文档内容
2024—2025 学年高二下学期
数学期中考试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本
试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知函数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
故选：B．
2. 已知点 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】因为 ， ，所以 ，所以 ，
故选：C.
3. 已知空间向量 ， ，若 ，则 （ ）A. B. C. D.
【答案】C
【详解】因为 ，所以 ，可得 ，
故选：C.
4. 已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】因为 ， ，所以 ，
所以 ．又 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
故选：D．
5. 已知平面 的一个法向量为 ，点 在 外，点 在 内，且 ，则点
到平面 的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】由题意得，点 到平面 的距离 ．
故选：B．
6. 在空间直角坐标系 中， ， ， ，点 在直线 上运动则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】由点 在直线 上运动，故可设 ， ，
则 ，
，
所以
，
故当 时， 取得最小值 .
故选：C．
7. 已知函数 在 处有极大值，则 （ ）
A. B. C. 2 D. 6
【答案】A
【详解】因为 ，所以 ．
因为 在 处有极大值，
所以 ，解得 或 ．
当 时， ，解 ，得 或 ，
当 ， ，当 ， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
在 处有极小值，不符合题意；
当 时， ，解 ，得 或 ，
当 ， ，当 ， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 在 处有极大值，
符合题意．故 ，
故选：A．
8. 设函数 若函数 的图象与直线 有两个交点，则实数 的取值范围是
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】当 时， ，则 ．
由 得 ，所以 在 上单调递减；
由 得 ，所以 在 上单调递增．
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，当 时， 取得极小值 ， ．
又当 时， 所以函数 的大致图象，
如图．
由图可知，当 或 时，函数 的图象与直线 有两个交点，
所以实数 的取值范围是 ，
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在平行六面体 中， ， ， 与
交于点 ．设 ， ， ，则下列说法正确 有的（ ）
A. B.
C. D. 与 的夹角为
【答案】ACD
【详解】由题知， ．对于A选项， ，故A正确；
对于B选项， ，故B错误；
对于C选项， ，故C正确；
对于D，
，
所以 与 的夹角为 ，故D正确．
故选：ACD．
10. 已知函数 的导函数为 ，且函数 的图象如图，则以下结论正确的有（ ）
A. 函数 在区间 上单调递减
B. 函数 在区间 上单调递减
C. 当 时，函数 有极大值D. 当 时，函数 有极小值
【答案】ACD
【详解】由函数 的图象可知，当 时， ，所以函数 在区间 上单调递
减，故A正确；
当 时， ，所以函数 在区间 上单调递增，当 时， ，所以
函数 在区间 上单调递减，故B错误；
当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，所以函数 在
处有极大值，故C正确；
，当 时， ，所以函数 在区间 上单调递减，
当 时， ，所以函数 在区间 上单调递增，所以函数 在 处
有极小值，故D正确．
故选：ACD．
11. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若曲线 在点 处的切线方程为 ，则
B. 若 ，则函数 在 上单调递增
C. 若 ，则函数 在 上的最小值为
D. 若 ，则
【答案】BCD
【详解】首先对函数 求导，可得 ，所以 .
已知切线方程为 ，其斜率为 ，所以 ，解得 ，故 选项错误.
当 时， ， .当 时， ，则 ，即 .
所以函数 在 上单调递增，故 选项正确.
当 时， .
，令 ，即 ，解得 .
当 时， ， ， 单调递减；
当 时， ， ， 单调递增.
所以 在 处取得最小值， ，故C选项正
确.
当 时， ， ，不满足 ；
当 时， ，则 ， 在 上单调递增.
当 时， ， ，不满足 .
当 时，令 ，得 .
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
所以 在 处取得最小值 .
令 ，对其求导得 .当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减.
所以 在 处取得最大值 .
要使 ，则 ，所以 ，故 选项正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数 ，则 ______．
【答案】 ##
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
解得 ．
故答案为：
13. 已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围为______．
【答案】
【详解】因 函为数 在区间 上单调递增，
所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立，因为函数 ， ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 ，即实数 取的值范围为 ．
故答案为： .
