辑思
维和问题解决能力的重视。概率题主要涉及古典概型、条件概率、相互独立事件的
概率和全概率公式等。古典概型要求确定样本空间和满足条件的事件数，进而计算
概率。条件概率涉及在某一事件已发生的条件下，另一事件发生的概率。相互独立
事件的概率是指多个事件互不影响，计算时可将各事件概率相乘。全概率公式用于
计算某事件在所有可能原因下的总概率，体现概率的加法原理。难度不算大，相信
同学们一定能拿得下来.
2024 高考预测：
1．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为 ，则这6个点
数的中位数为4的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表
示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示
“骰子向上的点数小于3”则（ ）
A．事件1与事件3互斥 B．事件1与事件2互为对立事件
C．事件2与事件3互斥 D．事件3与事件4互为对立事件
3．在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，促进城乡教育均
衡发展.某地区教育行政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲､乙､丙､丁4名教育专
家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排1名专
31
学科网（北京）股份有限公司家的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．“绿水青山，就是金山银山”，随着我国的生态环境越来越好，外出旅游的人越来
越多.现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金
山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩.
记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B为“两位游客选择的
景点不同”，则 （ ）
A． B． C． D．
5．甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出
一球放入乙箱中，以 ， 分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机
取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（ ）
A． ， 互斥 B． C． D．
6．甲袋中装有4个白球，2个红球和2个黑球，乙袋中装有3个白球，3个红球和2个
黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球.用 分别表
示甲袋取出的球是白球、红球和黑球，用B表示乙袋取出的球是白球，则（ ）
A． 两两不互斥 B．
C． 与B是相互独立事件 D．
7．在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是 和
，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达
优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取
出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（ ）
32
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
9．甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有 三个小区可
供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在
小区的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．教育部为发展贫困地区教育，在全国部分大学培养教育专业公费师范生，毕业后
分配到相应的地区任教．现将5名男大学生，4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所
学校去任教，则（ ）
A．甲学校没有女大学生的概率为
B．甲学校至少有两名女大学生的概率为
C．每所学校都有男大学生的概率为
D．乙学校分配2名女大学生，1名男大学生且丙学校有女大学生的概率为
14、函数的概念与基本初等函数★★★★★
新高考考情：
年份 题号 详细知识点
2020 7 对数型复合函数的单调性；
8 函数奇偶性的应用；根据函数的单调性解不等式；
20211 13 由奇偶性求参数；
20212 7 比较对数式的大小；
8 函数奇偶性的应用；函数的周期性的定义与求解；
14 函数奇偶性的定义与判断；基本初等函数的导数公式；
20221 7 比较指数幂的大小；用导数判断或证明已知函数的单调性；比较对数式的大
小；
12 抽象函数的奇偶性；函数对称性的应用；函数与导函数图象之间的关系；
20222 8 函数奇偶性的应用；由抽象函数的周期性求函数值；
9 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；求正弦（型）函数的对称轴及对称中
心；
利用正弦函数的对称性求参数；求sinx型三角函数的单调性；
20231 4 根据函数的单调性求参数值；判断指数型复合函数的单调性；
已知二次函数单调区间求参数值或范围；
10 对数的运算性质的应用；对数函数模型的应用（2）；由对数函数的单调性解不
等式；
11 函数奇偶性的定义与判断；函数极值点的辨析；
33
学科网（北京）股份有限公司15 根据函数零点的个数求参数范围；余弦函数图象的应用；
20232 4 函数奇偶性的应用；由奇偶性求参数；
6 由函数的单调区间求参数；
11 根据二次函数零点的分布求参数的范围；根据极值求参数；
主要考查：定义域、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性、平移、零点等，
分段函数是重要载体！绝对值函数也是重要载体！函数已经不是值得同学们“恐
惧”的了吧？零点问题数形结合很重要，抽象函数要重视。
牢记周期性和对称性的结论；注意单调性和奇偶性的关系；学会用特殊点巧解；
隐藏性质：奇函数在原点处有定义时， ；常见奇偶函数的特殊形式（总结
过的）；比较大小单调性和中间变量相结合，构造函数是底线。图像选择四部曲：
定义域奇偶性特殊点单调性（求导数），特殊点最关键。
1．已知 为奇函数，且 时， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若 为奇函数，则 的值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．-1或1
3．函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
4．下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
5．函数 的图象大数为（ ）
A． B．
34
学科网（北京）股份有限公司C． D．
6．函数 的单调递增区间是
A． B．
C． D．
7．已知函数 ，满足对任意x≠x，都有 0成立，
1 2
则a的取值范围是（ ）
A．a∈(0,1) B．a∈[ ,1) C．a∈(0, ] D．a∈[ ,2)
8．已知函数 的定义域为 ， 是偶函数， 是奇函数，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数 若函数 有四个不同的零点，则实数
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数 的定义域为 ， ， ， ，
若 ，则 （ ）
35
学科网（北京）股份有限公司A． B． C．2 D．4
15、函数与导数★★★★
新高考考情：
年份 题号 详细知识点
20211 7 求过一点的切线方程；利用导数研究函数图象及性质；
15 由导数求函数的最值（不含参）；
20221 7 比较指数幂的大小；用导数判断或证明已知函数的单调性；比较对数式的大小；
8 由导数求函数的最值（不含参）；
10 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；利用导数研究函数的零点；求已知函数
的极值点；
12 函数与导函数图象之间的关系；
15 求过一点的切线方程；求某点处的导数值；
20222 9 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；
14 求过一点的切线方程；
20231 4 根据函数的单调性求参数值；判断指数型复合函数的单调性；
已知二次函数单调区间求参数值或范围；
11 函数奇偶性的定义与判断；函数极值点的辨析；
20232 11 根据二次函数零点的分布求参数的范围；根据极值求参数；
6 由函数的单调区间求参数；
这几年的新高考试卷中，导数出现在小题已经是一种常态，而且一出就是两题或
者更多，有单独成题，也有出现在多选题中的一个选项。考察的面很广，初等函数
求导、简单复合函数的求导、切线方程、单调性、极值点、零点等都有考察。其中
重点考察了切线方程，利用导数研究函数的单调性。
2024高考预测：
1．已知函数 的图象在 处的切线与直线 垂直，则实
数 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知 ， ，直线 与曲线 相切，则 的最小
值是（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
3．若点 是曲线 上任意一点，则点 到直线 距离的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
4．设 ，若 为函数 的极大值点，则（ ）
36
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
5．设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系正确
的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知直线 与函数 的图象恰有两个切点，设满足
条件的 所有可能取值中最大的两个值分别为 和 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知 是定义在R上的偶函数， 是 的导函数，当 时，
，且 ，则 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
9．（多选）已知函数 ，下列命题正确的是（ ）
A．若 是函数 的极值点，则
B．若 是函数 的极值点，则 在 上的最小值为
C．若 在 上单调递减，则
37
学科网（北京）股份有限公司D．若 在 上恒成立，则
10．（多选）已知函数 ，将 的所有极值点按照由小到大的顺序
排列，得到数列 ，对于正整数n，则下列说法中正确的有（ ）
A． B．
C． 为递减数列 D．
多选题专攻篇
多选题专题训练1--函数与导数
年份 题号 难度系数 详细知识点
2020-2 12 0.65 基本（均值）不等式的应用
2022-1 10 0.65 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；
利用导数研究函数的零点；求已知函数的极值点；
2022-1 12 0.40 抽象函数的奇偶性；函数对称性的应用；
函数与导函数图象之间的关系；
2022-2 9 0.85 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；
求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；
利用正弦函数的对称性求参数；
求sinx型三角函数的单调性；
2023-1 0.65 对数的运算性质的应用；对数函数模型的应用
10 （2）；
由对数函数的单调性解不等式；
2023-1 11 0.65 函数奇偶性的定义与判断；函数极值点的辨析；
2023-2 11 0.65 根据二次函数零点的分布求参数的范围；
