炎德英才大联考雅礼中学2025届高三上学期月考（五）数学试卷_2025年2月_250209湖南省炎德英才大联考雅礼中学2025届高三上学期月考（五）

大联考雅礼中学 2025 届高三月考试卷（五）
数 学
命题人:李斑 郝楠楠 审题人:李云皇
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共8页.时量120分钟,满分150分.
第I卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的.
1.已知复数z满足: 2i  z m(其中i为虚数单位,m为正实数),则z的共轭复数z在复平面
内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
 
2.设全集U R,A{x|3 x4},B  x| y  x2 ,则图中阴影部分表示的集合为( )
A.  x|x2  B.{x|x 2} C. x|x4  D. x|x4 
cos cos
3.已知  3,则 的值为( )
1sin sin1
3 3
A. B. C. 3 D. 3
3 3
4.已知向量a 2,1  ,ab 3,若b b2a ,则cosa,b( )
5 10 5 5
A. B. C. D.
10 10 10 5
ln  1x  ,x1,

5.已知函数 f  x  若方程 f  x m0有4个不相同的解,则实数m的
  x2 2 ,x1,

取值范围为( )
A. 0,1  B. 0,1  C.(0,1) D. 0,1 
6.某圆锥母线长为 6 ,底面半径为2,则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面的面积最大时,
此截面将底面圆周所分成的两段弧长之比(较短弧与较长弧之比)为( )
1
{#{QQABLYYo4ggQgBbACD4qUUHmCQkQkIGgLcgMgRAeqAwqCYNIBIA=}#}A1:1 B.1:2 C.1:3 D.1:5
x2 y2
7. 已知椭圆E:  1  a b 0 的左、右焦点分别为F,F ,P为椭上不与顶点重合的
a2 b2 1 2
3
任意一点,I 为PFF 的内心,O为坐标原点,记直线OP,OI 的斜率分别为k ,k ,若k  k ,
1 2 1 2 1 2 2
则椭圆E的离心率为( )
1 1 3 2
A. B. C. D.
3 2 3 2
8.已知a ,a ,,a 为1,2,3,4,5的任意一个排列.则满足:对于任意n 1,2,3,4,5 ,都有
1 2 5
a a a na 的排列a ,a ,,a 有( )
1 2 n 1 1 2 5
A.49个 B.50个 C.31个 D.72个
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项有多项符合题目要求,全
部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选得0分.
9.已知函数 f  x 4tan x0,0的部分图象如示,则( )
A.2

B.
3
 4 3
C.函数 f  x 的图象与 y轴的交点坐标为0, 
 
3
 
7
D.函数 y  f  x  的图象关于直线x 对称
12
2
{#{QQABLYYo4ggQgBbACD4qUUHmCQkQkIGgLcgMgRAeqAwqCYNIBIA=}#}10.某机构抽样调查一批零件的尺寸x和质量y,得到样本数据
x ,y

i i
 i 1,2,3,,20 ,并计算得该批零件尺寸和质量的平均值分别为3和60,方差分别为4和400,
20
且x y 4320,则( )
i i
i1
 n  x x  y  y 
i i
(参考公式:相关系数r  i1 .经验回归方程 y b  xa  ，
 n  x x 2  n  y  y 2
i i
i1 i1
 n  x x  y  y 
i i
其中b   i1 ,a  yb  x )
 n  x x 2
i
i1
9
A.样本数据的相关系数为
10
B.样本数据 y关于x的经典解归方程为 y 9x33
C.样本数据所得经验回归直线的残差平方和为0
D.若数据x、y,均满足正态分布,则估计P  x5 P  y 40 
11.已知函数 f  x 及其导函数 f x 的定义域均为R,若 f  1x  f(3x) x1,且
f(2x1)是奇函数,令g  x  f (x),则下列说法正确的是( )
1 1
A.函数h  x  x f  x2 是奇函数 B.g  0 
2 2
24 24
C.f  i 138 D.g  i 12
i1 i1
3
{#{QQABLYYo4ggQgBbACD4qUUHmCQkQkIGgLcgMgRAeqAwqCYNIBIA=}#}第II卷
三.填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若 a 是公比不为1的等比数列S 为 a 的前n项和,且a ,S ,3a 成等差数列,则数列
n n n 1 2 3

a
的公比为_____
n
13.曲线 f  x ex sinx(e为自然对数的底数)在x0处的切线与圆 x2 2  y2 9
相交于点M,N ,则 MN _____.
x2 y2
14.已知双曲线C :  1  a 0,b 0  ,F 为左焦点,曲线C 上的点到左焦点的距离最小
1 a2 b2 1 1
值为2 3 ,点A,A 在C 上,且关于原点O对称,P是C 上一点,直线PA 和PA 满足
1 2 1 1 1 2
1
k k  ,则双曲线C 的渐近线方程为 ；过点P作圆C :x y2 2 2的
PA 1 PA 2 3 1 2
 
