{#{QQABLYA5wwAQgtRACZ6bAUFEC0iQkIATJYouQUASKAZiyRFABAA=}#}{#{QQABLYA5wwAQgtRACZ6bAUFEC0iQkIATJYouQUASKAZiyRFABAA=}#}{#{QQABLYA5wwAQgtRACZ6bAUFEC0iQkIATJYouQUASKAZiyRFABAA=}#}{#{QQABLYA5wwAQgtRACZ6bAUFEC0iQkIATJYouQUASKAZiyRFABAA=}#}开封高中 27 届高二上学期 10 月质量检测
数学参考答案
1.【答案】
2.【答案】
解：对于 ，若 / / ，则 / / ，故A错误;对于 ，若 // ，则 ⊥ ，则 ⋅ =0，故B正确;
对于 ，若 ⊥ ，则 // ，故C错误;对于 ，若 / / ，则 // ，故D错误．故选B．
3.【答案】 解：充分性：当 =2时， = 4 ≠ −1，满足两线平行的条件．
1 2
必要性：当 // 时， = 4 ≠ −1，则 =±2，所以“ =2”是“ // ”的充分不必要条件．故选： ．
1 2 1 2
1 2
4.【答案】
解：(1)∵ = ， = ， = ，点 在 上，且 =2 ， 为 的中点，∴ = 2 = 2
3 3
= 1 ( + )= 1 + 1 ∴ = − =− 2 + 1 + 1 ，故选B
2 2 2 3 2 2
5.【答案】 解：如图，取 的中点 ，连接 ， ， ，
1 1 1
∵ ， 分别是 ， 的中点，∴ // ， = ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴∠ 就是 与 所成角(或其补角)，设 = = =2，由∠ =90°，
1 1 1 1
则 = 5， = 5， =2 2， = 6，在△ 中，根据余弦定理得cos∠ = 30，
1 1 1 1
10
故选： ．
6.【答案】
(方法一)如图，在 上任取一点 并作 ⊥平面 ，
则∠ 就是直线 与平面 所成的角，
过点 作 ⊥ ， ⊥ ，因为 ⊥平面 ， ⊂平面 ，
所以 ⊥ ，又 ⊥ ， ∩ = ， ， ⊂平面 ，
所以 ⊥平面 ，又 ⊂平面 ，则 ⊥ ，同理 ⊥ ，
由题可知△ ≌△ ，所以 = ，
所以△ ≌△ ，因为∠ =∠ =∠ =60∘，
所以点 在∠ 的平分线上，即∠ =30∘．设 =1，
因为∠ =30∘，所以 = 1 = 2 3，
cos30∘ 3
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{#{QQABLYA5wwAQgtRACZ6bAUFEC0iQkIATJYouQUASKAZiyRFABAA=}#}在直角△ 中，∠ =60∘， =1，则 =2．
在直角△ 中， = 2 3， =2．则cos∠ = = 3．
3 3
即直线 与平面 所成角的余弦值是 3．故选C．
3
(方法二)解：∵ 、 、 是三棱锥 − 的三条棱，
= = ，且 ， ， 夹角都是60°，
∴三棱锥 − 是正四面体，
设这个正四面体的棱长为2，作 ⊥平面 ，交 于点 ，
则 = ( 4−1)2−( 4−1 )2 = 2 6，
3 3
以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 − ，则 (0,0, 2 6 )， (−1, 3 ,0)，
3 3
(0,− 2 3 ,0)， (1, 3 ,0)， =(−1, 3 ,− 2 6 )， =(0,− 2 3 ,− 2 6 )， =(1, 3 ,− 2 6 )，
3 3 3 3 3 3 3 3
设平面 的法向量为 =( , , )，
⋅ =− 2 3 − 2 6 =0
则 3 3 ，取 =1，得 =( 6,− 2,1)，设直线 与平面 所成角为 ，
⋅ = + 3 − 2 6 =0
3 3
=|cos< , >|= | ⋅ | = 2 6 = 6．∴ = 1−( 6 )2 = 3．
