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玉溪一中 2024—2025 学年下学期高二年级开学考
数 学 试 卷
总分：150分，考试时间：120分钟
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1．设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．设复数 在复平面内对应的点为 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
3．等差数列 的前 项和为 ，若 ， （ ）
A． B． C．1 D．
4．过点 且倾斜角为 的直线l交圆x2+y2-6y＝0于A，B两点，则弦AB的长为 （ ）
A． B． C． D．
5．已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．在 中， ， ， ，E，F为线段AB上的点且 ，则
（ ）
A．3 B． C．2 D．
7. 已知正三棱台 的体积为 ， ， ，则 与平面ABC所成角的正切值为（
试卷第1页，共4页）
A. B. 1 C. 2 D. 3
8．在R上定义运算 ，0<x≤2时，不等式 有解，则实数a的取
值范围是( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分.
9．已知随机事件 ，且 则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则事件 与事件 相互独立
B．若 ，则事件 与事件 互为对立事件
C．若事件 ，则
D．若事件 相互独立，则
10．数列 的前 项和为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则数列 的前 项和 最大
B．若等比数列 是单调递减数列，则公比 满足
C．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则
D．已知 为等差数列，则数列 也是等差数列
11．已知抛物线C： 焦点为F，动直线 与曲线C交于 两点，下列说法正确的是
A. 抛物线C的准线方程为
试卷第2页，共4页B. 若点M为 ，则 周长的最小值为11
C. 若点M为 ，则 的最小值为
D. 设O为坐标原点，作 于点H，则H点到C的准线的距离的最大值为2
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知 ，且 ，则 的最大值为 .
13. 将函数 的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方
程是 .
14．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 A，B分别在其左、右两支上，
, 是线段 的中点，且 ，则双曲线的离心率为 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）数列 的前 项和为 ，且 ,
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)若 , 数列 的前 项和为T ，求证： ．
n
16.（15分）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求A．
（2）若 ， ，求 的周长．
试卷第3页，共4页17．（15分）等比数列 中， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和T ．
n
18．（17分）如图，在四棱锥 中，底面ABCD是边长为1的正方形， 底面ABCD，垂足
为A， ，点M在棱PD上， 平面ACM．
(1)试确定点M的位置；
(2)计算直线PB与平面MAC的距离；
(3)设点E在棱PC上，当点E在何处时，使得 平面PBD？
19．（17分）已知 和 为椭圆 上两点.
试卷第4页，共4页(1)求椭圆 的离心率；
(2)过点 的直线 与椭圆 交于 、 两点（ 、 不在 轴上）.
（i）若 的面积为 ，求直线 的方程；
（ii）直线 和 分别与 轴交于 、 两点，求证： 为定值.
试卷第5页，共4页《玉溪一中2026届高二下开学考试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D A D C B A B B AC ACD BC
1．D【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求解.
【详解】因为 ，得到 ，
又 ，所以 ，
2．A【分析】利用复数的几何意义可得出 ，再利用复数的减法以及复数的模长公式化简可得结
果.
【详解】由复数的几何意义可得 ，
所以， ，化简可得 .
3．D【解析】方法一：利用等差数列的基本量
由 ，根据等差数列的求和公式， ，
又 .
方法二：利用等差数列的性质
根据等差数列的性质， ，由 ，根据等差数列的求和公式，
，故 .
4．C【详解】过点 且倾斜角为 的直线 l 的方程为 ，即 ．圆
x2+y2-6y＝0的方程可化为 x2+(y-3)2＝9，其圆心为(0，3)，半径 r＝3，则圆心(0，3)到直线 l的距离
，
∴直线被圆截得的弦AB的长为 ．故选C．
5．B【详解】由已知 ， ， ， ，
6．A【详解】 ，而 ，
答案第1页，共7页又 ，
所以 .
7. B【详解】解法一：分别取 的中点 ，则 ，
可知 ，
设正三棱台 的为 ，
则 ，解得 ，
如图，分别过 作底面垂线，垂足为 ，设 ，
则 ，
，
可得 ，
结合等腰梯形 可得 ,
即 ，解得 ，
所以 与平面ABC所成角的正切值为 ；
解法二：将正三棱台 补成正三棱锥 ，
则 与平面ABC所成角即为 与平面ABC所成角，
因为 ，则 ，
答案第2页，共7页可知 ，则 ，
设正三棱锥 的高为 ，则 ，解得 ，
取底面ABC的中心为 ，则 底面ABC，且 ，
所以 与平面ABC所成角的正切值 .