14. 已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），则以AB，AC为边的平行四边形
的面积是____．
【答案】
【详解】试题分析:求出向量的坐标，进而可得模长及向量的夹角，由此可计算以 AB，AC为边的平行四
边形的面积．
解：∵A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），
∴ =（﹣2，﹣1，3）， =（1，﹣3，2），| |= ，| |=
∴cos∠BAC= = ，
∴∠BAC=60°
∴S= × sin60°=
故答案为
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）如图，已知 分别为四面体 的棱 的中点，用空间向量法证明
四点共面．
（2）在平行六面体 中，底面 是边长为 的正方形，侧棱长为 ，．求异面直线 与 所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】（1）证明：以 为空间的一组基．
分别为棱 的中点，
，
， ．
， ．
平面 ， 平面 ， ， 四点共面．
（2）解：以 为空间的一组基，
， ．
， ， ， ，
， ．
，．
，
．
设异面直线 与 所成角为 ，则 ．
16. 已知 ，曲线 在点 处的切线方程为 .
（1）求实数 的值；
（2）若 ，求曲线 过点 的切线方程.
【答案】（1）
（2） 或
【小问1详解】
解：由函数 ，其中 ，可得 ，
因为曲线 在点 处的切线方程为 ，
可得 ，且 ，即 ，解得 .
【小问2详解】
解：由（1）知， ，可得 ，
设切点为 ，则切线的斜率 ，故切线方程为 ，
因为切线过点 ，所以 ，整理得 ，
解得 或 ，所以切点为 或 ，
此时，曲线 过点 的切线方程为 或 .
17. 如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 ， ， 、
分别为 、 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）求平面 和平面 的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2） .
【小问1详解】
因为四棱锥 的底面 为正方形， 平面 ，所以 、 、 两两相互垂直.
以点 为坐标原点，分别以直线 、 、 为 、 、 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ， .
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 .
又因为 、 平面 ， ，所以 平面 .
【小问2详解】
易知平面 的一个法向量为 .
设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，得 ， ，
所以 为平面 的一个法向量，
因为 ，
所以平面 和平面 的夹角的余弦值为 .
18. 已知函数（1）当 时，求 的极值；
（2）若 ，求 在区间 的最小值．
【答案】（1）极大值 ，极小值 ；
（2） 时，最小值为 ； 时，最小值为 .
【小问1详解】
当 时， 的定义域为 ，且 ，
所以，当 或 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.
所以， 在 处取得极大值 ，在 处取得极小值 .
【小问2详解】
由题意， ，
令 ，解得 或 .
因为 ，所以当 或 时， ；当 时， ， 单调递减.
所以，当 即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 在区间 的最小值为 .
当 即 时， 在 上单调递减，则 在区间 的最小值为 .
综上所述， 时， 在区间 的最小值为 ；
时，则 在区间 的最小值为 .19. 已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）已知 在 上的最小值为2，求 的值；
（3）若 ，且 ，求 的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）2 （3）
【小问1详解】
因为 ， ，所以 ．
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递减．
当 时，解 ，得 ，
当 时， ，所以 在 上单调递减；
当 时， ，所以 在 上单调递增．
综上，当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增．
【小问2详解】
由（1）可知，
当 时， 在 上单调递减，所以 在 上的最小值为 ．
由题意，得 ，解得 ，则 ．当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 上的最小值为 ．
由题意，得 ，解得 ，则 ．
当 时， 在 上单调递增，所以 在 上的最小值为 ．
由题意，得 ，解得 ，则 ．
综上， 的值为2．
【小问3详解】
由已知，得 ．
设 ， ，
则 ．
因为 ，所以 ，所以 的零点即函数 在 上的零点．
因为 在 上恒成立，所以函数 在 上单调递增．
因为 ， ，所以存在 ，使得 ，
即 ，则 ，所以 ．
当 时， ， ，所以 在 上单调递减，
当 时， ， ，所以 在 上单调递增．
所以 ．由 恒成立，得 ，
所以 ，即 的取值范围是 ．