根据极值求参数；
1．设 是定义域为 的奇函数，且 的图象关于直线 对称，若
时， ，则（ ）
A． 为偶函数
38
学科网（北京）股份有限公司B． 在 上单调递减
C． 在区间 上有4046个零点
D．
2．已知函数 ， ，则（ ）
A．函数 为偶函数
B．函数 为奇函数
C．函数 在区间 上的最大值与最小值之和为0
D．设 ，则 的解集为
3．已知定义在 上的偶函数 ，满足 ，则下列结论正确的是
（ ）
A． 的图象关于 对称
B．
C．若函数 在区间 上单调递增，则 在区间 上单调递增
D．若函数 在区间 上的解析式为 ，则 在区间 上的
解析式为
4．已知函数 ，下列命题正确的是（ ）
A．若 是函数 的极值点，则
39
学科网（北京）股份有限公司B．若 是函数 的极值点，则 在 上的最小值为
C．若 在 上单调递减，则
D．若 在 上恒成立，则
5．e是自然对数的底数， ，已知 ，则下列结论一定正确
的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
6．已知函数 ，对于任意的实数 ， ，下列结论一定成立的有
（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
7．已知 ，e是自然对数的底，若 ，则 的取值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知定义在 上的单调递增的函数 满足：任意 ，有
， ，则（ ）
A．当 时，
B．任意 ，
C．存在非零实数 ，使得任意 ，
D．存在非零实数 ，使得任意 ，
40
学科网（北京）股份有限公司9．已知定义在 上的函数 ，对于给定集合 ，若 ，当 时都
有 ，则称 是“ 封闭”函数.则下列命题正确的是（ ）
A． 是“ 封闭”函数
B．定义在 上的函数 都是“ 封闭”函数
C．若 是“ 封闭”函数，则 一定是“ 封闭”函数
D．若 是“ 封闭”函数 ，则 不一定是“ 封闭”函数
10．定义：在区间 上，若函数 是减函数，且 是增函数，则称
在区间 上是“弱减函数”.根据定义可得（ ）
A． 在 上是“弱减函数”
B． 在 上是“弱减函数”
C．若 在 上是“弱减函数”，则
D．若 在 上是“弱减函数”，则
41
学科网（北京）股份有限公司多选题专题训练2--三角函数与解三角形
知识模块 题号 难度系数 详细知识点
2020 11 0.65 由图象确定正（余）弦型函数解析式；
20211 10 0.85 逆用和、差角的余弦公式化简、求值；
二倍角的余弦公式；数量积的坐标表示；
坐标计算向量的模；
20222 9 0.85 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；
求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；
利用正弦函数的对称性求参数；
求sinx型三角函数的单调性；
1．已知函数 是 的一个极值点， 是
与其相邻的一个零点，则（ ）
A． B．
C．直线 是函数 的对称轴 D．
2．已知函数 ，则（ ）
A． B． 的最小正周期为
C． 在 上单调递减 D． 在 上单调递增
3．已知函数 ，下列结论中正确的有（ ）
A．若 ，则 是 的整数倍
B．函数 的图象可由函数 的图象上所有点的纵坐标不变，
横坐标变为原来的 ，再向左平移 单位得到
C．函数 的图象关于点 对称
42
学科网（北京）股份有限公司D．函数 在 上单调递增
4．已知 ，下列结论正确的是（ ）
A． 的最小正周期为
B．把 的图象向左平移 个单位长度，得到的图象关于 轴对称
C．若 在区间 上的最大值是 ，则 的最小值为
D．若 ，则
5．已知函数 ，则以下说法中正确的是（ ）
A． 的最小正周期为
B． 的值域为
C． 为奇函数
D．若 在区间 上单调，则 的最大值为
6．（多选）函数 （ ， ， ）的部分图象如图所示，
下列说法正确的是（ ）
A．函数 的周期是
43
学科网（北京）股份有限公司B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 在 上单调递减
D．该函数的图象可由 的图象向左平行移动 个单位长度得到
7．关于函数 ，下列选项正确的有（ ）
A． 为偶函数
B． 在区间 上单调递增
C． 的最小值为2
D． 在区间 上有两个零点
8．已知函数 ，则下列结论正确的为（ ）
A． 的最小正周期为
B． 的图象关于 对称
C． 的最小值为
D． 在区间 上单调递增
9．已知 是 的导函数（ ）
A． 是由 图象上的点横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的
曲线向左平移 得到的
44
学科网（北京）股份有限公司B． 是由 图象上的点横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到
的曲线向右平移 得到的
C． 的对称中心坐标是
D． 是 的一条切线方程.
10．若函数 （ ）的最小正周期为 ，则（ ）
A． B． 在 上单调递减
C． 在 内有5个零点 D． 在 上的值域为
45
学科网（北京）股份有限公司多选题专题训练3--空间向量与立体几何
年份 题号 难度系数 详细知识点
20211 12 0.15 求空间向量的数量积；空间向量的坐标表示；
20212 10 0.85 求异面直线所成的角；证明线面垂直；
线面垂直证明线线垂直；
20221 9 0.85 求异面直线所成的角；求线面角；
20222 11 0.65 锥体体积的有关计算；证明线面垂直；
20231 正棱锥及其有关计算；多面体与球体内切外接问
12 0.40
题；
20232 圆锥表面积的有关计算；锥体体积的有关计算；二
9 0.65 面角的概念及辨析；由二面角大小求线段长度或距
离；
1．设 ， 为不同的直线， ， 为不同的平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ， ，则
2．已知正方体 ，则（ ）
A．直线 与 所成的角为 B．直线 与 所成的角为
C．直线 与平面 所成的角为 D．直线 与平面ABCD所成的角为
3．如图，在矩形AEFC中， ，EF=4，B为EF中点，现分别沿AB、BC将
ABE、 BCF翻折，使点E、F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥P-ABC，则（
△） △
A．三棱锥 的体积为
46
学科网（北京）股份有限公司B．直线PA与直线BC所成角的余弦值为
C．直线PA与平面PBC所成角的正弦值为
D．三棱锥 外接球的半径为
4．已知平面 平面 ，B，D是l上两点，直线 且 ，直线
且 ．下列结论中，错误的有（ ）
A．若 ， ，且 ，则ABCD是平行四边形
B．若M是AB中点，N是CD中点，则
C．若 ， ， ，则CD在 上的射影是BD
D．直线AB，CD所成角的大小与二面角 的大小相等
5．如图，四边形 为正方形， 平面 ， ，记
三棱锥 ， ， 的体积分别为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
47
学科网（北京）股份有限公司6．如图，在棱长为1的正方体 中，P为棱 的中点，Q为正方形
内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是( )
A．若 平面 ，则动点Q的轨迹是一条线段
B．存在Q点，使得 平面
C．当且仅当Q点落在棱 上某点处时，三棱锥 的体积最大
D．若 ，那么Q点的轨迹长度为
7．如图，已知直四棱柱ABCD-EFGH的底面是边长为4的正方形， ，点M为
CG的中点，点P为底面EFGH上的动点，则（ ）
A．当 时，存在点P满足
B．当 时，存在唯一的点P满足
C．当 时，满足BP⊥AM的点P的轨迹长度为
48
学科网（北京）股份有限公司D．当 时，满足 的点P轨迹长度为
8．下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制
《授时历》时所做的天文计算．图中的 ， ， ， 都是以O为圆心的圆弧，
CMNK是为计算所做的矩形，其中M，N，K分别在线段OD，OB，OA上， ，
．记 ， ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
9．三棱锥 中，平面 平面ABC， ，
，则（ ）
A．
B．三棱锥 的外接球的表面积为
C．点A到平面SBC的距离为
D．二面角 的正切值为
49
学科网（北京）股份有限公司10．在正三棱柱 中， ，点 满足 ，其中
， ，则（ ）
A．当 时， 的周长为定值
B．当 时，三棱锥 的体积为定值
C．当 时，有且仅有一个点 ，使得
D．当 时，有且仅有一个点 ，使得 平面
多选题专题训练4--平面解析几何
知识模块 题量 题号 难度系数 详细知识点
2020 3 10 0.65 二元二次方程表示的曲线与圆的关系；
判断方程是否表示椭圆；
双曲线定义的理解；
20211 11 0.65 切线长；
直线与圆的位置关系求距离的最值；
20212 11 0.85 点与圆的位置关系求参数；
判断直线与圆的位置关系；
20221 4 11 0.65 根据抛物线方程求焦点或准线；
判断直线与抛物线的位置关系；
求直线与抛物线相交所得弦的弦长；
20222 10 0.65 数量积的坐标表示；
已知两点求斜率；
抛物线定义的理解；
求直线与抛物线的交点坐标；
20232 抛物线定义的理解；根据焦点或准线写出抛物线
10 0.65 的标准方程；求直线与抛物线的交点坐标；与抛
物线焦点弦有关的几何性质；
1．已知直线 与圆 ，点 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相
离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C
50
学科网（北京）股份有限公司相切
2．已知 ，则下述正确的是（ ）
A．圆C的半径 B．点 在圆C的内部
C．直线 与圆C相切 D．圆 与圆C相交
3．已知实数x，y满足方程 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最大值为 B． 的最小值为0
C． 的最大值为 D． 的最大值为
4．已知曲线 .（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
5．双曲线C的两个焦点为 ，以C的实轴为直径的圆记为D，过 作D的切线与
C交于M，N两点，且 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知O为坐标原点，过抛物线 焦点F的直线与C交于A，B两点，
其中A在第一象限，点 ，若 ，则（ ）
51
学科网（北京）股份有限公司A．直线 的斜率为 B．
C． D．
7．过椭圆 的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点， ， 是椭圆的左、右
焦点，A，B是椭圆的左、右顶点，则下列说法正确的是（ ）
A． 周长的最小值为18
B．四边形 可能为矩形
C．若直线PA斜率的取值范围是 ，则直线PB斜率的取值范围是
D． 的最小值为-1
8．已知O为坐标原点，点 在抛物线 上，过点 的直线
交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
9．平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西
尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系 中，
， ，动点P满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A．点 的横坐标的取值范围是
B． 的取值范围是
C． 面积的最大值为
52
学科网（北京）股份有限公司D． 的取值范围是
10．已知抛物线 的焦点为F，抛物线C上存在n个点 ， ， ， （
且 ）满足 ，则下列结论中正
确的是（ ）
A． 时，
B． 时， 的最小值为9
C． 时，
D． 时， 的最小值为8
53
学科网（北京）股份有限公司多选题专题训练5--统计板块
年份 题号 难度系数 详细知识点
2020 9 0.85 根据折线统计图解决实际问题；
20211 9 0.94 平均数、中位数、极差、标准差；
