文档内容
2024-2025 学年湖南省长沙市雅礼教育集团高一下学期 3 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.▵ABC中，已知a=5,b=4,C=120∘，则边c为( )
A. √41 B. √41或√61 C. √61 D. √21
π 3π
2.若sin(π+α)+cos( +α)=−m，则cos( −α)+2sin(2π−α)的值为 ( )
2 2
2m 2m 3m 3m
A. − B. C. − D.
3 3 2 2
π
3.已知非零向量 ⃗a,⃗b满足向量 ⃗a+⃗b与向量 ⃗a−⃗b的夹角为 ，那么下列结论中一定成立的是( )
2
A. ⃗a=⃗b B. |⃗
a
|
=
|⃗
b
| C. ⃗a⊥⃗b D. ⃗a//⃗b
4.若角θ满足sinθtanθ<0，则角θ为( )
A. 第一或第四象限角 B. 第二或第三象限角 C. 第三或第四象限角 D. 第一或第三
象限角
5.设▵ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果(a+b+c)(a+c−b)=3ac，且b=2√3，
那么▵ABC外接圆的半径为( )
A. 2 B. 4 C. 2√3 D. 8
6.如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为
60°，再由点C沿北偏东15°方向走10m到位置D，测得∠BDC=45°，则塔AB的高是( )
A. 10m B. 10√2m C. 10√3m D. 10√6m
第 页，共 页
1 17.已知函数 在区间[ π π]上是增函数，若函数 在[ π]上的图象与直线
f (x)=2sinωx(ω>0) − , f (x) 0, y=2
4 3 2
有且仅有一个交点，则ω的范围为( )
A. B. C. D. [ 3]
[2,5) [1,5) [1,2] 1,
2
8.如图，在▵ABC中，∠A=90 ∘，∠B=60 ∘，AB=2，D为线段AC的中点，DM⊥BC，E为线段
DM的中点，
⃗ ⃗
F为线段AB上的动点，则 的最大值与最小值的差为( )
EF⋅AB
13
A. B. 5 C. 3 D. 4
4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组向量中，不能作为基底的是( )
A. ⃗ ，⃗ B. ⃗ ，⃗
e =(1,0) e =(0,1) e =(1,2) e =(−2,1)
1 2 1 2
C. ⃗ ，⃗ D. ⃗ ，⃗
e =(3,−4) e =(−3,4) e =(2,6) e =(−1,−3)
1 2 1 2
10.已知函数f(x)=cos2x−2√3sinxcosx，则下列命题正确的是( )
A. f(x)的最小正周期为π；
π
B. 函数f(x)的图象关于x= 对称；
3
第 页，共 页
2 1C. 在区间上( π)单调递减；
f(x) 0,
2
π
D. 将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度后所得到的图象与函数y=2cos2x的图象重合．
6
11.在 ▵ABC 中， AB=AC=5,BC=6,P 为 ▵ABC 内的一点，
A
⃗
P=x A
⃗
B+ y A
⃗
C
，则下列说法正确的是
( )
1
A. 若P为▵ABC的重心，则x+ y=
2
B. 若 为 的外心，则 ⃗ ⃗
P ▵ABC
PB⋅BC=−18
7
C. 若P为▵ABC的垂心，则x+ y=
16
5
D. 若P为▵ABC的内心，则x+ y=
8
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ，则 ．
|a|=√3,|b|=1,|a−2b|=√6
⃗a⋅⃗b=
13.已知 (7π ) 1，则 (π ) ．
cos −α = cos +α =
8 5 8
14.对集合 A={−1,2,x,y} ，其中 x>0 ， y>0 ，定义向量集合 Ω={ ⃗ a| ⃗ a=(m,n) ， m ， n∈A} ，若对任
意⃗ ，存在⃗ ，使得⃗ ⃗，则 x+ y= ．
a ∈Ω a ∈Ω a ⊥a
1 2 2 1
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
1 π
已知函数f(x)= sin(2x− )，x∈R，
2 3
(1)求f(x)的最小正周期;
π π
(2)求f(x)在区间[− , ]上的最大值和最小值．
4 4
16.(本小题15分)
第 页，共 页
3 1如图所示，在 中， 为 边上一点，且 ⃗ ⃗ 过 点的直线 与直线 相交于 点，与直
△ABC D BC
BD=2DC.
