2007年河北高考文科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_河北

2007 年河北高考文科数学真题及答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3 至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 注意事项： 1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 参考公式： 如果事件A，B互斥，那么 球的表面积公式 P(AB) P(A)P(B) S 4πR2 如果事件A，B相互独立，那么 其中R表示球的半径 P(A B) P(A) P(B) 球的体积公式   4 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 V  πR3 3 n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 P (k)Ckpk(1 p)nk(n0，1，2， ，n) n n  一、选择题     （1）设S  x 2x10 ，T  x 3x50 ，则S T （ ）   1  5  1 5 Ａ． Ｂ．x x  Ｃ．x x  Ｄ．x   x   2  3  2 3 12 （2）是第四象限角，cos ，sin（ ） 13 5 5 5 5 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 13 13 12 12 （3）已知向量a (5，6)，b(6，5)，则a与b（ ） Ａ．垂直 Ｂ．不垂直也不平行 Ｃ．平行且同向 Ｄ．平行且反向 （4）已知双曲线的离心率为2，焦点是(4，0)，(4，0)，则双曲线方程为（ ） x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 Ａ．  1 Ｂ．  1 Ｃ．  1 Ｄ．  1 4 12 12 4 10 6 6 10 （5）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则 第1页 | 共9页不同的选修方案共有（ ） Ａ．36种 Ｂ．48种 Ｃ．96种 Ｄ．192种 x y10， （6）下面给出四个点中，位于 表示的平面区域内的点是（ ） x y10 Ａ．(0，2) Ｂ．(2，0) Ｃ．(0，2) Ｄ．(2，0) （7）如图，正四棱柱ABCDABC D 中，AA 2AB，则异面直线AB与AD 所成角 1 1 1 1 1 1 1 的余弦值为（ ） D 1 C 1 2 3 4 1 A Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 1 B 5 5 5 5 1 D C A B 1 （8）设a 1，函数 f(x)log x在区间a，2a上的最大值与最小值之差为 ，则a  a 2 （ ） Ａ． 2 Ｂ．2 Ｃ．2 2 Ｄ．4 （9） f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x) f(x)g(x)，则“ f(x)，g(x)均为偶 函数”是“h(x)为偶函数”的（ ） Ａ．充要条件 Ｂ．充分而不必要的条件 Ｃ．必要而不充分的条件 Ｄ．既不充分也不必要的条件 （10）函数y 2cos2 x的一个单调增区间是（ ）  π π  π π 3π π  Ａ．  ，  Ｂ． 0，  Ｃ． ，  Ｄ． ，π   4 4  2 4 4  2  1  4 （11）曲线y  x3x在点 1， 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） 3  3 1 2 1 2 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 9 9 3 3 （12）抛物线y2 4x的焦点为F ，准线为l，经过F 且斜率为 3的直线与抛物线在x轴 上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF 的面积是（ ） Ａ．4 Ｂ．3 3 Ｃ．4 3 Ｄ．8 第2页 | 共9页第Ⅱ卷 注意事项： 1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填 写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 在试题卷上作答无效． 3．本卷共10题，共90分． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上． （13）从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位： g）： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在 497.5g～ 501.5g之间的概率约为_____． （14）函数 y  f(x)的图像与函数 y log x (x0)的图像关于直线 y  x对称，则 3 f(x)____________． （15）正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为 2 ，点S，A，B，C，D都在同一个 球面上，则该球的体积为_________． （16）等比数列{a }的前n项和为S ，已知S ，2S ，3S 成等差数列，则{a }的公比为 n n 1 2 3 n ______． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分） 设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2bsinA． （Ⅰ）求B的大小； （Ⅱ）若a 3 3，c5，求b． （18）（本小题满分12分） 某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用 一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元； 若顾客采用分期付款，商场获得利润250元． （Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率； （Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率． （19）（本小题满分12分） 四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC 底面ABCD，已知ABC 45， S AB2，BC 2 2，SASB 3． （Ⅰ）证明：SA BC； C （Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小． B D （20）（本小题满分12分） A 第3页 | 共9页设函数 f(x)2x3 3ax2 3bx8c在x1及x2时取得极值． （Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）若对于任意的x[0，3]，都有 f(x)c2成立，求c的取值范围． （21）（本小题满分12分） 设{a }是等差数列，{b }是各项都为正数的等比数列，且a b 1，a b 21， n n 1 1 3 5 a b 13 5 3 （Ⅰ）求{a }，{b }的通项公式； n n a  （Ⅱ）求数列 n的前n项和S ． b n   n （22）（本小题满分12分） x2 y2 已知椭圆  1的左、右焦点分别为F ，F ，过F 的直线交椭圆于B，D两点，过F 3 2 1 2 1 2 的直线交椭圆于A，C两点，且AC  BD，垂足为P． x 2 y 2 （Ⅰ）设P点的坐标为(x，y )，证明： 0  0 1； 0 0 3 2 （Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值． 