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数学（二） 参考答案
一、选择题
1~8 BDCB CCAD
1 解析：
2
1
y
x
在y 轴上的截距为1
．
2 解析：由//
a b ，所以存在实数使
=
b
a ，则有
4
m ．
3 解析：将点的坐标带入椭圆方程中有1
4
1
2
8
，所以点( 1,2)
在椭圆上，则过椭圆上的点做直线可以与椭圆
交两个点或一个点．
4 解析：点在抛物线上，则有4
4p
，所以
1
p ，则抛物线C 的焦点F 到准线的距离为
1
p ．
5 解析：因为
1
AC 平面
1A BD ，所以平面
1A BD 的法向量
1(
0)
AC
n
，
所以(1,1,1) 可以是其法向量．
6 解析：由题意
1
(
1)
2
9
na
a
n
d
n
，
2
1
(
)
8
2
n
n
n a
a
S
n
n
，
则
n
n
S
a
有
2
10
9
0
n
n
，所以n 的最小值为10．
7 解析：设
AOB
△
的内切圆半径为r ，则有|
|
AB
a
r
b
r
，所以有
2
1
a
b
r
，所以
2
2
1
2
2
2
2
a
b
r
a
b
，所以
2
1
2
r
，当且仅当
2
2
a
b
时，等号成立．
8 解析：设点
0
0
(
,
)
P x
y
，
2( ,0)
F c
，则
2
0
0
(
,
)
PF
c
x
y
，
2
( ,0)
OF
c
，所以
2
2
2
2
0
2
c
PF OF
c
cx
，所
以
0
2
c
x
，则有2
c
a
，即
2
e
．
二、选择题
9．ABC 10．AD 11．BCD
9 解析：AC 平面
1
BDD ，所以
1
AC
BD
；
1
1
//
AC AC ，所以
//
AC
平面
1
1
A BC ；AC 与直线
1
BC 所成的角即
为AC 与
1
AD 所成的角为π
3
；三棱锥
1
1
A
B CD
的外接球半径即为正方体的外接球半径，即体对角线
的一半为
3
2
．
10 解析：由题意有
2
2
4
3
4
a
a
a
，所以
3a 的取值可以是2
或2 ．
11 解析：由题意，椭圆中
4,
2 3,
2
a
b
c
，
1
2
PF F
△
的周长为
1
2
1
2
|
|
|
|
|
| 2
2
12
PF
PF
F F
a
c
；
1 2
1
2
0
0
1 |
||
| 2 |
| 4 3
2
PF F
S
F F
y
y
△
；
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
|
|
|
|
|
|
|
||
| cos
2
PF
PF
F F
PF PF
PF
PF
F PF
2
2
1
2
1
2
(|
|
|
|)
|
|
8
4
2
PF
PF
F F
；
D
A
B
C
A1
B1
C1
D1
x
y
z
第2 页 共6 页
则椭圆的准线方程为
2
8
a
x
c
，所以点Q 在右准线上，则
2
|
|
1
|
|
2
PF
e
PQ
，所以
2
2 |
| |
|
PF
PQ
．
三、填空题
12．2 13．π
4
14．4 10
9
12 解析：化为标准方程为
2
2
(
1)
1
x
y
，所以其直径为2 ．
13 解析：|
|
2
a
，
2
2
|
2 |
4
4
10
a
b
a
a b
b
，所以
1
a b
，所以
2
cos
,
|
||
|
2
a b
a b
a b
，所
以夹角为π
4
．
14 解析：抛物线的焦点为
(1,0)
F
，所以直线AF 为
3(
1)
y
x
，联立
2
3(
1)
4
y
x
y
x
，有
2
9
22
9
0
x
x
，
所以有
22
9
D
E
x
x
，则
40
|
|
9
D
E
DE
x
x
p
，所以|
|
4 10
|
|
9
DE
AF
．
四、解答题
15．（13 分）
解：（1）根据题意可知场馆观众席座位数满足等差数列，
设为数列{
}
na
，公差为d ，前n 项和为
n
S ，
则
9
3
3006
d
S
，
，由
9
1
9 8
9
3
3006
2
S
a
，
解得
1
322
a
，
所以第一排原有322 个座位； ………………………6 分
（2）设改造后的座位数为等差数列{ }
nb
，则
1
322
b
m
，
3
d
，
所以
12
1
12 11
12
3
2
S
b
4062
12m
因为4062
12
4200
m
，解得
11.5
m
，
因为
*
mN ，所以m 的最小值为12． ……………………13 分
16．（15 分）
解：（1）因为圆心在直线
2
0
x
y
，不妨设圆心为(2
)
a
a
，
，圆的方程为
2
2
2
(
2 )
(
)
x
a
y
a
r
，
第3 页 共6 页
点
(1 1)
A ，，
(2,0)
B
在圆上，则有
2
2
2
2
2
2
(1 2 )
(1
)
(2
2 )
a
a
r
a
a
r
，解得
1
1
a
r
，
则圆C 方程为
2
2
(
2)
(
1)
1
x
y
；………………………7 分
（2）设直线l 的方程为y
x
m
，
因为
0
CD CE
，所以CD
CE
，则圆心到直线的距离为
2
2
，
即有
| 2 1
|
2
2
2
m
d
，解得
0
m
或
2
m ，
所以直线l 的方程为y
x
或
2
y
x
．………………………15 分
17．（15 分）
解：（1）由
2
2
n
n
S
a
，则有
1
2
a ，所以有
1
1
2
2
n
n
n
n
S
S
a
a
，即
1
2
n
n
a
a
，
所以数列{
}
na
是公比为2 的等比数列，所以
1
1
1
( 2) 2
2
n
n
n
na
a q
；………………………7 分
（2）
(
1) 2n
nb
n
，则
1
2
1
2 2
3 2
2
(
1) 2
n
n
nT
n
n
①，
所以
2
3
1
2
2 2
3 2
2
(
1) 2
n
n
nT
n
n
②，
由①－②得
1
2
1
1
1
2 2
2
2
2
(
1) 2
2
n
n
n
n
nT
n
n
，
所以
1
