文档内容
2025～2026 学年高二上学期 10 月考试
数 学 试 题
试卷满分150分 考试时间120分钟
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上。
2.作答时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡
上的非答题区域均无效。
3.考试结束后，本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．若双曲线 的实轴长是虚轴长的一半，则 的离心率为（ ）
A． B．4 C． D．2
2．若随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．若数列 满足 ，则称 为“对奇数列”．已知 为“对奇数列”，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知函数 在区间 上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A． B．e C． D．
5．已知在 的二项展开式中，第6项为常数项，若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
6．若曲线 有三条过点 的切线，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．抛掷一枚质地均匀的硬币，一直到出现正面向上时或抛满100次时结束，设抛掷的次数为 ，
则随机变量 的数学期望 （ ）
A．大于2 B．小于2 C．等于2 D．与2的大小无法确定
8．已知函数 ，方程 （ ）有两个不等实根，则下列选项
正确的是（ ）
A．2是 的极大值点 B．函数 无零点
C．a的取值范围是 D． ， ，使
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知随机事件 ， 满足 ， ， ，则（ ）
A．事件 与事件 相互独立 B．
C． D．
10．甲箱中有 个红球和 个白球，乙箱中有 个红球和 个白球（两箱中的球除颜色外没有其
第2页，共4页他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件 和 表示从甲箱中取出的球是红球
和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件 表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（ ）
A． B．
C． D．
11．设函数 ，则（ ）
A．当 时， 有三个零点
B．当 时， 是 的极大值点
C．存在a，b，使得 为曲线 的对称轴
D．存在a，使得点 为曲线 的对称中心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12． 展开式中含 项的系数为 ．
13．在一个不透明的袋子中装有4个形状大小相同，颜色互不相同的小球．某人先后两次任意摸
取小球（每次至少摸取1个小球），假设每次摸到球的各种不同情况等可能，第一次摸取后记下
摸到的小球颜色，再将摸到的小球放回袋中；第二次摸取后，也记下摸到的小球颜色．则“两次
记下的小球颜色能凑齐4种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下”的概率为 ．
14．已知函数 ， ，若 ， ，则 的最大值为
．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．(13分)一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台．如果从中随机挑选2台．
(1)求这2台电脑中至多有1台B品牌电脑的概率；(2)求这2台电脑中A品牌台数X的分布列及均值和方差．
16．(15分)已知首项为1的等差数列 满足： 成等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足： ，求数列 的前 项和 .
17．(15分)如图，在四棱锥 中， ， ， ,点 在 上，且
， ．
(1)若 为线段 中点，求证： 平面 ．
(2)若 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦
值．
18．(17分)已知椭圆 的右焦点为 ，斜率不为0的直线 与 交于 两点.
(1)若 是线段 的中点，求直线 的方程；
(2)若直线 经过点 （点 在点 之间），直线 与直线 的斜率分别为 ，求
证： 为定值.
第4页，共4页19．(17分)某新型双轴承电动机需要装配两个轴承才能正常工作，且两个轴承互不影响．现计
划购置甲，乙两个品牌的轴承，两个品牌轴承的使用寿命及价格情况如下表：
品牌 价格（元/件） 使用寿命（月）
甲 或
乙 或
已知甲品牌使用 个月或 个月的概率均为 ，乙品牌使用 个月或 个月的概率均为 ．
（1）若从 件甲品牌和 件乙品牌共 件轴承中，任选 件装入电动机内，求电动机可工作时间
不少于 个月的概率；
（2）现有两种购置方案，方案一：购置 件甲品牌；方案二：购置 件甲品牌和 件乙品牌（甲、
乙两品牌轴承搭配使用）．试从性价比（即电动机正常工作时间与购置轴承的成本之比）的角度
考虑，选择哪一种方案更实惠？数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C C C B B D AD ABD
题号 11
答案 AD
12．－60
13．
14．
15．【解】（1）根据题意，这2台电脑全部是 品牌的概率为 ，
所以这2台电脑中至多有1台B品牌电脑的概率为 .
（2）依题意， 的可能取值为 ，
则 ， ， ，
则 的分布列为：
所以 ，
.
16． 【解】（1）设 公差为d，又 成等比数列，
所以 ，又 ，即 ，解得 或 ，
而 时，不满足 成等比数列，所以 ，
所以 .
（2）令 ，
所以 ，
两式相减有： ，
所以数列 的前 项和为 ，即 ，
又 ，所以 ，
所以 .
17．【解】（1）取 的中点为 ，接 ，则 ，
而 ，故 ，故四边形 为平行四边形，
故 ，而 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）
因为 ，故 ，故 ，
答案第2页，共5页故四边形 为平行四边形，故 ，所以 平面 ，
而 平面 ，故 ，而 ，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
则
设平面 的法向量为 ，
则由 可得 ，取 ，
设平面 的法向量为 ，
则由 可得 ，取 ，
故 ，
故平面 与平面 夹角的余弦值为
18．【解】（1）设 ，则有 ，
且 ，作差可得 ，
所以 ，由点斜式得， ，
整理得 即为直线 的方程.
（2）
不妨设 的直线方程为 ，
联立 ，消去 整理得 ，
由韦达定理得，
所以 ，
因为 ，
所以 为定值.
19．【解】（1）电动机工作时间不少于 个月共有三种情况：
①装入两件甲品牌，概率为 ；
②装入一件甲品牌，一件乙品牌，且乙品牌的使用寿命为 个月，概率为 ；
答案第4页，共5页③装入两件乙品牌，且两件的使用寿命均为 个月，概率为 .
电动机可工作时间不少于 个月的概率为 ；
（2）若采用方案一，设电动机可工作时间为 （单位：月），则 的可能取值为 、
， ，
所以， 的分布列为
，它与购置轴承的成本之比为 ．
若采用方案二，设两件乙品牌轴承的使用寿命之和为 （单位：月），则 的可能取值为 、 、
，
， ， .
设甲品牌轴承的使用寿命为 （单位：月），此时电动机可工作时间为 （单位：月），则
的可能取值为 、 、 ，
，
，
，
所以， 的分布列为：，它与购置轴承的成本之比为
，
， 从性价比的角度考虑，方案二更实惠．
答案第6页，共5页
