文档内容
衡阳县一中 2025 届高三上学期第一次模拟考试卷
数 学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目
的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知集合 ，则 （ ）
A=¿ (∁ B)∩A=
R
A．[1,2) B．(1,2)
C．(2,3) D．[2,3]
2(1−i)
2．已知z= ,z是z的共轭复数，则z=（ ）
1+i
A．0 B．2i C．2 D．−2
3．“ ”是“直线 与圆 相切”的 （ ）
a=3 y=x+4 (x−a) 2+(y−3) 2=8
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2
4．如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，⃗AD= ⃗AC，且点P在以AD的
3
中点 为圆心， 为半径的半圆上，若 ，则下列说法错误的是
O OA ⃗BP=x⃗BA+ y⃗BC
（ ）1 2 → → 13
A．⃗BD= ⃗BA+ ⃗BC B．BD⋅BO=
3 3 2
√3
C．⃗BP⋅⃗BC存在最大值为9 D．x+ y的最大值为1+
9
x2 y2
5．已知点P为椭圆C: + =1上任意一点，直线l过⊙M:x2+ y2−4x+3=0的
16 12
圆心且与⊙M交于A,B两点，则⃗PA⋅⃗PB的取值范围是（ ）
A．[3,35] B．[2,34] C．[2,36] D．[4,36]
6．有一袋子中装有大小、质地相同的白球k个，黑球 .甲、乙
2024−k(k∈N*)
两人约定一种游戏规则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球
者本局获胜但从第二局起，上一局的负者先摸球.若第一局中甲先摸球，记第n
局甲获胜的概率为p ，则关于以下两个命题判断正确的是（ ）
n
2024
①p = ，且p =(1−2p )p +p ；
1 4048−k n+1 1 n 1
②若第七局甲获胜的概率不小于0.9，则k不小于1992.
A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题
7．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.如图所
示，某同学利用两个完全一样的半圆柱，得到了一个三棱锥A−BCD，该三棱
锥为鳖臑， ， 为半圆柱的圆心，半径为2， ， ，动点
O O BD=4 ∠AO C=60∘ Q
1 2 2
在△ACD内运动（含边界），且满足BQ=√10，则点Q的轨迹长度为（ ）A．√2π B．√3π C．2√2π D．2√3π
1 a
8．已知函数f(x)=e2x+a− ln(x+5)+ −5有零点，那么实数a的最大值为
2 2
（ ）
1
A． B．1 C．1+ln2 D．9−ln2
2
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9．抛物线C：y2=4x的准线为l，过焦点F的直线与C交于A，B两点，分别过
A，B作l的垂线，垂足分别为A'，B'，记△A A'F，△A'B'F，△BB'F的面积分
别为S ，S ，S ，则（ ）
1 2 3
A．△A'B'F为锐角三角形 B．S 的最小值为4
2
1 1
C．S ， S ，S 成等差数列 D．S ， S ，S 成等比数列
1 2 2 3 1 2 2 3
10．如图，在三棱锥A−BCD中，AB、BD、BC两两垂直，E为AC上一点，
DE⊥AC，M、N分别在直线AB、DE上，AB=2BC=2BD=2，则：（ ）.
A．AC⊥BE
3
B．DE=
5
C．若平面α//AD且A、B、C、D到α距离相等，则直线DE与α的夹角正弦值8
为
15
4√41
D．MN的最小值为
41
11．在平面直角坐标系xOy中有一点A，A到定点(1,1)与y轴距离之积为一常数a，
A点构成的集合为曲线C，已知C在x>0或x<0分别为连续不断的曲线，则下列
说法正确的是：（ ）.
A．曲线C关于直线y=−1对称
B．若a=2，则x>0时A到y轴距离的最大值为2
1
C．若x>0，C如图，则a=
4
D．若C与x轴正半轴交于(1,0)，则与x轴负半轴的交点横坐标在区间(−1,0)内
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
31
12．已知函数f (x)= x−1+log (√9+x2+x).若不等式
4 3
f (f (−4x+m⋅2x))+f (−32)<0
对任意
x∈R
恒成立，则
m
的取值范围是 .
13．已知数列 的前 项和为 ，满足 ，函数 定义
{a } n S 2S =3a −1(n∈N,n≥1) f (x)
n n n n
域为 ，对任意 都有 1+f (x)，若 ，则 的值为
R x∈R f (x+1)= f (2)=1−√2 f(a )
1−f (x) 2025
.14．已知 ， 分别为双曲线x2 y2 （ ， ）的左、右焦点，过 的
F F − =1 a>0 b>0 F
1 2 a2 b2 2
直线l与双曲线的右支交于A、B两点（其中A在第一象限），△AF F 的内切圆
1 2
半径为r ，△BF F 的内切圆半径为r ，若r =2r ，则直线l的斜率为 .