2n
nT
n
． ………………………15 分
18．（17 分）
解：（1）因为AB 平面ABCD ，
//
AB
平面ECD ，平面ABCD 平面ECD
CD
，所以
//
AB CD ，
同理
//
AD BC ，又AB
AD
，所以底面ABCD 为菱形，所以AC
BD
，
因为EA 平面ABCD ，BD 面ABCD ，所以EA
BD
，AC
EA
A
，所以BD 平面AEC ，
EC 平面EAC ，所以BD
EC
．………………………5 分
（2）设EF
EC
，所以
(1
)
F
ABCD
E ABCD
V
V
，
2
F
ABE
C ABE
E ABC
E ABCD
V
V
V
V
，
又
2
F
ABCD
F
ABE
V
V
，故
1
2
，所以F 为EC 的中点，………………………9 分
取BC 中点G ，则AG
AD
，
以A 为坐标原点，分别以AG ，AD ，AE 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，
则
(0,0,0)
A
，
( 3, 1,0)
B
，
(0,2,0)
D
，
3 1
(
,
,1)
2
2
F
，
则
( 3, 1,0)
AB
，
3 1
(
,
,1)
2
2
AF
，
(0,2,0)
AD
，
A
B
C
D
E
F
y
x
z
G
第4 页 共6 页
设面BAF 与面DAF 的法向量分别为
1
1
1
1
( ,
,
)
n
x y z
，
2
2
2
2
(
,
,
)
n
x
y
z
，
则
1
2
0
0
n
AB
n
AF
，即
1
1
1
1
1
3
0
3
1
0
2
2
x
y
x
y
z
，取
1
(1, 3,
3)
n
又
2
2
0
0
n
AD
n
AF
，即有
2
2
2
2
2
0
3
1
0
2
2
y
x
y
z
，取
2
(2,0,
3)
n
，
所以
1
2
1
2
1
2
5
cos
,
7
|
||
|
n n
n n
n
n
，
所以面BAF 与面DAF 夹角的余弦值为
1
2
5
| cos
,
|
7
n n
．………………………17 分
19．（17 分）
解：（1）由题意有
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
c
a
b
a
a
a
b
解得
2
2
6
3
a
b
，
所以椭圆的标准方程为C ：
2
2
1
6
3
x
y
；………………………4 分
（2）当直线斜率存在时，不妨设直线方程为y
kx
m
，直线与椭圆的交点记为
1
1
( ,
)
P x y
，
2
2
(
,
)
Q x
y
，
联立
2
2
1
6
3
x
y
y
kx
m
，得
2
2
2
(2
1)
4
2
6
0
k
x
kmx
m
，
1
2
2
4
2
1
km
x
x
k
，
2
1
2
2
2
6
2
1
m
x x
k
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
y
y
k
k
x
x
1
2
1
2
2
2
2
2
kx
m
kx
m
x
x
1
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
kx
m
x
kx
m
x
x
x
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2 2
2
2
2
kx x
m
k
x
x
m
x x
x
x
2
2
2
2
2
6
2
2
2
2
2
2
1
1
3
2 2
2
1
k
m
km m
k
m
k
m
km
k
，
第5 页 共6 页
所以
2
2
6
4 2
6
2
0
k
km
m
k
m
，得
2
6
2
6
2
0
2
k
m
k
m
k
m
即
2
6
2
1
0
2
k
m
k
m
，
当6
2
0
k
m
时，
2
1
6
y
x
m
，过定点
3 2,0
M
；
当
2
1
0
2
k
m
时，
2
1
2
y
x m
x
，过点
2, 2
A
舍去.
当直线斜率不存在时，设x
n
（
6
6
n
），则其与椭圆相交的交点为
2
6
( ,
)
2
n
n
，
则由
1
2
1
k
k
，解得
3 2
n
（舍），
综上，满足条件的直线l 必过定点
(3 2,0)
M
； ………………………10分
（3）①当直线l 的斜率不为0 时，设其方程为
3 2
x
ty
，
联立
2
2
1
6
3
3 2
x
y
x
ty
，得
2
2
2
6 2
12
0
t
y
ty
，
其中
2
2
Δ
72
48
2
0
t
t
，得
2
4
t
1
2
2
6 2
2
t
y
y
t
，
1
2
2
12
2
y y
t
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
3 2
3 2
MP
MQ
ty
y
ty
y
x
y
x
y
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
72
24
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
12
2
t
t
t
y
y
y y
t
y
y
t
t
y y
t
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
72
24
2
2
48
1
1
1
1
1
1 1
1
1
1
1
12
2
2
144
3
3
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
因为
2
4
t
，所以
2
1
1
1
1
3
3
2
5
1
t
，
②当直线l 的斜率为0 时，则
6,0
P
，
0
6,
Q
，
第6 页 共6 页
此时
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
3
3
6
3 2
6
MP
MQ
综上所述，
2
2
1
1
MP
MQ
的范围是1 1
,
5 3
． ………………………17 分
