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综合能力题库----思维策略题精选1 、（单选题）有编号为1~13的卡片，每个编号有4张，共52张卡片。问至少摸出多少张，就可保证一定有
3张卡片编号相连？
A.27张
B.29张
C.33张
D.37张
正确答案：D
解析：第一步，标记量化关系“至少”、“保证”。第二步，根据“至少”、“保证”可知本题为抽屉原理问
题，答案为所有不利情况数+1。要求3张卡片编号相连，最不利的情况是已摸的牌里只有2张编号相连：1、2、
4、5、7、8、10、11、13，每个编号有4张，共有4×9=36张卡片。第三步，故至少摸出36+1=37张。因此，
选择D选项。
2、（单选题）将104张桌子分别放到14个办公室，每个办公室至少放一张桌子，不管怎样分至少有几个办公
室的桌子数是一样多?
A.2
B.3
C.7
D.无法确定
正确答案：A
解析：第一步，标记量化关系“至少”、“至少”。第二步，要使桌子数量一样多的办公室“至少”，则让桌
子数量不同的办公室尽量多。根据每个办公室“至少”一张桌子，可得14个办公室桌子数分别为1、2、3、…、
14，共 张。现有桌子104张，则有一个办公室的桌子少放1张，与另一办公室桌子数相同。
故“至少”2个办公室的桌子一样多。因此，选择A选项。
（A卷）
3、（单选题）在一只暗箱里有黑色的小球30只，白色的小球22只，蓝色的小球18只，大小都一样，每摸出
两个同色小球奖励1分，从暗箱中至少摸出（）只小球才能保证至少得10分。
A.30
B.18
C.20
D.22
正确答案：D
解析：题目出现至少……保证……，找最不利情况+1。每摸出两个同色小球奖励1分，要保证得到至少10分，
就需摸出至少10对同色小球，最不利情况为摸出9对同色小球和黑、白、蓝色小球各1只，即18+3=21个球，
要保证摸到10对同色小球，则至少摸出21+1=22只小球，因此，答案选择D选项。
5、（单选题）5名学生参加某学科竞赛，共得91分，已知每人得分各不相同，且最高是21分，则最低分至少
是多少分（）
A.1
B.16
C.13D.15
正确答案：C
解析：在总分一定的前提下，要使得最低分尽可能低，那么其他人的得分应尽可能高。设最低分为x分，已知
最高分21分，那么剩余三人的得分应该分别为20、19、18，可得：21+20+19+18+x=91，解得x=13，即最低分
至少是13分。因此，本题答案选择C选项。
7、（单选题）舞蹈队的年龄之和是2654岁，其中年龄最大的不超过79岁；最小的不低于50岁，且最多有4
个人彼此年龄相同，则这些人中至少有多少人的年龄不低于60岁？
A.5
B.6
C.7
D.8
正确答案：C
解析：第一步，标记量化关系“之和”、“最多”、“至少”。第二步，若不低于60岁的人“至少”，则低
于60岁的人应尽可能多。由于“最多”有4个人年龄相同，故低于60岁的人年龄之和最多为4×
（50+51+52+53+54+55+56+57+58+59）=2180，此时不低于60岁的人年龄之和为2654-2180=474。第三步，当年
龄为最大值79时，不低于60岁的人数至少为474÷79=6人，与最多有4个人彼此年龄相同矛盾，故年龄不低
于60岁的“至少”有7人。因此，选择C选项。
8、（单选题）一门课程的满分为100分，由个人报告成绩与小组报告成绩组成，其中个人报告成绩占70%，小
组报告成绩占30%。已知小明的个人报告成绩与同一小组的小欣的个人报告成绩之比为7：6，小明该门课程的
成绩为91分，则小欣的成绩最低为多少分？（）
A.78分
B.79分
C.81分
D.82分
正确答案：C
解析：第一步，标记量化关系“占”、“占”、“之比”、“最低”。第二步，设小明个人、小组成绩分别为
，由个人、小组成绩分别“占”70%、30%，则小明总成绩为 。根
据小明与小欣同组，则小欣小组成绩为y；由小明与小欣个人成绩“之比”为7:6，则小欣的个人成绩为 ，
故小欣的总成绩为 ，即 。第三步，结合①式，小欣得分
。当x=100时，小欣“最低”总成绩为 分。
因此，选择C选项。解法二：小明成绩为91，要使小欣成绩“最低”，则应使两人分差最大。小组成绩一样，
则应使个人成绩分差最大。当小明个人成绩为70分时，个人成绩分差最大，为10分，小欣成绩最低为
分。因此，选择C选项。9、（单选题）有30名学生，参加一次满分为100分的考试，已知该次考试的平均分是85分，问不及格（小
于60分）的学生最多有几人？
A.9人
B.10人
C.11人
D.12人
正确答案：B
解析：第一步，标记量化关系“平均分”、“最多”。第二步，总人数一定，要使不及格的人最多，则应使及
格的人最少，即要使及格的人分数都为100分。设不及格的人数为x，根据“平均分”为85且总分数相等，可
得 ，解得x≈10.98，故最多有10人。因此，选择B选项。解法二：若30人都满分，
总分为100×30=3000分，现总分为85×30=2550分，少了450分为不及格所扣的总分。要想使不及格人数“最
多”，则每个人所扣的分最少，即200-59=41分，则不及格有450÷41≈10.98人，故“最多”10人。因此，
选择B选项。
10、（单选题）有红、黄、绿三种颜色的手套各6双，装在一个黑色布袋里，从袋子里任意取出手套来，为确
保至少有2双手套不同颜色，则至少要取出的手套只数是：
A.15只
B.13只
C.12只
D.10只
正确答案：A
解析：第一步，标记量化关系“确保”、“至少”。第二步，根据“至少”，“确保”知此题为抽屉原理，答
案为最不利情况数 。最不利的情况为取出一种颜色的所有手套和其他两种颜色的手套各一只，即
只。第二步，“至少”取出 只。因此，选择A选项。
1、（单选题）某单位组织党员参加党史、党风康政建设、科学发展观和业务能力四项培训，要求每名党员参
加且只参加其中的两项。无论如何安排，都有至少5名党员参加的培训完全相同。问该单位至少有多少名党员
A.17
B.21
C.25
D.29
正确答案：C
解析：解法一：利用最不利原则。每名党员有 （种）选择情况，要使至少有5名党员参加的培训完全相
同，即它们的选择情况完全相同，必须在每种情况均有4名党员选择的基础上，再加上一个党员，即至少要有
6×4+1=25（名）党员，才能予以保证。解法二：利用抽屉原理。根据抽屉原理“将多于件的物品任意放到个
抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于件”，这里的n=6，m=4，则党员至少有4×6+1=25（名）。
2、（单选题）一个20人的班级举行百分制测验，平均分为79分，所有人得分都是整数且任意两人得分不同。
班级前5名的平均分正好是16到20名平均分的2倍。则班级第6名和第15名之间的分差最大为多少分？A.34
B.37
C.40
D.43
正确答案：D
解析：第一步，标记量化关系“整数”、“不同”、“是”、“最大”。第二步，要求第6名和第15名之间
的分差“最大”，则第6名得分要尽可能高，所有人得分都是“整数”且“不同”，则将前5名的成绩构造为
100分、99分、98分、97分、96分，所以第6名得分最高为95分。第三步，第15名得分要尽可能低，又由
于前5名的平均分“是”后五名平均分的2倍，前5名的平均分为98，则后五名平均分为98÷2=49分，则后
5名得分可分别构造为51分、50分、49分、48分、47分，故第15名得分为52分。第四步，分差“最大”为
95-52=43分。因此，选择D选项。
3、（单选题）某工厂生产线有若干台相同的机器，平时固定有5台机器同时生产，每小时总计可以生产300
件产品。由于操作机器的人手有限，故每多上线一台机器生产，每台机器平均每小时少生产2件产品。问至少
多开多少台机器，才能使生产效率提升50%以上？
A.3
B.4
C.5
D.6
正确答案：B
解析：第一步，根据“至少”，判断本题为最值问题。第二步，题目条件较为复杂，可以考虑代入排除。问最
小，从最小选项开始代入。代入A选项，多开3台机器，则每台机器平均每小时生产300÷5-2×3=54件产品，
每小时生产效率为54×8=432（件），要想提升50%以上至少需要达到300×（1+50%）=450（件），A选项不
符合题意；代入B选项，多开4台机器，则每台机器平均每小时生产300÷5-2×4=52件产品，每小时生产效
率为52×9=468（件），超过了450件，符合题意；因此，选择B选项。解法二：设多开了x台机器，则每台
机器平均每小时生产60-2x件产品，每小时生产效率为（x+5）×（60-2x）= ，由题意此效率
大于等于300×（1+50%）=450，即 ，当x∈[ ]时此式成立，由
于18的平方是324，因此这个无理数区间约为[3.5，21.5]，这个区间内最小整数应为4。因此，选择B选项。
5、（单选题）某市场调查公司3个调查组共40余人，每组都有10余人且人数各不相同，2017年重新调整分
组时发现，若想分为4个人数相同的小组，至少需要新招1人；若想分为5个人数相同的小组，至少还需要新
招2人。问原来3个组中人数最多的组比人数最少的组至少多几人？
A.2
B.3
C.4
D.5
正确答案：B解析：第一步，本题考查最值问题中构造设定，根据总人数为40余人，且平均分4组缺1人，平均分5组缺2
人，可知总人数为43人。第二步，原三个小组中，每组人数不同，且不相等，求最多的比最少的的至少，即
最值问题中的数列构造，设最大的为X，且差至少，要求最大的最小，最小的最大即可，因此第二大为（X-1），
第三大为（X-2）因此，X+X-1+X-2=43，x为最大的最下，x≈15.33，x取16，最小13，则最大于最小的差为3。
因此，选择B选项。
6、（单选题）某校有58名同学参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四组，则必有一组的女生多于3人，又
知参赛者中任意14人中必有男生，则参赛男生的人数为（）
A.45
B.46
C.47
D.48
正确答案：A
解析：第一步，标记量化关系“必有”、“必有”。第二步，若保证“必有”一组女生多于3人，则女生人数
至少为3×4+1=13人；由任意14人中“必有”男生，故女生人数不能超过13人。所以，女生为13人。第三
步，根据总人数为58人，则男生为58-13=45人。因此，选择A选项。
7、（单选题）箱子里有大小相同的3种颜色玻璃珠各若干颗，每次从中摸出3颗为一组，问至少要摸出多少
组，才能保证至少有2组玻璃珠的颜色组合是一样的?
