文档内容
通辽一中 2023 级高一下学期期末考试
数学试题
注意事项：
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号涂写在答题卡上。本试卷满分 150分，考试时间
120分钟.
2、做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效.
3、回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．如图所示的频率分布直方图呈现右拖尾形态，则根据此图作出以下判断，正确的是
（ ）
A．众数<中位数<平均数 B．众数<平均数<中位数
C．中位数<平均数<众数 D．中位数<众数<平均数
2. 已知一组数据 ， ， ， ， 的方差是 ，那么另一组数据 ， ，
， ， 的方差是（ ）．
A. 1 B. 2 C. D. 4
3. 如图所示，在正方形 中， 为 的中点， 为 的中点，则 （ ）
A. B.
数学试题 第 1页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司C. D.
4. 已知 ， 是两个不重合的平面， ， 是两条不同的直线，则下列命题正确的是
（ ）
A. 若 ， ， ，则 B. 若 ， ， ，则
C. 若 ， ， ，则 D. 若 ， ， ，则
5. 从一批产品（既有正品也有次品）中随机抽取三件产品，设事件 A=“三件产品全不
是次品”，事件B=“三件产品全是次品”，事件C=“三件产品有次品，但不全是次品”，
则下列结论中不正确的是（ ）
A. A与C互斥 B. B与C互斥
C. A、B、C两两互斥 D. A与B对立
6. 如图，为了测量河对岸的塔高 ，某测量队选取与塔底 在同一水平面内的两个测
量基点 与 ．现测量得 米，在点 处测
得塔顶 的仰角分别为 ，则塔高 （ ）
A. 米 B. 米
C. 米 D. 米
7. 已知向量 ， 满足 ，且 ， 夹的角为 ，则 与 的夹角为（ ）
数学试题 第 2页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
8．已知圆锥的顶点为 ，母线长为2，轴截面为 ，若 为底面圆周上
异于 的一点，且二面角 的大小为 ，则 的面积为（ ）
A．2 B．3 C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 新式茶饮是指以上等茶叶通过萃取浓缩液，再根据消费者偏好，添加牛奶、坚果、
柠檬等小料调制而成的饮料．如图为2022年我国消费者购买新式茶饮的频次扇形图及
月均消费新式茶饮金额的条形图．
根据所给统计图，下列结论中正确的是（ ）
A. 每周都消费新式茶饮的消费者占比不到90%
B. 每天都消费新式茶饮的消费者占比超过20%
的
C. 月均消费新式茶饮50～200元 消费者占比超过50%
D. 月均消费新式茶饮超过100元的消费者占比超过60%
10．设复数 ，则下列命题结论不正确的是（ ）
数学试题 第 3页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司A． 的虚部为1 B．
C． 在复平面内对应的点在第四象限 D． 是方程 的根
11．如图，在正方体 中，若 为棱 的中点， 点在侧面 （包括
边界）上运动，且 ∥平面 ，下面结论正确的是（ ）
A． 点的运动轨迹为一条线段
B．直线 与 所成角可以为
C．三棱锥 的体积是定值
D．若正方体的棱长为1，则平面 与正方体的截面的面积为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）.
12．在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为 ，现采用随机模拟方法估
计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出 之间整数值的随机数，指定1，
2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组
随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为 .
13. 在 中，角 所对的边分别为 ，若 ， ， ，则
_______．
14．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一．图1
是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个
数学试题 第 4页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中 分别是上、下底面圆的圆心，且
，现有一箱这种的陀螺共重 （不包含箱子的质量），陀螺的
密度为 （ 取3）.则该箱中有这样的陀螺 个.如果要给这箱陀螺的每
个表面涂上一种特殊的颜料，则共需涂颜料 （第一空2分，第2空3分）
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤）.
15．（满分13分）
如图，在四棱锥 中， 是正方形， 平面 ， ， 分
别是 的中点．
(1)求证： ；
(2)求证：平面 平面 ．
16．（满分15分）
甲、乙、丙三人组成一个小组代表学校参加一个“诗词大会”闯关活动团体赛.三
人各自独立闯关，在第一轮比赛中甲闯关成功的概率为 ，甲、乙都闯关成功的概率
数学试题 第 5页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司为 ，甲、丙都闯关成功的概率为 ，每人闯关成功记 分，三人得分之和记为小组团
体总分.
