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2024-2025 学年度第一学期期中考试高二数学试卷
考试时间：120分 试卷满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是
符合题目要求的．
1. 直线l过点 ，则直线l的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线的两点式方程运算求解.
【详解】因为 ，则线l的方程为 ，整理得 ，
所以直线l的方程为 .
故选：D.
2. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出直线的斜率，进而可得倾斜角.
【详解】因为直线 的斜率 ，
所以直线 的倾斜角为 .
故选：C.
3. 椭圆 的长轴长为（ ）
A. 4 B. 6 C. 16 D. 8
【答案】D
【解析】【分析】化椭圆方程 为标准方程形式，求出 的值，即可求出长轴长.
【详解】化椭圆方程 为一般形式： ，
所以 ，即 ，即椭圆长轴长为 .
故选：D.
4. 直线 与 互相平行，则实数 的值等于（ ）
A. B. C. 或 D.
【答案】A
【解析】
的
【分析】根据两直线平行可得出关于实数 等式与不等式，即可解得实数 的值.
【详解】因为直线 与 互相平行，则 ，解得 .
故选：A.
5. 圆 的圆心坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将圆的一般方程化为标准方程即可求解.
【详解】圆 即 ，所以圆心坐标为 .
故选：B.
6. 抛物线 的焦点坐标是（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接由抛物线的定义求出焦点坐标即可.
【详解】解：由题意，抛物线的焦点在y上，开口向下，且 ，
.
抛物线 的焦点坐标是 .
故选：B.
7. 已知双曲线 ，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由双曲线的方程及双曲线的离心率 即可求解.
【详解】解：因为双曲线 ，所以 ，
所以双曲线的离心率 ，
故选：D.
8. 点 到直线 的距离为2，则 的值为（ ）A. 0 B. C. 0或 D. 0或
【答案】C
【解析】
【分析】根据点到直线的距离公式即可得出答案.
【详解】解：点 到直线 的距离为 ，
解得 或 .
故选：C.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列方程不是圆 的切线方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径即可求解．
【详解】由圆的标准方程 ，
可知圆心为 ，半径为 ，
再根据圆心到直线距离公式与半径比较即可判断，
对于A，根据圆心到直线距离公式 ，所以不相切，故A正确；
对于B，根据圆心到直线距离公式 ，所以不相切，故B正确；对于C，根据圆心到直线距离公式 ，所以相切，故C错误；
对于D，根据圆心到直线距离公式 ，所以相切，故D错误；
故选：AB
10. 已知圆 的标准方程为 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 圆 的圆心为 B. 点 在圆内
C. 圆 的半径为5 D. 点 在圆内
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据给定圆的方程，结合点与圆的位置关系逐项判断作答.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为5，AC正确；
由 ，得点 在圆内，B正确；
由 ，得点 在圆外，D错误.
故选：ABC
11. 已知双曲线 ，则（ ）
A. 双曲线C的实半轴长为2 B. 双曲线C的虚轴长为
C. 双曲线C的离心率为2 D. 双曲线C的渐近线方程为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据给定的双曲线方程，求出实半轴长、虚半轴长、半焦距，再逐项计算判断作答.
【详解】双曲线 的实半轴长 、虚半轴长 、半焦距 ，双曲线C的实半轴长为1，A不正确；
双曲线C的虚轴长为 ，B正确；
双曲线C的离心率 ，C正确；
双曲线C的渐近线方程为 ，D正确.
故选：BCD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分
12. 若直线 和直线 垂直，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】利用两直线垂直斜率乘积为 计算可得 .
【详解】易知直线 的斜率为 ，
直线 的斜率为 ,
由两直线垂直可得 ，解得 .
故答案为：
13. 已知圆 ，直线 被圆C截得的弦长为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据直线和圆的位置关系，利用点到直线的距离公式和弦长公式求解.
【详解】解：由题意可得，圆心为 ，半径 ，
弦心距 ，故直线 被C截得的弦长为 ，
故答案为：
14. 直线 与圆O： 的位置关系是______．
【答案】相交
【解析】
【分析】根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离和半径比较大小即可．
【详解】因为圆的方程为 ．所以圆心为 ，半径为1，
直线 化为 ，
又因为圆心到直线 距离 ，所以相交．
的
故答案为：相交.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 求满足下列条件的直线方程．
（1）直线过点 ，且与直线 平行；
（2）直线过点 ，且与直线 垂直．
【答案】（1）
（2） ．
【解析】
【分析】（1）设所求直线的方程为 ，将点 代入，求得 的值，即可求解；
（2）设所求直线的方程为 ，将点 代入，求得 的值，即可求解；
【小问1详解】
解：由题意，可设所求直线的方程为 ，因为点 在直线上，可得 ，解得 ，
故所求直线的方程为 ；
【小问2详解】
解：由题意，可设所求直线的方程为 ，
因为点 在直线 上，所以 ，解得 ，
故所求直线的方程为 ．
16. 已知直线 ，圆 的圆心在 轴正半轴上，且圆 与 和 轴均相切.
（1）求圆 的方程；
（2）若直线 与圆 交于 ， 两点，且 ，求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题目条件求出圆心和半径，写出圆的方程；
（2）先求圆心到直线的距离，再利用弦长可得答案.
【小问1详解】
设圆心为 ，半径为 ,
则由题意得 ，故该圆的方程为 .
【小问2详解】
圆心 到直线 的距离为 ，
由垂径定理得： ，解得 .
17. 已知抛物线 ： 的准线方程为 ．（1）求抛物线 的方程；
（2）直线 ： 交抛物线 于 、 两点，求弦长 ．
【答案】（1）
（2）8
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的准线求得 ，从而求得抛物线 的方程.
的
（2）联立直线 方程和抛物线的方程，根据根与系数关系求得 .
【小问1详解】
由抛物线 ： 的准线方程为 ，得 ， ．
的
抛物线 方程为 ．
【小问2详解】
设 ， ，
由 消去 ，得 ，则 ， ．
又 直线 过抛物线 的焦点，
．
18. 已知点P是椭圆 上的一点， 和 分别为左右焦点，焦距为6，且过 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若动直线l过 与椭圆交于A、B两点，求 的周长.
【答案】（1）
（2）20【解析】
【分析】（1）根据焦距可求 ，根据所过点可求 ，进而得到方程；
（2）利用椭圆的定义可得 的周长为 ，代入 可得答案.
【小问1详解】
设焦距为 ，由 ，得 ，
又椭圆 过 ，∴ ，
得 ，
∴椭圆的标准方程为 ；
【小问2详解】
动直线l过 与椭圆交于A、B两点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的周长为20.
19. 已知双曲线 的一个焦点为 ，实轴长为2，经过点 作直线
交双曲线 于 两点，且 为 的中点．（1）求双曲线 的方程；
（2）求直线 的方程．
【答案】（1） ，（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得 ，再由 可求出 ，从而可求得双曲线方程，
（2）设点 ，由题意可得直线 的斜率存在，设直线 为 ，代入双曲线
方程，整理后利用根与系数的关系，结合中点坐标公式列方程可求出 的值，从而可得直线方程.
【详解】（1）由已知得 ，
所以 ，
所以双曲线 的方程为 .
（2）设点 ，由题意可知直线 的斜率存在，
则可设直线 的方程为 ，即 .
把 代入双曲线 的方程 ，
得 ，①
由题意可知 ，
所以 ，解得 ．
当 时，方程①可化为 .此时 ，方程①有两个不等的实数解．
所以直线 的方程为
