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绝密★启用前
高二数学试卷
2023—2024 学年度下学期期末质量检测
本试卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知命题 ，命题 ，则（ ）
A. 和 均为真命题 B.ᄀ 和 均为真命题
C. 和 均为真命题 D. 和 均为真命题
3.已知幂函数 在第一象限内单调递减，则 （ ）
A. B. C.2 D.4
4.已知甲正确解出不等式 的解集为 ，乙正确解出不等式 的解集为 ，且
，则 （ ）
A.-12 B.-6 C.0 D.12
5.已知一种物质的某种能量 与时间 的关系为 ，其中 是正常数， 是大于1的正整数，若
经过时间 ，该物质的能量由 减少到 ，再经过时间 ，该物质的能量由 减少到 ，则（ ）
A. B.C. D.
6.已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.已知函数 为奇函数，则（ ）
A. B.
C. D.
8.已知 分别是函数 与 的零点，则 的最大值为（ ）
A.2 B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.对于函数 ，则（ ）
A. 与 具有相同的最小值
B. 与 在 上具有相同的单调性
C. 与 都是轴对称图形
D. 与 在 上具有相反的单调性
10.已知数列 满足 ，则（ ）
A.
B. 为递减数列
C. 的最小值为-20
D.当 时， 的最大值为811.已知函数 ，则（ ）
A. 是 的极值点
B.当 时，
C.当 时，
D.当 时， 的图像关于点 对称
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知函数 则 __________.
13.已知函数 满足 ，则 __________.
14.已知 是边长为2的等边三角形，取 的中点分別为 ，沿 剪去 ，得到四
边形 ，记其面积为 ；在 中，取 的中点分别为 ，沿 剪去 ，
得到四边形 ，记其面积为 ，则 __________；以此类推， __________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
设正项数列 是公差为 的等差数列，其前 项和为 ，已知 .
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
16.（15分）
已知函数 .（1）当 时， 的图像在 处的切线与两坐标轴围成图形的面积为 ，求 的值；
（2）当 时， 在 的最小值小于 ，求 的取值范围.
17.（15分）
已知函数 .
（1）若 在 上单调递减，求 的取值范围；
（2）当 时，证明： 的图像为轴对称图形；
（3）若关于 的方程 在 上有解，求 的最小值.
18.（17分）
已知函数 的导函数为 .
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）若 有两个极值点 ，证明： .
19.（17分）
在数列 中，按照下面方式构成“次生数列” ，
，其中 表示数列 中最小的
项.
（1）若数列 中各项均不相等，只有4项， ，且 ，请写出 的所
有“次生数列” ；
（2）若 满足 ，且 为等比数列， 的“次生数列”为 .
（i）求 的值；
（ii）求 的前 项和 .参考答案及解折
一､选择题
1.C 【解析】因为 ，所以 .故选C
项.
2.B 【解析】对于命题 ，当 时， ，所以 为假命题，则 为真命题；对于命题 ，当
时， ，所以 为真命题.综上， 和 均为真命题.故选B项.
3.D 【解析】由幂函数的定义可知 ，解得 ，由幂函数 在第一象限内单调递减，
可得 -2，则 ，所以 .故选D项.
4.A 【解析】由题意可知方程 与方程 的根组成集合 ，由方程
的根与系数关系可知 ，则其两根为 ，所以 ，方程
0的两根为 ，则 ，所以 ，所以 .故选A项.
5.B 【解析】当 时， ，所以 ，则 ，由
，得 ，所以 .故选B项.6.A 【解析】由 ，可知 ，则 ，所以 ，充
分性成立；由 ，得 ，显然 不一定成立，必要性不成立.综上，
“ ”是“ ”的充分不必要条件.故选A项.
7.D 【解析】无论 为何值，函数 为偶函数，则 .要使函数
为奇函数，则 为奇函数，所以 ，即 ，整理
得 ，则 ，所以 ，
则 ，解得 .当 时， ，显然无意义，舍去；当 时，
，其定义域为 ，且 为奇函数，此时 .
