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2024-2025学年高一下学期期中检测数学试卷
一、单选题
1．若复数 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．5
2． 为空间两条不重合直线， 为空间平面，下列命题正确的是（ ）
A． ，则
B． 与 所成角均为 ，则
C． ，则直线 到 的距离相等
D． ，则
3．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知向量 ，则向量 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，矩形 是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形 的直观图，其中 ，
，那么 的周长为（ ）
A．10 B．8 C．14 D．
6．如图，在 中， 是 的中点， 是 上的两个三等分点．若 ， ，则
的值为（ ）A． B． C．1 D．2
7．如图，该几何体为“四角反棱台”，它是由两个相互平行的正方形经过旋转，连接而成，且上底面正
方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点．若下底面正方形边长为2，“四角反棱
台”高为 ，则该几何体体积为（ ）
A． B． C． D．20
8．已知一个圆台的上，下底面半径分别为1和4，高为 ．若该圆台内有一个正方体，且该正方体在圆
台内能任意转动，则该正方体棱长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在 中，根据下列条件解三角形，其中有唯一解的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
10．下列关于复数 的说法中，正确的是（ ）A．若复数 满足满足 ，则 在复平面内对应的点的轨迹为直线
B．若复数 的平方是纯虚数，则复数 的实部和虚部相等
C．若 ，则 为实数
D．若 ，则
11．如图，在直三棱柱 中， 是线段 的中点，P是线段
上的动点（含端点），则下列命题正确的是（ ）
A．三棱锥 的体积为
B．直三棱柱 的外接球半径为
C． 的值可以为
D．在直三棱柱 内部能够放入一个表面积为 的球
三、填空题
12．若复数 满足 ( 是虚数单位)，则 的虚部是 .
13．如图，为了测量河对岸的塔高AB，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测
得 ， ， ，在点C处测得塔顶A的仰角为 ，则塔高 ．14．如图所示，在棱长为4的正方体 中，点 分别是棱 的中点， 是侧面
内一点，若 平面 ，则线段 长度的取值范围是 .
四、解答题
15．如图所示，平行四边形 中已知 ， 点在边 上运动，
(1)求 点坐标；
(2)判断是否存在点D，使得 ，若存在，求出D点坐标，若不存在，说明理由．
16．梯形 中， ， ， ．
(1)若 ，以 为基底表示 ；
(2)将梯形 绕 所在的直线旋转一周，求所得几何体的表面积．
17．在 中， 分别为角 的对边，向量 ， ，且 .(1)求角 ；
(2)若角 的平分线交 于点 ， ， ，求 的周长．
18．骆岗公园拟建一个平面凸四边形 的绿色草坪，其中 米， 米， 为正三角形．
计划 将作为合肥市民休闲娱乐的区域， 将作为骆岗公园的文化介绍区域．
(1)若 ，求文化介绍区域 的面积；
(2)求休闲娱乐的区域 的面积的最大值．
19．如图，在四棱锥 中， 和 均为正三角形， ， ， 为
上一点，设平面 与平面 的交线为 ．
(1)求证： 面 ；
(2)求证： 面 ；
(3)当 平面 时，面 与 交于 ，求 的值．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C A C D C B BC ACD
题号 11
答案 AD
1．A
根据复数的除法运算化简得出 ，进而求解 ，计算即可得出答案.
【详解】由已知可得 ，
所以 ，
则 .
故选：A．
2．B
ACD选项，可举出反例；B选项，由线面垂直的性质定理知 平行.
【详解】对于A，当 时，根据线面垂直的定义，由 ，可知必有 ，故当 ， 时，
可以不与平面 平行，故A错误；
对于B，根据线面角的定义，可知当 都与平面 成 角时， ，由线面垂直的性质定理知
平行，故B正确；
对于C，如图所示， ，但直线 到 的距离可以不相等，故C错误；
对于D， ，则 可以是平行直线，相交直线，也可以是异面直线，故D错误．
故选：B．
3．C根据数量积的运算律求出 的等价条件，即可判断得出答案.
【详解】因为 ， .
所以 .
综上所述，“ ”是“ ”的充分必要条件．
故选：C．
4．A
利用向量模长得出向量 ， 的数量积，再根据投影向量的定义计算可得结果.
