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学员专用 请勿外泄
第一篇 数字推理
第一章 两个敏感
第一节 数字敏感
二、效果检验
1.【答案】B。解析：平方数列变式。65=82+1，37=62+1，17=42+1，（ ），
1=02+1；底数是公差为-2的等差数列，则第四项为（5）=22+1，故选B。
2.【答案】D。解析：立方数列变式。题干中的数都为多次方数附近的数字。
60 120 210 （336）
↓ ↓ ↓ ↓
43-4 53-5 63-6 （73-7）
故选D。
3.【答案】D。解析：多次方数列变式。数列各项都在多次方数附近，依次为14 +1，
24 +1，34 +1，44 +1，（54+1=626），选D。
4【. 答案】D。解析：各项依次为21 -1、23 -1、25 -1、27 -1、29 -1、211 -1 2047 ，
选D。
5.【答案】A。解析：数列各项均为质数，故答案选A。
6.【答案】A。解析：数列各项均为合数列的2倍，故答案选A。
第二节 数列敏感
二、效果检验
1.【答案】B。解析：公差为-15的等差数列，82-15=（67），选择B。
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2.【答案】C。解析：和数列。前两项之和等于第三项，85+138=223，选择C项。
3.【答案】D。解析：倍数数列变式。
2 2 4 12 48 （240）
作商
1 2 3 4 （5） 公差为1的等差数列
4.【答案】D。解析：前两项相乘得到第三项，8×16=（128），选择D。
5.【答案】A。解析：质数列的2倍，（38）=19×2，故选A。
6.【答案】B。解析：相邻两项作差得到数列4，6，8，9，是合数列，接下来是
10，答案是45+10=55，选择B。
7.【答案】B。解析：
8 17 24 37 （48）
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
32 -1 42 1 52 -1 62 1 （72 -1）
8.【答案】B。解析：等差数列变式。后一项减前一项得到自然数平方数列1，4，
9，16，（25），所以答案为31+25=56。
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第二章 高频题型
第一节 等差数列
二、效果检验
1.【答案】B。解析：公差为12的等差数列，应填入38+12=50。
2.【答案】B。解析：二级等差数列变式。
2 4 7 12 19 （30）
作差
2 3 5 7 （11） 质数列
3.【答案】A。解析：二级等差数列。
1 0 7 22 （45）
作差
-1 7 15 （23） 公差为8的等差数列
4.【答案】C。解析：等差数列变式。
-1 3 -5 11 （-21） 43
作差
4 -8 16 （-32）（64） 公比为-2的等比数列
故选C。
5.【答案】C。解析：逐差法。
14 38 87 167 248 （416）
作差
24 49 80 81 （168）
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
52-1 72 92-1 92 （132-1）
故选C。
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6.【答案】A。解析：等差数列变式。
-23 -3 20 44 72 105 147 （203）
作差
20 23 24 28 33 42 （56）
作差
3 1 4 5 9 （14） 两项和数列
7.【答案】B。解析：
（66） 29 10 3 2 1 -6
前项减后项
（37） 19 7 1 1 7
前项减后项
（18） 12 6 0 -6 公差为-6的等差数列
8.【答案】A。解析：（第一项-第二项）×2=第三项。[18-（-44）]×2=（124）。
9.【答案】A。解析：
231 237 249 264 （276）
作差
6 12 15 （12）
6=2+3+1；12=2+3+7；15=2+4+9；12=2+6+4，所以，264+12=（276）。
第二节 和数列
二、效果检验
1.【答案】C。解析：第一项+第二项=第三项，17+26=（43）。
2.【答案】C。解析：前一项=后两项的和，应填入4-8=-4。
3.【答案】B。解析：第三项=前两项之和+1，10+16+1=27。
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4.【答案】B。解析：
5 3 24 40 85 （131）
作和
8 27 64 125 （216）
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
23 33 43 53 （63） 连续自然数的立方
5.【答案】A。解析：
3 4 5 11 14 107 （89）
作和
7 9 16 25 121 （196）
其中9=32，16=42 ，25=52，121=112，（196）=142。
6.【答案】A。解析：三项和数列，从第四项开始，每一项等于前面三项的和。即
39+67+122=（228）。
7【. 答案】D。解析：相邻三项为一组，每组之和构成平方数列，1+3+0=4，3+0+6=9，
0+6+10=16，6+10+9=25，10+9+？=（36），所以答案是17，选择D。
8.【答案】D。解析：从第三项开始，每一项等于它前面的各项之和。
第三节 倍数数列
二、效果检验
1.【答案】D。解析：等比数列变式。
2 14 84 420 1680 （5040）
作商
7 6 5 4 （3） 公差为-1的等差数列
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2.【答案】A。解析：相邻两项作商如下：
105
-16 8 4 6 （15）
2
作商
1 1 3 5 7
（ ）（ ） 分子构成公差为2的等差数列
2 2 2 2 2
3.【答案】C。解析：前一项=后一项×2+1，191=95×2+1，95=47×2+1，47=23×2+1，
23=11×2+1，11=（5）×2+1，选C。
4【. 答案】C。解析：4×1+1=5，5×2+2=12，12×3+3=39，39×4+4=160，160×5+5=805，
选择C。
5.【答案】D。解析：2×2+1=5，5×2-1=9，9×2+1=19，19×2-1=37，37×2+1=（75）。
6.【答案】D。解析：第三项=第一项+第二项×2，5+12×2=29。
7.【答案】D。解析：第一项×2+第二项=第三项，21×2+43=（85），选D。或者
前一项的2倍加减1。
第四节 积数列
二、效果检验
1.【答案】B。解析：前两项之积等于第三项，下一项为49×343，尾数为7，选择
B项。
2.【答案】A。解析：从第三项开始，每一项=前两项的商，（1）=3÷3，故选A。
3.【答案】B。解析：前两项乘积加4等于第三项，14×74+4=1040。
4.【答案】C。解析：前两项相乘减去自然数列得到后一项。2×3-1=5，3×5-2=13，