| |⋅| | 2×3 3 3 3
∴直线 与平面 所成角的余弦值是 3．故选C．
3
7.【答案】 根据线段 与 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱 ，可设 与 所成的角
为 ，则 为平面 与平面 的夹角，由 = + + 及空间向量的数量积运算，可得cos ，从而得
到平面 与平面 的夹角．
8.【答案】
解：以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
1
设 = (0≤ ≤ 2)，
1
则 (2,0,0)， (2,2,0)， (0,2,0)， ( 2 , 2 ,2)， ( 2 +1, 2 +1,2)，
2 2 2 2
∴ =( 2 −2, 2 ,2)， =( 2 +1, 2 −1,2)，
2 2 2 2
⋅ =( 2 −2)( 2 +1)+ 2 ( 2 −1)+4= 2− 2 +2= −
2 2 2 2
2
2 + 3 >0，∴当 , 运动时，不存在点 , 使得 ⊥ ，故A正确；
2 2
∴ =( 2 −1, 2 −1,2)， =(0,2,0)， =( 2 −2, 2 ,2)，
2 2 2 2
显然 和 无法共线，
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{#{QQABLYA5wwAQgtRACZ6bAUFEC0iQkIATJYouQUASKAZiyRFABAA=}#}∴当 , 运动时，不存在点 , 使得 / / ，故B正确；
设平面 的法向量为 =( , , )，
1 1 1
⋅ =2 =0
由 1 ，可取 =(1,0,1− 2 )，
⋅ =( 2 −2) + 2 +2 =0 4
1 1 1
2 2
2
⋅ 1− 1
>= = 4 =
平面 的一个法向量为 =(0,0,1)，则cos< ， | |⋅| | 1+(1− 2 )2 1+ 1 ，
4 (1− 4 2 )2
1 1
由0≤ ≤ 2，可得则 ≤cos< ， >≤ ，可得 =0时，即 ， 重合时，二倍角 − − 的平
5 2 1
面角取得最小值45°，故C错误；∵二面角 − − 的平面角即为二面角 − − 的平面角，
1 1
即二面角 − − 为定值，故D正确．故选： ．
9.【答案】 解：对于 ， = = 2−0 =2，A错误．对于 ，因为− 1 =−1，所以 ⊥ ，B正确．
0+1 2
对于 ，因为 = 0+1 =− 1， =−1，所以 ⊥ ，C正确．对于 ，因为 = 3+1 =2= ，
−1−1 2 3−1
= 1， =− 1， ≠ ，所以四边形 不是平行四边形，D错误．
3 2
10.【答案】 【解析】由题意知，向量 ， ， 不共面，所以 A错误；若向量 ， ， 共
面，则有 = + = ( − )+ ( − )，即(− −1) +( − ) + = 0 ，因为向
− −1=0,
量 ， ， 不共面，所以 − =0, 无解，故向量 ， ， 不共面，{ , , }能够构成空间
=0,
的一个基底，故 B正确；若 与 共面，则有 = + ，又 = + + ，所以( −1) −
+( −1) = 0 ，与题意矛盾，故 C正确；若 = − + ，则 − =− + ，即 = ，
所以 ， ， ， 四点共面，故D正确．故选BCD．
11.【答案】 解：直四棱柱 − 的所有棱长都为4，则底面 为菱形，
1 1 1 1
又∠ = ，则△ 和△ 都是等边三角形，设 与 相交于点 ，所以 ⊥ ，
3
以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴，过 垂直于底面的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则有 (2 3,0,0)， (0,2,0)， (−2 3,0,0)， (0,−2,0)，
(2 3,0,4)， (0,2,4)， (−2 3,0,4)， (0,−2,4)，
