文档内容
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#!如图!!!
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是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角!则!$"%
高 三 数 学 !
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)! +!
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注意事项!
.!已知圆"!$#!%"与"轴相交于$!%两点!与抛物线&"#!%!’"#’"/$相交于(!)两点!
!#答题前!考生务必将自己的姓名"考生号"考场号"座位号填写在答题卡上#
若抛物线&的焦点为%!直线)%与抛物线&的另一个交点为*!则#*%#0#(%#%
$#回答选择题时!选出每小题答案后!用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
&!! (!" )!’ +!.
黑#如需改动!用橡皮擦干净后!再选涂其他答案标号#回答非选择题时!将答案写在
二!选择题"本题共"小题#每小题,分#共!/分!在每小题给出的选项中#有多项符合题目要
答题卡上#写在本试卷上无效#
求!全部选对的得,分#部分选对的得!分#有选错的得/分!
%#考试结束后!将本试卷和答题卡一并交回#
1!已知一组数据"!"!"!"!"!"!其中"$#-/!1/$!+%-!!!*!"!"%-/!"%1/!"$"$
"#本试卷主要考试内容$高考全部内容# - ! * " , ’ + , ’ - !
"$"%!//!平均数为"%!方差为,!若去除"!" 两个数据后!剩余数据的方差为-!则
* " , ’
&!"%%,/ (!"% ",/ )!,"- +!,&-
!一!"选!择!题!!本!题!共!&!小!题!#!每!小!题!’!分!#共!"!(!分!!在!每!小!题!给!出!的!四!个!选!项!中#只有一项是符合
!
题目要求的! -/!已知函数.#"$%!234#!"$ $!则
-!
!!已知集合")%#"#$#"&!集合$)%*$!*!!(!!!$&!则"$$)
!
+!%*$!*!!(!!!$& ,!%*!!(!!&
&!.#"$的最小正周期为
!
-!%(!!& .!%(!!!$&
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(!直线"%0 是.#"$图象的一条对称轴
$!复数%!% 满足%/%)$!%*%)$0!则%%) !"
! $ ! $ ! $ ! $
+!$0 ,!%0 -!$ .!% *!
)!.#"$在#/! $上恰有!个极小值点
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#$ ($
%!已知双曲线&$ * )!’’%(!)%((一条渐近线的斜率为$槡$!则&的离心率为
’$ )$ ,!
+!若要得到函数#%!562!"的图象!可将.#"$的图象向左平移 个单位长度
!"
+!% ,!1 -!2 .!!$
"!设%’ * &是等比数列!且’ ! /’ % )%!’ % /’ ’ )1!则’ 2 /’ !! ) --!如图!在正四棱柱()&*0( - ) - & - * - 中!()%!!(( - %槡!!$为 ! ! " !
+!$" ,!%1 ()的中点!%是棱)) - 上一点!则 # ! $ !
-!"& .!1" &!$%$%& 的最小值为槡-- %
-
’!函数+’#() #$ 的图象大致为 (!存在点%!使得$%’* - $ ! "
%*%"#"
)!存在点%!使得$%(*& & ’ $
-
# # # #
+!存在点%!使得)$%&%’/7
# - "
-!!已知/% !0%562 !1%!84 !则
1 * *
"!" ! ! "!" ! ! "! "! ! "!" ! ! &!/&0 (!1&0 )!0&/ +!1&/
三!填空题"本题共"小题#每小题,分#共!/分!
-*!已知向量!%#"!!$!"%#*!0-$!若!("!则!%"%!!*!!!
# $ % & -"!已知函数.#"$在&/!$9$上是增函数!且对任意的"!#都有.#"#$%.#"$.##$!若.#0-$
1!下列函数的图象不可能与直线()$#/,!,&!相切的是 %-!则.#"$&-的解集为!!*!!!