1 1 2 2 1 2
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15．（13分）已知数列 ，其前 项和为 ，对任意正整数 恒成
{a } n S n,S =2a −μ
n n n n
立，且a +a =12.
1 2
(1)证明：数列 为等比数列，并求实数 的值；
{a } μ
n
1 n+2
(2)若b = ，数列(b )前n项和为T ，求证：T >ln ；
n log a n n n 2
2 n
(3)当
n≥1
时，设集合
B ={a +a ∣3⋅2n+1b>0) F F
a2 b2 1 2
点为P，长轴长为4√2，直线PF 的倾斜角为135°
2
(1)求直线PF 的方程及椭圆C的方程.
2
(2)若椭圆C上的两动点A，B均在x轴上方，且AF //BF ，求证：
1 2
1 1 的值为定值.
+
|AF | |BF |
1 2
(3)在（2）的条件下求四边形的ABF F 的面积S的取值范围.
2 1
19．（17分）解答下列问题：
ex
(1)求函数f (x)= (x>0)的极小值；
x2
(2)若 ，函数 为 上严格增函数，求实数 的取值范围；
t∈R ℎ(x)=xex−tx R t
(3)已知 (3 ) ex ， ，且 只有一个极大值点，求实
g(x)=a +lnx − x∈(0,+∞) y=g(x)
x x3
数a的取值范围.
数学答案1．【答案】D
2．【答案】B
3．【答案】A
4．【答案】D
5．【答案】A
6．【答案】A
7．【答案】A
8．【答案】D
9．【答案】ABD
10．【答案】AD
11．【答案】BCD
12．【答案】(−∞,4)
13．【答案】−1−√2
14．【答案】√2
15．【解】（1）由题意得¿，
两式相减可得a =2a −2a ,∴a =2a ，
n n n−1 n n−1
令n=1可得S =2a −μ，即a =μ.
1 1 1
令n=2可得S =2a −μ，即a +a =2a −μ，所以a =2μ
2 2 1 2 2 2
又∵a +a =12,∴μ=4.
1 2
数列 为首项为4，公比为2的等比数列.
∴ {a }
n
1 1
（2）由（1）可知a =4×2n−1=2n+1，所以b = = .
n n log a n+1
2 n
n 1 n+2 3 4 n+2 n i+2，
∵T =∑ ,ln =ln +ln +…+ln =∑ln
n i+1 2 2 3 n+1 i+1
i=1 i=1
n+2
∴要证T >ln 成立，
n 2
只需证 1 n+2，即 1 ( 1 )
>ln >ln +1
n+1 n+1 n+1 n+1
1 x
令f (x)=x−ln(x+1),f'(x)=1− = >0,x∈(0,+∞)，
x+1 x+1∴当x∈(0,+∞)时，f (x)单调递增,
故 ( 1 ) ，
f (x)=x−ln(x+1)>f (0)=0,∴f >0
n+1
1 ( 1 ) n+2；
∴ >ln +1 ,∴T >ln
n+1 n+1 n 2
（3）
n≥1
时，集合
B ={a +a ∣3⋅2n+1n+2，则2i+2j≥2i+2n+3>3⋅2n+1，矛盾
∴j=n+2，
又 ，
∵(21+2n+2)−3⋅2n=2+4⋅2n−3⋅2n=2+2n>0
∴3⋅2n<21+2n+2<22+2n+2<⋯<2n+2n+2<2n+1+2n+2=3⋅2n+，
即 ，共 个不同解 ，所以 .
