文档内容
湖北省部分高中协作体2024--2025学年下学期期中联考
高一数学试题
本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿
纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.若角α的终边在直线y=-x上,则角α的取值集合为( )
A.{ | π }
α α=k·2π− ,k∈Z
4
B.{ | 3π }
α α=k·2π+ ,k∈Z
4
C.{ | 3π }
α α=k·π− ,k∈Z
4
D.{ | π }
α α=k·π− ,k∈Z
4
2.函数f(x)=sin( π)在区间[ π]上的最小值为( )
2x− 0,
4 2
√2
A.-1 B.-
2
√2
C. D.0
2
3.函数y=sin( π)在区间[ π ]上的简图是( )
2x− − ,π
3 24.正六边形ABCDEF中,用⃗AC和⃗AE表示⃗CD,则⃗CD=( )
2 1 1 2
A.- ⃗AC+ ⃗AE B.- ⃗AC+ ⃗AE
3 3 3 3
2 2 1 1
C.- ⃗AC+ ⃗AE D.- ⃗AC+ ⃗AE
3 3 3 3
π
5.已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为 ,那么|4a-b|=( )
3
A.2 B.6
C.2√3 D.12
1 3
6.在△ABC中,|⃗AB|=3,|⃗AC|=2,⃗AD= ⃗AB+ ⃗AC,则直线AD通过△ABC的( )
2 4
A.重心 B.外心
C.垂心 D.内心
a+3i
7.若复数 是纯虚数,则实数a=( )
2+i
3 3
A.- B.
2 2
2 2
C.- D.
3 3
8.若复数(a+i)(1-ai)=2,a∈R,则a=( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多
项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.(多选题)已知函数f(x)=3sin x-4cos x,若f(α),f(β)分别为f(x)的极大值与极小值,则( )
A.tan α=-tan β B.tan α=tan β
C.sin α=-sin β D.cos α=-cos β
10.(多选题)已知点O在△ABC所在的平面内,则以下说法正确的有( )
A.若⃗OA+⃗OB+⃗OC=0,则点O为△ABC的重心B.若⃗OA· ( ⃗AC − ⃗AB ) =⃗OB· ( ⃗BC − ⃗BA )=0,则点O为△ABC的垂心
|⃗AC| |⃗AB| |⃗BC| |⃗BA|
C.若(⃗OA+⃗OB)·⃗AB=(⃗OB+⃗OC)·⃗BC=0,则点O为△ABC的外心
D.若⃗OA·⃗OB=⃗OB·⃗OC=⃗OC·⃗OA,则点O为△ABC的内心
11.(多选题)已知两个复数z,z 满足zz=i,且z=1-i,则下面说法正确的是( )
1 2 1 2 1
−1+i 1
A.z= B.|z|=
2 2 1 |z |
2
C.|z+z|≥2 D.z z =-i
1 2 1 2
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数 y=a+Acos[π ]
(x−6)
6
(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高为28 ℃,12月份的月平均气温最低为18
℃,则10月份的平均气温为 ℃。
13.已知点P,Q分别是四边形ABCD的对角线AC与BD的中点,⃗BC=a,⃗DA=b,且a,b是不共线
的向量,则向量⃗PQ= 。
14.在复平面内,O为原点,向量⃗OA对应的复数为-1+2i,若点A关于直线y=-x的对称点为B,则
向量⃗OB对应的复数为 。
四、解答题：本题共5小题，共77分
15.（本小题满分15分）
已知函数f(x)=2cos2x+2√3sin xcos x。
(1)求f(π)的值;
3
(2)若f(α) 11,α∈( π),求cos α的值。
= 0,
2 5 3
16.（本小题满分15分）已知函数f(x)=4sin ωxsin( π)-1(ω>0)的最小正周期为π。
ωx+
3
(1)求ω及f(x)的单调递增区间;
(2)求f(x)图象的对称中心。
17.（本小题满分15分）
经过△OAB 的重心 G 的直线与 OA,OB 分别交于点 P,Q,设⃗OP=m⃗OA,⃗OQ=n⃗OB
(m>0,n>0)。
1 1
(1)证明: + 为定值;
m n
(2)求m+n的最小值。
18.（本小题满分16分）
已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A),m·n=sin
2C。
(1)求角C的大小;
(2)若sin A,sin C,sin B成等差数列,且⃗CA·(⃗AB−⃗AC)=18,求c。