+!+’#()#$/# -,!在高考志愿模拟填报实验中!共有-/个专业可供学生甲填报!其中学生甲感兴趣的专业有
,!+’#()#%/3# *个!若在实验中!学生甲随机选择*个专业进行填报!则填报的专业中至少有-个是学生
#$ 甲感兴趣的概率为!!*!!!
-!+’#()45#/
$ -’!在三棱锥(0)&*中!)()*%)()&%’/7!)&%)*%!!()%"!则三棱锥(0)&*外
.!+’#()槡#/$# 接球的表面积为!!*!!!
!高三数学!第!!!!!页"共"页#$ %!"#$"%% !高三数学!第!!!!!页"共"页#$ %!"#$"%%
书书书 书书书!
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四!解答题"本题共#小题#共$%分!解答应写出文字说明!证明过程或演算步骤! "#!!$"分"
&$!!&%分" 某批发市场供应的排球中#来自甲厂的占!#%#来自乙厂的占&#%#来自丙厂的占&#%#甲
已知数列#"$是以!为首项%公差不为%的等差数列%且"%"%" 成等比数列! 厂生产的排球的合格率为’(%#乙厂生产的排球的合格率为’"%#丙厂生产的排球的合格
# & ! ’
!&"求#"$的通项公式& 率为’)%!
#
($ !$"若小张到该市场购买$个排球#求购得的排球为合格品的概率!
!("若$) %求数列#$$的前#项和%!
# " # " #*& # # !""若小李到该市场批发"个排球回去销售#购买的$个球来自甲厂#$个球来自丙厂#已知
来自甲厂的每个排球售出后可获得纯利润$#元#没有售出则每个球将损失(元#且每个
球被售出的概率等于排球的合格率$来自丙厂的每个排球售出后可获得纯利润*元#没
有售出则每个球将损失)元#且每个球被售出的概率等于排球的合格率!求小李到该市
场批发"个排球进行销售获得的纯利润的数学期望!
&+!!&(分"
在"&’(中%内角&%’%(对应的边分别是"%$%)%且$,-.(*),-.’)!",-.&!
!&"求,-.&&
!("若"&’(的面积是槡(%")(%求"&’(的周长! "$!!$"分"
在直角坐标系"#$中#动点%到直线"+!的距离是它到点&!$##"的距离的"倍#设动点
%的轨迹为曲线’!
!$"求曲线’的方程$
!""直线(%"+)$,$与曲线’交于*#+两点#求"&*+面积的最大值!
&’!!&(分"
如图%在三棱锥*/’(+中%,是’(的中点%"*(+与"*’+均为正三角形!
!&"证明’’(#*+!
%%$ %%$
!("若’,)+,%点-满足*-)+,%求二面角-/’*/+的正弦值! ""!!$"分"
! 已知函数,!""+"!-."/-"!
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!$"求,!""的单调区间$
!""证明%当-#$时#,!""$-0",$!
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书书书 书书书高三数学参考答案
!!#!因为"$!#"#%#&"$!#"’%###%"#所以"$$$!’!#(#!"!
&%*%$%# &%$!*+#
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%!)!由% 得% 则%%$$!*+%$!’+%$%!
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,!-!由题可知 $%槡%#即&$%槡%’#则(的离心率)$ $,!
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&!)!设!’"的公比为+#由’*’$,#’*’$.#得+%$%#则’*’ $$’*’%+0$,1%&
* ! , , " / !! ! ,
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"!2!由题可知#函数,$#%的定义域为!#"#(3!"#且,$’#%$ $,$#%#故函数为偶函
,’,"#"
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数#排除-#)!又,$%%$ $’ #(#所以选2!
,’/ ,
.!2!若导函数,-$#%$%有解#则直线.$%#*/就可以为该函数图象的切线!对于选项-#令
!
,-$#%$%#*!$%#解得#$ #满足条件!对于选项##因为,-$#%$,#%*4#在$(#*5%上单
%
调递增#且,-$(%$!#%#,-$%%$!%*4%)%#所以方程,-$#%$,#%*4#$%有解#满足条件!
! !