i=1,2,3,⋯,n n (i, j) c =n(n≥1)
n
16．【解】（1）因为点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O，
所以PO⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，所以PO⊥AC，
因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，
因为PO∩BD=O,PO,BD⊂平面PBD，所以AC⊥平面PBD，
又PD⊂平面PBD，所以AC⊥PD．
（2）过P作PH⊥BC于H，连接OH，因为OP⊥平面ABCD，
因为BC⊂平面ABCD，所以PO⊥BC，
又PO∩PH=P，PO,PH⊂平面POH，所以BC⊥平面POH，
又OH⊂平面POH，所以BC⊥OH，所以∠PHO为二面角P−BC−A的平面角，由题意知，△PBD是边长为2的等边
三角形，
1 1 OC⋅OB √3×1 √3
所以PO=√3，由S = OC⋅OB= OH⋅BC，知OH= = = ，
△OBC 2 2 BC 2 2
PO
在Rt△POH中，tan∠PHO= =2，即∠PHO=arctan2，
OH
所以二面角P−BC−A的大小为arctan2．
（3）因为AD//BC，且AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC，所以AD//平面PBC，
所以E到平面PBC的距离即为D到平面PBC的距离ℎ，因为V
D−PBC
=V
P−BCD
，
1 1
所以 ℎ⋅S = OP⋅S ，即 ℎ⋅PH⋅BC=OP⋅BC⋅BDsin60°，
3 △PBC 3 △BCD
√3
√3×2×
OP⋅BDsin60° 2 2√15
所以ℎ = = = ，即E到平面PBC的距离为
√OP2+OH2 √ 3 5
3+
4
2√15
= ，
ℎ
5
ℎ 2√15
设直线PE与平面PBC所成的角为θ，则sinθ= = ，
PE 5PE
√15
要使θ最大，则需使PE最小，此时PE⊥AD，由对称性知，PE=PH= ，
2
√ 15 1 1 2√15 4 4
所以DE=√PD2−PE2= 4− = = AD,sinθ= = ，即sinθ= 时
4 2 4 5PE 5 5
1
故当点E在线段AD上靠近D点的 处时，
4
4
直线PE与平面PBC所成的角最大，最大角正弦值为 ．
5
17．【解】（1）该厂商生产口罩质量指标值的平均数为
(105×0.005+115×0.040+125×0.030+135×0.020+145×0.005)×10=123；
(0.005+0.040)×10=0.45<0.6,(0.005+0.040+0.03)×10=0.75>0.6，
故第60百分位数落在[120,130)内，设其为x，
则(0.005+0.040)×10+(x−120)×0.030=0.6，
解得x=125，故第60百分位数为125；0.02+0.005 1
（2）一级口罩与二级口罩的个数比为 = ，
0.005+0.04+0.03 3
现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，
1 3
则一级口罩有8× =2个，二级口罩有8× =6个，
1+3 1+3
再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为η，η的可能取值为0,1,2，
P(η=0)= C 6 3 = 5 ， P(η=1)= C1 2 C 6 2 = 15， P(η=2)= C 2 2C1 6 = 3 ，
C3 14 C3 28 C3 28
8 8 8
故η的分布列如下：
η 0 1 2
5 15 3
P
14 28 28
5 15 3 3
数学期望为Eη=0× +1× +2× = ，
14 28 28 4
方差为 ( 3) 2 5 ( 3) 2 15 ( 3) 2 3 45
Dη= 0− × + 1− × + 2− × =
4 14 4 28 4 28 112
（3）X的可能取值为0,n,2n，
π π π
( 2cos ) 2cos 2πcos ，
π n π n n
P(X=0)=(1− ) 1− =1− − +
n2 n n2 n n3
π π π π
( 2cos ) 2cos 4πcos 2cos ，
π n n π π n n
P(X=n)= 1− + (1− )= − +
n2 n n n2 n2 n3 n
π π
2cos 2πcos
π n n ，
P(X=2n)= ⋅ =
n2 n n3
π π π
故
( 4πcos 2cos ) 2πcos
，
π n n n π π
E(X)=0+n − + +2n⋅ = +2cos
n2 n3 n n3 n n
令 1 ( 1]，设 ，则 ，
t= ∈ 0, f (t)=2cosπt+πt E(X)=f (t)
n 2因为
f'(t)=π−2πsinπt=2π
(1
−sinπt
)，
2
当 ( 1)时， ，当 (1 1]时， ，
t∈ 0, f'(t)>0 t∈ , f'(t)<0
6 6 2
在 ( 1)上单调递增，在 (1 1]上单调递减，
f (t) t∈ 0, t∈ ,
6 6 2
1
当t= ，即n=6时，E(X)=f (t)取最大值.
6
18．【解】（1）由长轴长为4√2，可得2a=4√2，a=2√2.
因为点P上顶点，直线PF 的倾斜角为135°，
2
所以 中， ，则 ，
Rt△OPF ∠OF P=45∘ |OP|=|OF |=b=c
2 2 2
又b2+c2=a2=8，则b=c=2.
因为 ， ，
k =tan135∘=−1 P(0,2)
PF
2
所以直线PF 的方程为y=−x+2.
2
x2 y2
椭圆C的方程为 + =1.
8 4
（2）设A(x ,y )，B(x ,y )，F (−2,0)，F (2,0)
1 1 2 2 1 2
则 关于原点的对称点 ，即 ，
B B' (x ,y ) ¿
3 3
由 ， y y −y
AF //BF 1 = 2 = 2
1 2 x +2 x −2 −x +2
1 2 2
三点共线，又 ， .