20212 9 0.85 中位数、平均数、极差、标准差；
20231 9 0.65 计算几个数的中位数；
计算几个数的平均数；
计算几个数据的极差、方差、标准差；
20232 12 0.65 利用互斥事件的概率公式求概率；
独立事件的乘法公式；
独立重复试验的概率问题；
1．有一组样本数据 ， ，…， ，由这组数据得到新样本数据 ， ，…， ，
其中 ( 为非零常数，则（ ）
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
2．已知离散型随机变量 服从二项分布 ，其中 ，记 为奇数
的概率为 ， 为偶数的概率为 ，则下列说法中正确的有（ ）
A． B． 时，
C． 时， 随着 的增大而增大 D． 时， 随着 的增大而减小
3．在一次全市视力达标测试后，该市甲乙两所学校统计本校理科和文科学生视力达标
率结果得到下表：
甲校理科
甲校文科生 乙校理科生 乙校文科生
生
达标率 60% 70% 65% 75%
定义总达标率为理科与文科学生达标人数之和与文理科学生总人数的比，则下列说法
中正确的有（ ）
A．乙校的理科生达标率和文科生达标率都分别高于甲校
B．两校的文科生达标率都分别高于其理科生达标率
C．若甲校理科生和文科生达标人数相同，则甲校总达标率为65%
D．甲校的总达标率可能高于乙校的总达标率
54
学科网（北京）股份有限公司4．下列命题中，正确的命题的序号为（ ）
A．已知随机变量 服从二项分布 ，若 ，则
B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变
C．设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则
D．某人在10次射击中，击中目标的次数为 ，则当 时概率最
大
5．某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位：kg）
全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（ ）
A．频率分布直方图中a的值为0.07
B．这100名学生中体重低于60kg的人数为60
C．据此可以估计该校学生体重的第78百分位数约为62
D．据此可以估计该校学生体重的平均数约为62.5
6．已知事件A，B满足 ， ，则（ ）
A．若 ，则 B．若A与B互斥，则
C．若A与B相互独立，则 D．若 ，则A与B相互独立
7．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率
为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车
床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，则下
列结论正确的是（ ）
A．该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.08
B．该零件是次品的概率为0.03
55
学科网（北京）股份有限公司C．如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为0.98
D．如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为
8．某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到 ， ， 三家企业开展“新冠肺炎”防护
排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（ ）
A．所有不同分派方案共 种
B．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种
C．若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到 企业，则所有不同分派方案共
12种
D．若 企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种
9．为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据(见下表)：
x 1 2 3 4 5
y 0.5 0.8 1 1.2 1.5
假设经验回归方程为 ，则（ ）
A．
B．当 时，y的预测值为2.2
C．样本数据y的40%分位数为0.8
D．去掉样本点 后，x与y的样本相关系数r不变
10．信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为 ，且
，定义X的信息熵 .（ ）
A．若n=1，则H(X)=0
B．若n=2，则H(X)随着 的增大而增大
C．若 ，则H(X)随着n的增大而增大
D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为 ，且
56
学科网（北京）股份有限公司，则H(X)≤H(Y)
57
学科网（北京）股份有限公司命题猜想篇
1.简单几何体的表面积和体积
新课标卷中的小题基本上都是关于几何体的表面积体积问题，从不避讳，不怕重复，
需要考生特别注意。空间几何体表面积和体积的考查实质要明确空间几何体的结构特征，
并能进一步度量和计算长度、表面积、体积等。为此，考前特意为大家准备了这一微专题，
希望能唤起大家对相应问题的解决方法。
解答空间几何体表面积与体积问题的基本方法
(1)空间几何体表面积的求法
①旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．
②多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．
(2)空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
①直接利用公式进行求解．
②用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
考向1 棱柱、棱锥、棱台的表面积
Ⅰ、棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个
面的面积之和．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和
S =S +S
Ⅱ、棱柱表面积： 表面积 侧面积 底面积；其中侧面为平行四边形，底面为多边形
S =S +S
Ⅲ、棱锥表面积： 表面积 侧面积 底面积，其中侧面为三角形，底面为多边形
S =S +S
Ⅳ、棱台的表面积： 表面积 侧面积 底面积，其中侧面为梯形，底面为多边形，
1
S = (S +S )×高
梯形 2 上底 下底
1.正多面体统称为柏拉图体．若连接某正方体ABCDABCD 的相邻面的中心，可以得到
1 1 1 1
4
一个新的体积为 的柏拉图体 ．则（ ）
3 Ω
A．Ω是正六面体
B．正方体ABCDABCD 的边长为2
1 1 1 1
3
C． 与正方体 的表面积之比是
ABCDABCD
Ω 1 1 1 1 6
D．平面ACC
1
A
1
与Ω相交所得截面的面积是 2
【答案】A
【解析】对于A，如图，Ω是各棱长均相等的正八面体，所以A错误；
对于B，设正方体ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
的边长为a，Ω是正八面体，且NGMH 是底面是对角线
58
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司a 1 1 a 1 4
长为 的正方形，上下两个四棱锥的高都为 ，则 的体积为 aa 2 a3 ，
a 2 Ω 3 2 2 6 3
所以a2，所以B正确；
对于C，正方体ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
的表面积是62224，Ω的各个侧面的棱长都为 2等
1 3 4 3 3
边三角形，所以 的表面积是8 2 2 4 3，所以 ，所以C正确；
Ω 2 2 24 6
对于D，如图平面ACC
1
A
1
与Ω相交所得截面EQFP，P、Q分别是HM、NG的中点，
且EQ、QF、FP、PE相等，EQ//FP、QF//PE，四边形EQFP是菱形，EF 2，PQ 2，
1
其面积为 2 2 2，所以D正确．
2
故选：BCD.
2．已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为 ，则正三棱台的侧面积
与底面面积之和 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．以上都不是
【答案】A
【解析】
由题，正三棱台侧棱 ，
正三棱台侧面为等腰梯形，侧面高 ，
， ，
故选：A
考向2 棱柱、棱锥、棱台的体积
Ⅰ、柱体的体积公式：V =Sh．
棱柱
Ⅱ、锥体的体积公式： ．
59
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司Ⅲ、台体的体积公式 ．
3．如图，在正方体 中， 是 的中点，平面 将正方体分成体积分
别为 ， （ ） 的两部分，则
【答案】
【解析】取 的中点 ，连 ，因为 平面A B C D ，故 平行于平面 与面
1 1 1 1
A B C D 的交线，又 分别为 的中点，易知 ，即平面 平
1 1 1 1
面 ，故平面 分正方体为两部分，
设正方体的边长为2，则正方体的体积为8，
，
故 ,
故答案为： .
4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水
库水位为海拔148．5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157．5m时，相应水面的
面积为180.0km2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔
148．5m上升到157．5m时，增加的水量约为（ ）（ 7 2.65，棱台体积公式
1
V h SS SS ，其中 ， 分别为棱台的上下底的面积， 是棱台的高）
3 S S h
A．1.0109m3 B．1.2109m3
C．1.4109m3 D．1.6109m3
【答案】C
60
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【解析】依题意可知棱台的高为MN 157.5148.59(m)，所以增加的水量即为棱台的体
积V ．棱台上底面积S 140.0km2 140106m2，下底面积S180.0km2 180106m2，
1 1
V h SS SS 9 140106180106 1401801012
∴
3 3
3 32060 7 106 96182.65107 1.437109 1.4109(m3)．
故选：C．
考向3 圆柱、圆锥、圆台的表面积
Ⅰ、圆柱的表面积
①圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r，母线
长 ，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr，宽等于圆柱侧面的母线长 （也是高），
由此可得S =C =2πr ．
圆柱侧
②圆柱的表面积： ．
Ⅱ、圆锥的表面积
①圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面
半径为r，母线长为 ，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长 C=πr，半径等于圆锥侧面
的母线长为 ，由此可得它的侧面积是 ．
②圆锥的表面积：S圆锥表 ．
Ⅲ、圆台的表面积
①圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、
下底面半径分别为r＇、r，母线长为 ，那么这个扇形的面积为 ，即圆台的侧面
积为S = ．
圆台侧
②圆台的表面积： ．
5．圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60°，底面圆的半径为8，则圆锥的侧面积为（ ）
61
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设圆锥的半径为r，母线长为l，则 ，
由题意知， ，解得： ，所以圆锥的侧面积为 .