A.11
B.15
C.18
D.21
正确答案：A
解析：第一步，标记量化关系“至少”、“保证”。第二步，根据“至少”、“保证”可知，本题为抽屉原理
问题，答案为所有不利情况数+1。最不利情况应为抽出的每组玻璃珠颜色均不相同，而摸出的3颗玻璃球颜色
组合有以下3类情况：（1）1种颜色，有 种；（2）2种颜色，有 种；（3）3种颜色，有
种。共有 种不同的颜色组合。第三步，“至少”要摸出10+1=11组。因此，选择A选项。
8、（单选题）将25台笔记本电脑奖励给不同的单位，每个单位奖励的电脑数量均不等，最多可以奖励几个单
位？
A.5
B.6
C.7
D.8
正确答案：B
解析：第一步，标记量化关系“不等”、“最多”。第二步，根据“最多”可知，尽可能让每个单位分得的电
脑数量少，则分得电脑数量最少的单位最少可分得1台电脑，由于各单位电脑数量均“不等”，则分得电脑第
二少的单位最少分得2台电脑 分得电脑第n少（最多）的单位最少分得n台电脑。于是有： 。第三步，代入选项可知，满足上述不等式最大的值n=6，此时还剩4台，不能再单独奖励一个单位，只能分到
后4个单位，所以最多可以奖励6个单位。因此，选择B选项。
9、（单选题）某城市9月平均气温为28.5度，如当月最热日和最冷日的平均气温相差不超过10度，则该月
平均气温在30度及以上的日子最多有多少天？
A.24
B.25
C.26
D.27
正确答案：B
解析：第一步，标记量化关系“平均”、“不超过”、“最多”。第二步，若要30度及以上的日子“最多”，
则30度以下的日子最少且温度尽可能低。由温差“不超过”10度，可构造最热日均为30度、其余天数是最冷
日，均为20度。第三步，设最热日有x天，根据9月“平均”气温为28.5度，可得30x+20×（30-x）=28.5
×30，解得x=25.5，故最多有25天。因此，选择B选项。
10、（单选题）某政府机关内甲、乙两部门通过门户网站定期向社会发布消息，甲部门每隔2天、乙部门每隔
3天有一个发布日，节假日无休。问甲、乙两部门在一个自然月内最多有几天同时为发布日？
A.2
B.3
C.5
D.6
正确答案：B
解析：第一步，标记量化关系“每隔”、“每隔”、“最多”。第二步，“每隔”2天即每3天，“每隔”3
天即每4天，3和4的最小公倍数是12，即两部门每12天会有一个“同时发布日”。第三步，为了“最多”，
让两个部门1号同时发布。接下来的同时发布日只能是13号和25号，所以一个月内最多有三个同时发布日。
因此，选择B选项。
1、（单选题）有一排长椅总共有65个座位，其中已经有些座位上有人就坐。现在又有一人准备找一个位置就
坐，但是此人发现，无论怎么选择座位，都会与已经就坐的人相邻。问原来至少已经有多少人就坐?
A.13
B.17
C.22
D.33
正确答案：C
解析：第一步，标记量化关系“都”、“至少”。第二步，根据无论怎么选择座位，“都”会与已经就坐的人
相邻，可知长椅两端最多空1个座位，长椅中间每两人之间最多空2个座位。第三步，为使已经就坐的人数“至
少”，则空的座位应尽量多，可使长椅第2、5、8、11 65个座位上有人就坐，即每3个座位坐1人，65
÷3=21…2，剩下的2个座位必须坐1人，故“至少”有21+1=22人就坐。因此，选择C选项。
2、（单选题）现有100块糖，把这些糖分给10名小朋友，每名小朋友分的数量都不相同，则分得最多的小朋
友至少分得（）块糖。
A.13B.14
C.15
D.16
正确答案：C
解析：第一步，标记量化关系“最多”、“至少”。第二步，设“最多”的小朋友“至少”分了x个，若“最
多”的小朋友分到的糖“至少”，则其余9人应尽可能多，由每名小朋友分的数量都不相同，构造其余9名小
朋友分得糖数分别为x-1、x-2、……、x-9。第三步，100=x+（x+1）+（x-2）+……+（x-9），解得x=14.5。
故“至少”分得15块糖。因此，选择C选项。
3、（单选题）在2011年世界产权组织公布的公司全球专利申请排名中，中国中兴公司提交了2826项专利申
请，日本松下公司申请了2463项，中国华为公司申请了1831项，分别排名前3位，从这三个公司申请的专利
中至少拿出多少项专利，才能保证拿出的专利一定有2110项是同一公司申请的专利？
A.6049
B.6050
C.6327
D.6328
正确答案：B
解析：第一步，标记量化关系“至少”、“保证”。第二步，根据“至少”、“保证”知，此题为抽屉原理问
题，答案为所有不利情况数+1。所有不利情况数为三家公司拿出的专利数都尽量多且小于2110，即中兴2109、
松下2109，华为1831。第三步，则“至少”拿出 项专利。因此，选择B选项。
4、（单选题）某次百分制考试共有30名考生参加，每人的成绩均为正整数，所有考生平均成绩为80分，且
所有考生成绩均不相同。问成绩低于60分的考生最多有多少人？
A.7
B.8
C.9
D.10
正确答案：B
解析：第一步，30人成绩互不相同，且为整数，使用枚举法。第二步，高分越高，低于60分的分数也越高，
则低于60分的考生人数会越多，平均数是80分，本题采用中位数法计算，取中位数为80。第三步，81分至
100分共计20个分数，则高出80分的分差和为1＋2＋……＋20＝210分，低于60分的分数，最高为59分，
假设剩余的10个分数均低于60分，则低于80分的分差和最多为21＋22＋……＋30＝255分，210小于255分，
10人不可能。第四步，若9个分数低于60分，则低于80分的分差和最多为255－30＝225，225大于210，9
人也不可能。第五步，若8个分数低于60分，则低于80分的分差和最多为255－30－29＝196,196小于210,8
人低于60分，没问题，只需另外2个人的低于80分的分差和为14即可。因此，选择B选项。
5、（单选题）某中学在高考前夕进行了一次模拟考试，其中语文考试的及格率为80%，数学考试的及格率为
89%，英语考试的及格率为79%，物理考试的及格率为87%，历史考试的及格率为93%，则在这次考试中至少有
多少人都及格：
A.36%B.28%
C.79%
D.39%
正确答案：B
解析：最值问题，多集合反向构造，做差、加和、做差。20%+11%+21%+13%+7%=72%，则都及格的人至少有
100%-72%=28%，故选B选项。
6、（单选题）有120名职工投票从甲、乙、丙三人中选举一人为劳模，每人只能投一次，且只能选一个人，
得票最多的人当选。统计票数的过程中发现，在前81张票中，甲得21票，乙得25票，丙得35票。在余下的
选票中，丙至少再得几张选票就一定能当选？
A.15
B.18
C.21
D.31
正确答案：A
解析：第一步，标记量化关系“至少”、“一定”。第二步，由前81张的得票情况知，乙、丙接近，对丙威
胁最大的是乙，只要将余下的票分给乙且票量小于丙即可。在余下的39票中，设其中 票给丙，则 全给
乙。第三步，由丙“一定”当选可得 ，解得 。丙“至少”再得15张。因此，选择A
选项。解法二：代入A，则丙票为 ，剩余票量 ，即使全给乙，乙得 ，小于
丙，满足条件。因此，选择A选项。
7、（单选题）调研人员在一次市场调查活动中收回了435份调查问卷，其中80%的调查问卷上填写了被调查者
的手机号码。那么调研人员至少需要从这些调查表中随机抽出多少份，才能保证一定能找到两个手机号码后两
位相同的被调查者：
A.101
B.175
C.188
D.200
正确答案：C
解析：第一步，标记量化关系“至少”、“保证”。第二步，由“至少”、“保证”可知此题为抽屉原理问题，
答案为最不利情况数+1。未填写电话号码的问卷数为435×（1-80%）=87，手机号码后两位组合情况数有
，则所有最不利情形为87+100=187。第三步，故“至少”抽取187+1=188份。因此，选择C选项。
8、（单选题）公司某部门80%的员工有本科以上学历，70%有销售经验，60%在生产一线工作过。该部门既有本
科以上学历，又有销售经历，还在生产一线工作过的员工至少占员工的：
A.20%
B.15%
C.10%
D.5%正确答案：C
解析：第一步，标记量化关系“既”、“又”、“还”、“至少”。第二步，由“既”有本科以上学历，“又”
有销售经历，“还”在生产一线工作过的员工“至少”，可知题目为反向构造问题，解题方法为：反向：没有
本科以上学历的有1-80%=20%，同理，没有销售经验的有30%，没在生产一线工作过的有40%；求和：三项条件
不都符合的最多有20%+30%+40%=90%；做差：三项条件都符合的“至少”占1-90%=10%。因此，选择C选项。
9、（单选题）在一次竞标中，评标小组对参加竞标的公司进行评分，满分120分，按得分排名，前5名的平
均分为115分，且得分是互不相同的整数，则第三名得分至少是：
A.112分
B.113分
C.115分
D.116分
正确答案：B
解析：第一步，标记量化关系“平均分”、“互不相同”、“至少”。第二步，设第三名为 分，总分一定
的情况下，为使 “至少”，则其他名次的分数尽可能高。根据得分是“互不相同”的整数，则前两名最高
为120、119分，后两名最高为 。第三步，根据前5名的“平均分”为115，可得
，解得 。因此，选择B选项。
10、（单选题）有4支队伍进行4项体育比赛，每项比赛的第一、第二、第三、第四名分别得到5，3，2，1
分。每队的4项比赛的得分之和算作总分，如果已知各队的总分不相同，并且A队获得了三项比赛的第一名，
问总分最少的队伍最多得多少分？
A.7
B.8
C.9
D.10
正确答案：B
解析：第一步，标记量化关系“不相同”、“最少”、“最多”。第二步，要保证总分“最少”的队伍得分“最
多”，则其他队伍得分尽可能少，故A队第四项比赛得1分，总分为3×5+1=16。由于四项比赛总分为4×（5+3+2+1）
=44，可知其他3队的总分为44-16=28。第三步，设总分最少的队伍最多得x分，由各队总分“不相同”可知，
其他2队得分分别为x+1、x+2，可得x+x+1+x+2=28，解得x≈8.3，即最多得8分。因此，选择B选项。
1、（单选题）5个人平均年龄是29，5个人中没有小于24的，那么年龄最大的人至多是多少岁？
A.46
B.48
C.50
D.49
正确答案：D解析：第一步，标记量化关系“没有小于”、“最大”、“至多”。第二步，要使年龄“最大”的“至多”，
则其余人年龄应最少；根据“没有小于”24的，构造其余4人的年龄都为24岁。第三步，则年龄“最大”的
“至多”为29×5-24×4=49岁。因此，选择D选项。
2、（单选题）某次知识竞赛的决赛有3人参加，规则为12道题每题由1人以抢答方式答题，正确得10分，
错误扣8分，如果最后所有人得分都是正分，且回答问题最多的人是得分最少的人，那么前两名之间的分差最
多为多少分？
A.8
B.12
C.20
D.40
正确答案：D
解析：第一步，标记量化关系“最多”、“最少”、“最多”。第二步，抢答错误会落后8分，而被其他人抢
答正确会落后10分，所以被其他人抢答正确一题会使得分差最大（10分）。要使前两名分差尽可能大，则需
第二名抢到的题目尽可能少，同时第一名答对全部抢到到的题目。第三步，为保证每人得分都是正分，于是假
定第二名只抢答1题并答对。此时还要保证第一名答题数小于第三名，则第一名答对5题。所以前两名得分差
为10×5-10×1=40分。因此，选择D选项。解法二：题目要求分差“最多”，考虑从D选项代入，前两名分
差为40，可知两人均答对所有抢到的题目，则可能的情况分别为：4、0；5、1；6、2。第一名答对六题回答问
题最多，不符合题意，排除；第一名答对四题，第二名得分为0（非正），不符合题意，排除；故可能的情况
仅为：甲答对五题50分，乙答对一题10分，丙答六题对错各三题6分，符合题意。因此，选择D选项。
3、（单选题）某单位200名青年职工中，党员的比例高于80%，低于81%，其中党龄最长的10年，最短的1