1 1 1 1
点 在四边形 及其内部运动，
1 1
设 (0, , )，−2≤ ≤2，0≤ ≤ 4，
由| |+| |= 8，
有 (2 3)2+ 2+ 2+ (−2 3)2+ 2+ 2 =8，
即 2+ 2 =4(−2≤ ≤ 2,0≤ ≤2)，
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{#{QQABLYA5wwAQgtRACZ6bAUFEC0iQkIATJYouQUASKAZiyRFABAA=}#}所以点 的轨迹为 平面内，以 为圆心，2为半径的半圆弧，所以点 的轨迹的长度为2 ，故A错误；
平面 的一个法向量为 =(1,0,0)， =(−2 3, , )，直线 与平面 所成的角为 ，
1 1 1 1
则sin = | ⋅ | = 2 3 = 3，又由 ∈ [0, ]，则 = ，
| || | 12+ 2+ 2 2 2 3
所以直线 与平面 所成的角为定值，故B正确； =(−2 3,2,4)， =(−2 3,−2,4)，
1 1 1 1
设平面 的法向量为 =( , , )，
1 1
⋅ =−2 3 +2 +4 =0
则有 1 ，令 =2，得 =0, = 3，故平面 的一个法向量为 =
⋅ =−2 3 −2 +4 =0 1 1
1
(2,0, 3)，所以点 到平面 的距离
1 1
= | ⋅ | = |−2 3×2+ 3 | = |−4 3+ 3 | ，因为0≤ ≤ 2，所以 =2时， = |−4 3+2 3| = 2 21，
| | 7 7 7
22+( 3)2
所以点 到平面 的距离的最小值为2 21，故C正确；
1 1
7
=(2 3,− ,4− )， =(−2 3,− ,4− )，
1 1
⋅ =−12+ 2+( −4)2 = 2+ 2−8 +4=8−8 ，因为0≤ ≤2，
1 1
所以 ⋅ 的最小值为8−8×2=−8，故D错误．故选： ．
1 1
12.【答案】2 + −8=0 解：设入射光线 ，反射光线 ，
1 2
∵光线从点 (6,4)射出，与 轴相交于点 (4,0)，
4
∴根据两点式，入射光线 的方程： = ，整理，得2 − −8=0．
1
−4 6−4
∵入射光线的斜率 =2，∴反射光线的斜率 =−2，∵反射光线过点 (4,0)，
1 2
∴反射光线 的方程 =−2( −4)，即2 + −8=0．故答案为：2 + −8=0．
2
13.【答案】 − 6 ,− 14 , 2 【解答】解：∵点 在直线 上，
5 5 5
∴ = + = + =(−3,−1,4)+ (1,−1,−2)=(−3+ ,−1− ,4−2 )，
→ →
且 ⊥ ，
→ →
∴ · =(−3+ ,−1− ,4−2 )·(−2,1,1)=−2(−3+ )+(−1− )×1+(4−2 )×1=0，
∴ = 9，故点 的坐标为 − 6 ,− 14 , 2 ，故答案为 − 6 ,− 14 , 2 ．
5 5 5 5 5 5 5
π
14.解：在直三棱柱 − 中，因为 ⊥平面 ，∠ = ，所以 , , 两两垂直，
1 1 1 1 2 1
所以以 为原点， , , 所在直线分别为 , , 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
1
则 (0,0,0), (2,0,0), (0,1,0), (0,0,2)，
1
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{#{QQABLYA5wwAQgtRACZ6bAUFEC0iQkIATJYouQUASKAZiyRFABAA=}#}因为点 是棱 的中点，所以 (1,0,0)，设 (0,1, )，其中0≤ ≤2，
连接 ，则 =(1,0,−2)， =(0,1, −2)，
1 1 1
所以点 到直线 的距离
1
2
2
= 2 − 1 ⋅ 1 = 5− −2( −2) = 5− 4( −2)2 = 1+ 4 ，