对于选项)#令,-$#%$ *#$%#解得#$!#满足条件!对于选项2#,-$#%$ *%)%#不
# %槡#
满足条件!
! !
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6!#!由图知789!$
!
#789"$
!
#则789$!*" %$
789!*789"
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, % !’789!789" ! !
!’ 1
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因为!*$(# %# "*$(# %#所以!*"$ !
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1 (
0!2!由题意知0$%#(%#则 $%#即1$&!如图#过点"和点2分别
%
"
作""-和22-垂直于抛物线的准线#易知""0"$"$0"$"""-"# #
! $ ’
"22-"$"20"!设+$03$+"03$##则"$0"$"30":;<#$ %! %
&:;<##则"""-"*""0":;<#$"30"#即&:;<#*&:;<%#$&#解得
槡"’! &!
:;<#$ #所以"""-"$&:;<#$%槡"’%!"22-"$"30"* &
%
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"20":;<##则"20"$&*"20":;<##解得"20"$ $.*%槡"#所以"20"’""0"$.
!’:;<#
*%槡"’$%槡"’%%$0!
%((*!(*/(
/!-)!因为#*#*#*#$%((##$!(##$/(#所以#,$ $"(#-正确##不
! % , & " . .
正确!因为#*$!(#/(%#4$!#%#,#&#所以去除#$!(##$/(后剩余数据的波动性更小#方
4 " .
!高三数学"参考答案!第!!!!!页#共"页$% "!"#$"%"
书书书差更小#所以/)*#)正确#2不正确!
! %! 6!
!(!#2!因为,$#%$%<+9$%#* %#所以,$#%的最小正周期5$ $!#-不正确!当#$’
!% % %&
! ! 6! ,! !
时#%#* $’ #故直线#$’ 是,$#%图象的一条对称轴##正确!由(### #得
!% % %& % !%
! ,6! ! ,! !6!
#%#* # #当且仅当%#* $ #即#$ 时#,$#%取得极小值#)不正确!,$#*
!% !% !% % %&
"! "! ! !
%$%<+9&%$#* %* ’$%<+9$%#* %$%:;<%##所以若要得到函数.$%:;<%#的图
%& %& !% %
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象#可将,$#%的图象向左平移 个单位长度#2正确!
%&
!!!-#)!如图#将平面"" ! $ ! $沿着轴$$ ! 展开到平面$$ ! ( ! (内#则 ! ! " ! # !
30*0( 的最小值为3($槡,%*$槡%%%$槡!!#-正确!当0为 $
! !
, !6 ! % " #
$$ 的中点时#23%$6#30%$ #20%$ #则23%*30%$
! ! % ! % !
20%#从而30-23##正确!当0为$$ 的中点时#30."$.2(#)正确!设$0$’$(
! ! ! ! !
30%*0(%’3(%
/’%/%%#则30%$!*’%#3(%$"#0(%$&*’%#:;<+30($ $
%30(0(
’% ’% !
!若+30($.(=#则 $ #整理得,’&’"’%’&$(#解
槡$!*’%%$&*’%% 槡$!*’%%$&*’%% %
"*槡6, "’槡6,
得’%$ )%或’%$ #(#不符合题意#2不正确!
. .
!%!-#2!令,$#%$!’%#%’:;<##则,-$#%$’&#*<+9#!令6$#%$’&#*<+9##则6-$#%
$’&*:;<##(恒成立#故6$#%在$’5#*5%上单调递减!因为6$(%$(#所以6$#%#(
! 6 !
在$(#*5%上恒成立#从而,$#%在$(#*5%上单调递减#故,$ %$ ’:;< #,$(%$(#
, / ,
! #’!
即’#&!令7$#%$#’>9#’!#则7-$#%$!’ $ !当#*$(#!%时#7-$#%#(#7$#%单
# #
!. 6 &
调递减)当#*$!#*5%时#7-$#%)(#7$#%单调递增!故7$ %$ ’%>9 )7$!%$(#即8
/ / ,
#’!故选-#2!