年。问该单位入党人数最多的年份至少有多少名青年职工入党？
A.14
B.15
C.16
D.17
正确答案：D
解析：第一步，标记量化关系“比例”、“最多”、“至少”。第二步，根据党员的“比例”高于80%，低于
81%，可知党员人数大于200×80%=160，小于200×81%=162，则党员人数为161人；由党龄1~10年，可将党
员按党龄分成10组，161÷10=16…1。入党人数“最多”的年份人数“至少”有16+1=17人。因此，选择D选
项。
4、（单选题）某单位每四年举行一次工会主席选举，每位工会主席每届任期四年，那么在18年期间该单位最
多可能有（）位工会主席。
A.5
B.6
C.7
D.8
正确答案：B解析：要想18年期间工会主席最多，那么第一年与第二年就要是不同的工会主席，16年正好有4位工会主席，
剩下最后一年正好又有1位新的工会主席，共有1+4+1=6位工会主席。因此，本题答案选择B选项。
5、（单选题）有软件设计专业学生90人，市场营销专业学生80人，财务管理专业学生20人及人力资源管理
专业学生16人参加求职招聘会，问至少有多少人找到工作就一定保证有30名找到工作的人专业相同？
A.59
B.75
C.79
D.95
正确答案：D
解析：第一步，标记量化关系“至少”、“保证”。第二步，根据“至少”、“保证”可知本题为抽屉原理问
题，答案为所有不利情况+1。由于30名找到工作的人专业相同，确定所有不利情况为各专业的人尽量多且小
于30人，即软件设计29人，市场营销29人，财务管理20人，人力资源16人。第三步，故“至少”需要
29+29+20+16+1=95人找到工作，就一定“保证”有30名找到工作的人专业相同。因此，选择D选项。
6、（单选题）某单位五个处室分别有职工5、8、18、21和22人，现有一项工作要从该单位随机抽调若干人，
问至少要抽调多少人，才能保证抽调的人中一定有两个处室的人数和超过15人？（）
A.34
B.35
C.36
D.37
正确答案：B
解析：由于五个处室分别有职工5、8、18、21、22，问至少要抽调多少人能保证抽调的人中一定有两个处室的
人数和超过15人，也就是保证有两个处室的人数和为16人，则最不利情况为5、8、7、7、7，因此所求答案
为5+8+7+7+7+1=35人。因此，本题答案选择B选项。
7、（单选题）某区要从10位候选人中投票选举人大代表，现规定每位选举人必须从这10位中任选两位投票，
问至少要有多少位选举人参加投票，才能保证有不少于10位选举人投了相同两位候选人的票？
A.382位
B.406位
C.451位
D.516位
正确答案：B
解析：第一步，标记量化关系“至少”、“保证”。第二步，根据“至少”、“保证”可知，本题为抽屉原理
问题，答案为所有最不利情况数+1。从10位候选人中任选两位投票，共有 种情况，所有不利情况为每
种情况有9位选举人投票，则有9×45=405位选举人投票。第三步，故“至少”要有405+1=406位选举人参加
投票。因此，选择B选项。
8、（单选题）某新能源汽车企业计划在A、B、C、D四个城市建设72个充电站，其中在B市建设的充电站数
量占总数的1/3，在C市建设的充电站数量比A市多6个，在D市建设的充电站数量少于其他任一城市。问至
少要在C市建设多少个充电站？A.20
B.18
C.22
D.21
正确答案：D
解析：第一步，题干特征，总和一定，求某一项的最值，判断为数列构造。第二步，此题是最值问题中的构造
问题。定位、构造如下:
第三步，加
和求解，x-6+24+x+x-7=72，解得x=20+，最少则取整为21，即C城市的充电站建设数目为21个。因此，选择
D选项。
9、（单选题）七夕节，某市举办大型公益相亲会，共42人参加。其中女生20名，每人至少相亲一次，共相
亲61次，则至少有一名女生至少相亲多少次？（）
A.6
B.4
C.5
D.3
正确答案：B
解析：本题考查最值问题。共相亲61次，61÷20=3···1，则至少有一名女生至少相亲4次。故本题答案为
B。
10、（单选题）8名学生参加某项竞赛总得分是131分，已知最高分21分，每个人得分各不相同。则得分最低
的最少得多少分？
A.1
B.2
C.3
D.5
正确答案：D
解析：第一步，标记量化关系“各不相同”、“最低”、“最少”。第二步，若使得分“最低”的分数“最少”，
则其他人的分数应尽可能高。设最低分数为x，根据最高分21分，且得分“各不相同”，可构造出第2到第7
名的分数依次为20、19、18、17、16、15。第三步，根据总得分是131分，可得21+20+19+18+17+16+15+x=131，
解得x=5分。因此，选择D选项。
2、（单选题）公用电话亭中有两部电话，六个人排队打电话。打完即走，他们的通话时间分别为3分钟、5分
钟、4分钟、13分钟、7分钟、8分钟，则大家在此公用电话亭逗留的总时间最少为（）分钟。
A.60
B.66
C.72
D.78正确答案：B
解析：要使逗留的总时间最少，则等候的时间必须尽量少，即两部电话的使用时间都是短的在前、长的在后。
因此，两部电话的使用顺序是（3分钟、4分钟）、（5分钟、7分钟）、（8分钟、13分钟）。逗留的总时间
是（3＋4）×3＋（5＋7）×2＋8＋13＝66（分钟）。故本题选择B。
3、（单选题）一学生在期末考试中6门课成绩的平均分为92.5分，且6门课的成绩是互不相同的整数，最高
分是99分，最低分是76分，则按分数从高到低居第三的那门课至少得分为：
A.93
B.95
C.96
D.97
正确答案：B
解析：第一步，标记量化关系“平均分”、“互不相同”、“第三”、“至少”。第二步，设“第三”的那门
课成绩为x，在“平均分”一定的情况下，要排“第三”的那门课成绩“至少”，只需其他课的成绩尽量高即
可。根据“互不相同”，六门课分别为99、98、x、x-1、x-2、76。第三步，根据“平均分”92.5，可得92.5
×6=99+98+x+x-1+x-2+76，解得x=95分。因此，选择B选项。
4、（单选题）某数学竞赛共160人决赛，决赛共四题，做对第一题的136人，第二题的125人，第三题的118
人，第四题的104人，那么在决赛中至少几个人是满分？
A.3
B.4
C.5
D.6
正确答案：A
解析：第一步，标记量化关系“至少”。第二步，由“至少”有几个满分知，此题为多集合反向构造。反向：
四题分别做错的人数有160-136=24，160-125=35，160-118=42，160-104=56。加和：有24+35+42+56=157人不
全对。作差：满分的人“至少”为160-157=3人。因此，选择A选项。
5、（单选题）用1个70毫升和1个30毫升的容器盛取20毫升的水到水池Ａ中，并盛取80毫升的酒精到水
池Ｂ中，倒进或倒出某个容器都算一次操作，则最少需要经过几次操作？
A.15
B.16
C.17
D.18
正确答案：A
解析：将30毫升的容器装满后倒入70时毫升的容器中，反复3次可以得到20毫升的水；将70毫升的容器装
满后倒入30毫升的容器中，再倒出，两次之后可以得到10毫升的酒精，再加上70毫升的酒精，得到80毫升
的酒精。注意倒进和倒出各算一次操作，经过15次操作可以完成。
6、（单选题）某公司举办大型年会活动，共35人参加。其中13名女生，每人至少表演一个节目，导演尽可
能平均分配节目，共表演了27个节目，则至少有一名女生至少表演多少个节目？
A.4B.3
C.2
D.1
正确答案：B
解析：第一步，标记量化关系“至少”、“至少”。第二步，根据平均分配可知，27÷13=2…1，每人分得2
个节目还剩余1个。“至少”有一名女生至少表演2+1=3个节目。因此，选择B选项。
8、（单选题）某单位安排职工参加百分制业务知识考试，小周考了88分，还有另外2人的得分比他低。若所
有人的得分都是整数，没有人得满分，且任意5人的得分不完全相同，问参加考试的最多有多少人？
A.38
B.44
C.50
D.62
正确答案：C
解析：第一步，标记量化关系“还有”、“任意”、“最多”。第二步，为使参加考试的人“最多”，需每个
分数对应人数尽可能多，从88~99分共12个不同分数，根据“任意”5个人不完全相同可知，每个分数最多有
4人相同，分数不低于88的最多4×12=48人。第三步，通过“还有”2人比88低可知，参考人数“最多”为
48+2=50人。因此，选择C选项。
9、（单选题）某工厂有100名工人报名参加了4项专业技能课程中的一项或多项，已知A课程与B课程不能
同时报名参加。如果按照报名参加的课程对工人进行分组，将报名参加的课程完全一样的工人分到同一组中，
则人数最多的组最少有多少人?
A.7
B.8
C.9
D.10
正确答案：D
解析：第一步，标记量化关系“不能”、“最多”、“最少”。第二步，由于A、B课程“不能”同时参加，
故选课方式分为以下三类：（1）参加1项课程，有 种方式；（2）参加2项课程，有 种方式；
（3）参加3项课程，有 种方式（不能同时参加ABC、ABD）；故共有4+5+2=11种报名方法，工人可
分成11组。第三步，设人数最的组人数为x，要其人数“最少”，则其他组的人数尽可能多，最多均为x。于
是有11x=100，解得x=100/11≈9.1，即人数最多的组最少有10人。因此，选择D选项。
10、（单选题）小明和姐姐用2013年的台历做游戏，他们将12个月每一天的日历一一揭下，背面朝上放在一
个盒子里，姐姐让小明一次性帮她抽出一张任意月份的30号或者31号。问小明一次至少应抽出多少张日历，
才能保证满足姐姐的要求？
A.346
B.347
C.348
D.349正确答案：C
解析：第一步，标记量化关系“至少”、“保证”。第二步，根据“至少”、“保证”可知，本题为抽屉原理
问题，答案为所有不利情况数+1。考虑最不利情况，即找出了除30号和31号外的所有日期。2月份抽出28张
（2013年是平年），其他月份均有29张，一共抽出11×29+28=347张。第三步，“至少”抽出347+1=348张。
因此，选择C选项。
1、（单选题）黑色布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的袜子各3只，如果闭上眼睛从布袋中拿这些袜子，为保
证拿到两双（每双颜色要相同）袜子，至少要拿多少只？
A.5
B.6
C.7
D.8
正确答案：B
解析：第一步，标记量化关系“保证”、“至少”。第二步，根据“至少”、“保证”，可知此题为抽屉原理
问题，答案为所有不利情况数+1。先从三种颜色袜子中各拿出一只，所有不利的情况为第四只与第五只袜子颜
色相同，即5只。故“至少”要拿5+1=6只。因此，选择B选项。
2、（单选题）箱子里有大小相同的3种颜色玻璃珠各若干颗，每次从中摸出3颗为一组，问至少要摸出多少
组，才能保证至少有2组玻璃珠的颜色组合是一样的？
A.11
B.15
C.18
D.21
正确答案：A
解析：解析一；每次摸出3颗玻璃珠，可能的颜色情况如下：（1）3颗颜色都一样：有3种可能；（2）3颗
中有两颗颜色一样：有3╳2=6种可能；（3）3颗颜色各不相同：只有1种可能。综上，本题的最不利情况是
3+6+1=10种，也就是说最多挑出10组结果各不相同，在此基础上再挑一组，一定会出现重复。因此，最终的
答案是10+1=11种。解析二：每次从箱子中摸出3颗玻璃珠，若摸出3个玻璃珠均为一种颜色，则共有3种情
况；若摸出3个玻璃珠有两种颜色，则共有3×2＝6种情况；若摸出的3个玻璃珠三种颜色都有，则有1种情
况。故从中摸出3个玻璃珠，颜色组合共计有10种情况。考虑最不利情况，在摸出的前10种情况中，摸出的
颜色组合均不相同，则在第11次无论摸出哪种颜色组合均可满足2组玻璃珠的颜色组合相同，故至少需要11
次。正确答案为A
3、（单选题）甲、乙、丙、丁四个队参加五项比赛，每项第一名得3分，第二名得2分，第三名得1分，第