1 1 ( −2)2+1 ( −2)2+1 ( −2)2+1
设 =( −2)2+1， ∈[0,2]，则 ∈ [1,5]，
4 3 5
所以 = 1+ ∈ , 5 ，
5
3 5
所以当 =5，即 =0,即点 与点 重合时，点 到直线 的距离取得最小值，最小值为 ．
1 5
3 5
故答案为： ．
5
15.【答案】解：(1)易知 =(2,1,−2)，因为 / / ，所以 = =(2 , ,−2 )，又| |=3，故 9 2 =3，
即 =±1，所以 = (2,1,−2)或 =(−2,−1,2)．
2
(2)易知 =(−1,−1,0)， =(1,0,−2)，因为 + 与 互相垂直，所以( + )⋅ = 0，即 ⋅ + =0，
故− +5=0，所以 =5．
16.【答案】解：(1)由内角∠ 的平分线所在直线方程为2 − +10=0知，
点 在直线2 − +10= 0上，设 ( ,2 +10)，
则 中点 的坐标为( +2 , 2 +14 )．由 边上的中线所在直线方程为 +2 −5=0知，
2 2
点 在直线 +2 −5=0上，∴ +2 +2× 2 +14 −5=0，解得 =−4．∴点 的坐标为(−4,2)．
2 2
(2)设点 ( , )与点 (2,4)关于直线2 − +10= 0对称，
+2 +4
2× − +10=0
2 − =−20 =−6
则 2 2 ， ，解得 ．∴点 的坐标为(−6,8)．
−4 ×2=−1 +2 =10 =8
−2
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{#{QQABLYA5wwAQgtRACZ6bAUFEC0iQkIATJYouQUASKAZiyRFABAA=}#}由直线2 − +10=0为内角∠ 的平分线所在直线，知点 在直线 上．
∴直线 方程为 −2= 8−2 ( +4)，即3 + +10=0．
−6−(−4)
17.【答案】解：(1)在直三棱柱 − 中，设点 到平面 的距离为ℎ，
1 1 1 1
则 = 1 ⋅ℎ = 2 2ℎ = = 1 ⋅ = 1 = 4，解得ℎ = 2，
− 1 3 ▵ 1 3 1− 3 ▵ 1 3 − 1 1 1 3
所以点 到平面 的距离为 2；
1
(2)取 的中点 ，连接 ，如图，
1
因为 = ，所以 ⊥ ，
1 1
又平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
1 1 1 1 1 1 1
且 ⊂平面 ，所以 ⊥平面 ，在直三棱柱 −
1 1 1 1 1 1
中， ⊥平面 ，
1
由 ⊂平面 ， ⊂平面 可得 ⊥ ， ⊥ ，
1 1
又 , ⊂平面 且相交，所以 ⊥平面 ，
1 1 1 1 1
所以 , , 两两垂直，以 为原点，建立空间直角坐标系，如图，
1
由(1)得 = 2，所以 = =2， =2 2，所以 =2，
1 1
则 0,2,0 , 0,2,2 , 0,0,0 , 2,0,0 ，所以 的中点 1,1,1 ，
1 1
则 = 1,1,1 ， = 0,2,0 , = 2,0,0 ，
⋅ = + + =0
设平面 的一个法向量 = , , ，则 ，可取 = 1,0,−1 ，
⋅ =2 =0
设平面 的一个法向量 = , , ，则 ，可取 = 0,1,−1 ，
2
则cos , = ⋅ = 1 = 1，所以二面角 − − 的正弦值为 1− 1 = 3 ．
⋅ 2× 2 2 2 2
18.【答案】解：(1)∵ 是菱形，∴ ⊥ ，
又 ⊥平面 ， ⊂平面 ，则 ⊥ ，
∵ ∩ = ， , ⊂平面 ，
∴直线 ⊥平面 ；
(2)以点 为坐标原点， ， 方向为 轴， 轴正方向，如图所示，
在平面 内与 垂直的方向为 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系
− ，则： (0,0,2), ( 3,1,0), (0,0,0), (0,2,0)，
