简版答案及考点细目表东北三省精准教学2025年3月高三联考-数学_2025年3月_250305东北三省精准教学联考2025届高三3月联考（全科）

高三数学 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C D D B C B C D BD ABD ACD 12. 160 (5分） 5π 13. 6 （5分） 14.3 5π（5分） π 3 15．【答案】（1） （6分）（2） （7分） 3 2 A 【解析】（1）由正弦定理，得sin AsinB sinBcos ，····················································1分 2 又B(0,π)，所以sinB 0， A 所以sin Acos ，····································································································2分 2 A A A 所以2sin cos cos ，·························································································4分 2 2 2 A  π A 因为A(0,π)，所以  0, ，所以cos 0，·························································5分 2  2 2 A 1 A π π 所以sin  ，解得  ，即A .·········································································6分 2 2 2 6 3 （备注：推导出sinAcos A 给2分；推导出sin A  1 给3分，得出角A的大小给1分） 2 2 2 （2）因为D为BC的中点，  1   所以AD  (ABAC),······························································································8分 2 7 又AD ，b2， 2 第 1 页7 1 两边平方得到  (c2 42c)，整理可得c2 2c30，···········································10分 4 4 解得c1或c3（舍去）·······················································································11分 1 3 所以ABC的面积S  bcsinA .·······································································13分 2 2 （备注：写出中线定理  A  D   1 (  A  B    A  C  )给2分；求出c=1给3分；得出三角形面积给2分） 2  1  16.【答案】（1）2xy20（6分） （2）  , （9分） e2  x1 1 【解析】（1）当a1时， f(x)(x1)lnx， f(x)lnx lnx 1， ……………………2分 x x f(1)0， f(1)2， …………………………………………………………………………………4分 ∴曲线y f(x)在(1, f(1))处的切线方程为y f(1) f(1)(x1)， 整理得，y2(x1)， ∴曲线y f(x)在(1, f(1))处的切线方程为2xy20． ………………………………………6分 （备注：求导给2分；求出斜率和切点给2分；求出切线方程给2分） xa a （2） f(x)lnx lnx 1,x＞0， x x f(x)是增函数，即 f(x)0在（0，+∞）上恒成立， …………………………………………8分 方法一：即axxlnx在（0，+∞）上恒成立，所以axxlnx ， max 设g(x)xxlnx，x＞0，则g(x)2lnx，x＞0，…………………………………………11分  1  当x 0, 时，g(x)0，g(x)单调递增，  e2   1  当x  , 时，g(x)0，g(x)单调递减， e2  1  1  1 ∴当x 时，g(x)取得极大值，也是最大值，∵g   ，………………………………14分 e2 e2  e2  1  ∴a的取值范围是  ,． ………………………………………………………………………15分 e2  （备注：得出 f '(x)≥0在（0，+∞）恒成立给2分；分离参数给1分，得出g(x)的最大值给5分；下结论给1分， 共 4 页过程酌情给分） a  a  方法二：即lnx 10在（0，+∞）上恒成立，所以lnx 1 0， x  x  min a 1 a xa 设h(x)lnx 1，x＞0，则h(x)   ，x＞0，…………………………………9分 x x x2 x2 ①若a0，则h(x)0，h(x)在(0,)上单调递增， 当x趋近于0时，h(x)趋近于，即 f(x)0不恒成立， 所以 f(x)在(0,)上不单调递增，与题意不符，舍去．…………………………………………11分 ②若a0，则 当x(0,a)时，h(x)0，h(x)单调递减， 当x(a,)时，h(x)0，h(x)单调递增， 则当xa时，h(x)取得极小值，也是最小值， ∴h(a)lna20， 1 解得a ，…………………………………………………………………………………………14分 e2  1  ∴a的取值范围是  , ． ……………………………………………………………………15分 e2  （备注：得出 f '(x)≥0在（0，+∞）恒成立给2分；构造h(x)给1分；令h(x) ≥0求a的取值范围给5分，未讨 min 论a的正负扣2分；下结论给1分，过程酌情给分） 2 5 17.【答案】（1）证明见解析 （6分）（2） （9分） 5 【解析】（1）证明：因为ABC为正三角形，且D,E,F分别是各边的中点， 所以ADE,CDF,BEF 均为正三角形. 分别取DE,EF,FD的中点A,B ,C ， 1 1 1 则AA  DE,BB  EF,CC  DF ，AA  BB CC ,···········································1分 1 1 1 1 1 1 又因为平面ADE 底面DEF ，平面ADE 底面DEF  DE, 所以AA 平面DEF ，同理可得BB 平面DEF ,················································3分 1 1 第 2 页所以AA  BB ,·······································································································4分 1 1 所以四边形AABB为平行四边形，所以AB AB ， 1 1 1 1 因为AB平面DEF ，AB 平面DEF ，所以AB平面DEF .