四名不得分，已知甲队获得了3次第一名，乙队获得了3次第二名，那么得分最少的队的分数不可能超过（）
分。
A.5
B.6
C.7
D.8
正确答案：C解析：第一步，标记量化关系“每项”、“最少”、“不可能超过”。第二步，设得分“最少”的队伍得分为
x。要使其尽可能大，其他队伍得分应该尽可能少，则甲最少得3×3=9分，其它两队得分最少均为x。由“每
项”比赛排名得分可知，比赛总分为（3+2+1+0）×5=30分，则30=9+x+x+x，解得x=7分，故得分“最少”的
“不可能超过”7分。因此，选择C选项。
4、（单选题）某高校举办一次读书会共有37位同学报名参加，其中中文，历史、哲学专业各有10位同学报
名参加此次读书会，另外还有4位化学专业学生和3位物理专业学生也报名参加此次读书会，那么一次至少选
出（）位学生，能保证选出的学生中至少有5位学生是同一专业的。
A.17
B.20
C.19
D.39
正确答案：B
解析：第一步，标记量化关系“至少”、“保证”。第二步，由“至少”、“保证”知，本题为抽屉原理问题，
答案为所有不利情况数+1。所有不利情况为中文、历史、哲学和化学专业各选出4位，物理专业选出3位，共
4+4+4+4+3=19位。第三步，故“至少”选出19+1=20位学生，能“保证”选出的学生中至少有5位学生是同一
专业的。因此，选择B选项。
5、（单选题）有白色手套20只，黑色手套16只，灰色手套14只，大小相同，在黑暗中至少摸出（）只手套
就能保证至少摸出5双手套（两只同色手套称为一双）。
A.11
B.12
C.13
D.14
正确答案：B
解析：问题中出现“至少……保证……”判定是最不利构造，做题方法是：答案=最不利的情况+1。最不利的
情形：9只白色手套+1只黑色手套+1只灰色手套，所以正确答案是9+1+1+1=12。因此正确答案是B。
6、（单选题）共有100个人参加某公司的招聘考试，考试的内容共有5道题，1~5题分别有80人、92人、86
人、78人和74人答对。答对3道和3道以上的人员能通过考试，请问至少有多少人能通过这次考试？
A.30
B.55
C.70
D.74
正确答案：C
解析：第一步，标记量化关系“共”、“共”、“至少”。第二步，欲使通过考试的人数“至少”，则未通过
考试的人数应尽量多。由“共”有100人，可知1~5题分别有20、8、14、22、26人做错，则总共做错90道
题。由于答错3道及以上就不能通过考试，故每人只错3道题时，未通过考试的人数最多，有90÷3=30人。
第三步，至少有100-30=70人能通过这次考试。因此，选择C选项。8、（单选题）有300名求职者参加高端人才专场招聘会，其中软件设计类、市场营销类、财务管理类和人力
资源管理类分别有100、80、70和50人。问至少有多少人找到工作，才能保证一定有70名找到工作的人专业
相同？
A.71
B.119
C.258
D.277
正确答案：C
解析：第一步，标记量化关系“至少”、“保证”。第二步，由“至少”、“保证”知，本题为抽屉原理问题，
答案为最不利情况数+1。最不利情况数为每个专业的人都尽量多且小于70人，即每个专业找到工作的人都是
69人，而人力资源管理类只有50人，则这50人都找到工作。共有69+69+69+50=257人。第三步，则“至少”
有257+1=258人。因此，选择C选项。
9、（单选题）某餐厅要用三个炉灶做出9道菜肴，做完各道菜肴需要的时间分别是1、2、3、4、4、5、5、6、
7分钟。每个炉灶在同一时间只能做一道菜肴。那么，最少经过（）分钟，该餐厅可以做完全部菜肴。
A.11
B.12
C.13
D.14
正确答案：C
解析：做完9道菜肴需要的时间总数为1＋2＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋7＝37（分钟）。要使最后花费的时间最少，
那么应该使每个炉灶尽可能得到充分利用，也就是使用时间尽量平均。37÷3＞12，取最小的整数13代入验证，
可以形成（1、2、4、4），（3、5、5），（6、7）的搭配，所以该餐厅最少经过13分钟可以做完全部菜肴。
本题选C。
10、（单选题）箱子里有大小相同的3种颜色玻璃珠各若干颗，每次从中摸出3颗为一组，问至少要摸出多少
组，才能保证至少有2组玻璃珠的颜色组合是一样的？
A.11
B.15
C.18
D.21
正确答案：A
解析：每次摸出3颗玻璃珠，可能的颜色情况如下：（1）3颗颜色都一样：有3种可能；（2）3颗中有两颗
颜色一样：有3×2=6种可能；（3）3颗颜色各不相同：只有1种可能综上，本题的最不利情况是3+6+1=10种，
也就是说最多挑出来10组结果各不相同，在此基础上再挑一组，一定会出现重复。因此最终的答案是10+1=11
种。
2、（单选题）某单位有52人投票，从甲、乙、丙三人中选出一名先进工作者。在计票过程中的某时刻，甲得
17票，乙得16票，丙得11票，如果规定得票比其他两人都多的候选人才能当选。那么甲要确保当选，最少要
再得（）票。
A.1张B.2张
C.3张
D.4张
正确答案：D
解析：第一步，标记量化关系“确保”、“最少”。第二步，考虑最不利情况，甲如果要确保当选，剩下的
票，丙一票不拿。设甲“最少”再得 票，故乙再得 票，则有 ，解
得 ，甲最少再得4票可确保当选。因此，选择D选项。解法二：整体考虑，乙对甲威胁最大，除去丙已
得的11票，甲乙共可以分 张票，那么甲至少要得到 张票，甲已经得了17票，故最少再
得 张才确保当选。因此，选择D选项。
3、（单选题）4个轮船负责6个码头之间的货物调配任务，已知这六个码头需要装卸工的数量分别为12人、
10人、6人、8人、3人、9人。现在让一部分装卸工跟轮船移动，而不是在各自的码头等待轮船到来才开始工
作，这样一来，可以使6个码头所需装卸工的数量最少，则在不影响任务的前提下，所需装卸工最少的人数为
（）人。
A.48
B.39
C.45
D.31
正确答案：B
解析：有4艘轮船，最多有4个码头同时进行货物调配，即要保证6个码头的货物调配任务只考虑需要人数最
多的4个码头同时进行货物调配所需的人数即可。所以至少需要12+10+9+8=39名装卸工人。因此，本题答案
为B选项。
4、（单选题）一副扑克牌有52张，最上面一张是红桃A。如果每次把最上面的10张移到最下面而不改变它们
的顺序及朝向，那么，至少经过多少次移动，红桃A会出现在最上面？（）
A.27
B.26
C.25
D.24
正确答案：B
解析：解法一：第一轮，从第一次移动开始，到第五次移动结束，红桃A在正数第3张；第二轮，五次移动过
后，红桃A在正数第5张；第三轮，五次移动过后，红桃A在正数第7张；依此类推，当红桃A在正数第11
张时，再移动1次即可，又因为每五次移动后，红桃A都往后移动两个位置，故有第五轮后红桃A在正数第11
张，所以移动的次数为5×5+1=26。因此，本题答案为B选项。解法二：每翻动52张牌，红桃A就会出现在最
上面，因此翻盘的张数必须是52的倍数。另外，每次翻动10张，因此翻牌的张数必须是10的倍数。所以，
翻动最少的牌数后要让红桃A再出出现在最上面，翻牌的张数就是52和10的最小公倍数，即260。而翻动260
张牌需要26次。因此，本题答案为B选项。5、（单选题）为增强职工的锻炼意识，某单位举行了踢毽子比赛，比赛时长为1分钟，参加比赛的职工平均
每人踢了76个，且每人踢的个数各不相同。已知每人至少踢了70个，并且其中有一人踢了88个，如果不把
该职工计算在内，那么平均每人踢了74个。则踢得最快的职工最多踢了多少个？（）
A.88
B.90
C.92
D.94
正确答案：A
解析：[解析]设有n名职工，则76n=74（n-1）+88，n=7。去除踢88的那个职工，剩余6人，设其中踢的最快
的最多踢了x个，要使其最多，则其他5人尽量少，又每人至少踢了70，且每人踢的各不相同，则其他5人踢
的数最少为70、71、72、73、74，六人踢的总个数70+71+72+73+74+x=74*6，解得x=84，小于88。所以踢的
最快的踢了88个。因此，答案选择A选项。
6、（单选题）阅览室有100本杂志，小赵借阅过其中75本，小王借阅过70本，小刘借阅过60本，则三人共
同借阅过的杂志最少有（）本。
A.5
B.10
C.15
D.30
正确答案：A
解析：第一步，标记量化关系“共同”、“最少”。第二步，由“共同”、“最少”，可知本题为多集合反向
构造，解题步骤：反向：赵没借阅过的书为100-75=25本；同理，王、刘没借阅过的书分别为30本、40本；
加和：未被三人借阅过的杂志最多为25+30+40=95本；作差：三人共同借阅过的杂志最少有100-95=5本。因
此，选择A选项。
7、（单选题）某社团共有46人，其中35人爱好戏剧，30人爱好体育，38人爱好写作，40人爱好收藏，这个
社团至少有多少人以上四项活动都喜欢？
A.5
B.6
C.7
D.8
正确答案：A
解析：第一步，标记量化关系“至少”、“都”。第二步，根据“至少”、“都”可知本题属于反向构造问题。
解题步骤：反向：不爱好戏剧的有46-35=11人，不爱好体育的有46-30=16人，不爱好写作的有46-38=8人，
不爱好收藏的有46-40=6人；加和：最多有11+16+8+6=41人，每人都有不爱好的活动。作差：四项活动“都”
爱好的“至少”有46-41=5人。因此，选择A选项。
8、（单选题）某单位某月1~12日安排甲、乙、丙三个值夜班，每人值班4天。三人各自值班日期数字之和相
等。已知甲头两天值夜班，乙9、10日值夜班，问丙在自己第一天与最后一天值夜班之间，最多有几天不用值
夜班？
A.6B.4
C.2
D.0
正确答案：D
解析：所有值班日期之和为（1+12）×12÷2=78，则每个人的日期之和为78÷3=26，甲1号和2号值班，则
11号和12号必须值班；乙9号和10号值班，则3号和4号必须值班，进而得到丙必须在5、6、7、8日值班，
即丙是连续值班，无休息。答案选择D。
10、（单选题）建华中学共有1600名学生，其中喜欢乒乓球的有1180人，喜欢羽毛球的有1360人，喜欢篮
球的有1250人，喜欢足球的有1040人，问以上四项球类运动都喜欢的至少有几人？
A.20人
B.30人
C.40人
D.50人
正确答案：B
解析：第一步，标记量化关系“都”、“至少”。第二步，由“都”、“至少”可知，本题为多集合反向构造。
解题步骤为：反向：不喜欢乒乓球的有1600-1180=420人，同理，不喜欢羽毛球、篮球、足球的分别有240、
350、560人。加和：不喜欢四项运动任意一项的人最多有420+240+350+560=1570人。作差：故四项球类运动
“都”喜欢的“至少”有1600-1570=30人。因此，选择B选项。
1、（单选题）某机关20人参加百分制的普法考试，及格线为60分，20人的平均成绩为88分，及格率为95%。
所有人得分均为整数，且彼此得分不同。问成绩排名第十的人最低考了多少分？
A.89
B.88
C.91
D.90
正确答案：A
解析：第一步，标记量化关系“平均”、“不同”、“排名”、“最低”。第二步，由及格率为95%可知，有
20×（1-95%）=1人不及格，即排名第二十的人分数低于60分。若想“排名”第十的人分数“最低”，则其他
人分数应尽量高。设“排名”第十的人考了 分，根据彼此得分“不同”，可构造出所有人分数为：第一名~
第九名：100、99 92；第十名~第二十名：x、x-1、……、x-9、59。第三步，由20人“平均”成绩为88
分，可得88×20=100+99+……+92+x+（x-1）+……+（x-9）+59，解得x=88.2，则成绩“排名”第十的人“最
低”考了89分。因此，选择A选项。
2、（单选题）某个社区老年协会的会员都在象棋、围棋、太极拳、交谊舞和乐器五个兴趣班中报名了至少一
项。如果要在老年协会中随机抽取会员进行调查，至少要调查多少个样本才能保证样本中有4名会员报的兴趣
班完全相同?