5×13-3=62，则下一项为13×62-（4）=（802），尾数为2，故选C。
5.【答案】A。解析：前两项之积依次加3，4，5，6，所得之数再乘以-1，得到
第三项。（1×3+3）×（-1）=-6，（-6×3+4）×（-1）=14，（-6×14+5）×（-1）=79，
（14×79+6）×（-1）=-1112，选择A。
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6.【答案】D。解析：（第一项-1）×第二项=第三项，（24-1）×168=（3864）。
第五节 多次方数列
二、效果检验
1.【答案】A。解析：数列为12，22，42，72，112，（ ），底数作差是自然
数列1，2，3，4，（5），所以所求数是（11+5）2 =256，故选择A。
2.【答案】D。解析：各项依次为102-1，122-1，142-1，162-1，182-1，202-1=
（399）。
3.【答案】B。解析：多次方数列变式。
0 7 26 63 （124）
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
13-1 23-1 33-1 43-1 （53-1）
故选B。
4.【答案】D。解析：观察数列，上述各数字分别为-1、4、3、7的立方。再观察
底数-1，4，3，7，得到-1+4=3，4+3=7，是和数列，故7+3=10，所以答案为10的立
方。
5.【答案】B。解析：各项依次写成：16、25、34、43、52、（61）。选B。
6.【答案】C。解析：多次方数列变式。
17 67 41 15 （10）
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
24 +1 43+3 62+5 81+7 （100+9）
7.【答案】A。解析：此题可变形为102，81，60，4-1，（ ），所以括号里
应为2-2。
8.【答案】A。解析：（第一项+第二项）2=第三项，结果是（121+16900）2，
根据尾数法可确定答案为A。
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第六节 分数数列
二、效果检验
1
1.【答案】D。解析：公差为 的等差数列。
6
1 1 1
2.【答案】C。解析：后一项与前一项作商依次为 ，2， ，2， ，（2），故
3 3 3
选C。
3.【答案】D。解析：分数数列：
分子、分母均为等差数列，故选D。
1 8 27 64 125 216
4.【答案】A。解析：数列可改写为 ， ， ，（ ）， ， ，分子
1 2 4 8 16 32
1，8，27，（64），125，216是自然数列的立方；分母1，2，4，（8），16，32是
公比为2的等比数列，故选A。
1 2 5 10 17
5.【答案】D。解析：将题干数列转化为 ， ， ， ， ；分母4、5、7、
4 5 7 10 14
10、14相邻两项之差依次是1，2，3，4，（5），下一项是19；分子1、2、5、10、
17相邻两项之差依次是1，3，5，7，（9），下一项是26。所以选择D项。
6.【答案】C。解析：前一项的分母是后一项的分子，前一项分子和分母的和是后
一项的分母。
7.【答案】D。解析：第一项的分子+分母=第二项的分子，第一项的分母+第二项
的分子=第二项的分母，所以答案为D。
8.【答案】D。解析：小数数列，拆分。整数部分组成新数列为1，2，4，7，11，
为二级等差数列，作差后为1，2，3，4，（5），故下一个小数的整数部分为11+（5）
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=16；小数部分组成的新数列为自然数列：1，2，3，4，5，故下一个小数的小数部分
为6，故选D。
9.【答案】A。解析：将第一项改写为 ，根号的指数分别为2，3，（4），5，
4
6，根号下面的数字分别为4，10，（16），22，28，构成公差为6的等差数列。故应
填入
4 16
=2。选择D选项。
第七节 组合数列
二、效果检验
1.【答案】A。解析：间隔组合数列。2、4、8、16、32、（64）构成公比为2的
等比数列；3、9、27、81、243构成公比为3的等比数列。
2.【答案】B。解析：奇数项1、3、6、10是二级等差数列，作差得到2、3、4；
偶数项2、5、9、（14）也是二级等差数列，作差得到3、4、（5）。故选B。
3.【答案】B。解析：两两一组，分别呈现2，3，4倍数关系，下一组应该是5
倍关系，2的5倍是10。
4.【答案】B。解析：两两一组。
7 9 8 12 13 19 22 （30）
作差
2 4 6 （8） 公差为2的等差数列
5.【答案】D。解析：分组数列，每三个一组，4×5-5=15、6×7-7=35、8×9-9=（63）。
6.【答案】D。解析：87-13=74，74-10=64，64-7=（57）。
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7.【答案】A。解析：
2 6 15 28 55 （78）
1×2 2×3 3×5 4×7 5×11 （6×13）
其中第一个乘数为连续自然数，第二个乘数为连续质数。
8.【答案】A。解析：数列中的数字拆分如下：
8 27 80 175 （396）
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
2×4 3×9 5×16 7×25 （11×36） 质数列×平方数列
9.【答案】A。解析：把每一项都看成是三组数字的组合，第一组3、4、5、（6），
第二组6、8、10、（12），第三组9、12、15、（18），这三组数字都是等差数列，
可见下一项是61218，选择A。
10.【答案】A。解析：各项的各位数字相加，得到2、5、3、7、4、（9）。其中
奇数项2、3、4是自然数列，偶数项5、7、（9）是奇数列。
第八节 新题型
二、效果检验
1 1
1.【答案】A。解析：左上-右下=左下÷右上。 - =1÷6，4-2=4÷2，10-5=25÷5，
2 3
7-4=9÷（3），故选A。
2.【答案】C。解析：左上+右下=右上-左下。4+2=8-2，3+3=7-1，5+1=9-3，7+9=
（18）-2，故选C。
3.【答案】D。解析：10+6=（11-7）2 ，15+10=（13-8）2，19+17=（12-18）2，
故选D。
4.【答案】D。解析：左边两个数之和-右边两个数之和=中间数，（21+9）-（2+17）
=11。
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5.【答案】C。解析：（16÷8）×2+27÷9=7，（24÷6）×2+30÷6=13，（12÷4）×2+75÷15=
（11）。
6.【答案】C。解析：上面两个数的积除以下面两个数的和所得的商为中间数字。
4×6÷（7+1）=（3）。
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第三章 综合训练
二、效果检验
