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2024—2025 学年度下学期 2024 级三月月考数学试卷
考试时间：2025年3月21日
一、单选题
1. 已知集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
2. 设角 的终边与单位圆交于点 ，则 是 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 如图，已知 ， ， ， ，则 （）
A. B. C. D.
4. 已知 为正实数，函数 的图象经过点 ，则 的最小值为（）
A. B. 6 C. D. 8
5. 已知函数 是 上的增函数，且关于 的不等式 恒成立，则实
数 的取值范围是（）
A. B. C. D.
6. 按照《中小学校教室换气卫生要求》，教室内空气中二氧化碳浓度不高于 ，经测定，刚下课时，空气
中含有 的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为 ，且 随时间（单位：分钟）的变化
规律可以用函数 （ ）描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间
（单位：分钟）的最小整数值为（）（参考数据： ）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 10
7. 已知函数 ，若方程 在区间 上恰有5个实根，则 的取
值范围是（）
A. B. C. D.
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8. 已知函数 ，若存在 满足 ，则
的值为（）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 下列关于向量说法，正确的是（ ）
A. 若 ， ，则
B. 若 ，则存在唯一实数 使得
C. 两个非零向量 ， ，若 ，则 与 共线且反向
D. 在 中，若 ，则 与 的面积之比为
10. 已知函数 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）
A. 是函数 的图象的一个对称中心
B. 函数 在上单调递减
C. 函数 是奇函数
D. 若 且 ，
11. 设函数 的定义域为 ，且满足 ，当 时， ，则下列结论正
确的是（ ）
A.
B. 为偶函数
C. ， ， ，则有
D. 方程 的所有实数之和为20
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三、填空
12. 已知 ，则 _______ .
13. 已知 ，则向量 在向量 上的投影向量为________
14. 已知 ， ，且 ，则 的最大值为____________．
四、解答题
15. 已知平面向量 ， 的夹角为 ，且 ， ， ．
（1）当 时，求 ；
（2）当 时，求 的值．
16. 已知
（1）求 的单调递增区间；
（2）将 图象上所有的点向右平移 个单位，然后向下平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来
的 ，横坐标不变，得到函数 的图象，当 ，解不等式 .
17. 如图，有一块半径为1，圆心角为 扇形木块 ，现要分割出一块矩形 ，其中点 ， 在弧
的
上，且线段 平行于线段 ．
（1）若点 ， 分别为弧 的两个三等分点，求矩形 的面积 ；
（2）设 ，当 为何值时，矩形 的面积 最大？最大值为多少？
18. 已知函数 ．
（1）若 为奇函数，求 的值；
（2）若 在 上有解，求 的取值范围．
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19. 若函数 在 时，函数值 的取值区间恰为 ，就称区间 为 的一个“倒域区
间”．定义在 上的奇函数 ，当 时， ．
（1）求 的解析式；
（2）求函数 在 内的“倒域区间”；
（3）若函数 在定义域内所有“倒域区间”上 的图像作为函数 的图像，是否存在实数m，使集合
恰含有2个元素？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
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2024—2025 学年度下学期 2024 级三月月考数学试卷
考试时间：2025年3月21日
一、单选题
1.
【答案】D
2.
【答案】A
3.
【答案】B
4.
【答案】D
5.
【答案】D
6.
【答案】B
7.
【答案】D
8.
【答案】A
二、多选题
9.
【答案】CD
10.
【答案】ABD
11.
【答案】BCD
三、填空
12.
【答案】 ##
13.
【答案】
14.【答案】 ##
四、解答题
15.
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【答案】（1） ；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）先得到 ，然后展开计算 即可；
（2）由条件知 ，使用向量内积的坐标表示即可得到关于 的方程，进而求出 .
【小问1详解】
，故 ．
【小问2详解】
由条件知 ，故 ，
所以 ．
16.
【答案】（1） .
（2）
【解析】
【分析】 （1）根据三角恒等变换和辅助角公式将函数 化简为 的形式，从而求出单
调递增区间；
（2）利用图像的变换求出 的解析式，利用三角函数的图象即可求解.
【小问1详解】
令 ，解得 .
故 的单调递增区间为 .
【小问2详解】
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将 的图象上所有的点向右平移 个单位得到 的图
象，
再将 的图象向下平移1个单位得到 的图象，
最后将 的图象上所有点的纵坐标变为原来的 横坐标不变，
得到 的图象，即 ，
由 ，即 ，得 ，
解得
令 可得 ，令 可得 ，
又 所以 ，
即当 时，不等式 的解集为 .
17.
【答案】（1） ；
（2） ， ．
【解析】
【分析】（1）作 ，垂足为 ，交 于 ，连接 ， ，即可表示 ， ， ，从而得到
，再由面积公式及二倍角公式计算可得；
（2）结合（1）可得 ， ， ，则 ，即可表
示矩形的面积，再由三角恒等变换公式化简，结合正弦函数的性质计算可得.
【小问1详解】
作 ，垂足为 ，交 于 ，连接 ， ，
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由于点 ， 分别为弧 的两个三等分点，四边形 为矩形，即 ， 关于直线 对称，
则 ， ，则 ， ，
而 ，故 为等腰直角三角形，则 ，
故 ，
则 ；
【小问2详解】
因为 ，则 ，
故 ， ，
，
故
，
则
，
因为 ，所以 ，
故当 ，即 时， 取最大值 ，
即当 时，矩形 的面积 最大， ．
18.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的性质，有 ，即可求解；
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（2）构造函数 ，利用（1）中结果得到 ，再利用倍角公式及辅
助角公式得到 ，结合题设条件，即可求解
【小问1详解】
因为 ，所以 的定义域为 ，
又 为奇函数，则 ，
解得 ，故 ，
当 时， ，
此时 ，
即 ，
所以函数 为奇函数.
综上，故 ．
【小问2详解】
设 ，由上一问结论知 是奇函数，
则
，
从而方程 等价于 ，
即 ，即 ，
取合适的实数 使得 ， ，
则
，
故原方程又化为 ，即 ，
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显然，该方程有解的充要条件是 ，即 ，即 ，
所以 的取值范围是 ．
19.
【答案】（1） ；
（2） ；
（3）存在， ．
【解析】
【分析】（1）运用奇函数的性质 即可求得函数 的解析式；
（2）根据题意列出方程组 ，从而求解；
（3）分析题意得出 ，从而只需考虑 或 两种情况；再根据（2）的结论求出
，从而根据方程思想求m的值．
【小问1详解】
当 时， ，
所以
【小问2详解】
设 ，显然 在 上递减，
所以 ，整理得 ，
即 为方程 在 上的两个根，且 ，
所以解得 ，
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所以 在 内的“倒域区间”为 ．
【小问3详解】
因为 在 时，函数值y的取值区间恰为 ，其中 ， ，
所以 ，即a，b同号，所以只需考虑 或 ，
当 时，根据 的性质知， 最大值为1， ， ，
所以 ，由（2）知 在 内的“倒域区间”为 ；
当 ， 最小值 ， ， ，
为
所以 ，同理知 在 内的“倒域区间”为 ．
所以 ．
依题意：抛物线 与函数 的图像有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限．
因此，m应当使方程 在 内恰有一个实数根，
并且使方程 在 内恰有一个实数．
由方程 在内恰有一根知 ；
由方程 在 内恰有一根知 ，
综上所述： ．
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