两条切线PM,PN ,切点分别为M,N ,则C M C N 的最大值为 .
2 2
4
{#{QQABLYYo4ggQgBbACD4qUUHmCQkQkIGgLcgMgRAeqAwqCYNIBIA=}#}四、解答题:本题共5小题,共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时成写出文字说明、证
明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
从①点(A,0)是函数 f  x sin2x 3  2cos2x1  的图象的一个对称中心:
 2cb  sinB bsinA BC
②  ;③csin asinC 这三个条件中选一个补充到下面的横线并作
cosB cosA 2
答.
问题:
在锐角ABC中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且 .
(1)求A;
2sinB
(2)求 的取值范围;
sinC
注:若选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
5
{#{QQABLYYo4ggQgBbACD4qUUHmCQkQkIGgLcgMgRAeqAwqCYNIBIA=}#}16.(本小题满分15分)
在平面直角坐标系xOy中,M 为直线y  x3上的动点,过点M 作抛物线C:x2 2y 的两条
切线MA,MB,切点分别为A,B,N 为AB的中点.
(1)证明:MN  x轴；
(2)直线AB是否恒过定点?若是,求出这个定点的坐标；若不是,请说明理由.
6
{#{QQABLYYo4ggQgBbACD4qUUHmCQkQkIGgLcgMgRAeqAwqCYNIBIA=}#}17.(本小题满分15分)18.在某市举行的一次质检考试中,为了调查考试试题的有效性以及试卷
的区分度,该市教研室随机抽取了参加本次质检考试的100名学生的数学考试成绩,并将其统计
如下表所示.
成绩X  75,85   85,95  [95,105)  105,115   115,125 
人数Y 6 24 42 20 8
(1)已知本次质检考试中的数学成绩X  N  ,2 ,其中近似为样本的平均数,2近似为样
本方差s2,若该市有5万考生,试估计数学成绩介于90~120分的人数；(以各组区间的中点值代
表该组的取值)
(2)现按分层抽样的方法从成绩在[75,85)以及[115,125]之间的学生中随机抽取7人,再从这7
人中随机抽取3人进行试卷分析,记被抽取的3人中成绩在
75,85
之间的人数为,求的分
布列以及期即E .
参考数据:若X  N
 ,2
,则
P  X  0.6827,P(2
 X 2)0.9545,P 3 X 30.9973 .
7
{#{QQABLYYo4ggQgBbACD4qUUHmCQkQkIGgLcgMgRAeqAwqCYNIBIA=}#}17.(本小题满分17分)
如图,菱形ABCD中ABC 120,动点E,F分别在边AD,AB上(不含端点),且存在实数
使EF BD,沿EF 将AEF 向上折起得其PEF ,使得平面PEF 平面BCDEF ,如图2
所示.
V
(1)若BF  PD,设三棱锥PBCD和四棱锥PBDEF 的体积分别为V ,V ,求 1 ;
1 2 V
2
(2)当点E的位置变化时,平面EPF 与平面BPF的夹角的余弦值是否为定值,若是,求出该余
弦值；若不是,说明理由；若AB 2,求四棱锥PBDEF 的外接球半径的最小值.
8
{#{QQABLYYo4ggQgBbACD4qUUHmCQkQkIGgLcgMgRAeqAwqCYNIBIA=}#}19(本小题满分17分)
给定正整数n2,设数列a ,a ,,a 是1,2,,n的一个排列,对i 1,2,,n  ,x 表示以a
1 2 n i i
为首项的递增子列的最大长度(数列的项数叫做数列的长度), y 表示以a 为首项的递减子列的
i i
最大长度.我们规定:当a 后面的项没有比a 大时,x 0,当a 后面的项没有比a 小时,y 0.
i i i i i i
例如数列:n3,a 2,a 1,a 3,则x 2,y 2,x 2,y 0,x 0,y 0.
1 2 3 1 1 2 2 3 3
n
(1)若n4,a 1,a 4,a 2,a 3,求x ,y 和 x  y ;
1 2 3 4 1 2 i i
i1
(2)求证:i 1,2,,n1  ,  x  y 2 x  y 20;
i i i1 i1
n
(3)求 x  y 的最值.
i i
i1
9
{#{QQABLYYo4ggQgBbACD4qUUHmCQkQkIGgLcgMgRAeqAwqCYNIBIA=}#}