故选：A.
6．某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径15cm，高10cm，加工方法为
在底面中心处打一个半径为rcm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表
面积最大，则r的值应设计为（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】D
【解析】大圆柱表面积为
小圆柱侧面积为 ，上下底面积为
所以加工后物件的表面积为 ，当 时表面积最大.
故选：D
7．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 ，侧面积分别为 和 ，
体积分别为 和 ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设母线长为 ，甲圆锥底面半径为 ，乙圆锥底面圆半径为 ，
则 ，所以 ，
又 ，则 ，所以 ，
所以甲圆锥的高 ，
62
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司乙圆锥的高 ，所以 .
故选：C.
考向4 圆柱、圆锥、圆台的体积
Ⅰ、圆柱的体积公式
圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是V =Sh=πr2h．
圆柱
Ⅱ、圆锥的体积公式
1
V Sh
圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积 圆锥 3 ；如果底面
1
V r2h
积半径是r，用πr2表示S，则 圆锥 3 ．
Ⅲ、圆台的体积公式
圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r＇、r，高是h，那么它的体积是
1 1
V h(S SSS) h(r2 rrr2)
圆台 3 3 ．
8．如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上､下底面的半径分别为3和4，球的表面积为
，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为圆台外接球的表面积 ，所以球的半径 ，
设圆台的上､下底面圆心分别为 ，在上､下底面圆周上分别取点 ，
连接 ，如图，
63
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司因为圆台上､下底面的半径分别为3和4，所以 ， ，
所以 ， ,所以 ，
所以圆台体积 .
故选：D.
9．如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），已知该扇环的面积为 ，两段圆弧
所在圆的半径分别为3和6，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圆台的侧面展开图是一扇环，设该扇环的圆心角为 ，
则其面积为 ，解得 ，
所以扇环的两个圆弧长分别为 和 ，
设圆台上下底面的半径分别为 ，高为 ，所以 ，解得 ，
，解得 ，作出圆台的轴截面，如图所示：
图中 ， ，过点 向 作垂线，垂足为 ，则
，
所以圆台的高 ，则上底面面积 ， ，
由圆台的体积计算公式可得： .
故选：A.
10．已知正四棱台 的上､下底面边长分别为 和 ，且 ，则该棱
台的体积为（ ）
64
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对正四棱台 ，连接 ，取 中点分别为 ，连
接 ，如下所示：
因为 为正四棱台，则四边形 均为正方形，且 垂直于上
下底面， ，
易知 // ， ，故四边形 为平行四边形，则 // ，且
，
因为 ，则 ，又 ，且 ，
由 ，即 ，解得 ；
由 面 ， 面 ，则 ；
则 ，
又正方形 的面积为 ，正方形 的面积为 ，
故正四棱台 的体积 .
故选：B.
2.每年必考的抽象函数
抽象函数问题是考查学生数学抽象素养的有效载体，这几年，新高考数学试卷中每年
都出现了抽象函数问题，题目常涉及到函数的基本性质(奇偶性、周期性、对称性、单调性
等)、函数图像、不等式、复合函数、导函数等基本内容，同时还蕴含着数形结合、函数与
方程、化归等数学思想.由于抽象函数仅仅给出函数某种性质或满足某种关系，学生在解决
此类问题时，常常感到束手无策、不知所措.因此，在考前我们有必要把这种抽象函数概括
总结清楚。
一、 近几年抽象函数考情分析
65
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司年份 题号 详细知识点 类型
2020-1 8 函数奇偶性的应用； 函数的基本性质相互转化
根据函数的单调性解不等式；
2020-2 8 函数奇偶性的应用； 抽象函数与不等式的综合性
根据函数的单调性解不等式； 问题
2021-2 8 函数奇偶性的应用； 常规赋值法与图像法
函数的周期性的定义与求解；
2022-1 12 抽象函数的奇偶性；函数对称性的应 常规赋值法与图像法
用；
函数与导函数图象之间的关系；
2023-1 11 函数奇偶性的定义与判断； 抽象函数与导数的综合性问
函数极值点的辨析； 题
二、常见函数运算法则可构造特殊函数模型
模型1：一次函数模型
若f(x+y)=f(x)+f(y)+b,则可构造f(x)=kx- b.
当f(x+y)=f(x)+f(y)时，可构造f(x)=kx.
模型2：二次函数模型
若f(x+y)=f(x)+f(y)+2axy- c,则可构造f(x)=ax2 +bx+c.
模型3：指数函数模型
f(x+y)=f(x)f(y) f(x)=ax (a>0且a≠1）
若 或 ,则可构造 .
模型4：对数函数模型
f(xy)=f(x)+f(y)(xy≠0)
若 或 则可构造
f(x)=log x(a>0且a≠1）.
a
模型5：余弦函数模型
若f(x+y)+f(x- y)=2f(x)f(y),则可构造f(x)=cosωx.
模型6：正切函数模型
f(x)±f(y)
若f(x± y)= ,则可构造f(x)=tanωx.
1∓f(x)f(y)
可以看出，如果能够根据抽象函数的运算性质找到函数模型，把抽象函数问题具体化，
就能够很容易地破解此类问题.
三、解题分析
1．已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数的基本性质相互转化
因为函数 为偶函数，则 ，可得 ，
因为函数 为奇函数，则 ，所以， ，
所以， ，即 ，
故函数 是以 为周期的周期函数，
因为函数 为奇函数，则 ，
66
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司故 ，其它三个选项未知.
故选：B.
2.已知函数 的定义域为R，且 ，则
（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【解析】[方法一]：赋值加性质
因为 ，令 可得， ，所以
，令 可得， ，即 ，所以函数 为偶函
数，令 得， ，即有 ，从
而可知 ， ，故 ，即
，所以函数 的一个周期为 ．因为 ，
， ， ，
，所以
一个周期内的 ．由于22除以6余4，
所以 ．故选：A．
[方法二]：构造特殊函数
由 ，联想到余弦函数和差化积公式
，可设 ，则由方法一中
知 ，解得 ，取 ，
所以 ，则
，所
以 符合条件，因此 的周期 ， ，且
，所以
，
67
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司由于22除以6余4，
所以 ．故选：A．
3.已知函数 的定义域为 ， ，则（ ）．
A． B．
C． 是偶函数 D． 为 的极小值点
【答案】ABC
【解析】[方法一]：赋值加性质
因为 ，
对于A，令 ， ，故 正确.
对于B，令 ， ，则 ，故B正确.
对于C，令 ， ，则 ，
令 ，
又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故 正确，
对于D，不妨令 ，显然符合题设条件，此时 无极值，故 错误.
[方法二]：构造特殊函数
因为 ，
对于A，令 ， ，故 正确.
对于B，令 ， ，则 ，故B正确.
对于C，令 ， ，则 ，
令 ，
又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故 正确，
对于D，当 时，对 两边同时除以 ，得到
，
故可以设 ，则 ，
当 肘， ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
68
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司故 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 为偶函数，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
显然，此时 是 的极大值，故D错误.
故选： .
