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2011年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
（湖南卷）
参考公式（1）柱体体积公式V =Sh，其中S为底面面积，h为高．
4
（2）球的体积公式V = pR3，其中R为球的半径．
3
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1．设全集U=M∪N=﹛1,2,3,4,5﹜,M∩C N=﹛2,4﹜,则N=
u
A．{1,2,3} B． {1,3,5} C． {1,4,5} D． {2,3,4}
2．若a,bÎR，i为虚数单位，且(a+i)i =b+i则
3
A．a=1，b=1 B．a=-1,b=1
C．a=1,b=-1 D．a=-1,b=-1
2
3．“x>1”是“ x >1” 的 3
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 正视图 侧视图
C． 充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
4．设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
A．9p+42 B．36p+18
9 9
C． p+12 D． p+18
2 2
俯视图
5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下图的
1
列联表：
男 女 总计
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
总计 60 50 110
n(ad -bc)2 110´(40´30-20´20)2
由K2 = 算得，K2 = »7.8
(a+d)(c+d)(a+c)(b+d) 60´50´60´50
附表：
p(K2 ³ k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
参照附表，得到的正确结论是
A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为 “爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为 “爱好该项运动与性别无关”
第1页 | 共5页x2 y2
6．设双曲线 - =1(a>0)的渐近线方程为3x±2y =0，则a的值为
a2 9
A．4 B．3 C．2 D．1
sinx 1 p
7．曲线y = - 在点M（ ，0）处的切线的斜路为
sinx+cosx 2 4
1 1 2 2
A． - B． C． - D．
2 2 2 2
8．已知函数 f(x) =ex -1,g(x) = -x2 +4x-3，若有 f(a)= g(b)，则b的取值范围为
A． é2- 2,2+ 2ù B． é2- 2,2+ 2ù C． 1,3 D． 1,3
ë û ë û
二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中
对应题号后的横线上.
（一）选做题（请考生在9、10两题中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分）
ìï x=2cosa,
9．在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为í （a为参数）.在极坐标系（
1
ïîy = 3sina
与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，
曲线C 的方程为rcosq-sinq+1=0，则C 与C 的交点个数为
2 1 2
10．已知某试验范围为[10，90]，若用分数法进行4次优选试验，则第二次试点可以是
（二）必做题（11～16题）
11．若执行如图2所示的框图，输入x =1，x = 2,x = 4,x =8则输出的数等于
1 2 3 4
12．已知f（x）为奇函数，g（x）=f（x）+9，g（-2）=3，则f（2）=_________．
13．设向量a，b满足|a|=2 5，b=（2，1），且a与b的方向相反，则a的坐标为________．
ì y³ x
ï
14．设m>1,在约束条件í y£mx 下，目标函数z = x+5y的最大值为4，则m的值为
ï
x+ y£1
î
．
15．已知圆C:x2 + y2 =12,直线l:4x+3y =25.
（1）圆C的圆心到直线l的距离为 ．
（2）圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为 ．
16．给定kÎN*，设函数 f :N* ® N*满足：对于任意大于k的正整数n， f(n)=n-k
（1）设k =1，则其中一个函数 f 在n=1处的函数值为 ；
（2）设k =4，且当n£4时，2£ f(n)£3，则不同的函数 f 的个数为 .
第2页 | 共5页三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，且满足c sinA=acosC．
（I）求角C的大小；
p
（II）求 3sinA-cos（B+ ）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小.
4
18．（本小题满分12分）
某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河
上游在六月份是我降雨量X（单位：毫米）有关，据统计，当X=70时，Y=460；X每增
加10，Y增加5．已知近20年X的值为：140, 110, 160, 70, 200, 160, 140, 160, 220, 200,
110, 160, 160, 200, 140, 110, 160, 220, 140, 160.
（Ⅰ）完成如下的频率分布表
近20年六月份降雨量频率分布表
降雨量 70 110 140 160 200 220
频率 1 4 2
20 20 20
（Ⅱ）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频
率是为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过53
0（万千瓦时）的概率．
19．（本小题满分12分）
如图3，在圆锥PO中，已知PO= 2, O的直径
e
AB=2,点C在AB上,且ÐCAB=30o,D为AC
的中点．
（Ⅰ）证明：AC ^平面POD;
（Ⅱ）求直线 OC和平面PAC 所成角的正弦值.
第3页 | 共5页20．（本小题满分13分）
某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐
年减少．从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每
年初M 的价值为上年初的75%．
（Ⅰ）求第n年初M 的价值a 的表达式；
n
a +a +...+a
（Ⅱ）设A = 1 2 n ，若A 大于80万元，则M 继续使用，否则须在
n n n
第n年初对M 更新，证明：须在第9年初对M 更新．
21．（本小题满分13分）
已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l ,l ，设l 与轨迹C相交于点
1 2 1
uuur uuur
A,B，l 与轨迹C相交于点D,E，求AD,EB的最小值.
2
22．（本小题满分13分）
1
设函数 f(x) = x- -alnx(aÎR).
x
（Ⅰ）讨论函数 f(x)的单调性.
（Ⅱ）若 f(x)有两个极值点x ,x ，记过点A(x , f(x )), B(x , f(x ))的直线斜
1 2 1 1 2 2
率为k.问：是否存在a，使得k =2-a？若存在，求出a的值；若不存在，请说
明理由.
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