D EF AB E
线AC相交于F点(E,F两点不重合)．
用 ， 表示 ⃗
(1) ⃗AB ⃗AC
AD;
1 2
(2)若⃗AE=λ⃗AB，
A
⃗
F=μA
⃗
C
，求 + 的值．
λ μ
17.(本小题15分)
π 7 2√2
已知α,β∈(0, )，其中cos2α= ,sin(α−β)=− ．
2 25 5
π
(1)求cos(α− )的值；
4
(2)求sinβ的值．
18.(本小题17分)
在▵ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，asin A−bsinB=√3asinC−csinC且
cosA⋅cosB⋅cosC>0
(1)求角B的值；
(2)若a=2，求▵ABC的周长的取值范围．
19.(本小题17分)
城市住宅小区的绿化建设是提升小区品质、改善空气质量、创造美丽怡人的居住环境的重要组成部分．如
图1，长沙市某小区居民决定在小区内部一块半径长为20m的半圆形荒地上建设一块矩形绿化园CDEF，
第 页，共 页
4 1其中C，D位于半圆O的直径上，E，F位于半圆O的圆弧上，记∠DOE=α．
图1 图2
(1)求矩形CDEF的面积S关于α的函数解析式，并求该矩形面积的最大值以及取得最大值时α的值．
(2)部分居民提出意见，认为这样的绿化园建设太过单调，一名居住在本小区的设计师提出了如图2所示的
π
绿化园建设新方案：在半圆O的圆弧上取两点M，N，使得∠AOM=∠BON= ，扇形区域AOM和
4
BON均进行绿化建设，同时，在扇形MON内，再将矩形区域GHPQ也全部进行绿化建设，其中G，H分
别在直线OM，ON上，GH与AB平行，P，Q在扇形MON的圆弧上，请问：与(1)中的原方案相比，选
择哪一种方案所得到的绿化面积的最大值更大？
第 页，共 页
5 1参考答案
1.C
2.C
3.B
4.B
5.A
6.D
7.D
8.D
9.CD
10.ABD
11.BCD
1
12.
4
1
13.−
5
14.5或1+√2
2π 2π
15.解：(1)T= = =π故f(x)的最小正周期为π；
|ω| 2
π π
(2)∵x∈[− , ]，
4 4
π 5π π
∴2x− ∈[− , ]
3 6 6
由y=sint的图像可知：
π π 1 1 1
当2x− = 时，f(x)的最大值为 × = ；
3 6 2 2 4
π π 1 1
当2x− =− 时，f(x)的最小值为 ×(−1)=− ．
3 2 2 2
1 1
所以f(x)的最大值为 ；最小值为− ．
4 2
16.解： 在 中，由 ⃗ ⃗ ⃗ ，
(1) △ABD
AD=AB+BD
第 页，共 页
6 1又 ⃗ ⃗ ，
BD=2DC
⃗ 2 ⃗
所以BD= BC，
3
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 2 ⃗
所以AD=AB+BD=AB+ BC
3
⃗ 2 ⃗ ⃗
=AB+ (AC−AB)
3
⃗ 2 ⃗ 2 ⃗
=AB− AB+ AC
3 3
1 ⃗ 2 ⃗
= AB+ AC．
3 3
⃗ 1 ⃗ 2 ⃗
(2)因为AD= AB+ AC，
3 3
又⃗AE=λ⃗AB，⃗AF=μ⃗AC，
⃗ 1 ⃗ ⃗ 1 ⃗
所以AB= AE，AC= AF，
λ μ
⃗ 1 ⃗ 2 ⃗
所以AD= AE+ AF，
3λ 3μ
又D，E，F三点共线，且A在线外，
1 2
所以有： + =1，
3λ 3μ
1 2
即 + =3．
λ μ
7
17.解：(1)依题意，cos2α=2cos2α−1=1−2sin2α= ，
25
π 3 4
因为α∈(0, )，解得sinα= ,cosα= ，
2 5 5
π π π 4 √2 3 √2 7√2
故cos(α− )=cosαcos +sinαsin = × + × = ；
4 4 4 5 2 5 2 10
2√2 π
(2)因为sin(α−β)=− ，且α,β∈(0, )，
5 2
π √17
故α−β∈(− ,0)，则cos(α−β)=√1−sin2 (α−β)= ，
2 5
第 页，共 页