1.【答案】B。解析：相邻两项之差依次为8、10、12、14、（16），是连续的偶
数列，应填入45+16=（61），选B。
2.【答案】D。解析：组合数列，奇数项和偶数项的数字分别组成差为2的等差数
列。
3.【答案】A。解析：6×1+1=7，7×2+1=15，15×3+1=46，46×4+1=185，185×5+1=
（926），选择A。
4.【答案】C。解析：数位组合数列。每个数均由两个质数组合而成，只有C项
符合条件。
5.【答案】D。解析：分式数列。
21 25 17 43 52
1 （ ）
32 24 18 54 81
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
7
16 25 34 43 52
32
16 24 36 54 81
3
3
分子构成公差为9的等差数列，分母构成公比为 的等比数列。
2
6.【答案】B。解析：
5 6 6 9 9 （18）
作和
11 12 15 18 （27）
作差
1 3 3 （9） 积数列
7.【答案】A。解析：奇数项1、7、13、（19）是公差为6的等差数列，偶数项5、
10、15、（20）是公差为5的等差数列，选择A。
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8.【答案】D。解析：等比数列变式。
1 5 20 60 （120）
作商
5 4 3 2 公差为-1的等差数列
9.【答案】B。解析：方法一，平方数列变式。各项依次为22+3，32+4，42+3，
52+4，（62+3），72+4。底数2、3、4、5、（6）、7是连续自然数，加数为3、4
循环。
方法二，和数列变式。
7 13 19 29 （39） 53
作和
20 32 48 （68） （92）
作差
12 16 （20） （24） 公差为4的等差数列
2 3 5 7 11 13
10.【答案】D。解析：各项依次写为 ， ， ， ， ，（ ）。
4 6 8 9 10 12
分子2，3，5，7，11，（13）是连续质数；
分母4，6，8，9，10，（12）是连续合数。
11.【答案】D。解析：整数乘积拆分数列。
-2 -8 0 64 （250）
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
-2×13 -1×23 0×33 1×43 （2×53）
0
12.【答案】D。解析：把第一项写成 ，分母是公差为2的等差数列，分子为二
1
级等差数列，相邻两项作差后为7、15、23、31、（39），是公差为8的等差数列。
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13.【答案】A。解析：二级等差数列。
20 20 33 59 98 （150）
作差
0 13 26 39 （52） 公差为13的等差数列
1 10 4
6 7
14.【答案】C。解析：后项除以前项得到商为 、（ 2 5）、（ 1 3）、
5 7
6 4 2
15 3 30 2
、 。
10 2 15 1
15.【答案】B。解析：乘积数列变式，第一项×第二项+第二项=第三项。3×5+5=20，
5×20+20=120，20×120+120=（2520），选择B。
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第二篇 数学运算
第一章 基本思想
第一节 整除思想
二、能力训练
例1.【答案】B。解析：首先这个数减2能被5整除，排除选项A，C；加上4能
被9整除，排除选项D，答案选B。
例2.【答案】B。解析：由题干可知，大米的总袋数可以被5和7整除，选项中
只有B符合，选择B。
例3.【答案】D。解析：42能被3整除，故算式的计算结果也一定能被3整除，
选项中只有D能够被3整除，故选择D。
三、效果检验
1.【答案】C。解析：由题意知该数最小为2、3、5的最小公倍数，即2×3×5=30，
是30的整数倍的数都符合题意，最大的三位数为990。
2.【答案】C。解析：根据该六位数能被3整除，可排除A、B、D。本题答案为
C。
3.【答案】A。解析：奇数位之和与偶数位之和的差能被11整除的数能被11整除。
（9+7+4+6+8）-（3+8+5+7）=11，符合，直接选择A项。
4.【答案】A。解析：根据题意，按每横排4人、3人、2人编队，均多出1人，
则总人数减去1后能同时被2、3、4整除，选项中A、D符合，求最少，则选择A项。
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5.【答案】C。解析：计算问题--整除法。“每次拿出7个红球”，M次后刚好红球
拿完，说明红球数是7的整数倍，排除A、D选项；“白球每次拿出4个”，N次后刚
好拿完，说明白球数是4的整数倍。利用代入排除法，假设红球有77个，“每次拿出
7个红球，3个白球，则最终剩下25个白球”，红球拿11次拿完，求得白球有58个，
与白球是4的整数倍矛盾，排除B选项，故选C。
6.【答案】C。解析：方法一，根据走了10名女病人后，男病人人数是女病人人
数的2倍，可以得知最初医院门诊部的人数-10能被3整除，只有C满足。
方法二，设医院原有女病人x+10名，则原有男病人2x名，有5（2x-9）=x，解
得x=5，则原有病人5+10+10=25名。
7.【答案】B。解析：根据题意可知，原数是24的倍数，只有B项满足。
13
8.【答案】B。解析：根据题意可知，甲的13%即 是专业书，则甲的书数量
100
可被100整除，由于甲乙书总量是260，则甲的书数量是100或者200；乙的12.5%即
1
是专业书，则乙的书数量可被8整除，由此可知甲的书数量只能是100，非专业书
8
有87本，选择B。
7
9.【答案】B。解析：根据三件衬衣分别按9.5折、9折、8.75折（即为 ）出售，
8
可知衬衣C的价格要能被8整除。
10.【答案】D。解析：由题意可知，甲∶乙=12∶25，则甲+乙的总人数是37的
整数倍，则甲+乙=37或74。又因丙比丁少4人，则丙+丁是偶数，则甲+乙是偶数，
甲+乙=74，丙+丁=26，根据题中条件可推得丁=（26+4）÷2=15，甲=24。故丁比甲少
9人。
11.【答案】D。解析：听保洁讲座的人数是听花卉讲座人数的6倍，则听这两个
讲 座 的 总 人 数 是 1+6=7 的 倍 数 。 志 愿 服 务 总 人 数 为
2+3+6+7+9+10+11+14+16+17+21+22+24=162人，162除以7的余数为1，只有22除
以7的余数为1，因此第12队下社区服务。
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第二节 特值思想
二、能力训练
例1.【答案】B。解析：设n=1，原式值为9，除以6余3，选B。
例2.【答案】C。解析：计算问题--特值法。设共有24棵树苗，则该单位有男女
职工4人，女职工3人，男职工1人，那么单独让男职工栽，平均每人栽24棵树，故
选C。
三、效果检验
1.【答案】C。解析：题干中没有出现任何数据，但问题是求具体数据，说明题干
中相关的未知量具体是多少对结果没有影响。在这种情况下，可以把这些未知量设为
