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第二章 一元二次函数与不等式
本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是符合题目要求的．
1．已知 ，给出下列四个不等式：① ；② ；③ ；④ 其
中不正确的不等式个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C因为 ，所以 ，
对于①：若 ，则 ，故①不正确；
对于②：由 可得 ，所以②不正确；
对于③： ， ，所以 ，所以③正确；
对于④： 在 上单调递增， ，所以 ，故④正确，
所以③④正确，正确的有 个，
故选：C
2．下列不等式的最小值是 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A.当 时， ，当且仅当 时，等号成立；
当 时， ，当且仅当 时，等号成立，故A
错误；B.当 时， ，当且仅当 时，等号成立；
当 时， ，当且仅当 时，等号
成立，故B错误；
C. 因为 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立；故C正确；
D. 当 时， ，当且仅当 时，等号成立；当 时， ，当且仅当 时，等号成立，故D
错误；
故选：C
3．若 ，则下列不等式中不成立的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 ， ，即 ，∴A正确；
，∴ ，∴ ，故B错误；
，∴ ，故C正确；
，∴ ，∴ ，即 ，故D正确.
故选：B.
4．已知 ，且 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是
（ ）
A． 或 B． 或
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
所以 ．
当且仅当 ，即 时取等号，
又因为 恒成立，
所以 ，解得 ．
故选：D.
5． 若两个正实数 满足 且存在这样的 使不等式 有解，则实
数m的取值范围是（ ）
2A． B． C． D．
【答案】C
【解析】： 正实数 ， 满足 ，
当且仅当 且 ，即 ， 时取等号，
存在 ， 使不等式 有解，
，解可得 或 ，即 ，
故选：C．
6．设函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时，
．若对任意 ，都有 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 时， ，
由 可知，即将 的图象向右平移2个单位长度，图象上各点
对应的纵坐标变为原来的2倍，可得到 时图象，
又由 可知 ，当 时，将 的图象向左
平移2个单位长度，图象上各点对应的纵坐标变为原来的 倍，
如图所示：
当 时， ，令 ，得 或 ，
若 时， 成立，则 ，
所以实数 的取值范围为 ,故选:D．
7．已知 ， ，不等式 恒成立，则 的取值范围为
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D．
【答案】C
【解析】解：令 ，
则不等式 恒成立转化为 在 上恒成立．
有 ，即 ，
整理得： ，
解得： 或 ．
的取值范围为 ．
故选：C．
8．已知当 时， 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解： 恒成立，
即 ，对任意得 恒成立，
令 ， ，
当 时， ，不符题意，故 ，
当 时，函数 在 上递增，
则 ，
解得 或 （舍去），
4当 时，函数 在 上递减，
则 ，
解得 或 （舍去），
综上所述，实数 的取值范围是 .
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知不等式 的解集为 或 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D． 的解集为 或
【答案】ABC
【解析】根据二次函数开口与二次不等式之间的关系可知 ，A正确；
的根为 ，则 ，即
∴ ，B正确；
，C正确；
，即 ，则 ，解得
∴ 的解集为 ，D错误；
故选：ABC．
10．已知函数 ，若对于区间 上的任意两个不相等的实数 ，
，都有 ，则实数 的取值范围可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】二次函数 图象的对称轴为直线 ，
∵任意 且 ，都有 ，即 在区间 上是单调函数，∴ 或 ，
∴ 或 ，即实数 的取值范围为 .
故选：AD
11．已知关于 的一元二次不等式 ，其中 ，则该不等式的解集可
能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】不等式变形为 ，又 ，所以 ，
时，不等式解集为空集； ， ，
时， ，因此解集可能为ABD．故选：ABD．
12．如图，二次函数 的图像与 轴交于 两点，与 轴交于 点，且
对称轴为 ，点 坐标为 ，则下面结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．当 时， 或
【答案】ABC
【解析】因为二次函数 的图象的对称轴为 ，所以 得
，故A正确；
当 时， ，故B正确；
该函数图象与 轴有两个交点，则 ，故C正确；
因为二次函数 的图象的对称轴为 ，点 坐标为 ，所以点 的
坐标为 ，所以当 时， 或 ，故D错误.故选：ABC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若关于x的不等式 在 内有解，则实数a的取值范围是
6___________.
【答案】
【解析】由 ，即 ，
设 ，
当 时，最小值 ，而 ， ，
∴ ，∴要使不等式 在 内有解，则 ，即a的范
围是 .故答案为： .