A.93
B.94
C.96
D.97正确答案：B
解析：第一步，标记量化关系“至少”、“至少”、“保证”。第二步，根据“至少”、“保证”可知本题为
抽屉原理问题，答案为所有不利情况数+1。由报名了“至少”一项，可得报名方式有
种。要求有4名会员报名情况相同，最不利的情况为每种报名方式各有3人，共3×31=93人。第三步，“至
少”要调查93+1=94个样本。因此，选择B选项。
3、（单选题）要把21棵桃树栽到街心公园里5处面积不同的草坪上，如果要求每块草坪必须有树且所栽棵数
要依据面积大小各不相同，面积最大的草坪上至少要栽几棵?
A.7
B.8
C.10
D.11
正确答案：A
解析：第一步，标记量化关系“各不相同”、“最大”、“至少”。第二步，设面积最大的草坪种x棵树。要
使面积“最大”的草坪树“至少”，需其他草坪种的树尽可能的多。通过“各不相同”构造可得，其他草坪栽
种棵树依次为x-1、x-2、x-3、x-4。第三步，总棵数21=x+（x-1）+（x-2）+（x-3）+x（x-4），解得x=6.2，
即“至少”要栽7棵。因此，选择A选项。
4、（单选题）某著名歌唱选秀节目半决赛中，每位歌手的成绩由两部分构成，第一部分为27位大众媒体评审
投票得分，以其所得支持票数占比乘以本部分总分50分得出；第二部分为360位观众投票得分，以其所得支
持票数占比乘以本部分总分50分得出。得分排名前六位的歌手进入决赛。最后一位歌手甲演唱完毕，大众媒
体中的19位投了支持票，而此时排在第六位的歌手乙的得分是81.8分，则甲至少要获得（）位观众的支持，
才能战胜乙，进入决赛。
A.330
B.332
C.334
D.336
正确答案：D
解析：设甲战胜乙需获得x位观众的支持，则有 ×50＋ ×50≥81.8，解得x≥335.6。由于人数是整数，
则最少需要336位观众的支持。故本题选择D。
5、（单选题）有20位运动员参加长跑，他们的参赛号码分别是1，2，3， ，20，至少要从中选出多少个
参赛号码，才能保证至少有两个号码的差是13的倍数？
A.12
B.15
C.14
D.13
正确答案：C解析：第一步，标记量化关系“至少”、“保证”。第二步，由“至少”、“保证”知，本题为抽屉原理问题，
答案为所有不利情况数+1。所有不利情况为先选出1~13号，此时再从剩下的号码中随意抽出一个即可满足差
是13的倍数，故至少要从中选出13+1=14个参赛号码。因此，选择C选项。
6、（单选题）某中学初二年级共有620名学生参加期中考试，其中语文及格的有580名，数学及格的有575
名，英语及格的有604名，以上三门功课都及格的至少有多少名同学?
A.575
B.558
C.532
D.519
正确答案：D
解析：第一步，标记量化关系“都”、“至少”。第二步，由三人“都”及格的人数“至少”，可知本题为多
集合反向构造，解题步骤为：反向：语文不及格的人数为620-580=40人；同理，数学、英语不及格的人数分
别为45、16人。加和：40+45+16=101人。作差：620-101=519人。第三步，故三门功课“都”及格的人数“至
少”有519人。因此，选择D选项。
7、（单选题）从一副完整的扑克牌中至少抽出多少张牌，才能保证至少有5张牌的花色相同?
A.17
B.18
C.19
D.20
正确答案：C
解析：第一步，标记量化关系“至少”、“保证”。第二步，根据“至少”、“保证”可知本题为抽屉原理问
题，答案为所有不利情况 。一副扑克有4种花色，要保证抽出的牌中有5张牌花色相同，所有不利情况是每
种花色均抽到4张，再加两张大小王，共 张。第三步，“至少”需要抽 张牌。因此，选
择C选项。
8、（单选题）有白色手套20只，黑色手套16只，灰色手套14只，大小相同，在黑暗中至少摸出（）只手套
就能保证至少摸出5双手套（两只同色手套称为一双）。
A.11
B.12
C.13
D.14
正确答案：B
解析：问题中出现“至少……保证……”判定是最不利构造，做题方法是：答案=最不利的情况+1。最不利的
情形：9只白色手套+1只黑色手套+1只灰色手套，所以正确答案是9+1+1+1=12。因此正确答案是B。
9、（单选题）箱子里有大小相同的3种颜色玻璃珠各若干颗，每次从中摸出3颗为一组，问至少要摸出多少
组，才能保证至少有2组玻璃珠的颜色组合是一样的?
A.11
B.15
C.18D.21
正确答案：A
解析：第一步，标记量化关系“至少”、“保证”。第二步，根据“至少”、“保证”可知，本题为抽屉原理
问题，答案为所有不利情况数+1。最不利情况应为抽出的每组玻璃珠颜色均不相同，而摸出的3颗玻璃球颜色
组合有以下3类情况：（1）1种颜色，有 种；（2）2种颜色，有 种；（3）3种颜色，有
种。共有 种不同的颜色组合。第三步，“至少”要摸出10+1=11组。因此，选择A选项。
10、（单选题）100名村民选一名代表，候选人是甲、乙、丙三人，每人只能投票选举一人，得票最多的人当
选。开票中途累计前61张选票中，甲得35票，乙得10票，丙得16票。在尚未统计的选票中，甲至少再得多
少票就一定当选？
A.11
B.12
C.13
D.14
正确答案：A
解析：第一步，标记量化关系“至少”、“一定”。第二步，根据“至少”、“一定”可知，本题为抽屉原理
问题，答案为所有不利值+1。考虑最不利情况为甲与第2名的丙票数相等，设剩余的100-61=39张票中甲获得
x张，丙获得39-x张，最不利情况为35+x=16+39-x，解得x=10。第三步，甲要当选“至少”再得10+1=11张
票。因此，选择A选项。解法二：在前61张票中，甲领先第二名丙35-16=19张票，故在剩下的100-61=39张
票中，首先分配19张给丙，还剩20张。甲要保证一定当选，则应该获得剩余票量的半数以上，即至少11张。
因此，选择A选项。
1、（单选题）假设7个相异正整数的平均数是14，中位数是18，则此7个正整数中最大数是多少？
A.58
B.44
C.35
D.26
正确答案：C
解析：第一步，标记量化关系“相异”、“平均数”、“中位数”、“最大”。第二步，要使最大数取“最大
值”，则其他数尽可能小。设最大数的“最大值”为x，“中位数”是18，即第四大的数为18。根据数字“相
异”，可构造七个正整数分别为x、20、19、18、3、2、1。由“平均数”是14，得总和为14×7=98，故总和
98=x+20+19+18+3+2+1，解得x=35。因此，选择C选项。
2、（单选题）60名员工投票从甲、乙、丙三人中评选最佳员工，选举时每人只能投票选举一人，得票最多的
人当选。开票中途累计，前30张选票中，甲得15票，乙得10票，丙得5票。问在尚未统计的选票中，甲至
少再得多少票就一定当选？（）
A.15
B.13
C.10
D.8正确答案：B
解析：甲当选的最坏情况为剩下的票全让离甲票数最近的人即乙得到。在最坏的情况下都能当选，就能保证甲
一定当选。设甲再得X票，则剩下的30－X票全让乙得到，依题意可得方程15+X＞10+（30－X），解得X＞12.5，
则X至少为13张。本题也可代入排除，由于是求至少，从最小的8开始代入，13符合题意。因此，本题正确
答案为B。
3、（单选题）书法大赛的观众对5幅作品进行不记名投票。每张选票都可以选择5幅作品中的任意一幅或多
幅，但只有在选择不超过2幅作品时才为有效票。5幅作品的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的69％、
63％、44％、58％和56％。问本次投票的有效率最高可能为多少？
A.65%
B.70%
C.75%
D.80%
正确答案：B
解析：第一步，简单分析题干，本题考查反向构造。第二步，赋值观众100人，那么5幅作品得票数分别是69、
63、44、58、56，共290票。想要投票有效率“最高”，即有效投票人数最高，反向构造则无效投票人数最少。
根据“不超过”，令所有有效投票观众都投2幅作品，无效人数都投5幅作品时多余票数290-100×2=90所对
应的人数应该最少。因此无效人数为90÷（5-2）=30人，投票有效人数为100-30=70人，有效率是70%。因此，
选择B选项。
4、（单选题）公用电话亭中有两部电话，六个人排队打电话。打完即走，他们的通话时间分别为3分钟、5分
钟、4分钟、13分钟、7分钟、8分钟，则大家在此公用电话亭逗留的总时间最少为（）分钟。
A.60
B.66
C.72
D.78
正确答案：B
解析：要使逗留的总时间最少，则等候的时间必须尽量少，即两部电话的使用时间都是短的在前、长的在后。
因此，两部电话的使用顺序是（3分钟、4分钟）、（5分钟、7分钟）、（8分钟、13分钟）。逗留的总时间
是（3＋4）×3＋（5＋7）×2＋8＋13＝66（分钟）。故本题选择B。
6、（单选题）某软件公司对旗下甲、乙、丙、丁四款手机软件进行使用情况调查，在接受调查的1000人中，
有68%的人使用过甲软件，有87%的人使用过乙软件，有75%的人使用过丙软件，有82%的人使用过丁软件。那
么，在这1000人中，使用过全部四款手机软件的至少有（）人。
A.120
B.250
C.380
D.430
正确答案：A
解析：第一步，本题考查最值问题中的多集合反向构造。第二步，多集合反向构造解题方法是：反向——求和
——做差。（1）反向：没使用过甲软件的有32%，没使用过乙软件的有13%，没使用过丙软件的有25%，没使用过丁软件的有18%；（2）求和：32%＋13%＋25%＋18%＝88%；（3）做差：1－88%＝12%。第三步，1000×12%
＝120（人）。因此，选择A选项。
8、（单选题）有6种颜色的小球，数量分别为4，6，8，9，11，10，将它们放在一个盒子里，那么，拿到相
同颜色的球最多需要的次数为：
A.6
B.12
C.11
D.7
正确答案：D
解析：第一步，标记量化关系“相同”、“最多”。第二步，拿到“相同”颜色的球需要的次数“最多”，考
虑最不利情况，即每种颜色的球各取到一个，需要6次。此时再任取1球，则该球的颜色必然和之前已经取到
的某个球颜色相同，“最多”需要6+1=7次。因此，选择D选项。
9、（单选题）某企业招聘一批新员工，有65%的应聘者通过笔试，在面试环节有20人被淘汰。最终录取的人