四、考前训练
1.（多选）已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意a，b∈ R都满足
f(ab)=af(b)+bf(a)，则下述正确的是( )
A. f(0)=0 B. f(1)=1
1 1
C. f(x)是奇函数 D. 若f(2)=2，则f(- )=
2 2
【答案】ACD
【解析】对a，b取特殊值代入已知表达式即可求解
令a=b=0，则f(0)=0f(0)+0f(0)=0，故A正确;
令a=b=1，则f(1)=1f(1)+1f(1)=2f(1)，则f(1)=0，故B错误;
令a=b=- 1，则f(1)=- f(- 1)- f(- 1)=- 2f(- 1)，所以f(- 1)=0，
又令a=- 1，b=x，则f(- x)=- f(x)+xf(- 1)=- f(x)+0=- f(x)，
所以f(x)是奇函数，故C正确;
1 1 1 1 1
令a=2，b=- ，则f(- 1)=f [2×(- )]=2f(- )- f(2)=2f(- )- 1=0，
2 2 2 2 2
1 1
所以f(- )= ，故D正确;
2 2
2.（多选）已知f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x)在区间(0,+∞)内单调递减，
f(- 3)=0，则( )
A. f(3)=0 B. f(x)在R上单调递减
C. f(0)=0 D. f(x)≥0的解集为(- ∞,- 3]∪[0,3]
【答案】ACD
【解析】因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(3)=- f(- 3)=0，f(0)=0，A，C项
正确；f(x)的图像大致如下图所示，
69
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司由图得，B项错误，D项正确．
3.已知函数f(x)对任意x∈ R都有f(x+4)=f(x)- f(2)，若y=f(x+1)的图象关于直线
f (x )- f (x )
x=- 1对称，且对任意的，x ,x ∈[0,2]，当x ≠x 时，都有 1 2 <0，则下列结
1 2 1 2 x - x
2 1
论正确的是( )
1 1 1 1 1 1
< < < <
A. f(- 3) f(4) (11) B. f(- 3) (11) f(4)
f f
2 2
1 1 1 1 1 1
< < < <
C. (11) f(- 3) f(4) D. f(4) (11) f(- 3)
f f
2 2
【答案】C
【解析】因为f(x)是定义在实数集R上的函数，且y=f(x+1)的图象关于直线x=- 1对称，
则函数y=f(x)的图象关于x=0对称，所以函数y=f(x)是偶函数，
又对任意x∈ R都有f(x+4)=f(x)- f(2)，
令x=- 2，则f(2)=f(- 2)- f(2)=f(2)- f(2)=0，
所以对任意x∈ R都有f(x+4)=f(x)，
即得函数y=f(x)是以4为周期的偶函数，
11 11 3
所以f(- 3)=f(- 3+4)=f(1)，f(4)=f(0)，f( )=f( - 4)=f( )，
2 2 2
f(x )- f(x ) f(x )- f(x )
因为对任意的x ，x ∈[0,2]，当x ≠x 时， 1 2 <0， 1 2 >0，
1 2 1 2 x - x x - x
2 1 1 2
则当x∈[0,2]时，y=f(x)为增函数，
3 3
因为0<1< <2，所以f(0)0得：x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t= ，则y=lnt，
∵x∈(−∞,−2)时,t= 为减函数；x∈(4,+∞)时,t= 为增函数；
y=lnt为增函数，故函数f(x)=ln( )的单调递增区间是(4,+∞)
7．【答案】C
【解析】∵ 满足对任意x
1
≠x
2
，都有 0成立，∴ 在R上是减函数，
∴ ，解得 ，∴a的取值范围是 ．
8．【答案】B
【解析】因为函数 为偶函数，则 ，即
，①
又因为函数 为奇函数，则 ，即
191
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，②
联立①②可得 ，
由基本不等式可得 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
故函数 的最小值为 .
9．【答案】A
【解析】
依题意，函数 有四个不同的零点，即 有四个解，
转化为函数 与 图象由四个交点，
由函数函数 可知，
当 时，函数为单调递减函数， ；
当 时，函数为单调递增函数， ；
当 时，函数为单调递减函数， ；
当 时，函数为单调递增函数， ；
结合图象，可知实数 的取值范围为 .
10．【答案】A
【解析】令 ，得 ，即 ，
令 ，得 ，得 ，所以函数 为偶函数，
令 ，得 ，
令 ，得 ，
， 或 ，
若 ，解得 与已知 矛盾，
，即 ，解得 ， ，
192
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司令 ，得 ，
， ， ，
，所以函数 的周期为4.
.
15、函数与导数★★★★★
1．【答案】A
【解析】由 ，得 ，
因为函数 的图象在 处的切线与直线 垂直，
所以 ，则 ．
2．【答案】D
【解析】对 求导得 ，由 得 ，则 ，
即 ，
所以 ，当且仅当 时取等号．
3．【答案】C
【解析】过点 作曲线 的切线，当切线与直线 平行时，点 到直
线 距离的最小.设切点为 ， ，
所以，切线斜率为 ，由题知 得 或 （舍），
所以， ，此时点 到直线 距离 .
4．【答案】D
【解析】若 ，则 为单调函数，无极值点，不符合题意，故 .
有 和 两个不同零点，且在 左右附近是不变号，在 左右附近是变号的.
依题意，a为函数 的极大值点， 在 左右附近都是小于零
的.
当 时，由 ， ，画出 的图象如下图所示：
193
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司由图可知 ， ，故 .
当 时，由 时， ，画出 的图象如下图所示：
由图可知 ， ，故 .
综上所述， 成立.
5．【答案】D
【解析】因为 ， ， ，
所以只要比较
的大小即可，令 ，则 ，所以 在
上递增，
所以 ，所以 ，所以 ，即 ，
令 ，则 ，
因为 在 上为减函数，且 ，
所以当 时， ，所以 在 上为减函数，
因为 ， ，
要比较 与 的大小，只要比较 与 的大小，
令 ，则 ，
所以 在上递增，所以 ，
所以当 时， ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以当 时， ，
所以 在 上递增，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以
6．【答案】B
194
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【解析】 对于任意 ， ， ， 的范围恒定，
只需考虑 的情况，设 对应的切点为 ， ， ，
设 对应的切点为 ， ， ，
， ， ，
只需考虑 ， ，其中 的情况，
则 ，
，其中 ，
；
又 ， ，
， ；
令 ，则 ，
在 上单调递增， ，
设 ，
，又 ， ，
；
令 ，则 ，
令 ，则 ，
在 上单调递增，
，
195
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司即 ， 在 上单调递减， ，
， ；
综上所述： .
7．【答案】B
【解析】令 ，
因为 是定义在R上的偶函数，所以 ，
则 ，
所以函数 也是偶函数， ，
因为当 时， ，所以当 时， ，
所以函数 在 上递增，不等式 即为不等式 ，
由 ，得 ，所以 ，所以 ，解得 或 ，
所以 的解集是 .
8．【答案】C
【解析】因为 ， ， ，所以构造函数 ，
因为 ，由 有： ，
由 有： ，所以 在 上单调递减，
因为 ， ， ,
因为 ，所以 ，故A，B，D错误.
9．【答案】ABC
【解析】对于A，由 ，得 ，因为 是函数
的极值点，所以 ，得 ，经检验 是函数 的极小值点，所
以A正确，
对于B，由选项A，可知 ，则 ，由 ，得
196
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司或 ，由 ，得 ，所以 在 和 递增，在
上递减，所以当 时， 时， 取得最小值 ，所以
B正确，
对于C，因为 在 上单调递减，所以 ，即 ，得
在 上恒成立，令 ，则 ，所以
在 单调递增，所以 ，即 ，所以 ，所以C正确，
对于D，由 在 上恒成立，得 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，令 ， ，则
，所以 上单调递增，所以
，所以 ，所以D错误，
10．【答案】AC
【解析】 的极值点为 在 上的变号零点.
即为函数 与函数 图像在 交点的横坐标.
又注意到 时， ， 时， ，
， 时， .据此可将两函数图像画在同一
坐标系中，如下图所示.
A选项，注意到 时， ，
， .
结合图像可知当 ， .
当 ， .故A正确；
197
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司B选项，由图像可知 ，则 ，故B错误；
C选项， 表示两点 与 间距离，由图像可知，
随着n的增大，两点间距离越来越近，即 为递减数列.故C正确；
D选项，由A选项分析可知， ，
又结合图像可知，当 时， ，即此时 ，
得 在 上单调递增，
则 ，故D错误.
多选题专题训练1--函数与导数
1．AB
【解析】因为 的图象关于直线 对称，
所以将 的图象向右平移 个单位得 的图象关于
轴对称，
再将 的横坐标扩大为原来的2倍得 的图象关于 轴对称，即 为偶
函数，A正确；
由题意可得当 时令 ，则
在 恒成立，
198
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以 单调递减，
又 ，所以当 时 ， 单调递增，当 时， ，
单调递减，
因为 是奇函数，所以 在 上单调递减，B正确；
由A可得 关于 对称，结合 是奇函数可得 ，
所以 ，即 是以 为周期的周期函数，
因为 ，结合 单调性和关于 对称可得 在区间 上有2个零点，
又因为 是定义在 上的奇函数， ，所以 在区间 上有6个零点，
所以 在区间 上有3035个零点，C错误；
因为 ， ， ，
，
所以 ，D错误；
故选：AB
2．BCD
【解析】对于A： ，定义域为 ， ，
则 为奇函数，故A错误；
对于B： ，定义域为 ，
，
则 为奇函数，故B正确；
对于C： ， ， 都为奇函数，
则 为奇函数，
在区间 上的最大值与最小值互为相反数，
必有 在区间 上的最大值与最小值之和为0，故C正确；
199
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司对于D： ，则 在 上为减函数，
，则 在 上为减函数，
则 在 上为减函数，
若 即 ，
则必有 ，解得 ，
即 的解集为 ，故D正确；
故选：BCD
3．BC
【解析】对于A选项，因为 ，则函数 的图象关于点 对称，A
错；
对于B选项，因为 且函数 为偶函数，
所以， 可得 ，所以， ，
所以，对任意的 ， ，B对；
对于C选项，因为 ，
若函数 在区间 上单调递增，则 在区间 上单调递增，C对；
对于D选项，当 时， ， ，
所以， ，D错.
故选：BC.