7 1故sinβ=sin[α−(α−β)]=sinαcos(α−β)−cosαsin(α−β)
3 √17 4 2√2 3√17+8√2
= × − ×(− )= ．
5 5 5 5 25
18.【详解】(1)由asin A−bsinB=√3asinC−csinC，
可得，a2−b2=√3ac−c2，即a2+c2−b2=√3ac，
a2+c2−b2 √3ac √3
由余弦定理得：cosB= = = ，
2ac 2ac 2
π
因为B∈(0,π)，所以B= ．
6
(2)由cosA⋅cosB⋅cosC>0，则cosA>0，cosB>0，cosC>0，
所以A,B,C均为锐角，
π
在锐角▵ABC中，a=2，B= ，
6
2 b c
= =
由正弦定理得：sinA π sinC，
sin
6
( π)
1 2sin A+
故b= ， 2sinC 6 √3sin A+cosA，
sin A c= = =
sin A sin A sin A
1
1+
则 √3sinA+cosA+1 cosA 1+√1+tan2A
b+c= =√3+ =√3+
sinA tanA tanA
1 √ 1 ，
=√3+ + +1
tanA tan2A
π
因为锐角▵ABC中，B= ，
6
则 ( π)， π ( π)，
A∈ 0, C=π− −A∈ 0,
2 6 2
解得： (π π)，
A∈ ,
3 2
故 ， 1 ( √3)，
tan A∈(√3,+∞) ∈ 0,
tan A 3
第 页，共 页
8 1则√ 1 ( 2√3)， 1 √ 1 ，
+1∈ 1, √3+ + +1∈(1+√3,2√3)
tan2A 3 tanA tan2A
故b+c∈(1+√3,2√3)，a+b+c∈(3+√3,2+2√3)
所以三角形周长的取值范围是(3+√3,2+2√3)．
19.解：(1)如图，作OI与DE平行，交EF于I，
∵OI与DE平行，四边形CDEF为矩形，
∴OI⊥EF，OI⊥CD，
∴OI垂直平分EF，OI垂直平分CD，
∴CD=2OD;
∵DE=OE⋅sinα=20sinα，OD=OE⋅cosα=20cosα，
∴S=DE⋅CD=DE⋅2OD=20sinα⋅2×20cosα
π
=400×2sinαcosα=400sin2α(0<α< )，
2
π
当α= 时，矩形CDEF的面积最大，最大面积为400m2．
4
(2)如图，作OJ平行于HP，交GH于J，交PQ于K，连接OP，
设∠PON=β，延长PH交AB于S，
第 页，共 页
9 1∵OJ平行于HP，交GH于J，交PQ于K，
∴OJ⊥GH，OK⊥PQ，OJ⊥AB，
∴OJ垂直平分GH，OK垂直平分PQ
π π
又∠AOM=∠BON= ，由圆的性质，有∠MOJ=∠NOJ= ，
4 4
∵OK⊥PQ，
π π
∴PK=OP⋅sin∠POK=OP⋅sin( −β)=20sin( −β)，
4 4
∵PH⊥GH,OK⊥QP,GH//AB，
显然四边形OKPS为矩形，
π
故OS=PK=20sin( −β)，
4
π π
∵∠BON= ，∴HS=OS=20sin( −β)，
4 4
π
∴HP=PS−HS=20sin∠BOP−20sin( −β)
4
π π
=20sin( +β)−20sin( −β)=20√2sinβ，
4 4
故矩形GHPQ的面积为S =HP⋅PQ
矩 形GHPQ
π
=HP⋅2PK=800√2sinβsin( −β)
4
π π
=800√2sinβ(sin cosβ−cos sinβ)
4 4
=800sinβcosβ−800sin2β
=400sin2β+400cos2β−400
第 页，共 页
10 1π π
=400√2sin(2β+ )−400(0<β< )，
4 4
π
当β= 时，矩形GHPQ的面积的最大值为400√2−400，
8
故新方案的绿化园面积最大值为
1
S =400√2−400+202×π× ×2
2 8
400 π
=400√2−400+ π=400(√2−1+ )
4 4
3
>400(1.4−1+ )=400×1.15>400，
4
所以(2)中新方案的绿化面积最大值比(1)中原方案的绿化面积最大值更大．
第 页，共 页
11 1