参考答案 一、选择题 1．Ｄ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ａ 5．Ｃ 6．Ｃ 7．Ｄ 8．Ｄ 9．Ｂ 10．Ｄ 11．Ａ 12．Ｃ 二、填空题 4π 1 13．0.25 14．3x(xR) 15． 16． 3 3 三、解答题 17．解： 1 （Ⅰ）由a2bsinA，根据正弦定理得sin A2sinBsin A，所以sinB ， 2 π 由△ABC为锐角三角形得B ． 6 （Ⅱ）根据余弦定理，得b2 a2 c2 2accosB 272545 7． 所以，b 7 ． 第4页 | 共9页18．解： （Ⅰ）记A表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，则A表示事件：“3位顾客 中无人采用一次性付款”． P(A)(10.6)2 0.064， P(A)1P(A)10.0640.936． （Ⅱ）记B表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”． B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”． 0 B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”． 1 则B B B ． 0 1 P(B )0.63 0.216，P(B )C10.620.40.432． 0 1 3 P(B) P(B B ) 0 1  P(B )P(B ) 0 1 0.2160.432 0.648． 19．解法一： （1）作SO⊥BC，垂足为O，连结 AO，由侧面SBC⊥底面 ABCD，得SO⊥底面 ABCD． 因为SASB，所以AO BO， 又∠ABC 45，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO， 由三垂线定理，得SA⊥BC． S （Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC， 依题设AD∥BC ， 故SA⊥AD，由AD BC 2 2 ， O B E C SA 3， D A SD AD2 SA2  11． 又AO ABsin45  2，作DE⊥BC，垂足为E， 则DE⊥平面SBC，连结SE．∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角． ED AO 2 22 sin∠ESD    SD SD 11 11 第5页 | 共9页22 所以，直线SD与平面SBC所成的角为arcsin ． 11 解法二： （Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连结 AO，由侧面SBC⊥底面 ABCD，得SO⊥平面 ABCD． 因为SASB，所以AO BO． 又∠ABC 45，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB． 如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系Oxyz， 2 因为AO BO AB 2， z 2 S SO SB2 BO2 1， 又BC 2 2，所以A( 2，0，0)， B C x O B(0，2，0)，C(0， 2，0)． D A y  S(0，0，1)，SA( 2，0，1)，    CB(0，2 2，0)，SA CB0，所以SA⊥BC．        （Ⅱ）SDSA ADSACB( 2，2 2，1)，OA( 2，0，0).    OA与SD的夹角记为，SD与平面ABC所成的角记为，因为OA为平面SBC的法向 量，所以与互余．   OA SD 22 22  cos  ，sin ，   OA SD 11 11  22 所以，直线SD与平面SBC所成的角为arcsin ． 11 20．解： （Ⅰ） f(x)6x2 6ax3b， 因为函数 f(x)在x1及x2取得极值，则有 f(1)0， f(2)0． 66a3b0， 即 2412a3b0． 第6页 | 共9页解得a3，b4． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知， f(x)2x39x2 12x8c， f(x)6x2 18x126(x1)(x2)． 当x(0，1)时， f(x)0； 当x(1，2)时， f(x)0； 当x(2，3)时， f(x)0． 所以，当x1时， f(x)取得极大值 f(1)58c，又 f(0)8c， f(3)98c． 则当x0，3时， f(x)的最大值为 f(3)98c． 因为对于任意的x0，3，有 f(x)c2恒成立， 所以 98cc2， 解得 c1或c9， 因此c的取值范围为(，1) (9，)．  21．解： 12d q4 21， （Ⅰ）设a 的公差为d ，b 的公比为q，则依题意有q 0且 n n 14d q2 13， 解得d 2，q 2． 所以a 1(n1)d 2n1， n b qn1 2n1． n a 2n1 （Ⅱ） n  ． b 2n1 n 3 5 2n3 2n1 S 1     ，① n 21 22  2n2 2n1 5 2n3 2n1 2S 23    ，② n 2  2n3 2n2 2 2 2 2n1 ②－①得S 22     ， n 2 22  2n2 2n1  1 1 1  2n1 22 1         2 22 2n2  2n1 第7页 | 共9页1 1 2n1 2n1 22  1 2n1 1 2 2n3 6 ． 2n1 y 22．证明 A D （Ⅰ）椭圆的半焦距c 32 1， P 由AC⊥BD知点P在以线段FF 为直径的圆上， FO F x 1 2 B 1 2 C 故x2  y2 1， 0 0 x2 y2 x2 y2 1 所以， 0  0 ≤ 0  0  1． 3 2 2 2 2 （Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k 0时，BD的方程为 y k(x1)，代入椭圆方程 x2 y2  1，并化简得(3k2 2)x2 6k2x3k2 60． 3 2 设B(x，y )，D(x，y )，则 1 1 2 2 6k2 3k2 6 x x  ，x x  ， 1 2 3k2 2 1 2 3k2 2 4 3(k2 1) BD  1k2 x x  (1k2) (x x )2 4x x   ；  1 2  2 2 1 2 3k2 2 1 因为AC与BC相交于点 p，且AC的斜率为 ． k  1  4 3 1   k2  4 3(k2 1) 所以， AC   ． 1 2k2 3 3 2 k2 四边形ABCD的面积 1 24(k2 1)2 (k2 1)2 96 S  BD AC  ≥  ．   2 (3k2 2)(2k2 3) (3k2 2)(2k2 3) 2 25    2  当k2 1时，上式取等号． （ⅱ）当BD的斜率k 0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S 4． 第8页 | 共9页96 综上，四边形ABCD的面积的最小值为 ． 25 第9页 | 共9页