具体数，即采用特值。设减法算式为6-4=2，根据题意可得三个数的和为6+4+2=12，
再除以被减数为12÷6=2。
2.【答案】B。解析：可设特值 a=b，c=d，则有 2（a+c）=25，所以原式
= 2a ac 2c ca =2（a+c） ac，因为ac=4，2（a+c）=25，原式等于2×25=50。
3.【答案】C。解析：长方形的面积是35平方厘米，题中并未说明长方形的长和
宽，所以可令其长与宽分别为7厘米和5厘米，得到DF=2厘米，BE=2厘米，所以
FC=3厘米，EC=5厘米，因此三角形FCE的面积为7.5平方厘米，故阴影部分的面积
为35-7-5-7.5=15.5平方厘米。
4.【答案】D。解析：设工程总量为12，则甲、乙的效率分别为3和2，甲乙丙三
人的效率之和为6，因此丙的效率为6-3-2=1，丙单独完成此工程需要12÷1=12天。
5.【答案】B。解析：方法一，设桥的长度为24，则上桥、下桥所用时间分别为2
小时、1小时，则平均速度为（24+24）÷（2+1）=16公里/小时。
2v v 2 12 24
方法二，根据平均速度的公式v 1 2 16公里/小时。
平 v v 12 24
1 2
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6.【答案】B。解析：160和120的最小公倍数是480，根据题意可假设男女生跳
的总个数均为480，则男生有3人，女生有4人，全班同学的平均成绩是960÷（3+4）
≈137，故答案选B。
1
7.【答案】D。解析：设溶液总量为100，溶质为80，操作三次后溶质为80×（1- ）
3
1 1
×（1- ）×（1- ）=32，所以浓度变为32%。
4 5
8.【答案】C。解析：加入蒸馏水，溶质不发生变化。设溶液中溶质24g，根据两
次溶液浓度的变化可知，每次加入的蒸馏水是（24÷6%）-（24÷8%）=400-300=100g，
故第二次加入同样多的蒸馏水，其浓度变为24÷（400+100）=4.8%。答案选C。
9.【答案】C。解析：设原平均工资为1，原来总人数为100，则总工资为100，
增长后总工资为120。第一道工序总人数为40人，增加8人，第二道为30人，增加9
人，第三道为20，增加8人，共增加25人，则总人数变为125人。此时总工资为120，
120
平均工资为 0.96，比原来下降了4%。
125
第三节 比例思想
二、能力训练
例1.【答案】D。解析：根据题意，栽树最多的班次栽的棵数可以被5整除，选
项都满足，270分成10份，每份是27棵，栽的最多的一个班对应5份共计27×5=135
棵，选择D。
例2.【答案】A。解析：甲乙之比为20∶16，甲丙之比为20∶15，甲乙丙之比为
20∶16∶15，则乙丙之比为16∶15，选A。
例3.【答案】C。解析：方法一，改进技术后每天加工100+10=110个零件，因此
原计划和改进技术后的效率之比为100∶110=10∶11，同样的工作，原先和现在完成
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的时间之比为效率的反比，即11∶10，时间差1份，对应2天，因此原计划完成任务
需要11×2=22天，则这批零件有22×100=2200个。
方法二，改进技术后每天加工100+10=110个零件，总零件个数是110的倍数，
只有C满足。
三、效果检验
4 2 2
1.【答案】A。解析：北街人数占比为 = ，所求为500× =200人，
1234 5 5
选A。
2.【答案】C。解析：设甲、乙、丙分别为5份、7份、8份，则7份-5份=2份=200，
1份=100，故丙有8份=800。
3【. 答案】D。解析：几何问题。长、宽、高的比为20∶15∶12，有20k15k12k＝450，
1
解得k＝ 米，则长20k＝10米，故选D。
2
4.【答案】A。解析：设瓶子容积为60，因为酒精与水的比分别是2∶1，3∶1，4∶
1，则三个瓶子中含有的酒精和水分别有40、20，45、15，48、12，所以三瓶酒精溶
液混和后，酒精与水的比为（40+45+48）∶（20+15+12）=133∶47。
1 1
5.【答案】D。解析：方法一，甲做了总数量的 ，乙做了总数量的 ，丙做了
3 4
1 1 1 1 13 13
总数量的 ，因此丁做了1- - - = ，又丁做了91个，因此共有玩具91÷ =420
5 3 4 5 60 60
1
（个）。乙做了420× =105（个）。
4
方法二，设工作总量为60份，根据题意可知甲做了20份，乙做了15份，丙做了
12份，则丁做了（60-20-15-12）=13份，13份对应91个，则1份是7个，乙做了15
份对应105个。
6.【答案】A。解析：计划150天建好大楼，按此效率工作30天后，剩下的还需
要120天，由于效率提高20%，所以提高前后的效率比是5∶6，当工作量一定，效率
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和时间成反比，提高前后的时间比为6∶5，所以6份对应120天，每份为20天，所
以提前20天完工。
7.【答案】C。解析：根据题意可知，打折前后办公桌的价格比为10∶9，预算不
变，则打折前后数量之比为9∶10，多1份对应10张，则打折前可以买9份对应90
张。
8.【答案】B。解析：车速降低10%，则原车速∶现车速=10∶9，所用时间之比
为9∶10，时间晚1个小时，则原时间为9小时。按原速开2小时后提速5%，速度之
21-20 1
比为20∶21，时间之比为21∶20，则剩下的7小时会提前7× = 小时=20分
21 3
钟。
9.【答案】B。解析：5个孩子吃5个包子用5分钟，这5个孩子再吃5个包子再
用5分钟，即5个孩子吃10个包子要10分钟，选B。
第四节 方程思想
二、能力训练
例1.【答案】A。解析：由于前后用包数量不变，可设共有X个包，且文学读物
的数量也不变，则根据题意可列5X+8=6X，解得X=8。两种情况每个包均装有8本书，
且皆剩下8本书，则共有图书8×8+8=72本书。
例2.【答案】C。解析：方法一，设男职工有x人，女职工有y人。根据题意有
11x+5y=100，则x是5的倍数，只有C项满足。
方法二，把选项代入验证只有C选项满足。
三、效果检验
1.【答案】A。解析：设甲做了x个，则总量为10x，乙、丙、丁分别做了x+100，
1 3
2（x+100）， （x+x+100）。由题意可得 （x+x+100）+2（x+100）=10x，解得
2 2
x=70，则所求为700个，选A。
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2.【答案】B。解析：设张某批发苹果x斤，葡萄y斤。根据题意列方程如下，
3.25x 2.5y 1500
，解得x=400，y=80，选择B。
3.25x 0.1 2.5y 0.15 100
3.【答案】C。解析：设10元钞票有x张，50元钞票有（x+2）张，100元钞票有
y张。由题意可得y+（x+2）+x=48，100y+50（x+2）+10x=1760，解得y=4，x=21。
4.【答案】B。解析：设答对3题和5题的人数均为x人，答对6题的为y人。根