∴A,F ,B' △BOF ≌△B'OF |BF |=|B'F |
1 2 1 2 1
1 1 1 1 |AB'|
+ = + =
|AF | |BF | |AF | |B'F | |AF ||B'F |
1 2 1 1 1 1
设AB':x=my−2代入椭圆方程得
4m 4
(m2+2)y2−4my−4=0，Δ=32(m2+1)，y + y = ，y y =− .
1 3 m2+2 1 3 m2+24√2√m2+1 4√2(m2+1)，
|AB'|=√1+m2|y −y |=√1+m2 =
1 3 m2+2 m2+2
4
|AF ||B'F |=√m2+1|y |√m2+1|y | =(m2+1) ，
1 1 1 3 m2+2
4√2(m2+1)
1 1 |AB'| m2+2 .
+ = = =√2
|AF | |BF | |AF ||B'F | 4(m2+1)
1 2 1 1
m2+2
（3）四边形 为梯形， 4
ABF F ℎ =d =
2 1 F 2 −AB' √m2+1
4√2(m2+1)
|AF |+|BF |=|AF |+|B'F |=|AB'|=
1 2 1 1 m2+2
1 8√2√m2+1
S= (|AF |+|BF |)ℎ =
2 1 2 m2+2
令 ，则
t=√m2+1 t2+1=m2+2,(t≥1)
t 1
00) f'(x)=
x2 x3
所以当 时， ， 单调递减；
x∈(0,2) f'(x)<0 f (x)当 时， ， 单调递增，
x∈(2,+∞) f'(x)>0 f (x)
e2
所以当x=2时，函数取得极小值为f(2)= ，
4
e2
所以函数的极小值为 ；
4
（2）因为函数 为 上严格增函数，
ℎ(x)=xex−tx R
所以 在R上恒成立，
ℎ
'(x)=(x+1)ex−t≥0
即 在R上恒成立，
t≤(x+1)ex
设 ，
φ(x)=(x+1)ex,x∈R
则 ，
φ' (x)=(x+2)ex
当 时， ， 单调递减；
x∈(−∞,−2) φ'(x)<0 φ(x)
当 时， ， 单调递增；
x∈(−2,+∞) φ'(x)>0 φ(x)
1
所以φ(x) =φ(−2)=− ，
min e2
1
所以t≤− ，
e2
1
所以实数t的取值范围为(−∞,− ]；
e2
（3）因为 (3 ) ex ， ，
g(x)=a +lnx − x∈(0,+∞)
x x3
所以 g'(x)=a( 1 − 3 )− (x-3)ex = x−3 · ( a− ex )， x∈(0,+∞) ，
x x2 x4 x2 x2
ex ex
因为函数y=f (x)只有一个极大值，故a− ≤0恒成立或方程a− =0有两个不
x2 x2
同的根.
ex ex
若a− ≤0恒成立，即a≤ 在x∈(0,+∞)上恒成立，
x2 x2则当 时， 单调递增；
x∈(0,3) g'(x)>0, g(x)
当 时， 单调递减；
x∈(3,+∞) g'(x)<0, g(x)
此时函数只有一个极大值点，满足题意，所以此时 ex ，
a≤( )
x2
min
由（1）可知 ex e2，所以 e2；
( ) = a≤
x2 4 4
min
令 ex ，则 ex(x−2)，
t(x)= t'(x)=
x2 x3
故当 时， 单调递减；当 时， 单调
x∈(0,2) t'(x)<0, g(x) x∈(2,+∞) t'(x)>0, g(x)
递增；
e2
且t(2)= 时，x→0+时t(x)→+∞；x→+∞时t(x)→+∞，如图，
4
ex ex
若方程a− =0即a= 有两个不同的根x ,x ，则x <20, g(x) x∈(x ,2) g'(x)<0, g(x)
1 1
单调递减，
所以y=g(x)在x=x 处取得极大值，
1
ex
因为y=g(x)只有一个极大值点，所以只能x =3,x ∈(0,2)，即x=3是a= 的一
2 1 x2
e3
个根，此时a= ，
9e3 x−3 e3 ex
当a= 时，g'(x)= ⋅( − )，
9 x2 9 x2
令 ，解得 ；令 ，解得 或 ，
g'(x)≤0 x ≤x≤3 g'(x)>0 03
1 1
所令g(x)在(0,x )和(3,+∞)上单调递增，在(x ,+∞)上单调递减，满足题意；
1 1
e2 e3
综上，a∈(−∞, ]∪{ }.
4 9
