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2024-2025 学年湖北省武汉市部分重点中学高二上学期期末联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线x2=4 y的焦点到准线的距离是( )
1
A. B. 1 C. 2 D. 4
2
2.在等差数列{a }中，若a +a +a +a +a =150，则a +a 的值为( )
n 2 4 6 8 10 1 11
A. 30 B. 40 C. 50 D. 60
y2
3.已知F ，F 是双曲线x2− =1的左，右焦点，P是双曲线右支上一点，且|F F |是|PF |和
1 2 3 1 2 1
的等差中项，则 的值为( )
|PF | S
2 △PF F
1 2
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
1
4.已知数列{a }为等比数列，a = ，公比q=2，若T 是数列{a }的前n项积，则T 取最小值时n为( )
n 1 256 n n n
A. 8 B. 9 C. 8或9 D. 9或10
5.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(−2,0)，B(2,0)，点P是平面内一个动点，则下列说法正确的是
( )
A. 若|PA|+|PB|=4，则点P的轨迹为椭圆
B. 若|PA|−2|PB|=0，则点P的轨迹为椭圆
C. 若|PA|−|PB|=4，则点P的轨迹为直线
D. 若|PA|−|PB|=2，则点P的轨迹为双曲线的一支
6.设等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，若S 2n+1，则a 的值为( )
{a } {b } n S T n = 7
n n n n T 3n−1 b
n 5
19 27 27 27
A. B. C. D.
26 26 32 38
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1 17.已知椭圆 x2 y2 的左，右焦点分别为 ， ，点 是椭圆上的一点，且点 在 轴上方，
C: + =1(a>b>0) F F P P x
a2 b2 1 2
S
△PF F 的内切圆圆心为 I ，若 △PF 1 F 2=λ(2<λ⩽3) 则椭圆的离心率 e 的取值范围是( )
1 2 S
△IF F
1 2
1 1 1 1 1
A. [ , ) B. (0, ] C. [ ,1) D. [ ,1)
3 2 3 2 3
x2 y2
8.已知椭圆 + =1(m>0)的上，下焦点分别为F ，F ，抛物线x2=2py(p>0)的焦点与椭圆的上焦
m 9 1 2
π ⃗ 5 ⃗
点重合，过F 的倾斜角为 的直线交椭圆于A，B两点，且AF = F B，点(x ,y )(n∈N∗)是抛物线
1 6 1 7 1 n n
上在第一象限的点，且在该点处的切线与x轴的交点为(x ,0)，若x =2，则x 的值为( )
n+1 1 2025
1 1 1 1
A. ( ) 2023 B. ( ) 2023 C. ( ) 2024 D. ( ) 2024
2 4 2 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.抛物线y2=4x的焦点为F，过焦点的倾斜角为θ的直线交抛物线于A，B两点，设A(x ,y )，
1 1
B(x ,y )，则下列结论正确的是( )
2 2
A. x ⋅x =2 B. y ⋅y =−4
1 2 1 2
π 16 1 1
C. 若θ= ，则|AB|= D. + =1
3 3 |AF| |BF|
10.设等差数列 的前 项和为 ，若 有最大值，且a ，则下列结论正确的是( )
{a } n S S 2023<−1
n n n a
2024
A. 当S 最大时，n=2023
n
B. 使S >0的最大k值为4045
k
C. S 0,b>0) A(2,0) A ⊙M:x2+(y−2) 2=r2 (1b>0) F (−c,0) F (c,0) P
a2 b2 1 2
限的点，且 的纵坐标为b2，若椭圆的离心率 的范围是 √2 √5 ，则 |PF | 的范围是 ．
P e ( , ] 1
c 2 3 |PF |
2
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列 各项均为正数，设数列 的前 项和为 ，其中 ．
{a } {a } n S 2S =a2+a
n n n n n n
(1)求数列{a }的通项公式;
n
令 a ，求数列 的前 项和 ．
(2) b = n {b } n T
n 3n n n
16.(本小题15分)
已知双曲线
x2 y2
的左顶点为 ，离心率 为 ，过点 的直线 交双曲
C: − =1(a>0,b>0) (−1,0) e √2 P(0,−1) l
a2 b2
线左支于A，B两点．
(1)求双曲线C的标准方程;
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3 1若 是坐标原点，且 ，求直线 的斜率．
(2) O S =√2 l
△AOB
17.(本小题15分)
设数列{a }的前n项和为S ，且S =2a −2．
n n n n
(1)求数列{a }的通项公式;
n
令 a ，设 为数列 的前 项和，是否存在常数 ，使 对 恒成立 若存在，求
