文档内容
衔接点 01 乘法公式
1、掌握平方差公式，完全平方公式的形式，意义和应用
2、能够熟练的运用平方差公式，完全平方公式展开与化简
3、掌握立方和，立方差公式，并能灵活展开与化简
4、掌握三数和公式展开过程，并能灵活应用
1、初中知识再现
（1）平方差公式： ；注意公式的正逆应用.
（2）完全平方公式：
（3）高频应用方式：
①
②
③
④
⑤
⑥
2、高中相关知识
（1）立方和公式：
（2）立方差公式：
（3）两数和立方公式：
过程：
（4）两数差立方公式：
过程：
（5）三数和平方公式：
过程：
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司对点特训一：平方差公式的应用
典型例题
例题1．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）一个长方形的宽为 ，长为 ，则这个长方形的面积
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查平方差公式的应用，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．根据长方形的面积
公式进行计算即可．
【详解】解：由长方形的面积公式可得， ．
故选： ．
例题2．（23-24七年级下·辽宁锦州·期中）下列各整式乘法能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确解答的
前提．根据平方差公式的结构特征逐项进行判断即可．
【详解】解：A． ，能用平方差公式计算，因此选项A符合题意；
B． ，能用完全公式计算，因此选项B不符合题意；
C． ，能用完全公式计算，因此选项C不符合题意；
D． ，能用完全公式计算，因此选项D不符合题意；
故选：A
例题3．（2023·浙江丽水·模拟预测）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】
【分析】本题考查整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺
序．先根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，再合并同类项，最后将 的值代入化简后的
式子计算即可．
【详解】解：
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司，
当 时，原式 ．
精练
1．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）下列不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平方差公式： ，解题的关键是掌握平方差公式的结构特征：左边
是两个二项式相乘，且两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数；右边是两项的平方差（相同项的平
方减去相反项的平方）；公式中的 和 可以是单项式，也可以是多项式．据此依次对各选项逐一分析即
可作出判断．
【详解】解：A． ，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
B． ，不能用平方差公式计算，故此选项符合题意；
C． ，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
D． ，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意．
故选：B．
2．（23-24六年级下·山东泰安·阶段练习）已知 ， ，则 ．
【答案】5
【分析】本题考查了平方差公式的运用，熟练掌握相关知识点事解决本题的关键．
利用平方差公式 ，代入 即可算出．
【详解】解：由
把 代入得
∴ ．
故答案为：5．
3．（2024·吉林长春·一模）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】本题考查了整式的化简求值，平方差公式．熟练掌握整式的化简求值，平方差公式是解题的关
键．
利用平方差公式，单项式乘多项式计算，然后进行加减运算可得化简结果，最后代值求解即可．
【详解】解：
，
将 代入原式 ．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司对点特训二：完全平方公式的应用
典型例题
例题1．（2023·广西南宁·模拟预测）阅读材料：数学计算中常利用公式变形求解，例如“已知 ，
，求 的值．”可以这样解：将完全平方公式 变形得到
．请根据阅读材料解决问题：如图，已知长方形 周长为 ，
，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用．熟练掌握完全平方公式在几何图形中的应用是解
题的关键．
由题意知， ， ，根据 ，计算求解即可．
【详解】解：由题意知， ， ，
解得， ，
∴ ，
故选：A．
例题2．（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）若 ，则 的值是
（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【分析】本题考查了完全平方公式 ，熟练运用整体思想是解题的关键．设
，变形后根据完全平方公式 即可解答．
【详解】解：设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
故选：C．
例题3．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）读材料，解答下列问题：
若 ，求 的值．
小明的解题方法：
， ，
∴ 10．
小亮的解题方法：
设： ， ，则 ，
∴ ．
(1)任选材料中一种方法解答：若 ，求 的值；
(2)如图1，长方形 空地， 米， 米，在中间长方形 上安放雕塑，四周剩余的宽
度相同，设该宽度为x米，则长方形 中， 米， 米（用含x的代数式表示）；
(3)在（2）的条件下，如图2，以长方形 四边为直径在形外做半圆，在四个半圆里种花，若长方形
的面积为 平方米，求种花的面积．（结果保留π）
【答案】(1)
(2) ，
(3) 平方米
【分析】本题综合考查了完全平方公式的应用，掌握公式的形式是解题关键．
（1）设 ，则 ， ；根据 即可求解；
（2）根据 、 即可求解；
（3）由题意得 、 ，可得 ，根据种花的面
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司积 即可求解
【详解】（1）解：设 ，