(35)x6y 2022549
据题意可列方程组： ，化简方程组得到：
2x y 50(59)
8x6y 156
，解得x＝15，y＝6。
2x y 36
5.【答案】A。解析：设答对的题目是x，答错的题目是y，未答的题目是z，则
有x+y+z=20，2x-y=23，其中z为偶数。由于2x是偶数，23是奇数，所以y是奇数，
排除B和D两个选项。把C选项y=5代入验证，则x=14，z=1与题干z为偶数矛盾，
所以选择A。
6.【答案】A。解析：设原来男员工有x人，女员工有y人，则8%x+6%y=8，整
2x 3y
理得 + =8，x能被25整除，y能被50整除，代入x=25验证，得y=100，符合
25 50
题意，即男员工比女员工少75人。故选择A。
7.【答案】B。解析：由题可知，手机B无论打几折，价格尾数为0，手机C为0
或者5，则手机A打完折后尾数是3或者8。结合四个选项来看，当手机A打六折时
尾数为3，B正确。
8【. 答案】B。解析：设钢筋、水泥、灰土的价格分别为x、y、z，则30x+70y+10z=30，
40x+100y+10z=40，将第一个式子乘以3，第二个式子乘以2，然后两个式子相减可得
10x+10y+10z=30×3-40×2=10，则可知各买20吨需要20万元。
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第二章 基本题型
第一节 计算问题
二、能力训练
12 224
例1.【答案】D。解析：等差数列求和。所求为 =156，D正确。
2
1 1 1
例2.【答案】D。解析：计算问题，运用裂项公式。 + + +……
1 2 2 3 3 4
1 1 1 1 1 1 1 1 1 99
+ =（1- ）+（ - ）+（ - ）+……+（ - ）=1- = ，
99 100 2 2 3 3 4 99 100 100 100
故选D。
例3.【答案】C。解析：2和3的多次方的尾数都是以4为周期循环的，3751÷4
的余数为3，1462÷4的余数为2，故原式的尾数与23+32的尾数相同，8+9=17，尾数
为7。
2 11
例4.【答案】A。解析：105× -88÷ =42-32=10。
5 4
三、效果检验
1.【答案】B。解析：序列的两个数字分别是公差为1和4的等差数列，第一个乘
数的通项公式为5+（n-1）=n+4，第二个乘数的通项公式为3+4×（n-1）=4n-1。可列
方程（n+4）（4n-1）=546，解得n=10。也可代入选项，根据尾数法确定B项。
2.【答案】C。解析：第五天是81÷9=9号，则这一天是9+4+1=14号。
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3.【答案】B。解析：方法一，题中的关键词在于“等差数列”和“平均数”。等
差数列的平均数与其等差中项有关系。9人的得分构成等差数列且平均分是86分，则
该数列的等差中项，即第5名工人得分为86分。同理，前5名工人得分之和为460，
则其等差中项第3名得分为460÷5=92分。可知第4名得分为（92+86）÷2=89，前7
名得分之和为89×7=623，选B。
方法二，整除，根据等差数列中项公式，可知前7名工人的得分之和是7的倍数，
排除C、D选项，带入A可知，前7项中项为602÷7=86，根据题意9人的得分构成
等差数列且平均分是86分，则该数列的等差中项，即第5名工人得分为86分，矛盾，
所以选择B选项。
4【. 答案】C。解析：由于a -a =a -a ，故（a +a -a ）+（a -a ）=a +（a -a ）
11 10 4 3 3 7 10 11 4 7 11 10
-（a -a ）=a =8+4=12，根据等差数列中项求和公式可知，前 13 项之和等于
4 3 7
13a =13×12=156。
7
3 3 3 3 3
5. 【 答 案 】 B 。 解 析 ： + + + + … + =3×
12 23 34 45 2021
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
（ + + + +…+ ）=3×（ - + - + - +…+ - ）
12 23 34 45 2021 1 2 2 3 3 4 20 21
1 1 60
=3×（ - ）= 。选择B。
1 21 21
1 2
6.【答案】B。解析：裂项公式。因为 ＝
，所以
1＋2＋3＋ ＋n n n＋1
1 1 1 1
＋ ＋ ＋ ＋ ＝
1＋2 1＋2＋3 1＋2＋3＋4 1＋2＋3＋ ＋50
1 1 1 1 1 1 1 1 49
2 ( )=2 ( ) 。
2 3 3 4 50 51 2 51 51
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7.【答案】C。解析：以5为尾数的幂的尾数都为5，以6为尾数的幂的尾数都为
6，以7为尾数的幂以7、9、3、1为尾数循环，887÷4=221……3，故887887的尾数为
3，所以括号内的尾数为5+6+3=14的尾数4，4的幂的尾数以4、6为循环，所求的尾
数为6，选择C选项。
8.【答案】B。解析：方法一，13+23+33+…+20143=（13+23+33+…+103）+
（11 3 +12 3 +13 3 +…+20 3 ）+……+（2001 3 +2002 3 +2003 3 +…+2010 3 ）+
（20113+20123+20133+20143），由于13+23+33+…+103和113+123+133+…+203和
20013+20023+20033+…+20103的尾数相同都是5，20113+20123+20133+20143的尾
数是0，所以13+23+33+…+20143的尾数是201×5+0=5，选B。
方 法 二 ， 根 据 立 方 和 公 式 ： 1 3 +2 3 +3 3 + …
1
+20143= 2014 2015 4029=1007×2015×1343，尾数为5，选择B。
6
4 4 5 4 9
9.【答案】B。解析：甲=90÷ ，乙=90× ，甲-乙=90×（ - ）=90× =40.5。
5 5 4 5 20
10.【答案】B。解析：根据题意，8月份为夏季，应缴纳电费260×0.61+（278-260）
×0.66=170.48，选B。
11.【答案】D。解析：设通话到x分钟时，轻松卡更为划算，可列方程，25+0.2x
250
＜0.5x，解得x＞ ，故本题选择D。
3
12.【答案】D。解析：甲、丁两班共有83+89-86=86人，选D。
13.【答案】C。解析：两数之差为9或者-9，平方差为108或者-108，选C。
第二节 利润问题
二、能力训练
例1.【答案】A。解析：根据题意，所求为8000×75%÷5000-1=20%，选A。
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例2.【答案】A。解析：设定价为x元，则0.75x+25=0.9x-20，解得x=300。
例 3.【答案】D。解析：设原价为 100，降价后为 80，若想恢复原价应提高
100÷80-1=0.25=25%，选D。
三、效果检验
