河南省开封市开封高级中学2025-2026学年高二上学期10月质量检测数学试题（PDF版，含答案）_2025年10月高二试卷_251023河南省开封高级中学2025-2026学年高二上学期10月质量检测

{#{QQABLYA5wwAQgtRACZ6bAUFEC0iQkIATJYouQUASKAZiyRFABAA=}#}{#{QQABLYA5wwAQgtRACZ6bAUFEC0iQkIATJYouQUASKAZiyRFABAA=}#}{#{QQABLYA5wwAQgtRACZ6bAUFEC0iQkIATJYouQUASKAZiyRFABAA=}#}{#{QQABLYA5wwAQgtRACZ6bAUFEC0iQkIATJYouQUASKAZiyRFABAA=}#}开封高中 27 届高二上学期 10 月质量检测 数学参考答案 1.【答案】 2.【答案】 解：对于 ，若 /​ / ，则 /​ / ，故A错误;对于 ，若 // ，则 ⊥ ，则 ⋅ =0，故B正确; 对于 ，若 ⊥ ，则 // ，故C错误;对于 ，若 /​ / ，则 // ，故D错误．故选B． 3.【答案】 解：充分性：当 =2时， = 4 ≠ −1，满足两线平行的条件． 1 2 必要性：当 // 时， = 4 ≠ −1，则 =±2，所以“ =2”是“ // ”的充分不必要条件．故选： ． 1 2 1 2 1 2 4.【答案】 解：(1)∵ = ， = ， = ，点 在 上，且 =2 ， 为 的中点，∴ = 2 = 2 3 3 = 1 ( + )= 1 + 1 ∴ = − =− 2 + 1 + 1 ，故选B 2 2 2 3 2 2 5.【答案】 解：如图，取 的中点 ，连接 ， ， ， 1 1 1 ∵ ， 分别是 ， 的中点，∴ // ， = ， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴∠ 就是 与 所成角(或其补角)，设 = = =2，由∠ =90°， 1 1 1 1 则 = 5， = 5， =2 2， = 6，在△ 中，根据余弦定理得cos∠ = 30， 1 1 1 1 10 故选： ． 6.【答案】 (方法一)如图，在 上任取一点 并作 ⊥平面 ， 则∠ 就是直线 与平面 所成的角， 过点 作 ⊥ ， ⊥ ，因为 ⊥平面 ， ⊂平面 ， 所以 ⊥ ，又 ⊥ ， ∩ = ， ， ⊂平面 ， 所以 ⊥平面 ，又 ⊂平面 ，则 ⊥ ，同理 ⊥ ， 由题可知△ ≌△ ，所以 = ， 所以△ ≌△ ，因为∠ =∠ =∠ =60∘， 所以点 在∠ 的平分线上，即∠ =30∘．设 =1， 因为∠ =30∘，所以 = 1 = 2 3， cos30∘ 3 第1页，共8页 {#{QQABLYA5wwAQgtRACZ6bAUFEC0iQkIATJYouQUASKAZiyRFABAA=}#}在直角△ 中，∠ =60∘， =1，则 =2． 在直角△ 中， = 2 3， =2．则cos∠ = = 3． 3 3 即直线 与平面 所成角的余弦值是 3．故选C． 3 (方法二)解：∵ 、 、 是三棱锥 − 的三条棱， = = ，且 ， ， 夹角都是60°， ∴三棱锥 − 是正四面体， 设这个正四面体的棱长为2，作 ⊥平面 ，交 于点 ， 则 = ( 4−1)2−( 4−1 )2 = 2 6， 3 3 以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 − ，则 (0,0, 2 6 )， (−1, 3 ,0)， 3 3 (0,− 2 3 ,0)， (1, 3 ,0)， =(−1, 3 ,− 2 6 )， =(0,− 2 3 ,− 2 6 )， =(1, 3 ,− 2 6 )， 3 3 3 3 3 3 3 3 设平面 的法向量为 =( , , )， ⋅ =− 2 3 − 2 6 =0 则 3 3 ，取 =1，得 =( 6,− 2,1)，设直线 与平面 所成角为 ， ⋅ = + 3 − 2 6 =0 3 3 =|cos< , >|= | ⋅ | = 2 6 = 6．