4．ABC
【解析】对于A，由 ，得 ，因为 是函数
的极值点，所以 ，得 ，经检验 是函数 的极小值点，所
以A正确，
对于B，由选项A，可知 ，则 ，由 ，得
或 ，由 ，得 ，所以 在 和 递增，在
上递减，所以当 时， 时， 取得最小值 ，所以
200
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司B正确，
对于C，因为 在 上单调递减，所以 ，即 ，得
在 上恒成立，令 ，则 ，所以
在 单调递增，所以 ，即 ，所以 ，所以C正确，
对于D，由 在 上恒成立，得 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，令 ， ，则
，所以 上单调递增，所以
，所以 ，所以D错误，
故选：ABC
5．BC
【解析】原式变形为 ，
构造函数 ，则 ，
∵ ，
当 时， ，则 ，即 ；
当 时， ，则 ，即 ；
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
对于A：取 ，则
∵ 在 上单调递增，故 ，
即 满足题意，但 ，A错误；
对于B：若 ，则有：
当 ，即 时，则 ，即 ；
当 ，即 时，由 在 时单调递增，且 ，
故 ，则 ；
综上所述： ， B正确；
对于C：若 ，则有：
当 ，即 时， 显然成立；
当 ，即 时，令 ，
201
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∵ ，当且仅当 ，即 时等号成立，
∴当 时，所以 ，即 ，
由 可得 ，即
又∵由 在 时单调递增，且 ，
∴ ，即 ；
综上所述： ，C正确；
对于D：取 ， ，则 ，
∵ 在 上单调递减，故 ，
∴故 ， 满足题意，但 ，D错误.
故选：BC.
【点睛】结论点睛：指对同构的常用形式：
（1）积型： ，
①构造形式为： ，构建函数 ；
②构造形式为： ，构建函数 ；
③构造形式为： ，构建函数 .
（2）商型： ，
①构造形式为： ，构建函数 ；
②构造形式为： ，构建函数 ；
③构造形式为： ，构建函数 .
6．ABD
【解析】 ，
令 在 上单调递增，
在 上单调递减，故 ，
所以 在 上单调递增，且 .
对于A项，若 ，显然B正确；
202
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司对于B项，有 ，
令 ，令 ，
在R上单调递增，而 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，故 ，
所以 ，故A正确；
对于D项，若 ，
即 ，故D正确；
设 ，若 ，则 满足 ，
但 ，故C错误.
故选：ABD
7．CD
【解析】设 ，则 在R上单调递增，
因为 ，则 ，
设 ，则 ，即 ，
所以 ，
设 ， ，
当 ，当 ，
则 在 单调递减，在 单调递增，
，即 ，
所以 ，即 ，
故 的取值可以是3和4.
故选：CD.
8．ABD
【解析】对于A，令 ，则 ，即 ，
又 ， ；
令 得： ， ， ， ，
203
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司则由 可知：当 时， ，A正确；
对于B，令 ，则 ，即 ，
，
由A的推导过程知： ， ，B正确；
对于C， 为 上的增函数，
当 时， ，则 ；当 时， ，则 ，
不存在非零实数 ，使得任意 ， ，C错误；
对于D，当 时， ；
由 ， 知： 关于 ， 成中心对称，
则当 时， 为 的对称中心；
当 时， 为 上的增函数， ， ， ，
；
由图象对称性可知：此时对任意 ， ，D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数对称性的应用，解题关键是能够根据已知关系式确定
的对称中心，同时采用赋值的方式确定 所满足的其他关系式，从而结合对称性
和其他函数关系式来确定 所具有的其他性质.
9．BC
【解析】对A：当 时， ，而 ，
A错误；
对B：对于集合 ， 使 ，即 ，必有 ，
所以定义在 上的函数 都是“ 封闭”函数，B正确；
对C：对于集合 ， 使 ，则 ，
而 是“ 封闭”函数，则 ，即 都有 ，
对于集合 ， 使 ，则 ， ，
而 ， ，...， ，
所以 ，
204
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司即 ，故 ， 一定是“ 封闭”函数 ，
C正确；
对D，其逆否命题为，若 是“ 封闭”函数，则 不是“ 封闭”函数
，只需判断出其逆否命题的正误即可，
使 ，则 ，
若 ，则 ，
由 解得 ，因为 ，所以 ，
即 使 ，则 ，
满足 是“ 封闭”函数 ，
故逆否命题为假命题，故原命题也时假命题，D错误.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：对于C，根据给定的条件得到 都有 ，
有 恒成立，利用递推关系及新定义判断正误.
10．BCD
【解析】对于A， 在 上单调递减， 不单调，故A错误；
对于B， ， 在 上 ，函数 单调递减，
， ，∴ 在 单调递增，故B正确；
对于C，若 在 单调递减，由 ，得 ，
∴ ， 在 单调递增，故C正确；
对于D， 在 上单调递减，
在 上恒成立 ，
令 ， ，令 ，
，
205
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴ 在 上单调递减， ，
∴ ，∴ 在 上单调递减， ，
∴ ，
在 上单调递增，
在 上恒成立，
∴ ，
令 ， ，
∴ 在 上单调递增， ，
∴ ，
综上： ，故D正确.
故选：BCD.
多选题专题训练2--三角函数与解三角形
1．BC
【解析】对于A，因为函数 的最小正周期为 ，所以 ，
所以 ，故A项错误；
对于B，因为 是 的一个极值点，所以 ，所以
，因为 ，所以 ，故B项正确；
对于C， ，当 时， ，故C项正确；
对于D， ，故D项错误.
故选：BC
2．ABC
206
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【解析】 选项A正确；
所以函数 的最小正周期为 选项B正确；
根据余弦函数图像性质， （余弦函数对应的单调递减区间），
函数单调递减，选项C正确；
根据余弦函数图像性质， （余弦函数对应的单调递增
区间），函数不单调，选项D错误；
故选：ABC.
3．CD
【解析】对于A选项，若 ，
则 或 ，
可得 或 ，A错；
对于B选项，因为 ，
所以，函数 的图象可由函数 的图象上所有点的纵坐标不变，
横坐标变为原来的 ，再向左平移 个单位得到，B错；
对于C选项，因为 ，
所以，函数 的图象关于点 对称，C对；
对于D选项，当 时， ，
所以，函数 在 上单调递增，D对.
故选：CD.
4．BD
【解析】 ，
所以 的最小正周期为 ，故A错误；
207
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司把 的图象向左平移 个单位长度，所得函数为 ，是
偶函数，
所以图象关于y轴对称，故B正确；
当 时， ，
当 ，即 时， 最大值为 ，
所以m的最小值为 ，故C错误；
令 ，解得 ，
当 时， 的一个对称中心为 ，
故 时，有 ，故D正确.
故选：BD.
5．BD
【解析】
，
的最小正周期为 ，故A错误；
因为 ，所以 的值域为 ，故B正确；
，
令 ，定义域为 ，
，故C错误；
由 ，得 ，
208
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司即 在 上单调递增，
令 ，得 在 上单调递增；
时，都有 ；
由 ，得 ，
即 在 上单调递减，
而 ，所以若 在区间 上单调，
则必有 ，所以 的最大值为 ，故D正确.
故选：BD
6．AC
【解析】观察图象可得函数 ， ，的最小值为 ，故
设函数 的最小正周期为 ，由图象知 ，
则 ，故 ，故A正确；
由 可得 ，又 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，故B错误；
由 ， 可得 ， ，
所以 的单调递减区间为 ，
取 知，函数 在 上单调递减，
，故C正确；
209
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司的图像向左平移 个单位后得到
，故D错误．
故选：AC．
7．ABD
【解析】由 ，得 ， ，得 ， ，
所以 的定义域为 ，关于原点对称，
因为 ，
所以 为偶函数，故A正确；
当 时， ， ，
因为 ，所以 ， ， ，所以 ，
所以 在区间 上单调递增，故B正确；
因为 ，故C不正确；
当 时， ， ，
令 ，得 ，无解；
当 时，函数 无意义，
当 时， ， ，
令 ，得 ，得 ，无解，
当 时，函数 无意义，
当 时， ， ，
令 ，得 ，得 ，得 ，
当 时，函数 无意义，
当 ， ， ，
210
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司令 ，得得 ，无解，
当 时，函数 无意义，
当 时， ， ，
令 ，得 ，得 ，得 ，
综上所述： 在区间 上有两个零点 和 .故D正确.
故选：ABD
8．BC
【解析】函数 ， ，
大致图象如下：
由图可知，函数 的最小正周期为 ，故A错误；
函数 的图象关于 对称，故B正确；
函数 的最小值为 ，故C正确；
函数 在区间 上单调递增，在 上单调递减，故D错误.
故选：BC.
9．BC
【解析】 ，
是由 横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标伸长2倍，再把得到的曲线向左平移 ，
故A错误；
函数 图象将横坐标缩短为原来的 倍（纵坐标不变），得 ，
再向右平移 个长度单位，得 ，即 ，故B正确；
211
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司因为 ，令 ，
则 ，则 的对称中心坐标是 ，故C正确；
因为 ，所以 ，
由导数的几何意义令 ，可得： ，
即 ，解得:
，所以切点为 ，
而 不在 上，故D错误.