14．若正数 、 满足 ，则 的最小值为________.
【答案】
【解析】已知正数 、 满足 ，则 ，
，
当且仅当 时，等号成立.因此， 的最小值为 .故答案为： .
15．若 ， ，则实数 的取值范围为___________.
【答案】
【解析】 ， ，则 ，
由基本不等式可得 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以 ，因此实数 的取值范围是 .故答案为： .
16．若关于 的方程 有两个正实数根， 则实数 的取值范围是_____
【答案】
【解析】由题设，令 ，则 ，∴ ，可得 .
故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知二次函数 ，且满足 ， .
(1)求函数 的解析式；
(2)当 （ ）时，求函数 的最小值 （用 表示）．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)因为二次函数 ，且满足 ，
，
所以 ，且 ，
由 ，得 ，
所以 ，得 ，
所以 .
(2)因为 是图象的对称轴为直线 ，且开口向上的二次函数，
当 时， 在 上单调递增，
则 ；
当 ，即 时，
在 上单调递减，
则 ；
当 ，即 时， ，
综上
18（12分）
设函数 .
8(1)当 时，求关于 的不等式 的解集；
(2)若 ，当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值
范围.
【答案】(1)答案见解析(2)
【解析】(1) ，即
若 ，原不等式可化为 ，解得 ；
若 ，则不等式即为 ，
若 ，原不等式可化为 ，解得 或 ；
若 ，原不等式可化为 ，其解得情况应由 与 的大小关系确定，
当 时，解得 ；当 时，解得 ；当 时，解得 .
综上，当 时，解集为 ；当 时，解集为 或 ；
当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；
当 时，解集为 .
(2)由 得 ，
， ，
在 上恒成立，即 在 上恒成立，
令 ，则只需 又
，当且仅当 时等式成立，
的取值范围是 .
19（12分）已知不等式 ，其中x，k∈R．
(1)若x＝4，解上述关于k的不等式；
(2)若不等式对任意k∈R恒成立，求x的最大值．
【答案】(1) 或 或 }(2)
【解析】(1)若x＝4，则不等式 变形为
即 ，解得 或 ，所以 或 或 ，
故不等式的解集为 或 或 }；
(2)令 ，
则不等式 对任意k∈R恒成立，
等价于 对任意t≥1恒成立，
因为 ，当且仅当 ，即t＝ 时取等号，
所以x≤ ，故x的最大值为 ．
20．（12分）
已知函数 ．
(1)若不等式 的解集为R，求m的取值范围；
(2)解关于x的不等式 ；
(3)若不等式 对一切 恒成立，求m的取值范围．
【答案】(1) ；(2)答案见解析；(3) .
【解析】(1)根据题意， 当 ，即 时， ，不合题意；
当 ，即 时， 的解集为R，即 的解集
为R，
即 ，故 时， 或 .
故 ．
10(2) ，即 ，
即 ，
当 ，即 时，解集为 ；
当 ，即 时， ，
，
解集为 或 ；
当 ，即 时， ，
，
解集为 ．
综上所述：当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；当 时，解集为 或 .
(3) ，即 ，
恒成立，
，
设 则 ，
，
，当且仅当 时取等号，
，当且仅当 时取等号，
当 时， ，
．
21．（12分）已知函数 ．
(1)若 的解集是 ，求实数 的值．
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)当 时，函数 在 有解，求 的取值范围．
【答案】(1)1 (2) (3)
【解析】(1)
由题意可知： 且 ，解得 ．
(2)若 恒成立，则
当 时， 不恒成立；
当 时， 解得： .
实数 的取值范围为： .
(3) 时， 在 有解，
即 在 有解，
因为 的开口向上，对称轴 ，
① 即 ， 时，函数取得最小值 即 ，∴ ．
② 即 时，当 取得最小值，此时 ，解得
．
③当 即 时，当 时取得最小值，此时 ，解得 ，
综上， 或 ．
所以： 的范围为： .
22 （12分）
设函数 ，且 ；
(1)若 ，求 的最小值；
12(2)若 在 上能成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)3
(2) 或
【解析】(1)函数 ，由 ，可得 ，
所以 ，
当 时等号成立，又 ， ， ，解得 时等号成立，
所以 的最小值是3.
(2)由题知 ， 在 上能成立，即 能
成立，即不等式 有解
①当 时，不等式的解集为 ，满足题意；
②当 时，二次函数 开口向下，必存在解，满足题意；
③当 时，需 ，解得 或
综上，实数 的取值范围是 或14