∴ = 1−( 6 )2 = 3． | |⋅| | 2×3 3 3 3 ∴直线 与平面 所成角的余弦值是 3．故选C． 3 7.【答案】 根据线段 与 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱 ，可设 与 所成的角 为 ，则 为平面 与平面 的夹角，由 = + + 及空间向量的数量积运算，可得cos ，从而得 到平面 与平面 的夹角． 8.【答案】 解：以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 1 设 = (0≤ ≤ 2)， 1 则 (2,0,0)， (2,2,0)， (0,2,0)， ( 2 , 2 ,2)， ( 2 +1, 2 +1,2)， 2 2 2 2 ∴ =( 2 −2, 2 ,2)， =( 2 +1, 2 −1,2)， 2 2 2 2 ⋅ =( 2 −2)( 2 +1)+ 2 ( 2 −1)+4= 2− 2 +2= − 2 2 2 2 2 2 + 3 >0，∴当 , 运动时，不存在点 , 使得 ⊥ ，故A正确； 2 2 ∴ =( 2 −1, 2 −1,2)， =(0,2,0)， =( 2 −2, 2 ,2)， 2 2 2 2 显然 和 无法共线， 第2页，共8页 {#{QQABLYA5wwAQgtRACZ6bAUFEC0iQkIATJYouQUASKAZiyRFABAA=}#}∴当 , 运动时，不存在点 , 使得 /​ / ，故B正确； 设平面 的法向量为 =( , , )， 1 1 1 ⋅ =2 =0 由 1 ，可取 =(1,0,1− 2 )， ⋅ =( 2 −2) + 2 +2 =0 4 1 1 1 2 2 2 ⋅ 1− 1 >= = 4 = 平面 的一个法向量为 =(0,0,1)，则cos< ， | |⋅| | 1+(1− 2 )2 1+ 1 ， 4 (1− 4 2 )2 1 1 由0≤ ≤ 2，可得则 ≤cos< ， >≤ ，可得 =0时，即 ， 重合时，二倍角 − − 的平 5 2 1 面角取得最小值45°，故C错误；∵二面角 − − 的平面角即为二面角 − − 的平面角， 1 1 即二面角 − − 为定值，故D正确．故选： ． 9.【答案】 解：对于 ， = = 2−0 =2，A错误．对于 ，因为− 1 =−1，所以 ⊥ ，B正确． 0+1 2 对于 ，因为 = 0+1 =− 1， =−1，所以 ⊥ ，C正确．对于 ，因为 = 3+1 =2= ， −1−1 2 3−1 = 1， =− 1， ≠ ，所以四边形 不是平行四边形，D错误． 3 2 10.【答案】 【解析】由题意知，向量 ， ， 不共面，所以 A错误；若向量 ， ， 共 面，则有 = + = ( − )+ ( − )，即(− −1) +( − ) + =0，因为向 − −1=0, 量 ， ， 不共面，所以 − =0, 无解，故向量 ， ， 不共面，{ , , }能够构成空间 =0, 的一个基底，故 B正确；若 与 共面，则有 = + ，又 = + + ，所以( −1) − +( −1) =0，与题意矛盾，故 C正确；若 = − + ，则 − =− + ，即 = ， 所以 ， ， ， 四点共面，故D正确．故选BCD． 11.