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第六章 计数原理（基础卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间1200分钟，试题共23题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将
自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1.设A＝（1，2，3，…，10），若方程x2﹣bx﹣c＝0，满足b、c属于A，且方程至少有一根a属于A，称
方程为漂亮方程，则“漂亮方程”的总个数为（ ）
A．8个 B．10个 C．12个 D．14个
2.（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）…（x﹣15）（x N ，x＞15）可表示为（ ）
+
A．A B．A ∈ C．A D．A
3.设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、
跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种，则（a，b）为（ ）
A．（34，34） B．（43，34） C．（34，43） D．（A3，A3）
4 4
4.某城市新修建的一条道路上有11盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的 4盏
灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（ ）
A．C B．C C．C D．以上答案都不对
5.设（3x+ ）n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M﹣17N＝480，则展开式中含x3
项的系数为（ ）
A．40 B．30 C．20 D．15
6.化简多项式（2x+1）5﹣5（2x+1）4+10（2x+1）3﹣10（2x+1）2+5（2x+1）﹣1的结果是（ ）
A．（2x+2）5 B．2x5 C．（2x﹣1）5 D．32x5
7.已知（x2﹣3x+1）5＝a+ax+ax2+…+a x10，则a+a+a+…+a ＝（ ）
0 1 2 10 1 2 3 10
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．08.高一学生王超想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，（
）
A．若任意选择三门课程，选法总数为 种
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为 种
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为 ﹣ 种
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为 ﹣ 种
9.若 ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
10.在二项式（x﹣2y）6的展开式中，设二项式系数和为 A，各项系数和为B，x的奇次幂项的系数和为
C，则 ＝（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
11.数学40名数学教师，按年龄从小到大编号为1，2，…40．现从中任意选取6人分成两组分配到A，B
两所学校从事支教工作，其中三名编号较小的教师在一组，三名编号较大的教师在另一组，那么编号
为8，12，28的数学教师同时入选并被分配到同一所学校的方法种数是（ ）
A．220 B．440 C．255 D．510
12.中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短的小木
棍．如图，是利用算筹表示数1～9的一种方法．例如：137可表示为“ ”，26可表示为“
”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1～9这9个数字表示三位数的个数为
（ ）
A．10 B．20 C．36 D．38
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出2台，其中甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法种数为
．
14.在报名的5名男生和4名女生中，选取5人参加志愿者服务，要求男生、女生都有，则不同的选取方法
的种数为 （结果用数值表示）
15.在二项式 的展开式中，常数项是 ，系数为有理数的项的个数是 ．
16.浙江省现行的高考招生制度规定除语、数、英之外，考生须从政治、历史、地理、物理、化学、生物、
技术这7门高中学考科目中选择3门作为高考选考科目，成绩计入高考总分．已知报考某高校A、B两
个专业各需要一门科目满足要求即可，A专业：物理、化学、技术；B专业：历史、地理、技术．考生
小李今年打算报考该高校这两个专业的选考方式有 种．（用数字作答）
三、解答题（本大题共7小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过
程或演算步骤）
17.已知数列{a}的前n项和为 ，数列{b}满足b＝log a．
n n n 2 n
（1）求数列{a}、{b}的通项公式；
n n
（2）求T＝b2﹣b2+b2﹣b2+…+（﹣1）n+1b2．
n 1 2 3 4 n
18.已知在（ ﹣ ）n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3．
（1）求展开式中的所有有理项；
（2）求展开式中系数绝对值最大的项．
（3）求n+9c +81c +…+9n﹣1c 的值．19.某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．
（1）选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？
（2）若每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选法？
（3）若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？
20.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 和 ．假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；
每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响．
（1）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；
（2）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
（3）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击．问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？21.已知函数f（x）＝（1+x）n，n N*．
（1）当n＝8时，求展开式中系数∈的最大项；
（2）化简 ；
（3）定义： ，化简： ．
22.请阅读：当x＞1时，在等式 的两边对x求导，
得 ，
利用上述方法，试由等式（1+x）n＝ （x R，正整数n≥2），
（1）证明：n[（1+x）n﹣1﹣1]＝ ；（注： a
i
＝a∈1 +a
2
+，+a
n
）
（2）求 ；
（3）求 ．