则直线 的方向向量 =( 3,1,−2)，很明显平面 的法向量为 =(1,0,0)，
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{#{QQABLYA5wwAQgtRACZ6bAUFEC0iQkIATJYouQUASKAZiyRFABAA=}#}设直线 与平面 所成角为 ，
则sin = ⋅ = 3 ，cos = 5 ,tan = sin = 3 = 15；
| |×| | 8×1 8 cos 5 5
(3)设 , , ，且 = (0⩽ ⩽1)，由于 (0,0,2), ( 3,3,0), ( 3,1,0), (0,0,0)，
= 3
故： , , −2 = 3,3,−2 ，据此可得： =3 ，即点 的坐标为 3 ,3 ,−2 +2 ，
=−2 +2
设平面 的法向量为： = , , ，
1 1 1 1
· = , , · 0,−2,0 =−2 =0
则： 1 1 1 1 1 ,
· = , , · 3− 3 ,1−3 ,2 −2 =0
1 1 1 1
据此可得平面 的一个法向量为： =(2,0, 3)，
1
· =( , , )·( 3,1,0)= 3 + =0
设平面 的法向量为： =( , , )，则： 2 2 2 2 2 2 ,
2 2 2 2 · =( , , )·( 3− 3 ,1−3 ,2 −2)=0
2 2 2 2
据此可得平面 的一个法向量为： =(1,− 3, 3 )，二面角 − − 的余弦值为5，
2 1− 7
3
2+ 5
故： 1− = 7，整理得14 2−19 +6=0，解得： = 1或 = 6 ．
7× 1+3+ 3 2 2 7
(1− )2
2
由点 的坐标易知点 到底面 的距离为1或者 .
7
19.【答案】解：(1)由题可知，直线 的一个方向向量坐标为 =(1,− 3,1)，
平面 的一个法向量为 =( 3,1,−1)，
1
⋅ 1 1
设直线 与平面 所成角为 ，则有 =| |= = ，
1 | || | 5× 5 5
= 1−sin2 = 1−( 1 )2 = 2 6，
5 5
直线 与平面 所成角的余弦值为2 6．
1
5
(2)由题可知平面 的法向量为 =(2,3,1)，且过点 (0,0,1)，
2 2
因为 (1,2,1)，所以 =(1,2,0)，
所以点 到平面 的距离为|
2 ⋅
|=
|2×1+3×2+1×0|
=
8
=
4 14
．
2 | 2 | 22+32+1 14 7
(3)( )建立空间直角坐标系，
+ =2, ⩾0, ⩾0
− =2, ⩾0, <0
− + =2, <0, ⩾0
分别画平面 ,
− − =2, <0, <0
=1
=−1
然后得到几何体 为
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{#{QQABLYA5wwAQgtRACZ6bAUFEC0iQkIATJYouQUASKAZiyRFABAA=}#}几何体 是底面边长为2 2的正方形，高为2的长方体，
故几何体 的体积为2 2×2 2×2=16，
( )由( )可知， ={( , , )|| |+| |≤ 2，| |+| |≤2，| |+| |≤ 2}的图象是一个完全对称的图象，
所以我们只需讨论第一卦限的相邻两个平面的二面角即可，
此时 >0， >0， >0，得 ={( , , )| + ≤ 2， + ≤2， + ≤ 2， >0， >0， >0}，画
出第一卦限图象，
显然其二面角为钝角，
计算平面 + =2， + =2的二面角，
所以两个平面的法向量分别为 =(1,1,0), =(0,1,1)，
2 3
设二面角的大小为 ，
则 =−|
2 ⋅ 3
|=−
|0+1+0|
=−
1
，
| 2 || 3 | 1+1× 1+1 2
2
所以二面角的大小为 ．
3
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