【详解】由 ，得 ，
由 ，得 ，
则 ，
因此 在 上的投影向量为 ．
故选：A．
5．C
在直观图中求出 ，画出原图形，由斜二测法定义得到各边长，求出周长
【详解】在直观图中可以得到 ， ，
在直观图中，由勾股定理得 ，
画出原图形，则 ，
在原图形中， ，由勾股定理得 ，
其中 ，所以 的周长为
故选：C．
6．D
设 ，根据已知条件结合平面向量基本定理得出关于 的方程组，求解得出 的值，进
而表示出 ，即可得出答案.
【详解】设 ，则由已知可得 .
又
，
，
所以联立 得， .
所以
．
故选：D.
7．C利用割补法求解几何体体积即可.
【详解】如图，把几何体补全为长方体，则 ， ，
所以该几何体体积为 .
故选：C.
8．B
作出圆台的轴截面，要使正方体棱长最大，则此时正方体的外接球应为圆台内与 ， ， 相切的球，
利用勾股定理求出棱长最大的正方体的外接球的半径，进而可得出答案.
【详解】如图，作出圆台的轴截面，
要使正方体棱长最大，则此时正方体的外接球应为圆台内与 ， ， 相切的球，
设圆 的半径为 ，则 ，
因为 ，所以 ，
作 ，因为 ，所以 ，
而 ，由勾股定理得 ，
则 ，且 ，
而 ，即得到 ，解得 ，
设圆台内正方体的棱长最大值为 ，则 ，
．
故选：B.
9．BC
根据正弦定理，余弦定理，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】对于A： ，则 ，故三角形有2个解，故A错误；
对于B：三角形三边确定，三角形唯一，故B 正确；
对于C：由余弦定理得 ，
所以 ，解得 或 （舍），
所以能唯一确定三角形，故C正确；
对于D：由余弦定理得 ，
所以 ， ，方程无解，所以无法构成三角形，故D错误；
故选：BC.
10．ACD
设 ，化简结合已知以及复数的几何意义可得出A项；举例即可判断B项；设 ，
，代入化简即可判断C项；求解得出 的所有复数根，逐个验证即可判断D项.
【详解】对于A项，设 ，
则 ， ，
所以有 ， .因为 ，所以有 ，
整理化简可得 ，由复数几何意义知，复数 在复平面对应的点在直线 上，A正确；
对于B，当 时， 为纯虚数，其实部和虚部不相等，故B错误；
对于C，设 ， ，则 ，
则 ，故C正确；
对于D，因为 ，所以 ，即 ，解得 或 .
当 时， ；
当 时， ；
当 时， .
综上所述， ，故D正确．
故选：ACD.
11．AD
利用线面平行判定定理证明 平面 ，再利用等体积法计算可求得A正确，将直三棱柱
补充为正方体，可得外接球半径为 ，故B错误；利用平面展开图和余弦定理计算可得C错
误，求出直三棱柱 内部能够放入的最大球的半径即可得D正确.
【详解】对于A选项，如下图所示，连接 交 于点 ，连接 ，因为四边形 为平行四边形，则 为 的中点，
又因为 为 的中点，则 ，
因为 平面 平面 ，则 平面 ，
因为 ，则点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，为定值，
又因为 的面积为定值，故三棱锥 的体积为定值，
，故A正确；
对于B选项，直三棱柱 可以补充为棱长为2的正方体，易知其外接球半径为 ，故B错误；
对于C选项，将面 翻折到与面 在同一个平面，如下图所示：
在 中， ，
由余弦定理可得：
，当且仅当 三点共线时， 取最小值 ，
故 不可能为为 ，故C错误．
对于D选项，因为 ，则 ，
的内切圆半径为 ，
由于直径 ，所以在这个直三棱柱 内部可以放入一个最大半径为 的球，
而表面积为 的球，其半径 为 ，可得 ；
因为 ，所以这个直三棱柱 内部可以放入半径为 的球，
故D正确；
故选：AD．
12．
【详解】因为 ，所以 ，
所以 的虚部是 .
故答案为： .
13．
先利用两角差的正弦公式求出 ，再利用正弦定理求出 ，然后即可求解.
【详解】在 中，则 ，
且 ，
由正弦定理得 ，
所以 ，在 中， ，所以 .
故答案为： .
14．
根据给定条件，确定点 的轨迹，进而求出 的范围.
【详解】在棱长为4的正方体 中，分别取棱 中点 ，连接 ，
由点 分别是棱 的中点，得 ，
又 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
又 ，则四边形 为平行四边形，
于是 ，又 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
又 ， 平面 ，因此平面 平面 ，
又 是侧面 内一点，且 平面 ，则 点的轨迹是线段 ，
在 中， ，同理 ，
即 为等腰三角形，当 为 中点时， 最短，为 ，
当 位于 、 处时， 最长，为 ，
所以线段 长度的取值范围是 .
