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2024届新高考二轮复习第二讲：复数
10. 已知复数 均不为0，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【详解】设 、 ；
对A：设 ，则 ，
，故A错误；
对B： ，又 ，即有 ，故B正确；
对C： ，则 ，
， ，则 ，
即有 ，故C正确；
对D：更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
，
，
故 ，故D正确.
故选：BCD.
题型一：复数的概念
【典例例题】
例1．（2024春·江苏南京）若复数 是纯虚数，则实数 （ ）更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，则 ，有 .
故选：A
【变式训练】
1.（2024春·内蒙古锡林郭勒盟）复数 ，其中 为实数，若 为实数， 为纯
虚数，则 （ ）
A．6 B． C． D．7
【答案】C
【详解】复数 ， 为实数，则 ，
由 为实数，得 ，解得 ，又 ，
显然 ，由 为纯虚数，得 ，解得 ，
所以 .
故选：C
2．（2024上·河南焦作）已知复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可得： ，
所以 的虚部为 ．
故选：B.
3.（2024春·江苏南通）已知 ， 是方程 的两个复根，则 （ ▲ ）.
A. 2 B. 4 C. 2i D. 4i
【答案】B
4.（2024春·上海·高三开学考试）下列命题不正确的为（ ）
A．若复数 ， 的模相等，则 ， 是共轭复数
B． ， 都是复数，若 是虚数，则 不是 的共轭复数更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
C．复数是实数的充要条件是
D． ， ，则 对应的点 的轨迹为线段
【答案】A
【详解】对于A，若复数 ， 的模相等，则 ， 还可能是相等的复数，故A错误；
对于B，若 和 是共轭复数，则相加为实数，不会为虚数，故B正确；
对于C，若复数是实数，则 ，从而 ，所以 ，
反之若 ，则由 得 ，所以 ，
所以复数是实数的充要条件是 ，故C正确；
对于D，设 ，
由复数的几何意义可知 表示点 到点 和 距离之和为2，
而点 和 之间距离为2，所以 对应的点 的轨迹为线段，故D正确.
故选：A
题型二：复数的四则运算
【典例例题】
例1.（2024春·新高考）（多选）已知复数 ， 满足 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】 ， ，
， ，
所以 ， ，
故选:ABD
【变式训练】
1.（2024春·江苏南通）（多选）已知复数 ，设 ，当x取大于0的一组实数 、更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
、 、 、 时、所得的y值依次为另一组实数 、 、 、 、 ，则（ ▲ ）.
A. 两组数据的中位数相同 B. 两组数据的极差相同
C. 两组数据的方差相同 D. 两组数据的均值相同
【答案】BC
2.（2024春·广东省）设复数z满足 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．8
【答案】B
【解析】 ，
，
因此 ．
故选：B
3．（2024春·云南保山）（多选）已知 ，则下列正确的是（ ）
A． B． 在复平面内所对应的点在第二象限
C． D．
【答案】AC
【详解】对于A，由 ，所以 ，故A正确；
对于B，由 ，所以 ，故 在复平面内所对应的点为 ，
在第三象限，故B错误；
对于C， ，所以 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
则 ，故C正确；
对于D， ，所以 ，故 ，故D错误，
故选：AC.
4.（2024·全国·模拟预测）（多选）已知 是两个虚数，则下列结论中正确的是（ ）
A．若 ，则 与 均为实数 B．若 与 均为实数，则
C．若 均为纯虚数，则 为实数 D．若 为实数，则 均为纯虚数
【答案】ABC
【 详 解 】 设 ， ． ，
．
若 ，则 ， ，所以 ， ，所以A正确；
若 与 均为实数，则 ，且 ，又 ， ，所以 ，所以B正确；
若 ， 均为纯虚数，则 ，所以 ，所以C正确；
取 ， ，则 为实数，但 ， 不是纯虚数，所以D错误．
故选：ABC．
题型三：复数的几何意义
【典例例题】
例1.（2024春·湖北省）（多选）设 为复数，则下列命题中正确的是（ ）
A. B. 若 ，则复平面内 对应的点位于第二象限
C. D. 若 ，则 的最大值为2
【答案】ABD
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【详解】对于A，设 ，故 ，则 ， ，故
成立，故A正确，
对于B， ， ，显然复平面内 对应的点位于第二象限，故B正确，
对于C，易知 ， ，当 时， ，故C错误，
对于D，若 ，则 ，而 ，易得当 时， 最大，此
时 ，故D正确.
故选：ABD
【变式训练】
1.（2024春·北京海淀）如图，在复平面内，复数 ， 对应的点分别为 ， ，则复数 的虚部为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】在复平面内，复数 ， 对应的点分别为 ， ，
则 ， ，得 ，
所以复数 的虚部为 .
故选：D
2.（2024春·江苏常州）在复平面内，复数 对应的向量为 ，复数 对应的向量为 ，那
么向量 对应的复数是（ ）更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
A．1 B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意得 ， ， ，
则 对应复数1.