则 ， ，
∴
∴ ；
（2）解：由图可知： （米）；
（米）；
故答案为： ，
（3）解：由题意得：
由（2）可得：
∵
∴种花的面积 (平方米)
精练
1．（23-24七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）仔细观察下图，依据图形面积间的关系，不添加辅助线，便
可得到一个熟悉的公式，这个公式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查完全平方公式的几何验证，解题的关键是根据面积法进行求解验证．
根据两次求面积的方法即可求解．
【详解】正方形的面积可以表示为 ，
正方形的面积还可以表示为 ，
∴ ．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司故选：C．
2．（2023·吉林四平·模拟预测）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】
【分析】本题考查整式运算中的化简求值，先计算多项式乘多项式，完全平方公式，再合并同类项，化简
后，代值计算即可．
【详解】解：原式
，
当 时，
原式
．
3．（2023·海南海口·模拟预测）（1）计算： ；
（2）化简 ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题主要考查了实数的运算及完全平方公式的应用，解题时要能熟练运用．
（1）依据题意，根据实数的性质进行运算即可得解．
（2）利用完全平方公式进行运算即可得解．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
对点特训三：乘法公式延伸：立方和、立方差公式的应用
典型例题
例题1．（23-24八年级上·北京·期中）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平
方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：立方和公式：
；立方差公式： ；根据材料和已学知识，化简
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司结果为 ；当 时分式的值为 ．
【答案】 2
【分析】先利用 将后式的分母化简，然后约分，最后进行减法运算，代入
，计算即可．
【详解】原式
，
把 代入原式 ．
故答案为： ，2．
【点睛】本题主要考分式加减以及化简求值，属于基础题，熟练掌握分式加减的运算法则是解题关键．
例题2．（23-24八年级上·山东淄博·期中）杨辉，南宋杰出的数学家和数学教育家．杨辉研究了二项式定
理，并根据此定理研究了两数的立方和、立方差、三数的立方和等公式．
数学学习活动，是在公式化体系的不断完善中进行的．我们已经学习了平方差公式，在平方差公
式的基础上，可以对式子a3﹣b3进行如下推导：
方法
提取
．
对于 ，称为立方差公式．
公式 （1）请参考“立方差公式”的推导过程推导立方和公式： ．
推导
（2）请灵活运用公式进行因式分解：
学以
① ；
致用
② ．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司③
【答案】（1） ；（2）① ；②
；③
【分析】本题主要考查了因式分解和分式的化简，
（1）公式推导原式利用立方和定义分解即可；
（2）①原式利用立方差公式分解即可；②原式利用立方和公式分解即可；③利用立方和公式、完全平方
公式和平方差公式进行分式的化简即可．
【详解】解：（1）
；
（2）①原式 ；
②原式 ；
③原式= ．
例题3．（23-24八年级上·河南信阳·期末）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完
全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式： ；
立方差公式： ．
根据材料和已学知识解决下列问题
(1)因式分解： ；
(2)先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】(1)
(2) ，5
【分析】（1）根据材料给出的立方差公式，分解因式即可；
（2）根据材料给出的立方差公式，先对分式进行因式分解，化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后
的式子即可解答本题．
【详解】（1））原式
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司（2）原式
=
．
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查了公式法分解因式、分式化简求值，掌握立方差公式的应用，读懂材料是解题关键．
例题4．（23-24八年级上·江西南昌·期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
杨辉，南宋杰出的数学家和数学教育家。杨辉研究了二项式定理，并根据此定理研究了两数的立方和、立
方差、三数的立方和等公式。两数的立方差公式是：a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），这个公式的推导过
程如下：a3﹣b3＝a3﹣a2b+a2b﹣b3＝a2（a﹣b）+b（a2﹣b2）＝a2（a﹣b）+b（a+b）（a﹣b）＝（a﹣b）
（a2+ab+b2）．
(1)利用上述方法推导立方和公式a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）（从左往右推导）；
(2)已知a+b＝1，ab＝﹣1，a＞b，求a2+b2，a3﹣b3的值．
【答案】(1)(a+b)(a2﹣ab+b2)
(2)3；
【分析】（1）仿照材料给出的推导过程，将 分成 ，即可求解；
（2）根据a+b=1，ab=-1，利用完全平方公式即可求出 ，进而可求出 ，依据a＞b，可得
，则依据材料中 即可求解．
【详解】（1）
；
（2）∵ ，a+b=1，ab=-1，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∵a＞b，
∴ ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司∴
．
即 ， ．
【点睛】本题主要考查了平方差公式、完全平方公式等知识，灵活运用材料给出的推理过程是解答本题的
关键．
精练
1．（23-24七年级上·上海松江·期中）利用多项式乘法法则计算：
（1） = ；
= ．