1【. 答案】B。解析：两枚古铜币的成本为96÷（1+20%）+96÷（1-20%）=80+120=200
元，那么亏了200－96－96=8元。
2.【答案】B。解析：这件衣服的原价为（384.5+100）÷95%÷85%=600元。
3.【答案】B。解析：50元以内的需要支付50×0.9=45，则超过50元的部分支付
了145-45=100元，实际金额为100÷0.8=125，则这位顾客消费了50+125=175元，选
择B。
4.【答案】B。解析：设乙店进价为10份，甲店进价为9份，则乙店的定价为10×
（1+20%）=12份，甲店的定价为9×（1+20%）=10.8份，故12-10.8=1.2份相当于120
元，则1份为100元，所以甲店的定价为10.8×100=1080元。
方法二，设乙店的进货价为 x，则甲店进货价为 0.9x，根据题意可得
20%x-20%×0.9x=120，解得x=1080。
5.【答案】A。解析：设每件商品成本为x，则原来的利润为80×（100-x）。减价
后单价为95元，购买总数为80+4×5=100件，利润为95×100-100x。所以80×（100-x）
=9500-100x，解得x=75元。
6.【答案】B。解析：已知总利润=单件利润×销量，今年每件的利润下降了20%，
销量比去年增加了60%，所以总利润比去年增加了80%×160%-1=28%。
7.【答案】C。解析：利润问题。设去年此商品的成本价为100，则今年为110。
设售价为x，则可列方程60%（x-100）=x-110，解得x=125，所以去年卖一件商品的
125100
利润率为 25%。
100
8.【答案】C。解析：利润问题，采用特值法。设成本为100，销量为10，则定价
为150，期望总利润为50×10=500，实际总利润=500×82%=410，折扣后商品的总利润
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=410-50×7=60，折扣商品单件利润=60÷3=20，折扣售价=100+20=120，折扣率
=120÷150=80%，故选C。
9.【答案】B。解析：利润问题，设月利率为x，200000÷（30×12）+100000×x=1500，
求得x≈9.44‰，故本题选择B。
第三节 行程问题
二、能力训练
例1.【答案】C。解析：要使轮船进水量小于70吨，则轮船返回港口的时间应少
5 5
于70÷1.4=50分钟= 小时，则轮船的时速至少要达到20÷ =24海里，应选择C。
6 6
例2.【答案】B。解析：速度比等于相同时间内的路程比，甲、乙速度比为110∶
（110-11）=10∶9，同理乙、丙速度比也为10∶9。设甲的速度为1，则乙的速度为
0.9，丙的速度为0.9×0.9=0.81。甲跑110米时，丙跑110×0.81=89.1米，近似为89米。
例3.【答案】B。解析：相遇追及问题，爷爷追上奶奶花了80÷（60-40）=4分钟，
那么孙子在爷爷追上奶奶时共跑了4分钟，150×4=600米。
例4.【答案】C。解析：根据多次相遇的公式，A、B两地距离为3×5-4=11千米。
选择C。
例5.【答案】B。解析：假设每头牛每天吃1份草，草的增长速度为x，所求时间
为t，则有（10-x）×20=（15-x）×10=（25-x）×t，解得x=5，t=5。
36 36
例6.【答案】D。解析：设水流速度为x，则 = -1.5，解得x=2。
10x 10x
三、效果检验
1.【答案】B。解析：行程问题。要保证该车全部不用等这条道路上的红绿灯，则
要求每次到达路口时刚好变绿灯，即在相邻两个红绿灯间的行驶时间为125秒的整数
倍，最快为125秒，那么时速为1.25÷125=0.01千米/秒=36千米/小时，故选B。
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2.【答案】C。解析：设小李走完全程的时间为x分钟，则有60x=50（x+7）+150，
解得x=50，则A、B两地距离为60×50=3000米，选C。
方法二，根据题意可知，小张和小李到达B地的时间相差7+150÷50=10分钟，小
张、小李的速度比为5∶6，路程相同，所用时间比为6∶5，时间差1份对应10分钟，
则小张走全程用60分钟，则全程为50×60=3000米
3【. 答案】B。解析：原先的速度为56千米/小时，修理完车后速度达到了56+14=70
千米/小时，前后速度比为4∶5，时间之比为5∶4，修理车用了半个小时，说明修理
完车后汽车开了2个小时到达了B城，行驶的距离为70×2=140千米，AB两地相距
200千米，那么修车的地方距离A城为60千米。
4.【答案】C。解析：由题意可知，甲的速度为200÷8=25千米/小时，乙的速度为
200÷10=20千米/小时，乙从8:00走到9:00走了20千米，所以从九点开始甲乙一起出
20020
发，相遇时间为 4小时，所以13:00甲乙相遇。
2520
5.【答案】D。解析：画出示意图如下：
相同时间内，速度之比等于路程之比。相遇时，货车与轿车的路程之比为3∶5，
相差2份。由示意图可知，轿车比货车多走了20×2=40千米，则每份为20千米。且
货车与轿车的路程和为A、B两地距离的两倍，所以A、B两地相距（3+5）×20÷2=80
千米。
6.【答案】B。解析：设中车的速度为x米/分，骑车人的速度为v米/分，由追及
路程相同可列方程7(800v)14(600v)8(xv)，解得x=750。
7.【答案】A。解析：慢车速度为144千米/小时=40米/秒。由题意知，两车相向
而行，是相遇问题，两火车的速度和为200÷2=100米/秒，则快车速度为100-40=60米
/秒，慢车车长=100×1=100米；两车同向行驶，是追及问题，则所需时间为（200+100）
÷（60-40）=15秒。
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8.【答案】A。解析：根据多次相遇的公式，A、B两地距离为（3×5+3）÷2=9千
米。选择A。
9.【答案】D。解析：设A大学和B大学之间的距离为S，因为小孙和小李相遇
两次，则两人走过的路程总共为3S，根据题意可得12×（85+105）=3S，解得S=760。
10.【答案】B。解析：甲、乙二人从开始到第二次相遇用时2分，即120秒，二
人走的总路程为200×（2×2-1）=600米，由此可得甲、乙两人的速度和为600÷120=5
米/秒，结合“甲每秒比乙每秒多跑1米”可得甲的速度分别为3米/秒。
11.【答案】B。解析：1分30秒两人共跑（350+400）×1.5=1125米，第一次相遇
两人共跑50米，此后每次相遇要跑100米，（1125-50）÷100=10.75，共相遇11次，
选B。
12.【答案】B。解析：设每台抽水机每分钟抽1份水，进水管的速度为x，所求
2
量为n，则有（2-x）×40=（4-x）×16=（n-x）×10，解得x= ，n=6。
3
13.【答案】D。解析：设每个入口每分钟入场的人数为1，每分钟来求职的人为x，
所求时间为t，则有（4-x）×30=（5-x）×20=（6-x）×t，解得x=2，t=15。
14.【答案】A。解析：设每人每年消耗的资源量为1，岛上资源的增长速度为x，