【答案】 解：直四棱柱 − 的所有棱长都为4，则底面 为菱形， 1 1 1 1 又∠ = ，则△ 和△ 都是等边三角形，设 与 相交于点 ，所以 ⊥ ， 3 以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴，过 垂直于底面的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则有 (2 3,0,0)， (0,2,0)， (−2 3,0,0)， (0,−2,0)， (2 3,0,4)， (0,2,4)， (−2 3,0,4)， (0,−2,4)， 1 1 1 1 点 在四边形 及其内部运动， 1 1 设 (0, , )，−2≤ ≤2，0≤ ≤ 4， 由| |+| |= 8， 有 (2 3)2+ 2+ 2+ (−2 3)2+ 2+ 2 =8， 即 2+ 2 =4(−2≤ ≤ 2,0≤ ≤2)， 第3页，共8页 {#{QQABLYA5wwAQgtRACZ6bAUFEC0iQkIATJYouQUASKAZiyRFABAA=}#}所以点 的轨迹为 平面内，以 为圆心，2为半径的半圆弧，所以点 的轨迹的长度为2 ，故A错误； 平面 的一个法向量为 =(1,0,0)， =(−2 3, , )，直线 与平面 所成的角为 ， 1 1 1 1 则sin = | ⋅ | = 2 3 = 3，又由 ∈ [0, ]，则 = ， | || | 12+ 2+ 2 2 2 3 所以直线 与平面 所成的角为定值，故B正确； =(−2 3,2,4)， =(−2 3,−2,4)， 1 1 1 1 设平面 的法向量为 =( , , )， 1 1 ⋅ =−2 3 +2 +4 =0 则有 1 ，令 =2，得 =0, = 3，故平面 的一个法向量为 = ⋅ =−2 3 −2 +4 =0 1 1 1 (2,0, 3)，所以点 到平面 的距离 1 1 = | ⋅ | = |−2 3×2+ 3 | = |−4 3+ 3 | ，因为0≤ ≤ 2，所以 =2时， = |−4 3+2 3| = 2 21， | | 7 7 7 22+( 3)2 所以点 到平面 的距离的最小值为2 21，故C正确； 1 1 7 =(2 3,− ,4− )， =(−2 3,− ,4− )， 1 1 ⋅ =−12+ 2+( −4)2 = 2+ 2−8 +4=8−8 ，因为0≤ ≤2， 1 1 所以 ⋅ 的最小值为8−8×2=−8，故D错误．故选： ． 1 1 12.【答案】2 + −8=0 解：设入射光线 ，反射光线 ， 1 2 ∵光线从点 (6,4)射出，与 轴相交于点 (4,0)， 4 ∴根据两点式，入射光线 的方程： = ，整理，得2 − −8=0． 1 −4 6−4 ∵入射光线的斜率 =2，∴反射光线的斜率 =−2，∵反射光线过点 (4,0)， 1 2 ∴反射光线 的方程 =−2( −4)，即2 + −8=0．故答案为：2 + −8=0． 2 13.【答案】 − 6 ,− 14 , 2 【解答】解：∵点 在直线 上， 5 5 5 ∴ = + = + =(−3,−1,4)+ (1,−1,−2)=(−3+ ,−1− ,4−2 )， → → 且 ⊥ ， → → ∴ · =(−3+ ,−1− ,4−2 )·(−2,1,1)=−2(−3+ )+(−1− )×1+(4−2 )×1=0， ∴ = 9，故点 的坐标为 − 6 ,− 14 , 2 ，故答案为 − 6 ,− 14 , 2 ． 5 5 5 5 5 5 5 π 14.解：在直三棱柱 − 中，因为 ⊥平面 ，∠ = ，所以 , , 两两垂直， 1 1 1 1 2 1 所以以 为原点， , , 所在直线分别为 , , 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 1 则 (0,0,0), (2,0,0), (0,1,0), (0,0,2)， 1 第4页，共8页 {#{QQABLYA5wwAQgtRACZ6bAUFEC0iQkIATJYouQUASKAZiyRFABAA=}#}因为点 是棱 的中点，所以 (1,0,0)，设 (0,1, )，其中0≤ ≤2， 连接 ，则 =(1,0,−2)， =(0,1, −2)， 1 1 1 所以点 到直线 的距离 1 2 2 = 2 − 1 ⋅ 1 = 5− −2( −2) = 5− 4( −2)2 = 1+ 4 ， 1 1 ( −2)2+1 ( −2)2+1 ( −2)2+1 设 =( −2)2+1， ∈[0,2]，则 ∈ [1,5]， 4 3 5 所以 = 1+ ∈ , 5 ， 5 3 5 所以当 =5，即 =0,即点 与点 重合时，点 到直线 的距离取得最小值，最小值为 ． 