在多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，如果把上面计算结果作为结论逆运用，则
成为因式分解中的立方和与立方差公式．
已知 ，利用自己所学的数学知识，以及立方和与立方差公式，解决下列问题：
（2） ；（直接写出答案）
（3） ；（直接写出答案）
（4） ；（写出解题过程）
【答案】（1） ， ；（2）6；（3）14；（4）198
【分析】（1）根据整式的混合运算法则展开计算即可；
（2）利用完全平方公式变形，再代入求值；
（3）利用立方差公式和完全平方公式变形，再代入求值；
（4）利用立方差公式和完全平方公式变形，再代入求值；
【详解】解：（1）
=
=
=
= ，
故答案为： ， ；
（2）
=
=
=6；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司（3）
=
=
=
=14；
（4）
=
=
=
=198
【点睛】本题考查了因式分解-运用公式法，正确的理解已知条件中的公式是解题的关键．
2．（23-24七年级上·上海普陀·阶段练习）多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，
还有立方和公式与立方差公式如下：
立方和公式：
立方差公式：
如果把公式逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式.
根据以上材料，请完成下列问题：
（1）因式分解：
（2）因式分解：
（3）已知： 的值
【答案】（1）（a＋b）（a2−ab＋b2）（a6−a3b3＋b6）；（2）（a−b）（a＋b）（a4＋a2b2＋b4）．（3）
322
【分析】根据已知条件中的公式分解即可．
【详解】（1）因式分解：a9＋b9
＝（a3）3＋（b3）3
＝（a3＋b3）（a6−a3b3＋b6）
＝（a＋b）（a2−ab＋b2）（a6−a3b3＋b6）；
（2）因式分解：a6−b6
＝（a2）3−（b2）3
＝（a2−b2）（a4＋a2b2＋b4）
＝（a−b）（a＋b）（a4＋a2b2＋b4）；
（3）∵a＋b＝3，ab＝1，
∴a2＋b2＝（a＋b）2−2ab＝7，
∴a6＋b6=
（a2＋b2）（a4−a2b2＋b4）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司＝[（a＋b）2−2ab][（a2＋b2）2−2a2b2−a2b2]
＝7×（49−3×1）＝322．
【点睛】本题考查了因式分解−运用公式法，正确的理解已知条件中的公式是解题的关键．
3．（23-24七年级上·全国·单元测试）阅读理解题：
拆项法是因式分解中一种技巧较强的方法，它通常是把多项式中的某一项拆成几项，再分组分解，因而有
时需要多次实验才能成功，例如把 分解因式，这是一个三项式，最高次项是三次项，一次项系
数为零，本题既没有公因式可提取，又不能直接应用公式，因而考虑制造分组分解的条件，把常数项拆成
1和3，原式就变成 ，再利用立方和与平方差先分解，解法如下：
原式
公式： ，
根据上述论法和解法，
（1）因式分解： ；
（2）因式分解： ；
（3）因式分解： ．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）将原式拆成 ，然后分别利用立方差和平方差公式因式分解后再提起公因式
x-1即可；
（2）将原式拆成 ，然后前两项利用立方差公式因式分解，后两项提取公因式即可确定答案；
（3）将原式拆成 ，然后利用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：（1）
（2）
（3）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细阅读题目，从题目中得到因式分解的方法，难度
不大．
4．（23-24·湖南湘潭·）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，
还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式： ；
立方差公式： ；
根据材料和已学知识，先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】2
【分析】根据题目中的公式可以化简题目中的式子，然后将 的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：
，
当 时，原式
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
第 01 讲 乘法公式 (分层精练）
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（23-24六年级下·山东泰安·阶段练习）下列等式能够成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟知完全平方公式的结构是解题的关键：
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司．
【详解】解：A、 ，原式计算错误，不符合题意；
B、 ，原式计算错误，不符合题意；
C、 ，原式计算正确，符合题意；
D、 ，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
2．（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）下列乘法中，能运用平方差公式进行运算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查平方差公式，根据平方差公式的形式： ，逐项判断即可．
【详解】A、 ，该选项不符合题意；
B、 ，该选项不符合题意；
C、该选项不符合题意；
D、 符号平方差公式，该选项符合题意．
故选：D
3．（23-24八年级上·贵州黔南·阶段练习）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形
（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等
式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，分别表示出图甲和图乙中的阴影部分面积，再
根据图甲和图乙中阴影部分面积相等，即可得到答案．
【详解】解：图甲中阴影部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积，即为 ；