则有（3-x）×45=（2-x）×90，解得x=1，故最多能够养活1千人。
15.【答案】B。解析：根据题意，顺水航行与逆水航行的速度之比为5∶3，则逆
水航行的速度为30千米/小时，水流速度为（50-30）÷2=10千米/小时，此船顺水漂流
1小时的航程为10×1=10千米，选B。
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16.【答案】A。解析：设水速为1，则A船和B船在静水中速度分别为3和5，
根据题意可得甲乙码头间距离为（5+1）×3=18，设B船离开乙码头后t小时与A船相
31
遇，则有（3+1+5-1）×t=18- ，解得t=2，此时B船距离乙码头（5-1）×2=8，距
2
离甲码头18-8=10，即相遇点与甲乙码头的距离比为10∶8=5∶4。故选择A。
17.【答案】B。解析：设电梯每秒钟向上走x级，则30+30x=20×2+20x，解得x=1，
该扶梯共有30+30=60级，选B。
第四节 工程问题
二、能力训练
例1.【答案】C。解析：所求为6+（900-30×6）÷60=18天，故选C。
例2.【答案】A。解析：设该项工程的总工作量为60，则小周、小朱的工作效率
分别为2、3。两人合作共需60÷（2+3）=12天完成，选A。也可根据两人合作时的完
成时间小于单独完成时的时间，确定本题答案为A。
例3.【答案】B。解析：设总工作量为48，则甲、乙的效率分别为3和4，，一
个循环甲乙共完成工作量3+4=7，6个循环即12小时后剩余工作量48-7×6=6，甲再
3
做1小时完成3，乙还需要做3÷4= 小时=45分钟才能全部完成，故完成这项工作共
4
需要13小时45分钟。
三、效果检验
1.【答案】A。解析：张师傅每加工10个零件比刘师傅少用20秒，所以加工完
300个零件张师傅一共比刘师傅少用300÷10×20=600秒即10分钟，所以刘师傅还有
10×2=20个零件没有加工。
2.【答案】D。解析：小王和小李每小时打印900÷6=150页，则小王每小时打印
150÷（1+1.5）×1.5=90页。
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3.【答案】A。解析：剩余的工作量一定，工作效率和工作时间成反比。速度提高
20%，原速和现速之比为5∶6，所需时间之比为6∶5，少用一份时间相当于少用n天，
一份代表n天，说明剩余工作按原来效率来干需要6n天。速度如果提高50%，原速
和现速之比为2∶3，所需时间之比为3∶2，原来需要三份时间，需要6n天，一份时
间为2n天，少用一份时间，少用2n天。因此答案选A。
4.【答案】D。解析：设工程总量为30，则小王的效率为2，小张的效率为3。两
人合作，小王做了11-5=6天，完成工作2×6=12，剩下的工程量30-12=18由小张完成，
需要18÷3=6天，因此小张休息的天数为11-6=5天，选择D。
5.【答案】D。解析：设水池总量为60，设四个水管效率分别为A、B、C、D，
则A+B+C=5，B+C+D=4，A+D=3。三式相加得2（A+B+C+D）=5+4+3=12，故四个
水管的效率和为6，需要10分钟可将水池灌满。
6【. 答案】C。解析：设甲队每天修的路程为1，则总路程为36，乙队每天修（36÷2-9）
÷6=1.5。设甲、乙合修了x天，则（1+1.5）x+1.5x=36，x=9，故从开始到完成修了9+9=18
天。
7.【答案】B。解析：设甲、丙每天分别完成5、7个零件，则总零件数为（5+7）
×10=120个。设乙每天完成x个零件，由于甲、乙合作比乙、丙合作要多花25%的时
间，则甲、乙的效率和与乙、丙的效率和之比为1∶（1+25%）=4∶5，即（5+x）∶
（x+7）=4∶5，解得x=3。故三个车间合作需要120÷（5+3+7）=8天。
8.【答案】C。解析：方法一，设总工作量为800，六级工、八级工、十级工的工
z+2y 5=100 x=4
800 4
作效率分别为x、y、z，则有 y+2x 50=700，解得y=6，所求为 =44
468 9
z=2x z=8
天，即在第45天完工。故选择C。
方法二，设十级工和六级工的工作效率分别为2和1，设八级工的工作效率为x，
根据题意可得50×（x+2）=7×5×（2+2x），解得x=1.5。则工作总量=（2+2×1.5）×5×8=200，
故合作需要200÷（2+1+1.5）≈44.44，故第45天完工。
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9.【答案】D。解析：设该工作的原工作量为48份，甲、乙每小时完成6份、4
1 1
份。工作量增加 后变为48×（1+ ）=64份。甲乙2小时1个循环完成10份，6个
3 3
2
循环后还剩余工作量4份，此时轮到甲，需要4÷6= 小时，因此完成任务时甲共用了
3
2
6+ =6小时40分钟。
3
10.【答案】D。解析：设蓄水池满水时含水量为60份，则甲、丙两管每小时进水
量分别为20份、12份，乙管每小时排水量为15份，按照甲、乙、丙的顺序轮流循环
开各水管，则一个循环进水量为20+12-15=17份，3个循环的进水量为51份，剩余9
9 9 9
份轮到开甲管，需用 小时，即27分钟完成，因此当过3×3+ =9 小时=9小时
20 20 20
27分钟时水开始溢出水池。
第五节 容斥问题
二、能力训练
例1【. 答案】A。解析：容斥原理问题。根据容斥公式可得这个班共有20+25-10+4=39
人，选A。
例2.【答案】A。解析：至少含一种维生素的食物有39-7=32种，由三个集合的
容斥原理可以得到，三种维生素都含的食物有32+7+6+9-17-18-15=4种。
例3.【答案】A。解析：根据容斥极值问题的求法可得，两个都爱好的最少有
68+46-100=14人。
三、效果检验
1.【答案】B。解析：所求为76+75-（102-9）=58（人），选B。
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2.【答案】A。解析：反对B议案的有756-294=462人，则赞成A且反对B的有
462-169=293人。
3.【答案】B。解析：设笔芯和笔杆都合格的笔有x支，所求为7+8-x+1=10，x=6。
4.【答案】B。解析：
根据容斥原理公式，A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C，又知A∪B∪
C=290，A∩B=24，B∩C=70，A∩C=36，则阴影部分的面积为 A∩B∩C=A∪B∪
C+A∩B+B∩C+A∩C-（A+B+C）=290+24+70+36-（64+180+160）=16。
5.【答案】A。解析：设既喜欢看电影又喜欢球赛的人数为x，根据公式A∪B∪
C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C，可得 100=58+38+52-18-16-x+12，解得 x=26，
故只喜欢看电影的有52-（26+16-12）=22人。选A。
6.【答案】C。解析：根据容斥原理，该班级的总人数为52+49+58-21-15×2+4=112