故选：BC.
10．BC
【解析】
．
因为函数的最小正周期为 ，所以 ，故 .
对于A， ，故A错误；
对于B，当 时， ，此时 单调递减，故B正确；
对于C， ，
∴ ， ，
当 时，满足要求的有 ， ， ， ， ，共有5个零点，故C正确；
对于D，当 时， ，则 ，故
，∴D错误．
故选：BC
212
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司多选题专题训练3--空间向量与立体几何
1．【答案】BD
【解析】对A：若 ， ，则 或 与 相交或 与 异面，故选项A错误；
对B：若 ， ，则 ，故选项B正确；
对C：若 ， ，则 或 与 相交，故选项C正确；
对D：若 ， ， ，则 ，故选项D正确.
故选：BD.
2．【答案】ABD
【解析】如图，连接 、 ，因为 ，所以直线 与 所成的角即为直线
与 所成的角，
因为四边形 为正方形，则 ，故直线 与 所成的角为 ，A正确；
连接 ，因为 平面 ， 平面 ，则 ，
因为 ， ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，故B正确；
连接 ，设 ，连接 ，
因为 平面A B C D ， 平面A B C D ，则 ，
1 1 1 1 1 1 1 1
因为 ， ，所以 平面 ，
所以 为直线 与平面 所成的角，
设正方体棱长为 ，则 ， ， ，
所以，直线 与平面 所成的角为 ，故C错误；
因为 平面 ，所以 为直线 与平面 所成的角，易得
，故D正确.
213
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司故选：ABD
3．【答案】BD
【解析】由题意可得 ，
又 平面 ，
所以 平面 ，
在 中， ， 边上的高为 ，
所以 ，故A错误；
对于B，在 中， ，
，
所以直线PA与直线BC所成角的余弦值为 ，故B正确；
对于C， ，
设点 到平面 的距离为 ，
由 ，得 ，解得 ，
所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为 ，故C错误；
由B选项知， ，则 ，
所以 的外接圆的半径 ，
设三棱锥 外接球的半径为 ，
又因为 平面 ，
则 ，所以 ，
214
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司即三棱锥 外接球的半径为 ，故D正确.
故选：BD.
4．【答案】ABD
【解析】对于A，由题意，AB，CD为异面直线，所以四边形ABCD为空间四边形，不能
为平行四边形，故A错误；
对于B，取BC的中点H,连接HM,则HM是 的中位线，所以 ，
因为HM与MN相交，所以MN与AC不平行，B错误；
对于C，若 ，所以由线面垂直的判定可得 平面ABC，所以 ，
由 结合面面垂直的性质可得 ，所以点C在平面 内的投影为点D,
所以CD在平面 内的投影为BD，故C正确；
对于D,由二面角的定义可得当且仅当 时，直线AB，CD所成的角或其补角才
为二面角的大小，故D错误.
故选：ABD.
5．【答案】CD
【解析】
设 ，因为 平面 ， ，则
，
，连接 交 于点 ，连接 ，易得
，
又 平面 ， 平面 ，则 ，又 ， 平面
215
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，则 平面 ，
又 ，过 作 于 ，易得四边形 为矩形，则
，
则 ， ，
，则 ， ， ，
则 ，则 ， ， ，故A、B错
误；C、D正确.
故选：CD.
6．【答案】ACD
【解析】取 、 中点 ，连接 、 、PF，
由PF∥ ∥ 且PF＝ 知 是平行四边形，
∴ ∥ ，∵ 平面 ， 平面 ， ∥平面 ，
同理可得EF∥平面 ，∵EF∩ ＝F，
∴平面 ∥平面 ，则 点的轨迹为线段 ，A选项正确；
如图，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ，设 ，
则 ， ，
设 为平面 的一个法向量，
216
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司则 即 得 取 ，则 .
若 平面 ，则 ∥ ，即存在 ，使得 ，则 ，解得
，故不存在点 使得 平面 ，B选项错误；
的面积为定值， 当且仅当 到平面 的距离d最大时，三棱锥 的体
积最大.
，
， ，则当 时，d有最大值1；
② ， ，则当 时，d有最大值 ；
综上，当 ，即 和 重合时，三棱锥 的体积最大，C选项正确；
平面 ， ，
， ，Q点的轨迹是半径为 ，圆心角为 的圆弧，
轨迹长度为 ，D选项正确.
故选：ACD.
7．【答案】BCD
【解析】以 为原点， 所在直线分别为 轴，建系如图，
对于选项A，当 时， ， ，
设点 关于平面 的对称点为 ，则 ， .
所以 .故A不正确.
217
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司对于选项B，设 ，则 ，
由 得 ，即 ，解得 ，
所以存在唯一的点P满足 ，故B正确.
对于选项C， ，设 ，则 ，
由 得 .在平面 中，建立平面直角坐标系，如图，
则 的轨迹方程 表示的轨迹就是线段 ，而 ，故C正确.
对于选项D，当 时， ，设 ，
则 ，
由 得 ，即 ，
在平面 中，建立平面直角坐标系，如图，
记 的圆心为 ，与 交于 ；
令 ，可得 ，而 ，所以 ，其对应的圆
弧长度为 ；
根据对称性可知点P轨迹长度为 ；故D正确.
故选：BCD.
8．【答案】ACD
218
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【解析】因为在矩形 中， ，
又 ， ， 面 ，所以 面 ，
又 面 ，所以 ，
因为在矩形 中， ，所以 ，即 ，
因为 ， ， ， 面 ，
所以 面 ，
又在矩形 中， ，所以 面 ，
又 面 ，所以 ，
同时，易知在矩形 中， ，
对于A，在 中， ，
在 中， ，
在 中， ，
所以 ，故A正确；
对于B，在 中， ，
在 中， ，
又 ，且在 中， 为 的斜边，则 ，
所以 ，故B错误；
对于C，在 中， ，
在 中， ，
又 ，
所以 ，故C正确；
对于D，在 中， ，
又 ， ， ，
219
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以 ，
所以 ，即 ，故D正确.
故选：ACD.
9．【答案】AD
【解析】对于A，因为平面 平面ABC， ，即 ，
平面 平面 ， 平面SAB，所以 平面ABC，
又因为 平面ABC，所以 ，故A正确；
对于B，因为 ， ， ，
所以 平面SAB，因为 平面SAB，
所以 .又 平面ABC， 平面ABC，
所以 ，即 ，
所以三棱锥 外接球的直径为SC.因为 ，
所以 ，
所以三棱锥 的外接球的表面积 ，故B错误；
对于C，因为 平面SAB， 平面SBC，
所以平面 平面SBC，过点A作 ，交SB于点G，
根据面面垂直的性质定理，可得 平面SBC，
故点A到平面SBC的距离为AG，由 ， ，
得 ，则 ，
则 ，故C错误；
对于D， ， ，所以∠SBA为二面角 的平面角，
在 中， ，故D正确；
故选：AD.
220
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司10．【答案】BD
【解析】
易知，点 在矩形 内部（含边界）．
对于A，当 时， ，即此时 线段 ， 周长不是定
值，故A错误；
对于B，当 时， ，故此时 点轨迹为线段 ，而
， 平面 ，则有 到平面 的距离为定值，所以其体积为定值，故B
正确．
对于C，当 时， ，取 ， 中点分别为 ， ，则
，所以 点轨迹为线段 ，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，
， ， ，则 ， ，
，所以 或 ．故 均满足，故C错误；
对于D，当 时， ，取 ， 中点为 ． ，
所以 点轨迹为线段 ．设 ，因为 ，所以 ，
221
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，所以 ，此时 与 重合，故D正确．
故选：BD．
多选题专题训练4--平面解析几何
1．【答案】ABD
【解析】圆心 到直线l的距离 ，
若点 在圆C上，则 ，所以 ，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点 在圆C内，则 ，所以 ，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点 在圆C外，则 ，所以 ，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点 在直线l上，则 即 ，
所以 ，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.
2．【答案】ACD
【解析】由 ，得 ，则圆心 ，半径 ，
所以A正确，
对于B，因为点 到圆心的距离为 ，所以点 在
圆C的外部，所以B错误，
对于C，因为圆心 到直线 的距离为 ，
所以直线 与圆C相切，所以C正确，
对于D，圆 的圆心为 ，半径 ，
因为 ， ，
所以圆 与圆C相交，所以D正确，
222
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司故选：ACD
3．【答案】ABD
【解析】由实数x，y满足方程 可得点 在圆 上，
作其图象如下，
因为 表示点 与坐标原点连线的斜率，
设过坐标原点的圆的切线方程为 ，则 ，解得： 或 ，
， ， ，A，B正确；
表示圆上的点 到坐标原点的距离的平方，圆上的点 到坐标原点的距离的最
大值为 ，
所以 最大值为 ，又 ，
所以 的最大值为 ，C错，
因为 可化为 ，
故可设 ， ，
所以 ，
所以当 时，即 时 取最大值，最大值为 ，D对，
故选：ABD.
