文档内容
厦门市 2024—2025 学年度第一学期高二年级质量检测
数学试题
满分：150分 考试时间：120分钟
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴
的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 直线l与直线 垂直，则l的斜率是（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出已知直线的斜率，利用两直线垂直的关系，即可求解.
【详解】直线l与直线 垂直，且 的斜率 ，
则直线l的斜率为 ．
故选：D.
2. 下列向量中与 共线的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据 （ ）可得 ，进行判断.
【详解】因为 ，所以C选项满足题意；其他选项不存在 ，使 写成该选项的形式，所以其他选项均不满足题意.
故选：C
3. 等比数列 的公比是2，前n项和为 ，若 ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等比数列的通项公式与前 项和的概念求解.
【详解】由题意： .
故选：B
4. 双曲线C的离心率为2，右焦点为 ，则C的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用已知可求得 ，进而可求得 ，可求双曲线C的标准方程.
【详解】因为双曲线C的右焦点为 ，所以 ，
又双曲线C的离心率为2，所以 ，解得 ，所以 ，
所以双曲线C的标准方程为 .
故选：A.
5. 圆 与圆 的位置关系为（ ）
A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离
【答案】B
【解析】【分析】根据圆心距与半径的关系判断两圆的位置关系.
【详解】因为圆 的圆心 ： ，半径 ；
圆 ，即 的圆心 ： ，半径 .
又 ，由 ，所以两圆相交.
故选：B
6. 某工厂计划今年1月份生产某产品100件，以后每个月都比上个月多生产 件，为保证今年该产
品的总产量超过1800件，则k的最小值为（ ）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
【答案】A
【解析】
的
【分析】每月 产量构成以今年1月份的产量100件为首项， 为公差的等差数列，利用等差数列的
前 项和公式即可求解.
【详解】因为某工厂计划今年1月份生产某产品100件，以后每个月都比上个月多生产 件，
所以每月的产量构成以今年1月份的产量100件为首项， 为公差的等差数列，
由今年该产品的总产量超过1800件，所以 ，
解得 ，又 ，所以k的最小值为10.
故选：A.
7. 椭圆C上存在四个点与其两个焦点构成边长为1的正六边形，则C的长轴长为（ ）
A. B. C. 4 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正六边形的边角关系可求椭圆的长轴长.
【详解】如图：在正六边形 中，边长为1，所以 ，
在 中， ， ， ，所以 .
所以 ，即椭圆的长轴长为： .
故选：A
8. 平行六面体 中， ， ，则点B到
直线 的距离为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取定空间的基底 ，利用空间向量基本定理及向量数量积，结合点到直线距离公式
计算得解.
为
【详解】以 基底，则 ，
由 ， ，
得 ，
，
，在 上的投影向量长度为： ，
所以点B到直线 的距离为 ．
故选：D
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选
项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若数列 满足： ， ，则（ ）
A. 当 时， B. 当 时，
C. 当 时， D. 当 时，
【答案】ABD
【解析】
【分析】 时，可得 ， ，再由数列 是等比数列得到 ，判断AB两个选
项； 时，类推得到 ，再由 ，计算出 ，判断CD两个选项.
【详解】 时， ，所以 ， ，故A正确；
由 得 ，
所以数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，所以 ， ，故B正
确；
时， ，所以 ， ， ，以此类推，当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，从而 ，故C错误；
由 得 ，
所以 ，故D正确；
故选：ABD.
10. 如图，棱长为 2 的正方体 中，E，F 分别为 BD， 的中点，若点 G 满足
（ ， ），则（ ）
A. 平面
B. 当 时， 平面
C. 当 时， 平面
D. 当 时，点G到平面 的距离为
【答案】AC
【解析】
【分析】利用共面向量定理可判断A；以点 为坐标原点， 所在直线为坐标轴建立空间直
角坐标系，求得平面 的一个法向量，利用向量法计算可判断BCD.
【详解】因为 ，所以 共面，又 均过点 ，
所以 共面，所以 平面 ，故A正确；
以点 为坐标原点， 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，
所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
所以平面 的一个法向量为 ，
当 时， ，所以 ，
所以 ，又 ，所以 不平行于平面 ，故B错误；
所以 ，所以 ，所以 平面 ，故C正确；
当 时， ，
所以点G到平面 的距离为 ，故D错误.
故选：AC.
11. 设O为坐标原点，直线 过抛物线C： 的焦点F，且与C交于A，B两点，
分别过A，B作C的准线的垂线，垂足为 ， ，则（ ）
A. B. 的面积等于 的面积
C. 当 时， D. 的最小值为4【答案】ABD
【解析】
【分析】方法一：根据焦点坐标可确定 的值，判断A的真假；把直线方程与抛物线方程联立，根据韦达
定理表示出 与 的关系，可判断BCD的真假.