图乙中阴影部分面积为一个长为 ，宽为 的长方形面积，即为 ；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司∵图甲和图乙中阴影部分面积相等，
∴ ，
故选：C．
4．（23-24七年级下·江西吉安·阶段练习）下列各式，能用平方差公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解本题的关键．
【详解】解：A、 ，不能用平方差公式计算，不符合题意；
B、 ，不能用平方差公式计算，不符合题意；
C、 ，不能用平方差公式计算，不符合题意；
D、 ，能用平方差公式计算，符合题意；
故选D．
5．（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）下列各式，不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
此题主要考查了乘法公式，根据乘法公式进行计算即可得到结论．
【详解】解：A． ，故能用平方差公式计算，不符合题意；
B． ，故能用平方差公式计算，不符合题意；
C． ，故能用平方差公式计算，不符合题意；
D． ，故不能用平方差公式计算，符合题意．
故选：D．
6．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）多项式 加上一个一次单项式后是一个完全平方式，这个
单项式不能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
利用完全平方公式的结构特征判断即可．
【详解】
解：多项式 加上一个一次单项式后是一个完全平方式，这个单项式可以是 ,不能是 ,
故选：C．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司7．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）若多项式 是完全平方式，则 的值为（ ）
A．16 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查完全平方式．根据 可确定 是 的 倍即可．
【详解】
．
故选：C．
8．（2023七年级下·江苏·专题练习）由 可得
，即 ①，我们把等式①
叫做多项式乘法的立方公式．下列应用这个立方公式进行的变形不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据立方公式及题意逐项进行判断即可．
【详解】解：A． ，因此选项A不符合题意；
B． ，因此选项B不符合题意；
C． ，因此选项C不符合题意；
D． ，因此选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查多项式乘多项式，掌握立方和或立方差公式是正确判断的前提．
二、填空题
9．（23-24七年级下·江苏徐州·阶段练习）若 是完全平方式，则 的值是
．
【答案】
【分析】本题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
【详解】解：∵ 是完全平方式，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
10．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）已知： ，且 ，则 ．
【答案】1
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查平方差公式应用，根据 代入计算即可得到答案；
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为：1．
三、解答题
11．（21-22六年级下·山东淄博·期中）根据 ，可得
．
即 ①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式．
(1)把立方和公式①中的b改用－b替代时，可得立方差公式，请直接写出立方差公式______．
(2)立方和和立方差公式统称为立方公式，请根据立方公式判断计算 能直接运用公式吗？若
能，请直接写出答案；若不能，请改变某个因式中的某一项，使它能利用立方公式计算，并直接写出相应
的计算结果．
【答案】(1)
(2)不能，可变形为 或者
【分析】（1）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可；
（2）根据多项式乘以多项式的计算法则计算 即可判断是否能运用公式；根据题意结合
（1）即可得到改变的项；
【详解】（1）解： ，
故答案为： ；
（2）解：不能，理由如下：
∵ ，
∴不能直接运用公式；
根据题意可知可变形为 或者 ．
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键．
12．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图1是一个长为 、宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分
成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图 ）．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司(1)观察图2请你写出 、 、 之间的等量关系是 ；
(2)根据（1）中的结论，若 ， ，则 ；
(3)拓展应用：若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据面积法进行计算，即可解答；
（2）利用（1）的结论，进行计算即可解答；
（3）设 ， ，则 ，再根据已知可得 ，然后利用完全平方公式
进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算 化简求值，完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解题的关
键．
【详解】（1）解：由题意得：
∵大正方形的面积等于小正方形面积加上4个全等的长方形面积
∴ ，
故答案为： ；
（2）解： ， ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司，
，
故答案为： ；
（3）解：设 ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的值为 ．
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