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2024年新课标全国Ⅰ卷数学
一、单选题
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知向量 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
4．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 ，则圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数为 ，在R上单调递增，则a取值的范围是（ ）
A． B． C． D．
7．当x∈[0,2π]时，曲线 与 的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
8．已知函数为 的定义域为R， ，且当 时 ，则下列结论中一定正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值
，样本方差 ，已知该种植区以往的亩收入 服从正态分布 ，假设推动出口后的亩收入
服从正态分布 ，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布 ， ）
A． B．C． D．
10．设函数 ，则（ ）
A． 是 的极小值点 B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
11．造型 可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足横坐标大于
，到点 的距离与到定直线 的距离之积为4，则（ ）
A． B．点 在C上
C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点 在C上时，
三、填空题
12．设双曲线 的左右焦点分别为 ，过 作平行于 轴的直线交C于A，B两点，若
，则C的离心率为 ．
13．若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则 .
14．甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分
别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较
所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此
后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 .
四、解答题
15．记 内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知 ，
(1)求B；
(2)若 的面积为 ，求c．
16．已知 和 为椭圆 上两点.
(1)求C的离心率;(2)若过P的直线 交C于另一点B，且 的面积为9，求 的方程．
17．如图，四棱锥 中， 底面ABCD， ， ．
(1)若 ，证明： 平面 ；
(2)若 ，且二面角 的正弦值为 ，求 ．
18．已知函数
(1)若 ，且 ，求 的最小值；
(2)证明：曲线 是中心对称图形；
(3)若 当且仅当 ，求 的取值范围．
19．设m为正整数，数列 是公差不为0的等差数列，若从中删去两项 和 后剩余的 项可
被平均分为 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列 是 可分数列．
(1)写出所有的 ， ，使数列 是 可分数列；
(2)当 时，证明：数列 是 可分数列；
(3)从 中一次任取两个数 和 ，记数列 是 可分数列的概率为 ，证明：
．