方法二：设直线AB倾斜角为 ，用 表示 与 的面积，判断B的真假；根据条件确定
的位置关系，判断C的真假；用 表示 ，可判断D的真假.
【详解】如图：
解法一：设 ， ，不妨设 ，
由 ，得 ，所以 .
对于A，因为 ，所以 ，所以A正确.
对于B， ， ，所以B正确．
对于C，因为 ，所以 ，又 ，所以 ， ，
此时， ， ， ，所以C错误．
对于D， ，当且仅当 时，等号成立．所以D正确．
故选：ABD
解法二：设直线AB倾斜角为 ，
对于A，因为 ，所以 ，所以A正确.
对于B， ，O到直线AB的距离 ，
所以 ，所以B正确．
对于C，若 ，则 ，所以 ，
此时A，B关于x轴对称，与 矛盾，所以C错误．
对于D， ，当 时，等号成立．所以D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 轴被圆 截得的弦长为______．
【答案】2
【解析】
【分析】求圆与 轴的交点，可得弦长.
【详解】已知圆： ，令 得： 或 .
所以圆与 轴的交点坐标为： ， .
所以弦长为： .
故答案为：2
13. 过双曲线C： 的右焦点F作C的一条渐近线的垂线，垂足为H．O为坐标原点，则
______．【答案】2
【解析】
【分析】首先根据渐近线斜率得出 ，从而得到 ，结合 ，解直角三角
形即可得到结果.
【详解】如图所示，
， ，
， .
故答案为：2.
14. 数列 满足 ，则 ______；记 为| 的前n项和，若关于n的方程
有解，则正整数 的所有取值为______．
【答案】 ①. ②. 7和9
【解析】
【分析】根据数列的通项与前 项和的关系求数列的通项公式；根据等差数列的求和公式，可以把问题转
化成 为整数的讨论.
【详解】解法一：由 ，得 ．①
当 时， ，所以 ．当 时，有 ．②
①－②得 ，即 ．
因为 符合 ，所以 ， ．
因为 ，所以
显然 为10的约数，
时， ； 时， ； 时， .
综上，正整数 的所有取值为7和9．
解法二：由 ．①
当 时，有 ，②，所以 ．③
①－③得 ，即 ．又 ，故 ．下同解法一．
故答案为： ；7和9
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知圆C的一条直径的端点分别为 ， ．
（1）求圆C的标准方程；
（2）直线l： 与圆C相切于点A，交y轴于点B，求 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）方法1：根据直径确定圆心和半径，可得圆的标准方程；
方法2：设圆C上任一点 ，根据 可得圆的一般方程，再配方化成圆的标准方程.（2）方法1：根据点到直线的距离公式，利用几何法确定切线方程，再结合 为直角三角形求 ；
方法2：求出切线方程，再确定 的坐标，利用两点间的距离公式求 .
【小问1详解】
方法1：因为圆C以线段PQ为直径，所以圆心 ．
半径 ，
所以圆C的标准方程为 ．
方法2：设圆C上任一点 ，因为圆C以线段PQ为直径，所以 ．
又因为 ， ，所以 ，
即 ，所以圆C的标准方程为 ．
【小问2详解】
方法1：因为直线l： 与圆C相切，所以 ，所以 ，
所以 或 ，即 或 ，因为 ，所以 ，
所以直线l的方程为 ．所以 ，
又因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ．
方法2：因为直线l： 与圆C相切，所以 ，所以 ，所以 或 ，即 或 ．
因为 ，所以 ，所以直线l的方程为 ．所以 ．
由， ，解得 ，
所以 ，所以 ．
16. 已知等差数列 的前n项和为 ， ， ．
（1）求 和 ；
（2）令 ，证明： ．
【答案】（1） ，
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式求解即可，
（2）利用裂项相消法结合不等式求解即可.
【小问1详解】
因为 是等差数列，所以 ．
又 ，所以 ，即 ．
又因为 ，所以 ，所以公差 ，所以 ．
．
【小问2详解】
由（1）知 ，所以 ．
所以 ．
又因为 ，所以 ，即 ，所以 ．
17. 已知点 ，点M与N关于原点对称，直线AM，AN 的斜率之积是 ，记动点M的轨迹为
．
的
（1）求 方程；
（2）若直线l与 交于P，Q两点，且 ．
（ⅰ）当l与y轴垂直时，求 的面积；
（ⅱ）证明：l过定点．
【答案】（1）
（2）（ⅰ） ；（ⅱ）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意列出斜率的等式化简为椭圆的一般方程，
（2）（ⅰ）先求出直线AP方程，再联立直线和椭圆的方程解出点 坐标,求出弦长结合三角形面积公式
求解即可，（ⅱ）结合对称性，若直线l过定点，则定点必在y轴上，猜测出定点的坐标为 ，然后
证明即可.
