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成都树德中学高 2023 级高三上期开学考试
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合要求的.
1. 若命题“ ”是假命题，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
2. 设集合 则 （ ）
A. B. C. D.
的
3. 从装有2个红球和2个黑球 口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A. 至少有一个红球与都是黑球 B. 至少有一个黑球与都是黑球
C. 至少有一个黑球与至少有1个红球 D. 恰有1个黑球与恰有2个黑球
4. 在等差数列 中， ，则 （ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
5. 已知 是两条不重合的直线， 是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
6. 已知函数 的最小正周期为 ，则 在 的最小值为（
）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. 0 D.
7. 定义在 上函数满足 ，且当 时， .则使得 在
上恒成立的 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图， 为双曲线的左右焦点，过 的直线交双曲线于 两点， 为线段的
中点，若对于线段 上的任意点 ，都有 成立，且 内切圆的圆心在直线
上.则双曲线的离心率是（ ）
.
A B. C. 2 D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，有二个正确选项的，每个选项3分，有三个正确选项的，每个选项
2分，有选错的得0分.
9. 已知高二（1）（2）（3）班三个班的学生人数之比为3∶3∶4.在某次数学考试中，高二（1）班的不及
格率为10%，高二（2）班的不及格率为20%，高二（3）班的不及格率为15%，从三个班随机抽取一名学
生.记事件 “该学生本次数学考试不及格”，事件 “该学生在高二（ ）班”（ ，2，3），则（
）
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A
B.
.
C 与 相互独立
D.
10. 若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 ，则下列结论正
确的是（ ）
A. 角C一定为锐角 B. C. D. 的最大值为
11. 双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯努利将其作为椭圆的一种
类比来处理．椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘
积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线．已知曲线 C（如
图所示）过坐标原点O，且C上的点 满足到两个定点 ， 的距离之积为
4，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 点 在C上，则
C. 点N在椭圆 上，若 ，则
D. 过 作x轴的垂线交C于A，B两点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
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学科网（北京）股份有限公司12. 已知数列 中， ， ， ，则数列 的通项公式为______．
13. 甲、乙、丙等8名同学将作为志愿者参加三个养老院的志愿服务工作，每个养老院至少安排2名志愿
者，每名志愿者只能去一个养老院，且甲、乙、丙三人必须在同一养老院进行志愿服务，则有________种
不同的分配方案.
14. 若函数 有两个极值点，则 的取值范围是_____．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ．
（1）求 ；
（2）若 ，且 面积 ，
（ⅰ）求 的值；
（ⅱ）求 ．
16. 已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 有极小值，且 ，求 的取值范围．
17. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，离心率为 ，且点 在 上．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 作直线 交椭圆 于 两点，且点 位于 轴上方，设点 关于 轴的对称点为
，求 面积的最大值．
18. 如图，平面四边形 中，点 是线段 上一点， ，且 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司，沿着 将三角形 折叠得到四棱锥 ，折叠后 ．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 ，求平面 与平面 夹角的正切值；
的
（3）若 ， ， ， 在同一个球面上，设该球面 球心为 ，证明：当球 的半径最小时，点 在
平面 内．
19. 甲、乙两人比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜.假设每局比赛甲
赢的概率都是 （ ），各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局.
（1） ，若两人共进行5局比赛，设两人所赢局数之差的绝对值为 ，求 的分布列和数学期望；
（2） 时，若两人共进行 （ 且 ）局比赛，记事件 表示“在前 局比赛中甲
赢了 局”.事件 表示“甲最终获胜”.请写出 ， ， ，
的值（直接写出结果即可）；
（3）若两人共进行了 局比赛，甲获胜的概率记为 .证明： 时，
.
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