!,!’%(!因为!."#所以.*#$(#即#$’.#则!("$,#’%$’%(!
!&!$’!#!%!令.$’!#则,$’#%$,$#%#所以,$#%是偶函数#故,$#%#!的解集为
$’!#!%!
!6 ), !6
!"! !由题可知#填报的专业中至少有!个是学生甲感兴趣的概率为!’ 6$ !
%& ), %&
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!.!!.!!由+"$2$+"$($.(=#$($$2$%#"$$&#根据余弦定理可得"($"2$%槡,#
则"(-$(#"2-$2#则三棱锥"’$(2外接球的直径为"$$&#故三棱锥"’$(2外
"$
接球的表面积为&!($ %%$!.!!
%
!高三数学"参考答案!第!!!!%页#共"页$% "!"#$"%"!6!解*$!%设!’"的公差为9#因为’#’#’ 成等比数列#所以’%$’’#即$’*%9%%$’$’
* ! , / , ! / ! ! !
*09%#又9((#所以9$’$,#……………………………………………………………,分
!
故’$’*$*’!%9$,*!…………………………………………………………………"分
* !
, ! !
$%%由$!%可得#&$ $,$ ’ %# ……………………………………………0分
* *$**!% * **!
! ! ! ! ! ,*
则5$,$!’ * ’ *+* ’ %$ !……………………………………!(分
* % % , * **! **!
!0!解*$!%由&:;<(*8:;<$$,’:;<"#可得到<+9$:;<(*<+9(:;<$$,<+9":;<"#……
………………………………………………………………………………………………%分
即<+9$$*(%$,<+9":;<"!………………………………………………………………,分
因为$*($!’"#所以<+9$$*(%$<+9"((#
!
故:;<"$ !………………………………………………………………………………"分
,
! %槡%
$%%由:;<"$ #可得<+9"$ #……………………………………………………….分
, ,
! !
因为: $ &8<+9"#所以槡%$ &8<+9"#则&8$,!…………………………………0分
0"$( % %
% 0
由余弦定理得’%$&%*8%’%&8:;<"#即&$&%*8%’ &8$$&*8%%’ &8#
, ,
所以&*8$%槡,# …………………………………………………………………………!(分
故0"$(的周长是’*&*8$%槡,*%!…………………………………………………!%分
!/!$!%证明*连接:3#因为0:(2与0:$2均为正三角形#所以:$$:($:2$$2$(2!
………………………………………………………………………………………………!分
又3为$(的中点#所以23-$(#:3-$(!……………………………………………%分
因为23$:3$3#所以$(-平面:23!…………………………………………………,分
又:21平面:23#所以$(-:2! ………………………………………………………&分
$%%解*因为$3$23#所以0$(2为等腰直角三角形#且$2-(2!…………………"分
不妨令$2$%#则(3$槡%!由:3-$(#得:3$槡%#
则:2%$23%*:3%#故:3-23!………………………………………………………….分
以3为坐标原点#直线32#3$#3:分别为##.#%轴#建立如图所 ( !
示的空间直角坐标系! "
$$(#槡%#(%#:$(#(#槡%%#2$槡%#(#(%!
332 332
因为:0$23#所以0$’槡%#(#槡%%! #
$
332 332 332 &
则0$$$槡%#槡%#’槡%%#$:$$(#’槡%#槡%%#$2$$槡%#’槡%#(%!
’
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………………………………………………………………6分
!高三数学"参考答案!第!!!!,页#共"页$% "!"#$"%"&槡%#*槡%.’槡%%$(#
! ! !
设平面0$:的法向量为#$$##.#%%#则% 令.$!#得#$$(#
! ! ! !
’’槡%.*槡%%$(#
! !
!#!%!…………………………………………………………………………………………0分
&’槡%.*槡%%$(#
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设平面$2:的法向量为$$$##.#%%#则% 令#$!#得$$$!#!#!%!
% % % %
’槡%#’槡%.$(#
% %
……………………………………………………………………………………………/分
#($ % 槡.