数占总应聘人数的40%，企业将录取的新员工分成若干个小组进行业务培训，每个小组的人数都不同，每组至
少2人，问至多可以分成多少组？
A.7
B.8
C.5
D.6
正确答案：D
解析：第一步，由于20人被淘汰，比例由65%变成40%，故20人占整体25%，可得总人数为80人，被录取人
数为32人。第二步，32人进行分组，要求至少两人，且每组人数不同，所以为了更多小组，取每个小组最小
值：2,3,4,5,6,7，取到六组后，剩下的5人不能构成第7组。因此，选择D选项。
10、（单选题）在某届篮球赛中，小明共打了10场球，他在第6、7、8、9场比赛中，分别得23分、14分、
11分和20分，他的前9场比赛的平均得分比前5场比赛的平均得分高，若他所打的10场比赛的平均得分超过
18分，则他在第10场比赛中最少要得（）分。
A.26
B.27
C.28
D.29
正确答案：D
解析：小明在第6、7、8、9场比赛中得到23＋14＋11＋20＝68（分），平均每场17分。“前9场比赛的平均
得分比前5场比赛的平均得分高”，说明前9场的得分必然小于17×9＝153（分），即最高152分。若他所打
的10场比赛的平均得分超过18分，则总分必然超过180分，即最低为181分，则第10场的分数必然高于180
－152＝28（分），所以第10场比赛最少得分为29分。故本题选择D。
1、（单选题）小李晚上到镇中心广场看电影。第一排共有21个座位，部分座位已有人就座，小李发现，他无
论坐在第一排的哪个位置，都将与第一排已经就座的人相邻。在小李之前已在第一排就坐的人数最少是：
A.6B.7
C.8
D.9
正确答案：B
解析：第一步，标记量化关系“相邻”、“最少”。第二步，要使就座的人“最少”，且始终有人“相邻”，
则第一个位置不坐人，从第二个位置开始坐1人，之后每隔两个位置坐1人，即就座的位置是2、5、8、11、
14、17、20，共7个。因此，选择B选项。
2、（单选题）有编号为1~13的卡片，每个编号有4张，共52张卡片。问至少摸出多少张，就可保证一定有3
张卡片编号相连？
A.27张
B.29张
C.33张
D.37张
正确答案：D
解析：第一步，标记量化关系“至少”、“保证”。第二步，根据“至少”、“保证”可知本题为抽屉原理问
题，答案为所有不利情况数+1。要求3张卡片编号相连，最不利的情况是已摸的牌里只有2张编号相连：1、2、
4、5、7、8、10、11、13，每个编号有4张，共有4×9=36张卡片。第三步，故至少摸出36+1=37张。因此，
选择D选项。
3、（单选题）在一次抽奖活动中，要把18个奖品分成数量不等的4份各自放进不同的抽奖箱。则一个抽奖箱
最多可以放（）个奖品。
A.6
B.8
C.12
D.15
正确答案：C
解析：第一步，标记量化关系“不等”、“最多”。第二步，要使一个抽奖箱奖品“最多”，则其余抽奖箱奖
品尽量少。由于数量“不等”，故其余三个抽奖箱放置的奖品分别为1、2、3。第三步，则一个抽奖箱最多可
放18-1-2-3=12个。因此，选择C选项。
4、（单选题）小明、小刚和小红三人一起参加一次英语考试，已知考试共有100道题，且小明做对了68题，
小刚做对了58题，小红做对了78题。问三人都做对的题目至少有几题?（）
A.4题
B.8题
C.12题
D.16题
正确答案：A
解析：要使都做对的题目最少，则要使三人做错的题目尽可能不一样。根据题意，小明错32题，小刚错42题，
小红错22题，假设这些错题全都不一样，则共错（32+42+22）＝96题，三人至少有（100-96）＝4道题都做
对了。答案选择A。5、（单选题）将25台笔记本电脑奖励给不同的单位，每个单位奖励的电脑数量均不等，最多可以奖励几个单
位？
A.5
B.6
C.7
D.8
正确答案：B
解析：第一步，标记量化关系“不等”、“最多”。第二步，根据“最多”可知，尽可能让每个单位分得的电
脑数量少，则分得电脑数量最少的单位最少可分得1台电脑，由于各单位电脑数量均“不等”，则分得电脑第
二少的单位最少分得2台电脑 分得电脑第n少（最多）的单位最少分得n台电脑。于是有： 。
第三步，代入选项可知，满足上述不等式最大的值n=6，此时还剩4台，不能再单独奖励一个单位，只能分到
后4个单位，所以最多可以奖励6个单位。因此，选择B选项。
6、（单选题）有软件设计专业学生90人，市场营销专业学生80人，财务管理专业学生20人及人力资源管理
专业学生16人参加求职招聘会，问至少有多少人找到工作就一定保证有30名找到工作的人专业相同？
A.59
B.75
C.79
D.95
正确答案：D
解析：第一步，标记量化关系“至少”、“保证”。第二步，根据“至少”、“保证”可知本题为抽屉原理问
题，答案为所有不利情况+1。由于30名找到工作的人专业相同，确定所有不利情况为各专业的人尽量多且小
于30人，即软件设计29人，市场营销29人，财务管理20人，人力资源16人。第三步，故“至少”需要
29+29+20+16+1=95人找到工作，就一定“保证”有30名找到工作的人专业相同。因此，选择D选项。
7、（单选题）射箭运动员进行训练，10支箭共打了93环，且每支箭的环数都不低8环。问命中10环的箭数
最多能比命中9环的多几支？
A.2
B.3
C.4
D.5
正确答案：D
解析：【解析】按照题目要求，每支箭的环数不低于8环，故假定10支箭都打了8环，共80环，还差93-80=13
环，欲使差值最大，则让10环的数量尽可能多，由于13÷2=6……1，所以最多可以有6个10环，1个9环，
和3个8环。10环与9环的差值为5。因此，本题答案选择D选项。
8、（单选题）一果农想将一块平整的正方形土地分割为四块小的正方形土地，并将果树均匀整齐地种植在土
地所有边界上，且在每块土地的四个角上都种上一棵果树。该果农未经细算就购买了60棵果树，如果仍按上
述想法种植，那么他至少多买了多少棵果树？
A.0B.3
C.6
D.15
正确答案：B
解析：如图所示将一块正方形分割为四块小正方形只有这一种分法。每块土地四个角都种上树的话共需9棵。
共有短边12条，由于果树均匀整齐种植，所以设每边种x棵，则共种树12x+9棵。当x=4时12x+9=57,与60
差距最小为3棵。因此他至少多买了3棵，选B。
9、（单选题）从一副完整的扑克牌中至少抽出多少张牌，才能保证至少有5张牌的花色相同?
A.17
B.18
C.19
D.20
正确答案：C
解析：第一步，标记量化关系“至少”、“保证”。第二步，根据“至少”、“保证”可知本题为抽屉原理问
题，答案为所有不利情况 。一副扑克有4种花色，要保证抽出的牌中有5张牌花色相同，所有不利情况是每
种花色均抽到4张，再加两张大小王，共 张。第三步，“至少”需要抽 张牌。因此，选
择C选项。
10、（单选题）254个志愿者来自不同的单位，任意两个单位的志愿者人数之和不少于20人，且任意两个单位
志愿者的人数不同，问这些志愿者所属的单位数最多有几个?
A.17
B.15
C.14
D.12
正确答案：B
解析：第一步，标记量化关系“不少于”、“不同”、“最多”。第二步，志愿者总人数一定，若要单位数“最
多”，则每个单位的人数尽可能少。由于任意两个单位的人数和“不少于”20，且人数“不同”，那么每个单
位的人数应尽可能接近，按照从小到大的顺序构造出每个单位的人数为9、11、12……、10+n，则总人数为
，解得n=14。第三步，所属的单位数最多有14+1=15个。因此，选择B选项。
1、（单选题）甲、乙、丙同时给99盆花浇水，已知甲浇了75盆，乙浇了66盆，丙浇了58盆，那么三人都
教过的花至少有（）盆。
A.1
B.2
C.3D.4
正确答案：A
解析：本题属于多集合反向构造，要使3人都浇过的花最少，则需要3个人都没有浇过的最多，即要求3人之
间没有浇过的是不相同的，故没有浇过的最多为（99-75）+（99-66）+（99-58）=24+33+41=98，那么，都浇
过的最少为99-98=1，因此，本题答案为A。
2、（单选题）100人参加7项活动，已知每个人只参加一项活动，而且每项活动参加的人数都不一样，那么，
参加人数第四多的活动最多有几个人参加?
A.22
B.21
C.24
D.23
正确答案：A
解析：第一步，标记量化关系“都不一样”、“第四”、“最多”。第二步，要使人数“第四”多的活动人数
“最多”，则其他活动的人数应尽量少。设人数第四多的活动最多有x人参加，根据人数“都不一样”，由多
到少构造出7项活动的人数依次为x+3、x+2、x+1、x、3、2、1。第三步，由100人参加7项活动且每人只参
加一项，可得（x+3）+（x+2）+（x+1）+x+3+2+1=100，解得x=22，即人数第四多的活动“最多”有22个人参
加。因此，选择A选项。
3、（单选题）某单位五个处室分别有职工5、8、18、21和22人，现有一项工作要从该单位随机抽调若干人，
问至少要抽调多少人，才能保证抽调的人中一定有两个处室的人数和超过15人？（）
A.34
B.35
C.36
D.37
正确答案：B
解析：由于五个处室分别有职工5、8、18、21、22，问至少要抽调多少人能保证抽调的人中一定有两个处室的
人数和超过15人，也就是保证有两个处室的人数和为16人，则最不利情况为5、8、7、7、7，因此所求答案
为5+8+7+7+7+1=35人。因此，本题答案选择B选项。
4、（单选题）某市场调查公司3个调查组共40余人，每组都有10余人且人数各不相同，2017年重新调整分
组时发现，若想分为4个人数相同的小组，至少需要新招1人；若想分为5个人数相同的小组，至少还需要新
招2人。问原来3个组中人数最多的组比人数最少的组至少多几人？
A.2
B.3
C.4
D.5
正确答案：B
解析：第一步，本题考查最值问题中构造设定，根据总人数为40余人，且平均分4组缺1人，平均分5组缺2
人，可知总人数为43人。第二步，原三个小组中，每组人数不同，且不相等，求最多的比最少的的至少，即
最值问题中的数列构造，设最大的为X，且差至少，要求最大的最小，最小的最大即可，因此第二大为（X-1），第三大为（X-2）因此，X+X-1+X-2=43，x为最大的最下，x≈15.33，x取16，最小13，则最大于最小的差为3。
因此，选择B选项。