也为奇函数.故选D项.
8.C 【解析】由题意可知 ，则 ，即
，又 ，所以 ，则 .设
，则 ，所以 在 上单调递增，所以 ，则
，所以 ，则 .设 ，则 ，当 时， ，当 时， ，所以 在 上单调递增，在 上单调
递减，则 ，所以 的最大值为 .故选C项.
二､多选题
9.AC 【解析】在同一坐标系中，作出函数 ， 的图像如图所示，
由图可知 与 的最小值都为1，A项正确； 在 上单调递增， 在 上不
单调，B项错误； 的图像关于直线 对称， 的图像关于直线 对称，C项正确；
与 在 上均单调递减，D项错误.故选AC项.
10.ACD 【解析】当 时， ，所以 ，A项正确；由 ，
得当 2时， ，将以上各式相加得
，所以
，又当 时符合上式，
所以 ，由二次函数的性质可知 不为递减数列，B项错误；因为
，所以当 或 时， 取得最小值-20，C项正确；当 时，
，解得 ，所以当 时， 的最大值为8，D项正确.故选ACD项.
11.BCD 【解析】当 时， ，则 ，显然 不是 的极值点，A项错误.当 时， ，令 ，解得 ，当
时， ，所以当 时， 在 上单调递增，又 ，所以
，B项正确.当 时， ，所以 在 上单调递减，因为
，所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，C项正确.当 时， ，在 的图
像上任取一点 ，则点 关于点 的对称点为
，则
，D项正确.故选BCD项.
三､填空题
12.-2 【解析】 ，所以 .
13. 【解析】由 ，得 ，所以
，则 ，令 ，则 ，所以
，故 .14. 【解析】
，由上可知 是以 为首项， 为公比的等比数
列，所以 ，当 时， ，则
，所以
.
四､解答题
15.解：（1）由 ，得 ，
又 ，所以 ，
当 时， ，
当 时， ，解得 ，
所以 ，
故 的通项公式为 .
（2）由（1）可知 ，
所以 ，故 .
16.解：（1）易知 ，
又 ，
所以 ，
所以 的图像在 处的切线方程为 ，
令 ，得 ，
由切线与两坐标轴围成图形的面积为 ，
得 ，
解得 或 .
（2）当 时， ，
则 ，
当 时， 单调递减，当 ，2]时， 单调递增，
所以 在 的最小值为 ，
由题意得 ，即 ，
又 ，所以 .
设 ，
则 ，
所以 在 上单调递减，又 ，所以解不等式 得 ，
故 的取值范围为 .
17.（1）解：因为 在 上单调递增，
所以 在 上单调递减，
则
解得 ，
故 的取值范围为 .
（2）证明：当 时， 的定义域为 ，
因为 ，
所以 的图像关于直线 对称，
故 的图像为轴对称图形.
（3）解：由方程 在 上有解，得方程 在 上有解且 ，
即 在 上有解，
，
当且仅当 时取得等号，
又当 时， 在 上恒成立，
所以 的最小值为 .
18.（1）解：易知 的定义域为 ，，
由 ，得 在 上恒成立.
设 ，
则 ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递
减，所以 ，
所以 ，
故 的取值范围为 .
（2）证明：由题意可知 有两个零点 ，
即 ，
不妨设 ，则 ，
要证 ，即证 ，
即证 ，
即证 ，即证 ，
令 ，则 ，只需证 .
设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
则 ，则 ，
故 .
19.解：（1）根据“次生数列” 的定义可知 有3个，
分别为 或 或 .
（2）设数列 的公比为 ，
因为 为等比数列，且 ，
所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，则 .
（i）由“次生数列” 的定义，可知 ，
，故 .
（ii）由（i）可知当 为偶数时， ，
①
，②
由①-②得
1
，
所以 .
当 时， ，
当 为奇数且 时， 为偶数，
则
，
显然当 时，也符合上式，
故