:;<,##$-$ $ $ # ……………………………………………………!(分
"#""$" 槡%1槡, ,
槡. 槡,
故二面角0’$:’2的正弦值为槡!’$ %%$ !……………………………………!%分
, ,
%(!解*$!%设"#$#(分别表示购买的排球来自甲厂.乙厂.丙厂#2表示购买的排球是合格品#
则;$"%$&(?#;$$%$;$(%$,(?#;$2""%$/"?#;$2"$%$/%?#;$2"(%$/.?#所
以;$2%$;$"%(;$2""%*;$$%(;$2"$%*;$(%(;$2"(% ……………………%分
$&(?1/"?*,(?1/%?*,(?1/.?$/&!&?!……………………………………&分
$%%设小李到该市场批发%个排球进行销售获得的纯利润为<元#
依题意可得<的可能取值为!(*0#!(’.#’"*0#’"’.#即!0#&#,#’!!#………….分
;$<$!0%$(!/"1(!/.$(!/!%#…………………………………………………………6分
;$<$&%$(!/"1$!’(!/.%$(!(,0#……………………………………………………0分
;$<$,%$$!’(!/"%1(!/.$(!(&0#……………………………………………………/分
;$<$’!!%$$!’(!/"%1$!’(!/.%$(!((%# ………………………………………!(分
所以3$<%$!01(!/!%*&1(!(,0*,1(!(&0*$’!!%1(!((%$!.!./#
故小李到该市场批发%个排球进行销售获得的纯利润的数学期望为!.!./元! ……!%分
%!!解*$!%设;$##.%#因为点;到直线#$&的距离是它到点=$!#(%的距离的%倍#
所以"#’&"$%槡$#’!%%*.%#则#%’0#*!.$&#%’0#*&*&.%#…………………,分
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整理得 * $!#故曲线(的方程为 * $!!………………………………………"分
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$%%设"$##.%#$$##.%#联立方程组% & ,
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整理得$,/%*&%.%’./.’/$(#………………………………………………………….分
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则.*.$ #..$’ !……………………………………………………6分
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因为>过点$’!#(%#所以: $ 1%1".’."$槡$.*.%%’&..$
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!高三数学"参考答案!第!!!!&页#共"页$% "!"#$"%"! !
令?$槡/%*!#?4!#,$?%$,?* #则,-$?%$,’ )(在&!#*5%上恒成立#则,$?%4
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故0="$面积的最大值为,!……………………………………………………………!%分
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由,-$#%#(#解得(###4’’’!#由,-$#%)(#解得#)4’’’!!…………………………,分
所以,$#%的单调递减区间为$(#4’’’!%#单调递增区间为$4’’’!#*5%!………………"分
$%%证明*令
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$#%$,$#%’’4#*!$’$#’4#%*#>9#*!#
令@$#%$#’4##则@-$#%$!’4##则@$#%在$’5#(%上单调递增#在$(#*5%上单调递减#
所以@$#%/@$(%$’!#(!
由’4!#可得’$#’4#%*#>9#*!/#’4#*#>9#*!#…………………………………6分
4# !
即证 ’>9#’ ’!)(!
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4# ! $#’!%4# ! ! $#’!%$4#’!%
令6$#%$ ’>9#’ ’!$#)(%#则6-$#%$ ’ * $ !……
# # #% # #% #%
……………………………………………………………………………………………0分
由6-$#%$(#可得#$!$#$(舍去%!
因为当#)(时#4#’!)(#
所以当(###!时#6-$#%#(#6$#%在$(#!%上单调递减#
当#)!时#6-$#%)(#6$#%在$!#*5%上单调递增#
所以6$#% $6$!%$4’!’!$4’%)(#………………………………………………!(分
@+9
4# !
所以6$#%)(#则 ’>9#’ ’!)(#所以#’4#*#>9#*!#(#结论成立!………!%分
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!高三数学"参考答案!第!!!!"页#共"页$% "!"#$"%"