4．【答案】ACD
【解析】对于A，若 ，则 可化为 ，
因为 ，所以 ，
即曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，故A正确；
223
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司对于B，若 ，则 可化为 ，
此时曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆，故B不正确；
对于C，若 ，则 可化为 ，
此时曲线 表示双曲线，
由 可得 ，故C正确；
对于D，若 ，则 可化为 ，
，此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
5．【答案】AC
【解析】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一
M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为
B，
所以 ，因为 ，所以 在双曲线的左支，
， ， ，设 ，由即 ，则 ，
224
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司选A
情况二
若M、N在双曲线的两支，因为 ，所以 在双曲线的右支，
所以 ， ， ，设 ，
由 ，即 ，则 ，
所以 ，即 ，
所以双曲线的离心率
选C
[方法二]：答案回代法
特值双曲线
，
过 且与圆相切的一条直线为 ，
两交点都在左支, ，
225
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，
则 ，
特值双曲线 ，
过 且与圆相切的一条直线为 ，
两交点在左右两支， 在右支， ，
，
则 ，
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为 ，
若 分别在左右支，
因为 ，且 ，所以 在双曲线的右支，
又 ， ， ，
设 ， ，
在 中，有 ，
故 即 ，
所以 ，
而 ， ， ，故 ，
代入整理得到 ，即 ，
所以双曲线的离心率
226
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司若 均在左支上，
同理有 ，其中 为钝角，故 ，
故 即 ，
代入 ， ， ，整理得到： ，
故 ，故 ，
故选：AC.
6．【答案】ACD
【解析】对于A，易得 ，由 可得点 在 的垂直平分线上，则 点横
坐标为 ，
代入抛物线可得 ，则 ，则直线 的斜率为 ，
A正确；
227
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司对于B，由斜率为 可得直线 的方程为 ，联立抛物线方程得
，
设 ，则 ，则 ，代入抛物线得 ，解得
，则 ，
则 ，B错误；
对于C，由抛物线定义知： ，C正确；
对于D， ，则
为钝角，
又 ，则
为钝角，
又 ，则 ，D正确.
故选：ACD.
7．【答案】AC
【解析】A：根据椭圆的对称性， ，当PQ
为椭圆的短轴时， 有最小值8，所以 周长的最小值为18，正确；
B：若四边形 为矩形，则点P，Q必在以 为直径的圆上，但此圆与椭圆
228
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司无交点，错误；
C：设 ，则 ，因为直线PA斜率
的范围是 ，所以直线PB斜率的范围是 ，正确；
D：设 ，则
．因为 ，所以当 时，
最小值为 ，错误.
故选：AC．
8．【答案】BCD
【解析】将点 的代入抛物线方程得 ，所以抛物线方程为 ，故准线方程为
，A错误；
，所以直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，解得 ，故B正确；
设过 的直线为 ，若直线 与 轴重合，则直线 与抛物线 只有一个交点，
所以，直线 的斜率存在，设其方程为 ， ，
联立 ，得 ，
所以 ，所以 或 ， ，
又 ， ，
所以 ，故C正确；
因为 ， ，
所以 ，而 ，故D正确.
故选：BCD
229
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司9．【答案】BC
【解析】设点 ，依题意， ，
对于A， ，当且仅当 时取等
号，
解不等式 得： ，即点 的横坐标的取值范围是 ，A错误；
对于B， ，则 ，
显然 ，因此 ，B正确；
对于C， 的面积 ，当且仅当
时取等号，
当 时，点P在以线段MN为直径的圆 上，由
解得 ，所以 面积的最大值为 ，C正确；
对于D，因为点 在动点P的轨迹上，当点P为此点时， ，D错误.
故选：BC
10．【答案】BC
【解析】当 时， ，此时不妨取 过焦点垂直于x轴，
不妨取 ，则 ，故A错误；
当 时， ，
此时不妨设 在抛物线上逆时针排列，设 ,
则 ，则 ，
故
，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 递增，当 时， ， 递减，
故 ，
故当 ，即 时， 取到最小值9，故B正确；
当 时， ，
此时不妨设 在抛物线上逆时针排列，设 ,
则 ，
即 ，
故 ，
，
所以 ，故C正确；
由C的分析可知： ，
当 时， 取到最小值16，
即 最小值为16，故D错误；
故选：BC
多选题专题训练5--统计板块
1．【答案】CD
【解析】A： 且 ，故平均数不相同，错误；
B：若第一组中位数为 ，则第二组的中位数为 ，显然不相同，错误；
C： ，故方差相同，正确；
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司D：由极差的定义知：若第一组的极差为 ，则第二组的极差为
，故极差相同，正确；
故选：CD
2．【答案】ABC
【解析】对于A选项，由概率的基本性质可知， ，
故A正确，
对于B选项，由 时，离散型随机变量 服从二项分布 ，
则 ，
所以 ，
，
所以 ，故B正确，
对于C,D选项， ，
当 时， 为正项且单调递增的数列，
故 随着 的增大而增大故选项C正确，
当 时， 为正负交替的摆动数列，
故选项D不正确.
故选：ABC.
3．【答案】ABD
【解析】由表中数据可得甲校理科生达标率为60%，文科生达标率为70%，
乙校理科生达标率为65%，文科生达标率为75%，故选项AB正确；
设甲校理科生有 人，文科生有 人，若 ，即 ，则甲校总达标率为
，选项C错误；
由总达标率的计算公式可知当学校理科生文科生的人数相差较大时，所占的权重不同，总
达标率会接近理科生达标率或文科生达标率，
当甲校文科生多于理科生，乙校文科生少于理科生时，甲校的总达标率可能高于乙校的总
达标率，选项D正确；
故选：ABD
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司4．【答案】BCD
【解析】对于A， ，解得 ，A错误；
对于B，方差反映的是数据与均值的偏移程度，因此每个数据都加上同一个常数后，每个
新数据与新均值的偏移不变，方差恒不变，B正确；
对于C， 服从正态分布 ， ，C正确；
对于D， ，则 ，
由 ，解得 ，所以 ．D正确．
故选：BCD．
5．【答案】AC
【解析】对于A项，因为 ，解得： ，故A项正确；
对于B项， 人，故B项错误；
对于C项，因为 ， ，
，所以第78百分位数位于 之间，
设第78百分位数为x，则 ，解得： ，
故C项正确；
对于D项，因为
，即：估计
该校学生体重的平均数约为 ，故D项错误.
故选：AC.
6．【答案】BD
【解析】对于A，因为 ， ， ，
所以 ，故错误；
对于B，因为A与B互斥，所以 ，故正确；
对于C，因为 ，所以 ，所以 ，故错误；
对于D，因为 ，即 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以A与B相互独立，故正确.
故选：BD
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司7．【答案】BC
【解析】记事件 ：车床加工的零件为次品，记事件 ：第 台车床加工的零件，
则 ， ， ， ， ，
，
对于 ，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为
，故A错误；
对于 ，任取一个零件是次品的概率为
，故B正确；
对于 ，如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为
，故C正确；
对于 ，如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为
，故D错误．
故选：BC．
8．【答案】BCD
【解析】选项A：所有不同分派方案共 种.判断错误；
选项B：若每家企业至少分派1名医生，
先把4名医生分成3组（2人，1人，1人）再分配.
则所有不同分派方案共 （种）.判断正确；
选项C：若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到 企业，
则 企业可以只有医生甲，也可以有医生甲和另一名医生，
则所有不同分派方案共 （种）.判断正确；
选项D：若 企业最多派1名医生，则 企业可以有1名医生和没有医生两种情况,
则不同分派方案共 （种）.判断正确.
故选：BCD
9．【答案】ABD
【解析】对于A选项：线性回归方程 必过点 ， ， ，解得
，所以选项A正确；
对于B选项：当 时， 可以的出y的预测值为2.2,所以B选项正确；
对于C选项：从小到大排列共有5个数据，则 是整数，则第40百分位数为从
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司小到大排列的第2、3个数据的平均数，即第40百分位数为0.9，所以C选项错误；
对于D选项：因为相关系数为 ,
5组样本数据的相关系数为：
，
去掉样本中心点 后相关系数为
，
所以相关系数r不变,所以D选项正确；
故选：ABD.
10．【答案】AC
【解析】对于A选项，若 ，则 ，所以 ，所以A选项
正确.
对于B选项，若 ，则 ， ，
所以 ，
当 时， ，
当 时， ，
两者相等，所以B选项错误.
对于C选项，若 ，则
，
则 随着 的增大而增大，所以C选项正确.
对于D选项，若 ，随机变量 的所有可能的取值为 ，且
（ ）.
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由于
，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以D选项错误.
故选：AC
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