1 5 3 5 故答案为： ． 5 15.【答案】解：(1)易知 =(2,1,−2)，因为 /​ / ，所以 = =(2 , ,−2 )，又| |=3，故 9 2 =3， 即 =±1，所以 = (2,1,−2)或 =(−2,−1,2)． 2 (2)易知 =(−1,−1,0)， =(1,0,−2)，因为 + 与 互相垂直，所以( + )⋅ = 0，即 ⋅ + =0， 故− +5=0，所以 =5． 16.【答案】解：(1)由内角∠ 的平分线所在直线方程为2 − +10=0知， 点 在直线2 − +10= 0上，设 ( ,2 +10)， 则 中点 的坐标为( +2 , 2 +14 )．由 边上的中线所在直线方程为 +2 −5=0知， 2 2 点 在直线 +2 −5=0上，∴ +2 +2× 2 +14 −5=0，解得 =−4．∴点 的坐标为(−4,2)． 2 2 (2)设点 ( , )与点 (2,4)关于直线2 − +10= 0对称， +2 +4 2× − +10=0 2 − =−20 =−6 则 2 2 ， ，解得 ．∴点 的坐标为(−6,8)． −4 ×2=−1 +2 =10 =8 −2 第5页，共8页 {#{QQABLYA5wwAQgtRACZ6bAUFEC0iQkIATJYouQUASKAZiyRFABAA=}#}由直线2 − +10=0为内角∠ 的平分线所在直线，知点 在直线 上． ∴直线 方程为 −2= 8−2 ( +4)，即3 + +10=0． −6−(−4) 17.【答案】解：(1)在直三棱柱 − 中，设点 到平面 的距离为ℎ， 1 1 1 1 则 = 1 ⋅ℎ = 2 2ℎ = = 1 ⋅ = 1 = 4，解得ℎ = 2， − 1 3 ▵ 1 3 1− 3 ▵ 1 3 − 1 1 1 3 所以点 到平面 的距离为 2； 1 (2)取 的中点 ，连接 ，如图， 1 因为 = ，所以 ⊥ ， 1 1 又平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 1 1 1 1 1 1 1 且 ⊂平面 ，所以 ⊥平面 ，在直三棱柱 − 1 1 1 1 1 1 中， ⊥平面 ， 1 由 ⊂平面 ， ⊂平面 可得 ⊥ ， ⊥ ， 1 1 又 , ⊂平面 且相交，所以 ⊥平面 ， 1 1 1 1 1 所以 , , 两两垂直，以 为原点，建立空间直角坐标系，如图， 1 由(1)得 = 2，所以 = =2， =2 2，所以 =2， 1 1 则 0,2,0 , 0,2,2 , 0,0,0 , 2,0,0 ，所以 的中点 1,1,1 ， 1 1 则 = 1,1,1 ， = 0,2,0 , = 2,0,0 ， ⋅ = + + =0 设平面 的一个法向量 = , , ，则 ，可取 = 1,0,−1 ， ⋅ =2 =0 设平面 的一个法向量 = , , ，则 ，可取 = 0,1,−1 ， 2 则cos , = ⋅ = 1 = 1，所以二面角 − − 的正弦值为 1− 1 = 3 ． ⋅ 2× 2 2 2 2 18.