(1)求乙、丙各自闯关成功的概率；
(2)求在第一轮比赛中团体总分为 分的概率；
(3)若团体总分不小于 分，则小组可参加下一轮比赛，求该小组参加下一轮比赛的概
率.
17. （满分15分）
某省将实行“ ”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中
使用赋分制给高三年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原
始分从高到低按比例划定A、B、C、D、E共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转
换公式进行赋分，A等级排名占比 ，赋分分数区间是86~100；B等级排名占比
，赋分分数区间是71~85；C'等级排名占比
，赋分分数区间是56~70；D等级排名占比
，赋分分数区间是41~55；E等级排名占比
，赋分分数区间是30~40；现从全年级的生物
成绩中随机取100学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：
（1）求图中a的值，并求抽取的这100名学生的原始成绩的众数、平均数和中位数；
的
（2）用样本估计总体 方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋
分后的B等级及以上（含B等级）？（结果保留整数）
数学试题 第 6页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司（3）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在 和 内的学生中共抽取5人，
查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2
人中恰有一人原始成绩在 ）内的概率．
18．（满分17分）
如图，平面 平面 是等腰直角三角形，
，四边形ABDE是直角梯形，
分别为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线BO和平面 所成角的正弦值；
(3)能否在EM上找一点 ，使得 平面ABDE?若能，请指出点 的位置，并加以证
明;若不能，请说明理由．
19. （满分17分）
请从：① ；②
；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．（如未作
数学试题 第 7页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司出选择，则按照选择①评分）
在 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，若________，
（1）求角 的大小；
（2）若角 的平分线 长为1，且 ，求 外接圆的面积；
（3）若 为锐角三角形， ，求 的取值范围．
数学试题 第 8页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司通辽一中 2023 级高一下学期期末考试
数学试卷答案
1．【答案】A
【详解】由频率分布直方图知，数据组的众数为左起第2个小矩形下底边中点值，
显然在过该中点垂直于横轴的直线及左侧的矩形面积和小于0.5，则众数<中位数，
由频率分布直方图呈现右拖尾形态，得中位数<平均数，
所以众数<中位数<平均数.故选：A
2.【答案】B
【详解】因为数据 ， ， ， ， 的方差是数据 ， ， ， ，
的方差的4倍，所以数据 ， ， ， ， 的方差是
故选：B
3.【答案】A 解：
.
4.【答案】A
解：对于A，若 ， ， ，可将 平移至相交直线，由公理3推论2，确定一个
平面 ，由线面垂直的性质可得 的交线 垂直于平面 ，进而得到 垂直于 和 的交线，
且 和 的交线与 或其平行线能围成矩形，由面面垂直的定义，可得 ，则A正确；
数学试题 第 9页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司对于B，若 ， ， ，当 都平行于 的交线，则条件满足，则 相交成
立，则B错；
对于C，若 ， ， ，则 可能平行、可能异面、可能相交，所以C错；
对于D，若 ， ， ，则 可能平行、可能异面、可能相交，所以D错.
5.【答案】D
【详解】随机抽取三件产品，总事件中包含“0件次品，3件正品”，“1件次品，2件正品”，
“2件次品，1件正品” ，“3件次品，0件正品”
事件A=“三件产品全不是次品”即“0件次品，3件正品”，
事件B=“三件产品全是次品”即“3件次品，0件正品”，
事件C=“三件产品有次品，但不全是次品” 即“1件次品，2件正品”，“2件次品，1件正品”由
互斥事件的定义知：A、B、C两两互斥，故ABC正确；
由互斥事件的定义知：A与B互斥，但是A与B的和事件不是总事件，故A与B对立不是对立事件，
故D错误.故选：D.
6.【答案】A
解：设该塔的高度为 米，
则 ．
在 中， ，
即 ，由 ，解得 ，即塔高 为30米.
7.【答案】D
【详解】设 ， ， ，
， ，
，
数学试题 第 10页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司设向量 与 的夹角为 ，
，因为 ，所以 ．故选：D
8．A
【详解】如图所示，记 为 的中点，则 垂直于底面 ，所以 ，
又 ，
所以 ，取 的中点 ，连接 ，
显然有 ，即二面角 的平面角为 ，
即 ，又 ，
， ，则 ，
的面积为 .故选：A.