19.（本小题满分16分）
在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos Csin(A-B)=cos Bsin(C-A)。
(1)求tan A的最小值;
(2)若tan A=2,a=4√5,求c。高一数学试题答案
一、选择题：
1.D 解 析 如 图 可 知 , 角 α 的 取 值 集 合 为
{ | 3π } { | π } { | π } { | π } { | π }
α α=2nπ+ ,n∈Z ∪ α α=2nπ− ,n∈Z = α α=(2n+1)π− ,n∈Z ∪ α α=2nπ− ,n∈Z = α α=kπ− ,k∈Z
4 4 4 4 4
故选D。
2.B 解析 由已知x∈[ π],得2x-π [ π 3π],所以sin( π) [ √2 ],故
0, ∈ − , 2x− ∈ − ,1
2 4 4 4 4 2
函数f(x)=sin( π) [ π]上的最小值为-√2。故选B。
2x− 在区间 0,
4 2 2
3.A 解 析 令 x=0, 得 y=sin( π) √3, 排 除 B,D 项 , 当 x∈ [ π ]时 ,-
− =− − ,0
3 2 2
4π π π
≤2x− ≤− ,在此区间上函数不会出现最高点,排除C项。故选A。
3 3 3
4.B 解 析 设 边 长 为 2, 如 图 , 设 AD,EC 交 于 点 O, 则 OD=1,AO=3, 得
1 1 1 1 2
⃗OD= ⃗AO。所以⃗CD=⃗CO+⃗OD= (⃗CA+⃗AE)+ (⃗AC+⃗AE)=- ⃗AC+ ⃗AE。 故 选
3 2 6 3 3
B。
π
5.C 解析 |4a-b|2=16a2+b2-8a·b=16×1+4-8×1×2×cos =12。所以|4a-b|=2√3。故选C。
3
1 3 3 1
6.D 解 析 因 为 |⃗AB|=3,|⃗AC|=2, 所 以 |⃗AB|= |⃗AC|= 。设⃗AE= ⃗AB,
2 4 2 23 1 3
⃗AF= ⃗AC,则|⃗AE|=|⃗AF|。因为⃗AD= ⃗AB+ ⃗AC=⃗AE+⃗AF,所以AD平分∠EAF,所以
4 2 4
AD平分∠BAC,所以直线AD通过△ABC的内心。故选D。
a+3i (a+3i)(2−i) 2a+3+(6−a)i 2a+3 6−a a+3i
7.A 解析 = = = + i,因为 是纯
2+i (2+i)(2−i) 5 5 5 2+i
2a+3
{ =0,
虚数,所以 5 得a=-3。故选A。
6−a 2
≠0,
5
8.C 解析 因为(a+i)(1-ai)=a-a2i+i+a=2a+(1-a2)i=2,所以{ 2a=2, 解得a=1。故选C。
1−a2=0,
二、选择题：
9.BCD 解析 对于A,B,由题意,得f'(x)=3cos x+4sin x,因为f(α),f(β)分别为f(x)的极大值与
3
极小值,所以f'(α)=f'(β)=0,即3cos α+4sin α=0,3cos β+4sin β=0,所以tan α=tan β=- ,故A不
4
4 3
正确,B正确;对于C,f(x)=3sin x-4cos x=5sin(x-φ),其中sin φ= ,cos φ= ,因为tan α=tan β,且
5 5
α,β分别为f(x)的极大值点与极小值点,所以由正弦函数的图象知β=α+π+2kπ(k∈Z),所以sin
β=sin(α+π+2kπ)(k∈Z),cos β=cos(α+π+2kπ)(k∈Z),即sin β=-sin α,cos β=-cos α,故C,D正确。
综上所述,选BCD。
10.AC 解析 选项A,设D为BC的中点,由于⃗OA=-(⃗OB+⃗OC)=-2⃗OD,所以O为BC边上
中线的三等分点(靠近点D),同理可证O为AB,AC边上中线的三等分点,所以O为△ABC的重
心,选项A正确;选项B,向量 ⃗AC , ⃗AB 分别表示在边AC和AB上的单位向量,设为 ,和
⃗AC'
|⃗AC||⃗AB|
⃗AB'
,则它们的差是向量
⃗B'C'
,则当
⃗OA
·( ⃗AC
−
⃗AB )=0,即
⃗OA⊥⃗B'C'
时,点O在∠BAC
|⃗AC| |⃗AB|
的平分线上,同理由
⃗OB
·( ⃗BC
−
⃗BA )=0,知点O在∠ABC的平分线上,故O为△ABC的内
|⃗BC| |⃗BA|
心,选项 B 错误;选项 C,由(⃗OA+⃗OB)·⃗AB=0,得(⃗OA+⃗OB)·(⃗OB−⃗OA)=0,即⃗OB2=⃗OA2,故|
⃗OA|=|⃗OB|,同理有|⃗OB|=|⃗OC|,于是 O 为△ABC 的外心,选项 C 正确;选项 D,由⃗OA·⃗OB=⃗OB·⃗OC,得⃗OA·⃗OB−⃗OB·⃗OC=0,所以⃗OB·(⃗OA−⃗OC)=0,即⃗OB·⃗CA=0,所以⃗OB⊥⃗CA,
同理可证 , ,所以OB⊥CA,OA⊥CB,OC⊥AB,即点O是△ABC的垂心,选