故选：A．
3.（2024春·湖南长沙）（多选）已知复数z ，z 在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面原点若．
1 2
❑√3 1
z = + i（i为虚数单位），向量⃗OA绕原点逆时针方向旋转90°，且模伸长为原来的2倍后与向量⃗OB
1 2 2
重合，则（ ）
❑√3
A．z 的虚部为 B．点B在第二象限
2 2
C．
|z +z )=❑√2
D．|z
2
)
=2
1 2 z
1
【答案】BD
【详解】因为 ❑√3 1 ， 所以 对应的坐标为(❑√3 1)， ，
z = + i z , |z )=1
1 2 2 1 2 2 1
1
2 ❑√3 π
⃗OA向量与x轴夹角为θ,tanθ= = ,θ= ,
❑√3 3 6
2
由题意可知， |z )=2, 且 ⃗OB=2 ( cos ( θ+ π ) ,sin ( θ+ π )) =(−1,❑√3) ，选项B正确；
2 2 2
， 的虚部为 ，选项A错误；
z =−1+❑√3i z ❑√3
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z +z = ❑√3 −1+ (1 +❑√3 ) i ，所以 |z +z )=❑ √ (❑√3 −1 ) 2 + (1 +❑√3 ) 2 =❑√5 ，选项C错误；
1 2 2 2 1 2 2 2
|z 2 ) = |z 2 ) =2 ，选项D正确；
z |z )
1 1
故选：BD.
4.（2024春·湖北武汉）已知复数z满足 （i为虚数单位），则 的最小值为
______．
【答案】
【解析】
【解答】
解：设 ， ，
由 ，
即 ，
则 的轨迹为点 ， 连线的中垂线： ，
设 ， ，
则 的最小值等价于求 的最小值，
点 关于 的对称点 ，
所以 ，
故答案为 ．更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
一、单项选择
1．（2024春·湖南衡阳）在复数范围内， 是方程 的两个不同的复数根，则 的值
为（ ）
A．1 B． C．2 D． 或2
【答案】D
【详解】由 ，
得 .
因为 ，所以 或 ，
当 或 ， ；
当 或 ， .
故选：D
2．（2024春·山西朔州） 是虚数单位，设复数 满足 ，则 的共轭复数对应的点位于
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【详解】因为 ，得 .
则 .则其在第三象限.
故选：C
3．（2024春·重庆长寿）设复数 ，则复数 的共轭复数的模为（ ）
A．7 B．1 C．5 D．25
【答案】C
【详解】复数 ，则 ，
所以 .
故选：C.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
4．（2024春·全国·模拟预测）已知复数z满足 ，则z的实部为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【详解】由题意可得 ，
所以z的实部为 ．
故选：A．
5．（2024春·河南·模拟预测） （ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】B
【详解】因为 ，
所以 .
故选：B.
6．（2024春·河北保定）若虚数 是关于 的方程 的一个根，且 ，则
（ ）
A．6 B．4 C．2 D．1
【答案】C
【详解】依题意，设 （ 且 ），
代入方程 ，得 ，
整理得 ．
所以 ，解得 ，
因为 ，即 ，所以 ．
故选：C．
7．（2024春·河南）复数 的实部与虚部之和为（ ）更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
A．0 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【详解】 ，
所以实部与虚部之和为 .
故选：C
8．（2024春·黑龙江哈尔滨）已知 为虚数单位，若复数 ，则（ ）
A．复数 实部为1 B．复数 虚部为0
C． D．在复平面内 对应的点位于第二象限
【答案】B
【详解】由题意得： ，
所以复数z的实部为 ，虚部为0，即A错误，B正确；
，故C错误，在复平面内z对应的点为 ，故D错误，
故选：B.
二、多项选择
9.（2024春·广东省）已知 是复数 的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若 ，则
C． D．若 ，则 的最小值为1
【答案】CD
【详解】对于A，设 ，则 ，但
，故A错误；
对于B，令 ，满足 ，故B错误；
对于C，设 ，则 所以 ，则更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
，所以 ，故C正确；
对于D，设 ，则 ，
即 ，表示以 为圆心，半径为1的圆，
表示圆上的点到 的距离，故 的最小值为 ，故D正确.
故选：CD
10.（2024春·江西省）若复数 ，则（ ）
A． 的共轭复数 B．
C．复数 的虚部为 D．复数 在复平面内对应的点在第四象限
【答案】ABD
【详解】 ，则 ，故 正确；
，故 正确；复数 的虚部为 ，故 错误；
复数 在复平面内对应的点为 ，在第四象限，故 正确.
故选：ABD
11.（2024春·九省联考模拟）（多选）已知复数 ， ，则下列结论正确的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【详解】设 ， ，其中 .
对于选项A: ，所以 与 不一定相等，故选项
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对于选项B: 因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ,故选项B正确；
对于选项C: 因为 ,
所有
因为 ，
所以 ,故选项C正确；
对于选项D:因为 ，所以
，而 与 不一定相等,故选项D
错误；
故选：BC.
12.（2024春·重庆）已知复数 的共轭复数为 ，则下列命题正确的是（ ）
A． B． 为纯虚数
C． D．
【答案】ACD
【详解】设复数 ，则 ，故 ，A正确；
，当 时， 为实数，B错误；
，则 ，C正确；
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，故 ，
则 ，D正确，
故选：ACD
13．（2024春·江西宜春）设 为复数，则下列命题中正确的是（ ）
A． B．若 ，则复平面内 对应的点位于第二象限
C． D．若 ，则 的最大值为2
【答案】ABD
【详解】对于A，设 ，故 ，则 ， ，故 成
立，故A正确，
对于B， ， ，显然复平面内 对应的点位于第二象限，故B正确，
对于C，易知 ， ，当 时， ，故C错误，
对于 D，若 ，则 ，而 ，易得当 时， 最大，此时
，故D正确.
故选：ABD