【小问1详解】
（1）设 ， ，
则直线AM，AN的斜率分别为 ， ，且 ，依题意有 ，
所以 ，所以 的方程为 ．
【小问2详解】
（2）（ⅰ）因为l与y轴垂直，所以P，Q关于y轴对称，因为 ，所以 ，
又 ，不妨设P在Q的左侧，则直线AP的倾斜角为 ，所以直线AP方程为 ，
联立 的方程 ，消去y化简得， ，解得 （ 舍去），
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 的面积为 ．
（ⅱ）设 ， ，由题意，l斜率存在，
设l： ，联立 的方程 ，
消去y化简得， ，
，
， ，
由题意得 ，所以所以 ，即 ，解得 或 ，
时，l： 点A，不符合题意，
所以 ，此时 ，所以l过定点 ．
18. 如图，在四棱锥 中， 平面PAD， ．
（1）证明： 平面ABCD；
（2）若底面ABCD是正方形， ．E为PB中点，点F在棱PD上，且平面AEF与平面ABCD
的夹角的余弦值为 ．
（ⅰ）求PF；
（ⅱ）平面AEF交PC于点G，点M在平面PBC上，求EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）（ⅰ） ；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，再由线面垂直的判定定理证明线面垂直；
（2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，写出点和向量的坐标，由点 是 上的一点得到 进而得到
平面 的法向量的坐标，再由（1）中 平面ABCD得到 是平面ABCD的一个法向量，利用两
平面夹角的余弦值求得 的值，进而得到 ；（ⅱ）利用平面 的法向量 ，确定点 的坐标，从而得到 的坐标，由点M在平面PBC上，
可设 ，从而得到平面MAD的法向量，从而可以用 表示出EG与平面MAD所成角的正
弦值的取值范围，利用二次函数的值域得到正弦值的取值范围.
【小问1详解】
因为 平面PAD， 平面PAD，所以 ．
又 ， 平面ABCD， 平面ABCD， ，
所以 平面ABCD．
【小问2详解】
以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，如图．
（ⅰ） ， ， ，
， ， ，设 ，
则 ．
设平面AEF的法向量为 ，则 即 ，
取 ，得 ， ，
所以 是平面AEF的一个法向量，
因为 平面ABCD，所以 是平面ABCD的一个法向量．因为平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为 ，
所以 ，得 ，所以 ．
（ⅱ）设 ，则 ．
因为 为平面AEGF的一个法向量，所以 ，
所以 ，即 ，得 ，
所以 ， ．
， ， ， ， ， ，
因为M在平面PBC上，所以 ，
所以 ．
设平面MAD的法向量 ，则 即 ，
取 得 ， 所以 是平面MAD的一个法向量，
设EG与平面MAD所成角为 ，则
因为 ，所以
即EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围为 ．19. 已知数列 满足 ， ， ．构造一系列点如下： ， ，
，…， ．
（1）求 的面积；
（2）证明：点 在曲线 上；
（3） 的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）是，2
【解析】
【分析】（1）根据定义得到点 、 的坐标，进而得到直线 的方程， 到 的距离， ，
由三角形的面积公式求得 的面积；
（2）设 ，则 ，依据递推关系 得到 ，从而得到数列
是以 为首项， 为公比的等比数列，则 ，即 ，所以点
在 上；
（3） 时，计算得 ， 时，直线 的方程为 ，点到直线 的距离 ，由三角形的面积公式及递推
关系 得 ，从而 的面积为定值 .
【小问1详解】
由题意， ， ， ，直线 的方程为 ．
到 的距离 ，又 ，
所以 的面积 ．
【小问2详解】
设 ，当 时， ．
当 时，因为 ，
所以 ，
又因为 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，即 ，
所以 在曲线 上.
【小问3详解】
由题意知 ， ， ，
当 时， ， ， ， 的面积 ．
当 时，直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为： ．
点 到直线 的距离：
又因为 ，
所以
．
综上所述， 的面积为定值2．
【点睛】思路点睛：新定义与数列、直线问题相结合
在（1）中由递推关系得到点 、 的坐标，利用两点间的距离公式、直线的点斜式方程、点到直线的距
离、三角形的面积公式得到 的面积，这种思路同样可以用于（3），当 时，得 ，
当 时，分别表示出直线 的方程、点 到直线 的距离、 ，再利用
三角形的面积公式，结合递推关系就可以得到 ，考查了推理论证、运算求解的能力，化归与转化、数形结合、特殊与一般的数学思想.