9.解：每周都消费新式茶饮的消费者占比 ,A错误；
每天都消费新式茶饮的消费者占比 ，B正确；
月均消费新式茶饮50～200元的消费者占比 ，C正确；
月均消费新式茶饮超过100元的消费者占比 ,D错误．
10．BCD
【详解】由 ，可得： ，
所以 的虚部为 ，即A是错误的；
由 ，可知 ，即B是正确的；
由 可知在复平面内对应的点 在第四象限，即C是正确的；
数学试题 第 11页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司由方程 的根为 ，即D是正确的；故选：BCD.
11．ACD
【详解】不妨设正方体的棱长为1，
对于选项A：取 的中点 ，连接 ，
由题意可知： ∥ ，且 ，
可知 为平行四边形，则 ∥ ，
又因为 分别为 的中点，则 ∥ ，可得 ∥ ，且 平面 ， 平面
，可得 ∥平面 ，
因为 分别为 的中点，则 ∥ ，且 ，
又因为 ∥ ，且 ，可得 ∥ ，且 ，
可知 为平行四边形，则 ∥ ，
且 平面 ， 平面 ，可得 ∥平面 ，
由 ， 平面 ，可得平面 ∥平面 ，
若 ∥平面 ，可知 平面 ，
且 侧面 ，侧面 平面 ，可知 ，
所以 点的运动轨迹为一条线段 ，故A正确；
对于选项B：因为 点的运动轨迹为线段 ，
则直线 与 所成角为 ，
因为 侧面 ， 侧面 ，则 ，
数学试题 第 12页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司在 中， ，
又因为 ，则有：
当 为线段 的中点时， 取到最小值 ；
当 为线段 的端点时， 取到最大值 ；
则 ，即 ，可知 ，故B错误；
对于选项C：由选项A可知：平面 ∥平面 ，且 平面 ，
则 ∥平面 ，
且 ，可知点 到平面 的距离为定值，
即三棱锥 的高 为定值，且 的面积 为定值，
所以三棱锥 的体积 是定值，故C正确；
对于选项D：取 的中点 ，连接 ，
因为 分别为 的中点，则 ∥ ，
由选项A可知： ∥ ，则 ∥ ，
所以平面 与正方体的截面为四边形 ，
由题意可知： ，
数学试题 第 13页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司则等腰梯形 的高 ，
所以截面的面积为 ，故D正确；故选：ACD.
12.【答案】0.75/
【详解】由题意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染，
随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有907，966，569，556，989共5个，
故三只豚鼠都没被感染的概率为 ，
则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为 .
故答案为： .
13.【答案】
【解析】
14.【详解】（1）因为 ，所以
，
圆锥部分的体积为 ，圆柱部分的体
积为 ，
所以一个陀螺的体积为 ，质量为
数学试题 第 14页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司，
所以该箱中共有陀螺 个.
（2）易知 ，
则圆锥的侧面积为 ，圆柱侧面积为 ，
底面面积为 ，
所以一个陀螺的表面积为 ，
所以 ，
所以，给这箱陀螺的每个表面涂上颜料共需涂多少 的颜料.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(满分13分）
【详解】（1）由 平面 ，AD⊂面ABCD, 得
， 1 分
又 ( 是正方形)， 2 分
， PD、CD⊂面PCD
所以 平面 ， 4 分
又 PC⊂面PCD
所以 . 6 分
（2）由 分别是线段 的中点，所以 ， 7 分
又 为正方形， ，
所以 ， 8 分
又 平面 ，AB⊂面PAB
所以 平面 1 0 分
.因为 分别是线段 的中点，所以 ，
又 平面 ，PB⊂面PAB
数学试题 第 15页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司所以 平面 1 1 分
因为 平面 ，
所以平面 平面 . 1 3 分
说明：第（1）问线在面内不写不扣分；第（2）问证明 平面 过程写同理即可，另外，线
线平行直接证面面平行不得分.
16．（满分15分）
【详解】（1）三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为 ，
甲、乙都闯关成功的概率为 ，
甲、丙都闯关成功的概率为 ，
设乙闯关成功的概率为 ，丙闯关成功的概率为 ，
根据独立事件同时发时的概率公式得 ， 3 分
解得 ，
即乙闯关成功的概率为 ，丙闯关成功的概率为 . 5 分
（2）团体总分为4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人过关，而另外一人没过关，
6 分
设“团体总分为4分”为事件 ，
则 ，
即团体总分为4分的概率 ； 9 分
（3）团体总分不小于4分，即团体总分为4分或6分， 1 0 分
设“团体总分不小于4分”为事件 ，
由（2）可知团体总分为4分的概率 ， 1 1 分
数学试题 第 16页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司团体总分为6分，即3人闯关都成功的概率为 1 3 分
所以参加下一轮比赛的概率为 ，
即该小组参加下一轮比赛的概率为 . 1 5 分
说明：采分点按答案给分即可，学生说的有道理即可，对过程要求不强求.