5、（单选题）老王和老赵分别参加4门培训课的考试，两人的平均分数分别为82和90分，单个人的每门成
绩都为整数且彼此不相等。其中老王成绩最高的一门和老赵成绩最低的一门课分数相同，问老赵成绩最高的一
门课最多比老王成绩最低的一门课高多少分？
A.20
B.22
C.24
D.26
正确答案：D
解析：第一步，标记量化关系“不相等”、“相同”、“最多”。第二步，老赵最高成绩比老王最低成绩尽可
能多，则赵的最高分尽量高，王的最低分尽量低。设赵的最高分为z，最低分为x；设老王最低分为y，根据老
王最高成绩和老赵最低成绩“相同”可得，老王最高分为x。第三步，总分一定，要使赵的最高分尽可能高，
其他分数尽可能低；要使王的最低分尽可能低，其他分数尽可能高。构造如下表所示：
可得 ，化
简得z-y=26分。因此，选择D选项。
6、（单选题）箱子里有大小相同的3种颜色玻璃珠各若干颗，每次从中摸出3颗为一组，问至少要摸出多少
组，才能保证至少有2组玻璃珠的颜色组合是一样的？
A.11
B.15
C.18
D.21
正确答案：A
解析：每次摸出3颗玻璃珠，可能的颜色情况如下：（1）3颗颜色都一样：有3种可能；（2）3颗中有两颗
颜色一样：有3×2=6种可能；（3）3颗颜色各不相同：只有1种可能综上，本题的最不利情况是3+6+1=10种，
也就是说最多挑出来10组结果各不相同，在此基础上再挑一组，一定会出现重复。因此最终的答案是10+1=11
种。
7、（单选题）某单位某月1~12日安排甲、乙、丙三个值夜班，每人值班4天。三人各自值班日期数字之和相
等。已知甲头两天值夜班，乙9、10日值夜班，问丙在自己第一天与最后一天值夜班之间，最多有几天不用值
夜班？
A.6
B.4
C.2
D.0
正确答案：D解析：所有值班日期之和为（1+12）×12÷2=78，则每个人的日期之和为78÷3=26，甲1号和2号值班，则
11号和12号必须值班；乙9号和10号值班，则3号和4号必须值班，进而得到丙必须在5、6、7、8日值班，
即丙是连续值班，无休息。答案选择D。
8、（单选题）调研人员在一次市场调查活动中收回了435份调查问卷，其中80%的调查问卷上填写了被调查者
的手机号码。那么调研人员至少需要从这些调查表中随机抽出多少份，才能保证一定能找到两个手机号码后两
位相同的被调查者：
A.101
B.175
C.188
D.200
正确答案：C
解析：第一步，标记量化关系“至少”、“保证”。第二步，由“至少”、“保证”可知此题为抽屉原理问题，
答案为最不利情况数+1。未填写电话号码的问卷数为435×（1-80%）=87，手机号码后两位组合情况数有
，则所有最不利情形为87+100=187。第三步，故“至少”抽取187+1=188份。因此，选择C选项。
9、（单选题）某单位2011年招聘了65名毕业生，拟分配到该单位的7个不同部门。假设行政部门分得的毕
业生人数比其他部门都多，问行政部门分得的毕业生人数至少为多少名？
A.10
B.11
C.12
D.13
正确答案：B
解析：第一步，标记量化关系“比”、“至少”。第二步，设行政部门人数为x，若要行政部门人数“至少”，
则其他部门人数尽量多。根据“比”其他部门都多，可得其他部门人数最多均为x-1，故x+6（x-1）=65。第
三步，解得 ，即行政部门分得的毕业生人数“至少”为11名。因此，选择B选项。
10、（单选题）有20位运动员参加长跑，他们的参赛号码分别是1，2，3， ，20，至少要从中选出多少
个参赛号码，才能保证至少有两个号码的差是13的倍数？
A.12
B.15
C.14
D.13
正确答案：C
解析：第一步，标记量化关系“至少”、“保证”。第二步，由“至少”、“保证”知，本题为抽屉原理问题，
答案为所有不利情况数+1。所有不利情况为先选出1~13号，此时再从剩下的号码中随意抽出一个即可满足差
是13的倍数，故至少要从中选出13+1=14个参赛号码。因此，选择C选项。1、（单选题）甲、乙两仓库各放灯边装箱若干个，第一天从甲仓库移出和乙仓库集装箱总数同样多的集装箱
到乙仓库，第二天从乙仓库移出和甲仓库集装箱总数同样多的集装箱到甲仓库，如此循环，则到第四天后，甲、
乙两仓库集装箱总数都是48个。问甲仓库原来有多少个集装箱？
A.33
B.36
C.60
D.63
正确答案：D
解析：第一步，标记量化关系“移出”、“移出”、“都是”。第二步，由总数“都是”48知甲乙共48×2=96，
根据第一天甲“移出”与乙仓库相同多的到乙仓库，知甲仓库的数量一定大于乙仓库，故甲仓库的数量大于48，
排除A、B。第三步，代入C，当甲=60时，乙=96-60=36，则每日两仓库集装箱的情况如下表所示：
不符合第四天后数量相等，排除。因此，选择D选项。解法二：采用逆
向思维考虑，从第四天往前倒推，具体情况如表所示。 则甲仓库原来有
63个集装箱。因此，选择D选项。
2、（单选题）张、王、刘和李四人进行象棋比赛，每两人之间都要赛一局。已知张胜了两局，王平了三局，
问刘和李加起来最多胜了几局？
A.0
B.1
C.2
D.3
正确答案：B
解析：四个人进行的单循环比赛所以每个人比赛三场四人总共打了C24场6场比赛王平了三局则有王的三局比
赛结果都是平局不会出现胜负。接下来张胜了两局就一定是胜了刘、李。则最后一局比赛就是刘对李在该局中
出现平局或者胜负所以刘和李最多胜了1局。因此本题答案为B选项。n">5L++ڽont>人。因此答案选B。
3、（单选题）文具店的圆珠笔每支4元，签字笔每支6元，钢笔每支7元。甲、乙、丙三人带的钱数相等且
都不超过100元，三人分别购买一种笔。已知甲买完圆珠笔后还剩15元，乙买完签字笔后还剩21元，丙买完
钢笔后还剩17元。如果三人的钱相加，最多能买多少支笔？
A.60
B.65
C.72D.87
正确答案：B
解析：解析一：本题易知三人钱数相同在100以内，甲=4×圆珠笔+15=乙=6×签字笔+21=丙=7×钢笔+17，由
数字奇偶性推论，可知钢笔购买数量为偶数，则为2、4、6、8、10，依次代入可得钢笔10支，则每人87元，
三人共87×3=261，购买最便宜的圆珠笔量最多261/4=65.25,取整为65。因此本题答案为B选项。解析二：
1）要想买的笔最多，则所有的钱都应该用来买圆珠笔；2）设甲买了x支圆珠笔，则三人可以买3x支，剩余
15×3＝45元，还可以继续买11支；3）圆珠笔总数为3x＋11，即总数一定不是3的倍数，结合选项只有B选
项符合。
4、（单选题）某单位前台有两个窗口，办理业务的人员要先到1号窗口审核资料，审核通过的才可以到2号
窗口缴费。已知平均一份资料的审核时间为1.5分钟，且审核通过率仅有1/3，而一份资料的缴费时间仅为50
秒。假设前台共有10名工作人员，且各窗口的人员数量固定，则1号窗口应安排（）人，才能使得前台运作
效率最高。
A.9
B.8
C.7
D.6
正确答案：B
解析：B由题得，1号窗口每人处理一份资料要1.5分钟，但是通过率仅1/3，所以1号窗口平均每人处理一份
资料要1.5X3=4.5分钟，270秒。设给1号窗口分配x人，则1号窗口270秒处理x份资料，每一份资料是（270/x）
秒。同理，2号窗口每人处理一份资料要50秒，给2号窗口分配（10-x）人，则2号窗口处理一份资料要50/
（10-x）秒。若要工作效率最高，两个窗口处理一份资料的时间应相等，即270/x=50/（10-x）x=8.43人。1
号窗口安排8人，答案为B。
5、（单选题）小张、小赵购物习惯不同，小张每次购买固定量的面粉，小赵每次购买固定金额的面粉。有两
次小张、小赵同时购买同一种的面粉，但两次面粉的价格不同，从这两次面粉的均价角度分析：
A.小张的均价低
B.小赵的均价低
C.若价格先高后低，小张的均价低
D.无法得知
正确答案：B
解析：第一步，标记量化关系“固定量”、“固定金额”、“不同”。第二步，设两次购买面粉的单价分别1
元及2元。根据小张购买“固定量”，赋值小张每次购买1千克；根据小赵购买“固定金额”，赋值每次购买
1元钱。则小张两次购买面粉的均价为 元；小赵购买面粉的均价为 元。因为 ，
所以小赵购买面粉均价低。第三步，而价格先高后低和先低后高，不影响平均价格。因此，选择B选项。解法
二：设两次单价分别为a与b。根据小张每次购买“固定量”的面粉，设小张每次购买x千克；根据小赵每次
购买“固定金额”的面粉，设小赵每次购买y元。则小张的均价为 ，小赵的均价为。所以张、赵均价差为 ，两次价格不等，则该差值大于0，于是张买
的面粉均价高。因此，选择B选项。
6、（单选题）有一个水池，池底不断有泉水涌出，且每小时涌出的水量相同。现要把水池里的水抽干，若用5
台抽水机40小时可以抽完，若用10台抽水机15小时可以抽完。现在用14台抽水机，多少小时可以把水抽完？
A.10小时
B.9小时
C.8小时
D.7小时
正确答案：A
解析：第一步，标记量化关系“相同”、“抽完”、“抽完”。第二步，设水池里的水量为y，每小时涌出的
水量为x，根据40小时“抽完”可得y=（5-x）×40，根据15小时“抽完”可得y=（10-x）×15，解得x=2，
y=120。第三步，设使用14台抽水机抽完水需要时间为t，则120=（14-2）×t，解得t=10小时。因此，选择
A选项。
7、（单选题）用a、b、c三种不同型号的客车送一批会议代表到火车站，用6辆a型车，5趟可以送完；用5
辆a型车和10辆b型车，3趟可以送完；用3辆b型车和8辆c型车，4趟可以送完。问先由3辆a型车和6
辆b型车各送4趟，剩下的代表还要由2辆c型车送几趟？
A.3趟
B.4趟
C.5趟
D.6趟
正确答案：B
解析：第一步，标记量化关系“送完”、“送完”、“送完”、“剩下”。第二步，由5趟“送完”、3趟“送
完”可得 ，化简得 ，故总人数为60b。由4趟“送完”可得
。由①、②可得 ，赋值a、b、c型车可载人数分别为4、
2、3，则总人数为 。第三步，“剩下”的人数为 ，还需2
辆c型车运 趟。因此，选择B选项。
9、（单选题）甲、乙、丙三人爬山，空手从山脚到山顶，甲用10分钟，乙用20分钟，丙用30分钟，有20
个同等重量的包，甲每多带一个包，上山时间多5分钟;乙每多带一个包，上山时间多2分钟；丙每多带一个
包，上山时间多1分钟。三人同时出发，将这20个包都带到山顶，最少需用多少分钟?