⃗OA⊥⃗CB⃗OC⊥⃗AB
项D错误。故选AC。
i −1+i
11.ABD 解析 因为z
1
z
2
=i,z
1
=1-i,所以z
2
= = ,故A正确;|z
1
|=√12+(−1) 2=√2,|
1−i 2
z 2 |=√ ( − 1) 2 + (1) 2 = √2,所以|z 1 |= 1 ,故B正确;因为|z 1 +z 2 |=|1−i| = √2<2,故C错误; z z
2 2 2 |z | 2 2 1 2
2
−1−i
=(1+i)× =-i,故D正确。故选ABD。
2
三、填空题：
12. 20 . 5 解析 因为当x=6时,y=a+A=28;当x=12时,y=a-A=18,所以a=23,A=5,所以
y=f(x)=23+5cos[π ],所以当x=10时,f(10)=23+5cos(π ) 1=20.5。
(x−6) ×4 =23−5×
6 6 2
1 1
13. − a - b
2 2
1 1 1 1
解析 如图,取AB的中点E,连接PE,QE,由题意,得⃗PE= ⃗CB=− a,⃗EQ= ⃗AD=− b,则
2 2 2 2
1 1
⃗PQ=⃗PE+⃗EQ=− a- b。
2 2
14. -2+i 解析 因为点A(-1,2)关于直线y=-x的对称点为B(-2,1),所以向量⃗OB对应的
复数为-2+i。
四、解答题：
15. 解 (1) 因 为 f(x)=2cos2x+2
( π), 所 以 f
√3sin xcos x=1+cos 2x+√3sin 2x=1+2sin 2x+
6(π) (2π π) 5π=1+1=2。
=1+2sin + =1+2sin
3 3 6 6
(2)由 f(α) 11,α∈( π),得 α+π (π π),sin( π) 3,cos( π) 4,所以 cos
= 0, ∈ , α+ = α+ =
2 5 3 6 6 2 6 5 6 5
α=cos[( π) π] ( π) π ( π) π 4√3+3。
α+ − =cos α+ cos +sin α+ sin =
6 6 6 6 6 6 10
16. 解 (1)f(x)=4sin ωx(1 √3 )-1=2sin2ωx+2 sin ωxcos ωx-1=1-cos
sin ωx+ cos ωx √3
2 2
2ωx+ sin 2ωx-1= sin 2ωx-cos 2ωx=2sin( π)。因为最小正周期为π,所以2π=π,所
√3 √3 2ωx−
6 2ω
以ω=1,所以f(x)=2sin( π),令-π+2kπ≤2x-π π+2kπ,k∈Z,解得-π+kπ≤x≤π+kπ,k∈Z,所
2x− ≤
6 2 6 2 6 3
以f(x)的单调递增区间为[ π π ](k∈Z)。
− +kπ, +kπ
6 3
(2)令2x-π=kπ,k∈Z,解得x= π kπ,k∈Z,所以f(x)图象的对称中心为( π kπ ),k∈Z。
+ + ,0
6 12 2 12 2
17.解 (1)证明:设⃗OA=a,⃗OB=b。由题意知
⃗OG=
2
×
1(
⃗OA+⃗OB
)=1(a+b),
⃗PQ=⃗OQ−⃗OP
=nb-ma,
⃗PG=⃗OG−⃗OP=
(1
−m
)a+1b, 由
3 2 3 3 3
P,G,Q 三 点 共 线 , 得 存 在 实 数 λ, 使 得 =λ , 即 nb-ma=λ(1 )a+1λb, 从 而
⃗PQ ⃗PG −m
3 3
{ (1 )
−m=λ −m ,
3 消去λ,得1
+
1 =3。
1 n m
n= λ,
3(2)由(1),知 1 1=3,于是 m+n=1( 1 1)(m+n)=1( n m) 1(2+2)=4。当且仅当
+ + 2+ + ≥
m n 3 m n 3 m n 3 3
2 4
m=n= 时,m+n取得最小值,最小值为 。
3 3
18. 解 (1)m·n=sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B), 在 △ ABC 中 ,A+B=π-C,00,所以 2cos Ccos
B=cos A。又cos A=-cos(B+C)=-cos Bcos C+sin Bsin C,所以sin Bsin C=3cos Ccos B,即
tan Btan C=3 。 tan A=-tan(B+C)=
tan B+tan C tan B+tan C
= ≥√tan Btan C=√3,当且仅当tan B=tan C=√3时
tan Btan C−1 2
等号成立,故tan A的最小值为√3。
(2)因为tan A=2,所以tan B+tan C=4,又tan Btan C=3,所以tan C=1或tan C=3,当tan C=1时,
√2 a 3√10
sin C= ,由正弦定理,得c= sin C=5√2;当tan C=3时,sin C= ,由正弦定理,
2 sin A 10
a
得c= sin C=3√10。综上,c=5√2或3√10。
sin A