17. （满分15分）
【详解】
（1） ，
. 1 分
抽取的这100名学生的原始成绩的众数的估计值为 分； 2 分
由频率直方图可得前三组的频率和为 ，
前四组的频率和为 ，
故中位数落在第四组， 3 分
设中位数为x，则 ，
解得 ，
故抽取的这100名学生的原始成绩的中位数的估计值为 分， 4 分
的
抽取 这100名学生的原始成绩的平均数的估计值为：
分；
6 分
数学试题 第 17页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司（2）由已知等级达到B及以上所占排名等级占比为 ，
由（1）可得，中位数 ，
故原始分不少于74分才能达到赋分后的B等级及以上． 9 分
（3）由题知得分在 和 内的频率分别为0.1和0.15，
则抽取的5人中，得分在 内的有2人，得分在 的有3人
1 0 分
记得分在 内的3位学生为a，b，c，得分在 内的2位学生为D，E，
则从5人中任选2人，样本空间可记为
，共包含10个样本点，
1 2 分
用A表示“这2人中恰有一人得分在 内”，
则 ，A包含6个样本点，
1 3 分
故所求概率 .
1 5 分
说明：第（1）问计算过程中列式正确但结果错误不得分；第（3）问样本空间和时间A没一一列举
各扣1分。
18．（满分17分）
【详解】（1）取 中点 ，连接 ，如图，
由 是 中点， 为 中点，得 且 ， 1 分
又 且 ，
数学试题 第 18页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司则 ， ， 2 分
即四边形 是平行四边形，
于是 ， 3 分
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ． 5 分
（2）连接 ，由 ，得 ，
而平面 平面 ，
平面 平面 ， 而平面 ，
则 平面 ，
于是 平面 ， 6 分
， 7 分
由 ， 为 中点，得 ，又平面 平面 ，
平面 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
而 平面 ，于是 ，又 ， ，
， 8 分
设点 到平面 的距离为 ，
由 ，得 ，解得 ， 9 分
又 ，
则 ，
设直线BO和平面 所成的角为 ，则 ，
所以直线BO和平面 所成角的正弦值为 . 1 1 分
当 是 中点时， 平面 . 1 2 分
数学试题 第 19页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司理由如下：
取 中点 ，连接 ，
而 为 中点，则 ， 1 3 分
由 ， 为 中点，得 ， 1 4 分
又平面 平面 ，
平面 平面 ， 平面 ，
则 平面 ， 1 6 分
于是 平面 ，
所以当 是 中点时， 平面 . 1 7 分
说明：第（1）线面平行的判定定理错误或者不全不得分；第（2）问采分点很多，即使结果没正确，
过程也要酌情给分.
19. （满分17分）
详解：（1）若选①，因为 ，
由正弦定理得 ，
1 分
即 ，
所以 ， 3 分
由 ，得 ，所以 ， 4 分
即 ，因为 ，所以 . 5 分
若选②，由 ，
化简得 . 1 分
由正弦定理得 ， 2 分
数学试题 第 20页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司即 ，
所以 . 4 分
因为 ，所以 . 5 分
若选③，因为 ，由正弦定理得 ，
1 分
即 ，
为
因 ，所以 ，
所以 ， 2 分
所以 ， 3 分
又因为 ，
所以 ，所以 ； 5 分
（2）因为角 的平分线为 ，
由等面积法： ，
6 分
数学试题 第 21页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司即 ， 7 分
即 ，
又 ，
所以 ， 8 分
所以 ，
即 ， 9 分
故 外接圆的面积 ； 1 0 分
（3）在 中，由正弦定理 ，
得 ， ，
由（1）知， ，又 ，代入上式得 ， 1 1 分
所以
数学试题 第 22页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司， 1 3 分
因为 为锐角三角形，
所以 ，解得 ， 1 4 分
所以 ，所以 ， 1 5 分
则
所以 . 1 7 分
说明：本题按采分点给分即可，但有些步骤可以调换顺序，评卷时要注意给分.
数学试题 第 23页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司