(2) b = n+1 T {b } n t T 1，证明：数列{a }是等比数列．
n m n
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4 1参考答案
1.C
2.D
3.B
4.C
5.D
6.B
7.C
8.A
9.BCD
10.ACD
11.ABD
12.6
13.2n−1
1
14.[ ,1)
2
15.解： ，当 时， ，得 或 舍 ，
(1)∵2S =a2+a n=1 2S =a2+a a =1 a =0( )
n n n 1 1 1 1 1
当 时， ， ，
n≥2 2S =a2 +a ∴2a =2S −2S =a2+a −a2 −a
n−1 n−1 n−1 n n n−1 n n n−1 n−1
即a +a =(a +a )(a −a )，
n n−1 n n−1 n n−1
∵数列{a }的各项均为正数，即a +a >0，
n n n−1
∴a −a =1(n≥2)，即数列{a }是首项为1，公差为1的等差数列，
n n−1 n
∴a =n．
n
a n ， 1 2 3 n ，
(2)∵b = n= ∴T = + + +⋯+ ①
n 3n 3n n 3 32 33 3n
1 1 2 3 n
T = + + +⋯+ ②，
3 n 32 33 34 3n+1
2 1 1 1 1 1 n
①−②得： T = + + + +⋯+ −
3 n 3 32 33 34 3n 3n+1
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5 11 1
(1− )
3 3n n 1 1 n
= − = (1− )− ，
1 3n+1 2 3n 3n+1
1−
3
3 2n+3
∴T = −
n 4 4×3n
a=1
{
{a=1
16.解： 由题得 c ，解得 ，
(1) =√2 b=1
a
c=√2
a2+b2=c2
∴双曲线C的标准方程为C:x2−y2=1．
(2)由题可知，直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y=kx−1，
联立双曲线的方程{x2−y2=1，
y=kx−1
得 ，
(1−k2 )x2+2kx−2=0
设A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2
2k 2
则x +x =− ，x ⋅x =− ，
1 2 1−k2 1 2 1−k2
∵直线l交双曲线左支于A，B两点，
−k2≠0
Δ=4k2−4(1−k2 )·(−2)>0 解得 ，
∴{ , −√20
1 2
1 1
∵S = |OP|⋅|x −x |= √(x +x ) 2−4x x =√2，
△AOB 2 1 2 2 1 2 1 2
2k 2
∴(x +x ) 2−4x x =8即(− ) 2−4(− )=8，
1 2 1 2 1−k2 1−k2
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6 1√6
解得k=0或k=± ，
2
√6
∵−√20
0 0 0 0 0
得 ， ，
x +x =2x x x =2y −x2
1 2 0 1 2 0 0
x +x
有x = 1 2=x ，得PM⊥x轴，所以M，N，P三点共线．
0 2 M
y2
(2)②因为点P(x ,y )为半椭圆 +x2=1(y<0)上的动点，
0 0 2
则y2
，且 ，
0+x2=1 −√2≤ y <0
2 0 0
又 x +x x2+x2 ，
M( 1 2, 1 2 )
2 2
所以 x2+x2 (x +x ) 2−2x x
|PM|= 1 2−y = 1 2 1 2−y
2 0 2 0
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9 14x2−4 y +2x2 ，
= 0 0 0−y =3(x2−y )
2 0 0 0
因为 ，
|x −x |=√(x +x ) 2−4x x =√4x2−8 y +4x2=2√2⋅√x2−y
1 2 1 2 1 2 0 0 0 0 0
3 3 1
所以S = S = × ⋅|PM|⋅|x −x |
四 边 形ABC4D △PAB 4 2 1 2
3 9√2
= ×3(x2−y )×2√2⋅√x2−y = (√x2−y ) 3
4 0 0 0 0 4 0 0
9√2 √ y2 ，其中 ，
= 4 ( − 2 0−y 0 +1) 3 −√2≤ y 0 <0
当 时， y2 取得最大值3，
y =−1 − 0−y +1
0 2 0 2
27√3
所以四边形ABDC面积的最大值为 ．
8
19.解： 由题意知，数列 为 ， ， ， ， ，因为 和a 均不是 中的
(1) {a } 2 4 8 16 32 a ⋅a =32×32>32 5=1 {a }
n 5 5 a n
5
项，
所以数列{a }不是“乘或除封闭数列”；
n
由数列递增可知 ，则 不是 中的项，所以a 是 中的项，所以 ，
(2) a <3a (11 a2 {a } m=1 {a } a =1
n m m n a m 1
m
因为 不是 中的项，所以a 是 中的项，
a a (1a
m i m+1−i m−1 j m
则 不是 中的项，所以a 是 中的项， a a a a ，
a a {a } m−1 {a } 1=a < m−1< m−1< m−1<⋯< m−11 a 1
a a a a a 2 n
m−1 m−2 m−3 2 1
第 页，共 页
11 1