A.35
B.36
C.37
D.38正确答案：C
解析：第一步，标记量化关系“同等”、“都”、“最少”。第二步，问“最少”需要多少时间，从最小的选
项代入验证。A选项：若用35分钟，则甲可以背（35-10）÷5=5个背包；乙可以背（35-20）÷2=7个背包；
丙可以背（35-30）÷1=5个背包。共可背5+7+5=17<20，排除；B选项：若用36分钟，同理共可背5+8+6=19<20，
排除；C选项：若用37分钟，同理共可背5+8+7=20，符合题意。因此，选择C选项。解法二：根据丙上山需
要30分钟，可知30分钟内，甲可背（30-10）÷5=4个包上山，同理乙可背5个。将剩下的20-4-5=11个分给
三人，甲每多带一个包，上山时间多5分钟，因此先给甲分1个，此时可以给乙分2个，丙分5个，还剩11-1-2-5=3
个。为使时间最少，不再分给甲，只分给乙丙，乙再多分1个，丙分2个，刚好分完。三人用时分别为35分
钟、36分钟、37分钟。最少需37分钟。因此，选择C选项。
10、（单选题）有家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师共22人陪同小学生参加运动会，已知家长比
老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多2人，至少有一名男老师，那么在这22人中，共有爸爸（）人。
A.7
B.6
C.5
D.4
正确答案：C
解析：无
1、（单选题）体育彩票22选5中使用的22个彩球除编号不同外，其余完全一样。由于生产过程疏忽，22个
彩球中有一个球的重量略重于其他球。现需用天秤将该球找出。那么，在最优方案下，最多需要使用天秤：
A.3次
B.4次
C.5次
D.6次
正确答案：A
解析：第一步，标记量化关系“重于”、“最优”、“最多”。第二步，使用n次天平最多可检验 个球。代
入选项A， ，故使用3次天平最多可检验27个球，符合题意。因此，选择A选项。
2、（单选题）31个小运动员在参加完比赛后，口渴难耐，去小店买饮料，饮料店搞促销，凭三个空瓶子可以
再换一瓶，他们最少买多少瓶饮料才能保证一人一瓶？
A.21
B.23
C.25
D.27
正确答案：A
解析：第一步，标记量化关系“换”、“最少”。第二步，设买了 瓶饮料，根据空瓶“换”酒公式可列方程：
，解得x≈20.7，所以“最少”买21瓶饮料。因此，选择A选项。3、（单选题）草地上插了若干根旗杆，已知旗杆的高度在1至5米之间，且任意两根旗杆的距离都不超过它
们高度差的10倍。如果用一根绳子将所有旗杆都围进去，在不知旗杆数量和位置的情况下，最少需要准备多
少米长的绳子？
A.40
B.100
C.60
D.80
正确答案：D
解析：第一步，标记量化关系“之间”、“不超过”、“最少”。第二步，由于不知旗杆的数量，故假设仅有
2根旗杆，根据高度在1至5米“之间”，可设这2根旗杆的高度分别为1米和5米。由距离“不超过”高度
差10倍知，两根旗杆最远相距（5-1）×10=40米，故绳子绕一圈为40×2=80米。因此，选择D选项。
4、（单选题）甲、乙、丙三名质检员对一批依次编号为1~100的电脑进行质量检测，每个人均从随机序号开
始，按顺序往后检测，如检测到编号为100的电脑，则该质检员的检测工作结束。某一时刻，甲检测了76台
电脑，乙检测了61台电脑，丙检测了54台电脑，则甲、乙、丙三人均检测过的电脑至少有（）台。
A.12
B.15
C.16
D.18
正确答案：B
解析：第一步，本题考察统筹问题。第二步，因为甲、乙、丙三人均从随机序号开始，按顺序往后检测。为了
使三人均检测的过的电脑最少，所以三人的检测要更分散，因为甲检测了76台电脑，覆盖面比较大，所以可
以先把乙、丙共同检测的电脑分散在序号的最两端，最少为61+54-100=15，甲会覆盖到乙、丙检测的公共部分，
故三人均检测过的为15台。因此，选择B选项。
6、（单选题）某测验包含10道选择题，评分标准为答对得3分，答错扣1分，不答得0分，且分数可以为负
数。如所有参加测验的人得分都不相同，问最多有多少名测验对象？
A.38
B.39
C.40
D.41
正确答案：A
解析：第一步，此题为比赛问题，本题一共10道题，考虑使用枚举法解题。第二步，得分最高为10题都答对，
共计30分；得分最低为10题都答错，共计（-10）分，得分都是整数，所以从（-10）到30分，共计有41种
得分情况。设做对的题目有a道，做错的题目有b道，没做的题目有c道，则总得分为（3a－b）。可以发现
当a值下降到8后，所得分数从24开始逐渐下降且每个分值都可以得到，所以由表格知道，在-10到30分之
间，共有29、28、25三个分数得不到，所以共计有41－3＝38种。因此，选择A选项
7、（单选题）足球比赛的记分规则为：胜一场得3分；平一场得1分；负一场得0分。一个队打了14场，负
5场，共得19分，那么这个队胜了几场？
A.3
B.4
C.5
D.6
正确答案：C
解析：第一步，标记量化关系“共得”。第二步，设该队胜x场，则平15-5-x，即9-x场。根据“共得”19
分，有3x+9-x=19，解得x=5。因此，选择C选项。解法二：鸡兔同笼法。若剩下的9场全胜，将得27分。9
场中每平1场，将少得2分；实际得分为19分，少了27-19=8分，故其中平局有 场，故胜局有5场。因
此，选择C选项。
8、（单选题）某单位组织的羽毛球男单比赛共有48名选手报名参加，比赛采用淘汰赛制，在比赛中负一场的
选手即被淘汰，直至决出最后的冠军，如每名选手每天最多参加一场比赛，则比赛至少需要举行几天？
A.4
B.5
C.6
D.7
正确答案：C
解析：第一步，标记量化关系“共”、“最多”、“至少”。第二步，要使比赛的天数“至少”，则需要每天
比赛的选手尽可能多，但每名选手每天“最多”参加一场比赛，则第一天48名选手全部参赛，比赛结束之后
48÷2=24名获胜者参加第二天的比赛。第三步，以此类推，则有 ，故比
赛“至少”需要举行6天。因此，选择C选项。
9、（单选题）某高校组织了篮球比赛。其中机械学院队、外语学院队、材料学院队和管理学院队被分在同一
个小组，每两队之间进行一场比赛且无平局。结果机械学院队赢了管理学院队，且机械学院队、外语学院队和
材料学院队胜利的场数相同，则管理学院队胜了多少场？
A.3
B.2
C.1D.0
正确答案：D
解析：第一步，标记量化关系“每两队”、“相同”。第二步，根据“每两队”比赛1场且无平局可知，每支
队伍比赛3场，4支队伍共比赛 ，出现6个胜场，由于机械队赢了1场，且机械队、外语队和材料队赢
的场数“相同”，故该3个学院分别只能胜1或2场。第三步，若3个学院都仅胜1场，则管理学院胜6-3=3
场，与机械学院队赢了管理学院队矛盾；3个学院都只胜2场，则管理学院胜0场。因此，选择D选项。
10、（单选题）把一根钢管锯成两段要用4分钟，若将它锯成8段要多少分钟？
A.16
B.32
C.14
D.28
正确答案：D
解析：第一步，标记量化关系“要”。第二步，锯成两段需锯1次，“要”4分钟；锯成8段需锯7次，要
分钟。因此，选择D选项。
1、（单选题）为保证一重大项目机械产品的可靠性，试验小组需要对其进行连续测试。测试人员每隔5小时
观察一次，当观察第120次时，手表的时针正好指向10。问观察第几次时，手表的时针第一次与分针呈60度
角?
A.2
B.4
C.6
D.8
正确答案：D
解析：由题意，时针指向10时应为10点整，每隔5小时观察一次，则第一次观察时应为119×5=595小时之
前，595÷12=49……7，故第一次观察时为3点，则观察的时间点依次为3点、8点、1点、6点、11点、4点、
9点、2点……由于只有2点整和10点整时分针与时针呈60度角，故第八次观察时，时针与分针第一次呈60
度角。因此，本题答案选择D选项。
2、（单选题）一批零件如果全部都交由甲厂加工，正好在计划时间完成，如果全部交由乙厂加工，要超过计
划时间5天才能完成，如果甲乙两厂合作加工3天，再由乙厂单独加工，正好也是在计划时间完成，则加工完
这批零件计划时间是（）
A.5
B.7
C.7.5
D.8.5
正确答案：C
解析：解法一：第一步，标记量化关系“完成”、“完成”、“完成”。第二步，设计划时间为天，由乙单干
超过5天“完成”，可得工作总量=乙×（t+5）①；根据甲乙合作3天，再由乙单干，正好在计划时间“完成”，
可得工作总量=3甲+乙×t②，联立①②，得3甲=5乙，则甲：乙=5:3。第三步，赋值甲、乙的效率分别为5、3，可得工作总量为5t+3（t+5），解得t=7.5天。因此，选择C选项。解法二：甲3天的工作量与乙5天的工
作量相等，则甲、乙效率比为5:3，完成工作的时间比为3:5（总量一定，效率与时间成反比），故答案优先
选择3的倍数。因此，选择C选项。
3、（单选题）A、B两地分别有10台和6台型号相同的机器，准备配送到E、F两地，其中E地11台，F地5
台，若每台机器从A到E和F的物流费用分别为350元和550元，从B到E和F的物流费用分别为600元和900
元，则配送这16台机器的总物流费用最少为：
A.7850元
B.8100元
C.8400元
D.8700元
正确答案：B
解析：第一步，标记量化关系“每”、“最少”。第二步，设A向E运输x台，可得如下表格：
第三步，根据“每”台机器的运输费，可得总费用为
。若使表格中各项成立，则 。当x=5时，总
物流费用“最少”为100×5+7600=8100元。因此，选择B选项。解法二：从A到E、F的物流费用比为350：
550≈0.636，从B到E、F的物流费用比为600：900≈0.667，故从B运往E相对花费少。为使总费用最少，则
应将B的6台全部运往E地。故总物流费用最少为600×6+350×5+550×5=8100元。因此，选择B选项。
（C卷）
4、（单选题）某停车场每天8:00-24:00开放，在9:00-12:00和18:00-20:00时每分钟有2辆车进入，其余
时间每分钟有1辆车进入；10:00-16:00每分钟有1辆车离开，16:00-22:00每2分钟有3辆车离开，22:00-24:00
每分钟有3辆车离开，其余时间没有车离开，则该停车场需要至少（）个停车位。
A.240
B.300
C.360
D.420
正确答案：B
解析：第一步，标记量化关系“每”、“进入”、“离开”、“至少”。第二步，将题目中多项数据整理成表
格如下： 分
析表格可知停车场停车数量在12：00和20：00时达到最大值。第三步，要求“至少”有多少停车位，只需计
算12：00时的停车量，1×1×60+2×1×60+1×2×60=300辆。因此，选择B选项。5、（单选题）某企业有甲、乙、丙三个仓库，且都在一条直线上，之间分别相距1千米、3千米，三个仓库里
面分别存放货物5吨、4吨、2吨。如果把所有的货物集中到一个仓库，每吨货物每千米运费是90元，请问把
货物放在哪个仓库最省钱？
A.甲
B.乙
C.丙
D.甲或乙
正确答案：B
解析：第一步，标记量化关系“集中”、“最省”。第二步，判断货物集中点，与距离无关，只需要比较货物
重量。先比较甲乙与丙货物重量：左侧为甲乙，总重量为5+4=9吨，右侧为丙，重量为2吨，因此，丙向甲乙
方向移动；将丙的货物移动到乙后，共有4+2=6吨货物。同理，比较甲与乙丙货物重量，甲向乙丙方向移动。
故把货物“集中”在乙仓库“最省”钱。因此，选择B选项。
【拓展*】货物集中问题，指将几个地点的货物集中的同时,使得运费最省。（1）判断货物集中点，与距离无
关，只需要比较两侧货物重量，从轻的一侧移向重的一侧。（2）若计算总运费，则与货物的重量和仓库之间
的距离有关。
6、（单选题）乒乓球世界杯锦标赛上，中国队、丹麦队、日本队和德国队分在一个小组，每两个队之间都要
比赛1场，已知日本队已比赛了1场，德国队已比赛了2场，中国队已比赛了3场，则丹麦队还有几场比赛未
比？
A.0
B.1
C.2
D.3
正确答案：B
解析：第一步，标记量化关系“每”、“还”。第二步，由“每”两个国家比赛1场知，每个国家需分别比赛
3场。如图，中国队已比赛了3场（VS丹麦、VS德国、VS日本）； 日本队已比赛了1
场（VS中国）；德国队已比赛了2场（VS中国、VS丹麦）；故丹麦已完成两场比赛。第三步，丹麦“还”需
和日本比赛一场。因此，选择B选项。
7、（单选题）一人爬有20个阶梯的楼梯，假定每次向上爬5个阶梯，又下走3个阶梯，问该人需几次能跑到
楼梯顶部？
A.7
B.8C.9
D.10
正确答案：C
解析：
8、（单选题）足球比赛的记分规则为：胜1场得3分，平1场得1分，输1场得0分，一支足球14场，现已
比赛了8场，输了1场，得了17分，请问，前8场比赛中，这支球队赢了几场?（）
A.7
B.6
C.5
D.4
正确答案：C
解析：根据题意，设在前8场比赛中赢了x场，则平了（8-1-x）场，又因为胜1场得3分，平1场得1分，
输1场得0分，前8场比赛得了17分，所以3x+7-x=17，解得x=5。因此，本题答案选择C选项。
9、（单选题）有一个三位数，其百位数是个位数的2倍，十位数等于百位数和个位数之和，那么这三位数是：
A.211
B.432
C.693
D.824
正确答案：C
解析：直接代入选项验证，百位数是个位数的2倍，四个选项都符合；百位数是个位数的2倍，只有C选项符
合。因此，本题答案选择C选项。
10、（单选题）小明一家过一座桥，过桥时是黑夜，所以必须拿着唯一的灯过桥。现在小明过桥要1秒，小明
的弟弟要3秒，小明的爸爸要6秒，小明的妈妈要8秒，小明的爷爷要12秒。每次过桥最多可过两人，而过
桥的速度依过桥最慢者而定，而且灯在点燃后30秒就会熄灭。问：小明一家过桥至少需要多长时间？
A.30秒
B.29秒
C.19秒
D.18秒
正确答案：B
解析：第一步，标记量化关系“最多”、“最慢”、“至少”。第二步，要想过桥时间“至少”，则最短的过
桥的过程为：（1）小明与弟弟过桥，小明回，共3+1=4秒；（2）妈妈与爷爷过桥，弟弟回，共12+3=15秒；
（3）小明与弟弟过桥，小明回，共3+1=4秒；（4）小明与爸爸过桥，共6秒。第三步，故小明一家过桥至少
需要4+15+4+6=29秒。因此，选择B选项。
