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数学参考答案
选择题：1-4.CBCD 5-8.ACBB 9.AD 10.BCD 11.ABD
填空题：12. -105 13. 2√3 14.
15.【解答】解：（1）当m＝1时，记事件A：“所取子集的元素既有奇数又有偶数”．
则集合{1，2，3，4，5}的非空子集数为25﹣1＝31，
其中非空子集的元素全为奇数的子集数为23﹣1＝7，
全为偶数的子集数为22﹣1＝3，
所以所取子集的元素既有奇数又有偶数的概率P（A）＝ ．……………………（5
分）
（2）当m＝2时， 的所有可能取值为0，1，2，3，4，
î
P（＝0）＝ ＝ ，
î
P（＝1）＝2× ＝ ，
î
P（＝2）＝2× ＝ ，
î
P（＝3）＝ ＝ ，
î
P（＝4）＝2× ＝ ，
î
∴ 的分布列为：
î
0 1 2 3 4
î …………（10分）
P
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……所以 的数学期望E（ ）＝ + ＝ ．…………（13
分） î î
16.【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝lnx﹣（x﹣1），
其定义域为 ，
令f′（x）＞0，解得0＜x＜1，
∴函数f（x）的增区间为（0，1）．………………………………………………………………（4
分）
（2）①由f（x）＝lnx﹣a（x﹣1），得 ，
若a≤0，则f′（x）＞0，f（x）单调递增；………………………………………………………（6
分）
若 ，
当 时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当 时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当a≤0时，f（x）单调递增，x （0，1]时，f（x） ＝f（1）＝0，满足题意；…………（8分）
max
∈
当 时，在x （0，1]时，f（x） ＝f（1）＝0，满足题意；…………………………（10分）
max
∈
当 时，即a＞1，在 ，
令g（x）＝x﹣lnx﹣1，则 ，
当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
∴g（x）＞g（1）＝0，即a﹣lna﹣1＞0，不满足题意，
综上，a的取值范围是{a|a≤1}；……………………………………………………………………（15
分）
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17.【解答】解：（1）设BC ∩B C＝O，连接OA，
1 1
∵侧面BB C C为菱形，
1 1
∴BC ⊥B C，且O为B C及BC 的中点，
1 1 1 1
又AC⊥AB ，∴OA＝OC＝OB ，
1 1
又AB＝BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，即BC ⊥OA，
1
而OA，B C为平面AB C内的两条相交直线，∴BC ⊥平面AB C ．…………………………（6分）
1 1 1 1 1
（2）∵AB⊥B C，BC ⊥B C，AB∩BC ＝B∴B C⊥平面ABO，∵AO 平面ABO，∴B C⊥AO，即
1 1 1 1 1 1
OA⊥OB ， ⊂
1
从而OA，OB，OB 两两互相垂直．
1
以O为坐标原点， 的方向为x轴正方向， 为单位长度，建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz
∵∠CBB ＝60°，∴△CBB 为等边三角形，
1 1
∵AB＝BC，∴ ，
∴ ，
设 是平面B AA 的法向量，
1 1
则 ，即 ，取x＝1，得 ，
设 是平面C AA 的法向量，
1 1
则 ，同理可取 ，
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∵cos＜ ， ＞＝ ＝ ，∴二面角B ﹣AA ﹣C 的余弦值为 ．…………………（15
1 1 1
分）
18. 解析】（1）由题意可设双曲线 ，
则 ，解得 ，
所以双曲线 的方程为 .………………………………………………………（4
分）
（2）（i）设 ，直线 的方程为 ，
由 ，消元得 .
则 ，且 ，
；…………………（9
分）
或由韦达定理可得 ，即 ,
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，
即 与 的比值为定值 .
（ii）设直线 ，
代入双曲线方程并整理得 ，
由于点 为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为 ，.
由韦达定理得： ，解得 .
因为点A在双曲线的右支上，所以 ，解得 ，即
，
同理可得 ，
由（i）中结论可知 ，
得 ，所以 ，
故 ，
设 ，其图象对称轴为 ，
则 在 上单调递减，故 ，
故 的取值范围为 .………………………………（17
分）
另解：由于双曲线 的渐近线方程为 ，
如图，过点 作两渐近线的平行线 与 ，由于点A在双曲线 的右支上，
所以直线 介于直线 与 之间（含 轴，不含直线 与 ），
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所以 .
同理，过点 作两渐近线的平行线 与 ，
由于点 在双曲线 的右支上，
所以直线 介于直线 与 之间（不含 轴，不含直线 与 ），
所以 .
由（i）中结论可知 ，
得 ，所以 ,
故
19. 【详解】（1）根据“ 数列”的定义，则 ，故 ，
因为 成立， 成立， 不成立，
所以 不是“ 数列”.……………………………………………………………………（3分）
（2）由 是首项为 的“ 数列”，则 ， ，
由 是等比数列，设公比为 ，
由 ，
则 ，
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两式作差可得 ，
即
由 是 “ 数列”，则 ，对于 恒成立，
所以 ，
即 对于 恒成立，
则 ，即 ，
解得， ， ，
又由 ， ，则 ，即
故所求的 ，数列 的通项公式 ……………………………………………………（9分）
（3）设函数 ，则 ，令 ，
解得 ，当 时， ，
则 在区间 单调递减，
且 ，
又由 是 “ 数列”，
即 ，对于 恒成立，
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因为 ，则 ，
再结合 ，
反复利用 ，
可得对于任意的 ， ,
则 ，
即 ，则 ，
即 ， ， ， ，
相加可得 ，
则 ,
又因为 在 上单调递增，
所以 ，
又 ，所以 ，
即 ，
故 .………………………………………………………………………………（17分）
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