【答案】解：(1)∵ 是菱形，∴ ⊥ ， 又 ⊥平面 ， ⊂平面 ，则 ⊥ ， ∵ ∩ = ， , ⊂平面 ， ∴直线 ⊥平面 ； (2)以点 为坐标原点， ， 方向为 轴， 轴正方向，如图所示， 在平面 内与 垂直的方向为 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系 − ，则： (0,0,2), ( 3,1,0), (0,0,0), (0,2,0)， 则直线 的方向向量 =( 3,1,−2)，很明显平面 的法向量为 =(1,0,0)， 第6页，共8页 {#{QQABLYA5wwAQgtRACZ6bAUFEC0iQkIATJYouQUASKAZiyRFABAA=}#}设直线 与平面 所成角为 ， 则sin = ⋅ = 3 ，cos = 5 ,tan = sin = 3 = 15； | |×| | 8×1 8 cos 5 5 (3)设 , , ，且 = (0⩽ ⩽1)，由于 (0,0,2), ( 3,3,0), ( 3,1,0), (0,0,0)， = 3 故： , , −2 = 3,3,−2 ，据此可得： =3 ，即点 的坐标为 3 ,3 ,−2 +2 ， =−2 +2 设平面 的法向量为： = , , ， 1 1 1 1 · = , , · 0,−2,0 =−2 =0 则： 1 1 1 1 1 , · = , , · 3− 3 ,1−3 ,2 −2 =0 1 1 1 1 据此可得平面 的一个法向量为： =(2,0, 3)， 1 · =( , , )·( 3,1,0)= 3 + =0 设平面 的法向量为： =( , , )，则： 2 2 2 2 2 2 , 2 2 2 2 · =( , , )·( 3− 3 ,1−3 ,2 −2)=0 2 2 2 2 据此可得平面 的一个法向量为： =(1,− 3, 3 )，二面角 − − 的余弦值为5， 2 1− 7 3 2+ 5 故： 1− = 7，整理得14 2−19 +6=0，解得： = 1或 = 6 ． 7× 1+3+ 3 2 2 7 (1− )2 2 由点 的坐标易知点 到底面 的距离为1或者 . 7 19.【答案】解：(1)由题可知，直线 的一个方向向量坐标为 =(1,− 3,1)， 平面 的一个法向量为 =( 3,1,−1)， 1 ⋅ 1 1 设直线 与平面 所成角为 ，则有 =| |= = ， 1 | || | 5× 5 5 = 1−sin2 = 1−( 1 )2 = 2 6， 5 5 直线 与平面 所成角的余弦值为2 6． 1 5 (2)由题可知平面 的法向量为 =(2,3,1)，且过点 (0,0,1)， 2 2 因为 (1,2,1)，所以 =(1,2,0)， 所以点 到平面 的距离为| 2⋅ |= |2×1+3×2+1×0| = 8 = 4 14 ． 2 | 2| 22+32+1 14 7 (3)( )建立空间直角坐标系， + =2, ⩾0, ⩾0 − =2, ⩾0, <0 − + =2, <0, ⩾0 分别画平面 , − − =2, <0, <0 =1 =−1 然后得到几何体 为 第7页，共8页 {#{QQABLYA5wwAQgtRACZ6bAUFEC0iQkIATJYouQUASKAZiyRFABAA=}#}几何体 是底面边长为2 2的正方形，高为2的长方体， 故几何体 的体积为2 2×2 2×2=16， ( )由( )可知， ={( , , )|| |+| |≤ 2，| |+| |≤2，| |+| |≤ 2}的图象是一个完全对称的图象， 所以我们只需讨论第一卦限的相邻两个平面的二面角即可， 此时 >0， >0， >0，得 ={( , , )| + ≤ 2， + ≤2， + ≤ 2， >0， >0， >0}，画 出第一卦限图象， 显然其二面角为钝角， 计算平面 + =2， + =2的二面角， 所以两个平面的法向量分别为 =(1,1,0), =(0,1,1)， 2 3 设二面角的大小为 ， 则 =−| 2⋅ 3 |=− |0+1+0| =− 1 ， | 2|| 3| 1+1× 1+1 2 2 所以二面角的大小为 ． 3 第8页，共8页 {#{QQABLYA5wwAQgtRACZ6bAUFEC0iQkIATJYouQUASKAZiyRFABAA=}#}