故答案为：15．(1)
(2)存在，
（1）由 可得 点坐标；
（2）由 ， ，以及 得到 ，从而得到D点坐标.
【详解】（1）由题意，得 ，
因为四边形 是平行四边形，
所以 ，故 ；
（2）由题意， ，
，
若 ，则 ，
化简得： ，解得 ，
故存在点 ，使得 ，且 .
16．(1)(2)
（1）根据已知可求出 ，进而由 ，得出 ，即可根据图象得出答案；
（2）分析可得出该梯形，绕 所在的直线旋转一周为一个以 为半径， 为高的圆柱挖去两
个以 为半径， 为高的圆锥（挖去部分表面积等于该圆锥的侧面积）.然后依次求出各部分的
面积，相加即可得出答案.
【详解】（1）
如图，分别过点 作 ，垂足为 .
由题意可知，梯形 为等腰梯形，且 ， ，
所以， ， ，则可得 .
由已知可得 ，
所以有 ，
所以有 ，
所以 .
（2）易知该梯形，绕 所在的直线旋转一周为一个以 为半径， 为高的圆柱挖去两个以
为半径， 为高的圆锥（挖去部分表面积等于该圆锥的侧面积）.
每个圆锥的侧面积为 ；圆柱的侧面积为 .
所以所得几何体的表面积为 ．
17．(1)
(2)
（1）根据向量数量积的坐标表示，结合两角和差的正弦公式化简可得出 .结合角的范围，即可得
出答案；
（2）根据已知可设 ，则 .根据余弦定理化简即可得出 .然后根据等面积
，代入化简求解得出 的值，即可得出各边长，求出周长.
【详解】（1）因为 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ，
整理可得 ．
因为 ，
所以 ，
从而 ，即有 .
又 ，所以 .
（2）在 ，角A的平分线交 于点 ， ，
由三角形内角平分线定理可知： .
设 ，则 .由（1）知， ，
由余弦定理可得： ，
整理可得 .
又 ， ， ，
即 ，
解得 ，
所以 周长为 .
18．(1)
(2)
（1）在 中，根据余弦定理结合已知得出 .进而在 以及 中，根据余弦定理可
推得 ，求解得出 ，进而求出 ，代入面积公式即可得出答案；
（2）设 ，在 中，多次使用余弦定理可得出 ， .然后表示出 的面积，化简得出 ，结合角的取值以及正弦函数的性质即可得
出答案.
【详解】（1）在 中，有 ， ， ，
由余弦定理可得，
，
所以， .
又易知 ，则 .
设 ，则 ，
在 中，有 ， ， ，
由余弦定理可得，
.
在 中，有 ， ， ，
由余弦定理可得，
.
所以有 ，
所以 ， ，
此时
（2）不妨设 ，在 中，由余弦定理得 .
由正弦定理可得 ，
整理可得 .
又 ，
所以有 ，
化简可得 .
则
.
又 ，所以 ，
所以，当 ，即 时该式取最大值 ，
所以 .
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
（1）根据已知结合余弦定理可得出 ，即 ，进而得出 .然后根据线面平行的判
定定理，即可得出证明；
（2）根据已知结合线面平行的判定定理，得出 面 .根据线面平行的性质定理结合已知得出.进而即可根据线面平行的判定定理，得出证明；
（3）设 ，根据已知条件结合线面平行的性质定理得出 .进而根据梯形的性质求出
.根据线面平行的性质定理得出 ， ， .然后可求出 ，
进而得出 ，根据等体积法即可得出答案.
【详解】（1）由 为正三角形且 可知 .
又因为 ，且 ，在 中，由余弦定理得
，
所以 ，所以 ，所以 ，即 .
所以 ，又因为 平面 ， 平面 ，
所以 面 .
（2）因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 面 .
又 面 ，面 面 ，所以 .
又 面 ， 面 ，所以 面 .
（3）
设 ，如图，连接 交 于点 ，连接 .
因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，所以 .
在梯形 中， ， ， ，所以有 ，所以 .
因为 ，所以有 ，所以 ．
因为面 与 交于 ，面 与 交于 ， ，
所以有平面 平面 .
又 面 ， 面 ，所以 .
又 ，所以 ， ，
所以， .
设梯形 高为 ，则 .
由 ，可知 ，所以 .
又四棱锥 与三棱锥 高相等，
所以 ．