8．B 【详解】由题意可得 在 上有解，
(ax−2)⊗(1−x)=(ax−2)[1−(1−x)]=ax2−2x<−3a 0<x≤2
2x
所以a(x2+3)<2x即a< 在0<x≤2上有解，
x2+3
2x 2 2 √3
又 = ≤ = ，当且仅当 时，等号成立，
x2+3 x+ 3
2
√
x⋅
3 3 x=√3
x x
2x ❑√3 √3
所以 在0<x≤2的最大值为 ，所以实数a的取值范围是a< ．故选B．
x2+3 3 3
9．AC【详解】对于A，根据事件独立性的定义可得 独立，故A正确；
对于B，记事件A：投掷一个骰子，骰子的点数为奇数，
事件 ：投掷一枚硬币，正面朝上，则 ，满足 ，
但 不是对立事件，故B错误；.
对于C： ，则 ，故C正确.
对于D，若 独立，可得 ，故D错误
10．ACD【详解】对于A选项，由 ，可得 ，
又因为 ，故数列 前 项的和最大，A对；
对于B选项，当 ， 时，则对任意的 ， ，
答案第3页，共7页则 ，所以， ，此时等比数列 也是递减数列，B错；
对于C选项， ，则 ，C对；
对于D选项，若 为等差数列，则 ， ，
则 （ 为常数），所以，数列 也是等差数列，D对，
11．BC 【详解】选项A，因为抛物线 ，即 ，所以准线方程为 ，故选项A错误；
选项B，如图，过A作准线 的垂线，交准线于点G，过M作准线的
垂 线 ， 分 别 交 抛 物 线 ， 准 线 于 ， ， 则 周 长
，
当A在 处时取到等号，又 ， ，
所以周长的最小值为11，故选项B正确；
选项C，设 ，则 ，
当 时取等号，故选项C正确；
选项D，易知 ，设过O且与动直线 垂直的直线方程为 ，
由 ，解得 ，所以H点到C的准线的距离
，故选项D错误. 故选：
12． 【详解】 ， ，故答案为：
13. 【详解】因为函数 的图象向右平移 个单位长度可得
答案第4页，共7页，
则 的对称轴为 ， ，即 ， ，
当 时， ，当 时， ，
所 以 平移后的图象中与y轴最近的
对 称
轴 的
方 程
是
， 故答案为：
14．
答案第5页，共7页15.
答案第6页，共7页16.（1） （2）
【小问1详解】方法一：常规方法（辅助角公式）
由 可得 ，即 ，
由于 ，故 ，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由 ，又 ，消去 得到：
，解得 ，
又 ，故
【小问2详解】由题设条件和正弦定理 ，
答案第7页，共7页又 ，则 ，进而 ，得到 ，于是 ，
，
由正弦定理可得， ，即 ，
解得 ，故 的周长为
17．(1) (2)
【解析】（1）等比数列 中， ，
所以公比 ， ，
∴数列 是以4为首项， 为公比的等比数列，所以 .
（2） ,
所以
故
所以
，
.
18．(1)点M为PD中点 (2) (3)点E为PC中点
【详解】（1）连 ，则O为BD的中点，连接 ，
因为 平面 ，平面 平面 ，
答案第8页，共7页又 平面PBD，于是 ，所以点M为PD中点．
（2）因为 ，则 ，
底面ABCD是正方形，有 ， 底面ABCD， ，
而 ，则 平面 ，又 平面 ，
因此 ，∴ ， ， ，
∴ ，∴ ，
取AD的中点F，连接MF，
则 ， 平面ABCD，且 ，
∵ 平面ACM，M为PD的中点，
∴直线PB与平面MAC的距离为点D到平面MCA的距离，设为h，
∵ ，
∴ ，解得h ．
（3）当点E为PC中点时， 平面PBD．
答案第9页，共7页19．(1) (2)（i） ；（ii）证明见解析
【详解】（1）由 、 可知 ， ，则 ，
所以 ，即椭圆 的离心率为 .
（2）由（1）可知椭圆 的方程为 ，
（i）如图，设 、 ，
若 与 轴重合，不合乎题意，
答案第10页，共7页设过点 的直线 的方程为 ，
联立 联立得： ，
所以 ， ，
，得 ，所以 ，
所以直线 的方程为 .
（ii）由（i）可知， ，
，
直线 的方程为 ，令 ，得 ，
直线 的方程为 ，令 ，得 ，
，所以 为定值.
答案第11页，共7页