人。
7.【答案】C。解析：如图所示，设只能教数学的有x人，则x+8+6+4+5+3-2×2=27，
解得x=5。
8.【答案】C。解析：根据容斥求极值公式，三人都回答正确的题目最少是
66+60+84-2×100=10题，故答案选C。
9.【答案】A。解析：根据容斥极值问题的求法可得，四项活动都喜欢的至少有
35+30+38+40-3×46=5人，因此选择A。
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第六节 排列组合问题
二、能力训练
例1.【答案】C。解析：满足刚好发出9升油的方式有：①选1桶5升装。5+2×2；
5+2+1×2；5+1×4。共3种。②不选5升装，选2升装和1升装。2×3+1×3；2×2+1×5；
2×1+1×7。共3种。故共有3+3=6种方式，答案选C。
例2.【答案】D。解析：3×2×2=12种。
例3.【答案】B。解析：需要准备A2 =210种车票，票价有C2 =105种。
15 15
例4【. 答案】（1）A2 A9；（2）A10 A2；（3）A9 A2 ；（4）A11 A3 A8。
7 9 10 2 9 10 11 6 8
解析：（1）从2个杂技和5个歌舞节目中选2个放到开始和结尾有A2种，剩下
7
的排序有A9种，故共有A2 A9种方法；
9 7 9
（2）把小品a和歌舞节目b捆绑共A2种方式，捆绑之后和剩下的9个节目排列
2
有A10种，故共有A2×A10种方法；
10 2 10
（3）4个小品节目和5个歌舞节目排列共A9种，形成了10个空隙，把2个杂技
9
节目插入这10个空位就保证不能连续演出，有A2 种方式，故共有A9 A2 种方法；
10 9 10
（4）晚会前三个节目中至少一个是歌舞节目的反面就是晚会前三个节目都不是歌
舞节目，晚会前三个节目都不是歌舞节目有A3 A8种方法，所有节目全排列有A11种
6 8 11
方法，所以所求是A11 A3 A8种方法。
11 6 8
例5.【答案】C。解析：错位重排问题，四道菜错位重排的种类数是9种。
例6.【答案】C。解析：此题满足隔板模型的所有条件，直接套用公式C 3 =84种
9
分配方案。
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三、效果检验
1.【答案】C。解析：分类分步计数原理，2×3+2×4=14，故选C。
2.【答案】B。解析：A1 A2 A3 A4 64种，选B。
4 4 4 4
3.【答案】B。解析：所求为C3 ×C2×C2 =360种，答案选B。
6 4 3
4.【答案】C。解析：首先分类，三个数的和为奇数，这三个数的奇偶性只能为：
3个奇数、1奇数+2偶数；若三个数都为奇数的选法有：C 3 =10种；若1奇数+2偶数
5
的选法有C 1 ×C2 =5×6=30种，共40种选法，故选C。
5 4
5.【答案】C。解析：方法一，分三种情况考虑。第一种，O点为三角形的一个顶
点，种类数为C 1 ×C1 =12；第二种，三角形的两个顶点在OA边，另一个顶点在OB
3 4
边，种类数为C 2 ×C1 =12；第三种，三角形的一个顶点在OA边，另两个顶点在OB
3 4
边，种类数为C2×C 1 =18。即共有12+12+18=42种情况。
4 3
方法二，从这8个点中选出3个点共有C 3 =56种选法，从OA边上选出3个点共
8
有C3 =4种选法，从OB边上选出3个点共有C 3 =10种选法，故所求为56-4-10=42
4 5
种情况。
6.【答案】A。解析：甲乙两人不站在两边，先安排甲乙站在中间三个位置有A 2
3
种，剩余3人有A 3种，站队的种类共有A 2 ×A 3 =36种。
3 3 3
7.【答案】A。解析：同类型的节目要连续出现，将小品、演唱和舞蹈分别看成3
个整体，有A3种排列方式。3个整体内部全排列，共有A3 A4 A3 A3 =5184种出场
3 3 4 3 3
顺序。
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8.【答案】D。解析：运用插空法，在原有10个人形成的11个空隙中选择三个位
置，共有A 3 =11×10×9=990种，选择D。
11
9.【答案】D。解析：考虑男女至少各1名的对立面，即全为男或全为女。所求为
C4 -C4 -C4 =310，选D。
11 6 5
10.【答案】C。解析：本题相当于将5个人进行错位重排，利用公式，n个人的
错位重排数D n1 D D ，其中D 0、D 1，所以D 44，选
n n1 n2 1 2 5
择C。
11.【答案】A。解析：根据题意，每个盒子里球的个数分别不小于1，2，3，首
先在每个盒子放入0，1，2个球，还剩10-1-2=7个球，即转化为求“将7个球放入3
个盒子，使得每个盒子至少有1个球”的种类数，为C 2 =15种方法。
6
12.【答案】D。解析：此题不满足隔板模型的第3个条件，可利用先借后还原理，
假设发放者先向每个小朋友都借1个苹果，并保证在发放苹果的过程把借过来的苹果
都发还给小朋友们，那么这问题就变成是10个苹果，分给三个小朋友且每人至少拿1
个，利用公式，有C2 =36种分法。
9
第七节 概率问题
二、能力训练
黄球 3
例1.【答案】B。解析：摸出黄球的概率= = ，所以白球和黄球共
黄球白球 4
3
有6÷ =8个，白球为8-6=2个。白球比黄球少6-2=4个。
4
例2.【答案】C。解析：仅有一天下雨的概率为p=C1×0.6×0.43=0.1536，只有C
4
项符合题意。
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三、效果检验
1.【答案】D。解析：袋子中共有小球7个，其中黑球有3个。因为第一次拿出一
3
个并放回，所以对第二次拿到黑球的概率并无影响，第二次拿到黑球的概率即为 。
7
1 1
2.【答案】D。解析：所求概率为 ，选D。
A6 720
6
3.【答案】D。解析：从中任意取3张有C3 种，面额之间存在和差关系的情况为
25
3C2C1 3
5+5=10，10+10=20，50+50=100，共有3×C2 ×C1种，则所求概率为 5 5 = 。
5 5 C3 46
25
4.【答案】A。解析：题中所求的对立面是10个一年级学生将三个字都读对，则
1
所求为1 - [( )3]10，选A。
3
5.【答案】A。解析：多次独立重复试验。石头剪刀布的游戏，不赢，就表示平或
2 2
者输，那么每次不赢的概率为 ，连续5次不赢的概率为( )5 ≈0.13，故选A。
3 3
6.【答案】C。解析：乙获胜的情况分为两种：（1）乙的两发子弹全中靶，甲至
多一发子弹中靶，则甲的概率应为1减去甲两发全中的概率，则总的概率为30%×30%×
（1-60%×60%）=0.0576；（2）乙的一发子弹中靶，甲两发子弹都没有中靶，概率为
C1 ×30%×（1-30%）×（1-60%）×（1-60%）=0.0672。综合两种情况，所以乙获胜的
2
概率为0.0576+0.0672=0.1248=12.48%。
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