·····································5分 1 1 同理可得CB平面DEF ， 又ABBC B,AB平面ABC ，BC 平面ABC， 所以平面ABC∥平面DEF .·······················································································6分 （备注：做出辅助线给1分；证明AB∥平面DEF给4分；证明平面ABC∥平面DEF给1分，过程酌情给分）    （2）以 A 为坐标原点，分别以 AE ， AF ， AA 为 x,y,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系，则 1 1 1 1  3  1 3 3  1  1  A  0,0,   ,C   , ,  ,D  ,0,0,E ,0,0，  2   4 4 2   2  2    1 3    1 3 所以AC  , ,0,AD  ,0,  ,·······························································8分      4 4   2 2    1 3 n AC 0 x y 0，   1 4 4 设平面CDA的法向量为n (x,y,z)，则 ···························10分 1   1 3 n AD 0 x z 0，   1 2 2  令x3，得 y  3,z  3，所以n (3, 3, 3)，···················································11分 1  易知平面EDA的一个法向量为n (0,1,0)，·································································12分 2     n n 3 5 所以cosn,n  1 2   ，·····························································14分 1 2 |n ||n | 151 5 1 2 2 5 所以二面角CDAE的正弦值为 .······································································15分 5 （备注：建系给1分；写出点的坐标给1分；写出平面EDA的法向量给1分；计算出平面CDA的法向量给3分； 求出二面角的正弦值给3分，过程酌情给分） 1 2 18.【答案】（1） p 0， p  （4分）（2） p(Y 1| X 2) （5分） (2,0) (2,1) 9 3 （3）分布列见解析（8分） 共 4 页【解析】（1）X 2，Y 0的情况有，甲抢到2题并答对2题，乙未抢到题，不符合题意；甲抢到2题并答对2 题，乙抢到2题并答对1题答错1题，不符合题意. 所以 p 0，·····································································································2分 (2,0) X 2，Y 1的情况有，甲抢到2题并答对2题，乙抢到1题并答错1题， 3 2 1 2 2 1 所以 p C2        .·········································································4分 (2,1) 3 2 3 3 9 （备注：求得 p 给2分；求得 p 给2分） (2,0) (2,1) 3 2 1 2 1 （2） p(X 2)C2      ，······································································6分 3 2 3 6 1 9 2 故 p(Y 1| X 2)   .··················································································9分 1 3 6 （备注：求得 p(X 2)给2分；求得 p(Y 1/ X 2)给3分） （3）X 0表示：甲抢到2题并答对1题答错1题，或甲抢到0题， 3 3 1 21 1 7 故 p(X 0)C2   C1        ， 3 2 2 33 2 24 已知X 0，则Y 的可能取值有3,1,1,3， 3 3 1 2     2 3 8 p(Y 3| X 0)  ，·····································································11分 7 63 24 3 3 1 1     2 3 1 p(Y 3| X 0)  ，·······································································12分 7 63 24 3 2 3 1 2 1 1 212   C1     C2   C1     2 33 3 32 2333 4 p(Y 1| X 0)  ，··························14分 7 7 24 第 3 页3 2 3 1 21 1 211   C2    C2   C1     2 333 32 2333 2 p(Y 1| X 0)  ，······························15分 7 7 24 因此，随机事件X 0发生了，随机变量Y的分布列如下：···············································17分 Y 3 1 1 3 8 4 2 1 p 63 7 7 63 （备注：求得p(X 0)给1分；求出所有的概率值给5分；写出分布列给2分） 19.【答案】（1）3是抛物线C 的和谐数，且3的和谐圆为(x3)2  y2 8（4分） （2）（i）a 4n2 1（6分） （ii）证明见解析（7分） n 【解析】（1）假设3是抛物线C 的和谐数，则3的和谐圆为A:(x3)2  y2 r2 ，………………1分 由对称性，不妨设圆A与抛物线C 有公共点T(x ,2 x )， 0 0 显然抛物线C 在点T 处的切线，即曲线 f(x)2 x 在点T 处的切线， 1 易知该切线的斜率为 f(x ) ， …………………………………………………………………2分 0 x 0 ∵圆A与抛物线C 在点T 处有相同的切线， 2 x 0 1 ∴ 0  1，解得x 1， x 3 x 0 0 0 ∴圆A与抛物线C 有公共点T(1,2)， …………………………………………………………3分 ∴和谐圆的半径为 (31)2 (02)2  2 2 ， ∴3是抛物线C 的和谐数，且3的和谐圆为(x3)2  y2 8． ………………………………4分 （备注：设出和谐圆A方程给1分；求出切线斜率给1分；求出圆A与抛物线的公共点给1分；下结论给1分） （2）由对称性，只需考虑T ，T ，，T 均在x轴上方的情形，不妨设T (x ,2 x )， 1 2 n k k k （i）∵a 为抛物线C 的和谐数， k ∴a 的和谐圆为A :(xa )2y2 r 2 ， k k k k 共 4 页