年邵阳市高二联考参考答案与评分标准
2024
数 学
一、选择题(本大题共 小题,每小题 分,共 分 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
8 5 40 .
合题目要求的)
题 号
1 2 3 4 5 6 7 8
答 案
C C B C A B D B
. 【解析】根据题意,设g(x) xf(x),
7 D =
若y f(x)为奇函数,则g( x) ( x)f( x) xf(x) g(x),则函数g(x)为偶函数.
= - = - - = =
g′(x) (x)′f(x) xf′(x) f(x) xf′(x).
= + = +
f(x)
又当x 时,f′(x) , g′(x) ,则函数g(x)在( , )上为减函数,
<0 + x >0 ∴ <0 -∞ 0
故g(x)在( , )上为增函数.
0 +∞
则a f( ) g( ),b f( ) g( ) g( ),c f( ) g( ),且 ,
= 1 = 1 =-π -π = -π = π =e e = e 1<e<π
则有a c b;故选 .
< < D
. 【解析】设P(x,y),O→P O→A ta ( , ) t( , ) ( t,t),点 P 的轨迹方程为 x y
8 B = + = -2 0 + 1 1 = -2+ - +2=
.又由 O→Q ,点 Q 的轨迹方程为:x2 y2 , PQ 为圆上一点到直线上一点的距离,
0 =1 + =1
P→Q 2 .选 .
min= -1= 2-1 B
2
二、多选题(本大题共 小题,每小题 分,共 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要
3 6 18
求.全部选对的得 分,部分选对的得部分分,有选错的得 分)
6 0
题 号
9 10 11
答 案
ABD AC BC
. 【解析】因为直线AM,BM的斜率存在,所以x .
11 BC ≠±1
y y
因为k k ,即 ,整理可得y x 1.
AM+ BM=2 x +x =2 = -x
+1 -1
所以点M(x,y)在函数y x 1(x )上.
= -x ≠±1
如图,选 .
BC
三、填空题(本大题共 小题,每小题 分,共 分)
3 5 15
( )
. . 或13 . 3 3 .
12 0 026 13 14 48π
500 4
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{#{QQABDYIAogAgAIAAAAgCUQFICAGQkAAACYgOREAAsAIAARNABAA=}#}T ( )
.【解析】 π π 2π, ω .又 π φ , φ , φ π.
13 ∵ = - = ω ∴ =2 sin 2× + =1 0< <π ∴ =
4 3 12 4 12 3
(B ) ( )
又A π , A . f , B π 3,又 B , B π.
sin = 3 ∴ =2 ∵ = 3 ∴ sin + = ∵ 0< <π ∴ =
3 2 3 2 3
设角B,C,D的对边为b,c,d,则b2 c2 d2 cd cd cd
= + - ≥2 -
cd ,当且仅当c d 时等号成立.
∴ ≤3 = = 3
S 1cd B 3 3, BCD面积最大值为3 3.
∴ △ BCD= sin ≤ ∴ △
2 4 4
x2 y2
.令y h 分别代入 和y 3x中解得 x2 4h2 x2 4h2.记点 x h x h 绕
14 = , - =1 =± : 1=8+ , 2= ( 1, ),( 2, )
8 6 2 3 3
y轴旋转一周得到的圆的半径分别为 R r. R2 4 h2 r2 4 h2 此圆环的面积 S R2
, ∴ =8+ , = , =π -
3 3
r2 恒为定值.根据祖暅原理该几何体的体积与底面圆半径为 高为 的圆柱的体
π =8π, 2 2, 6
积相等 所以V .
, =8π×6=48π
四、解答题(本大题共 小题,共 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
5 77
. 分 解: (a c) A b B (a b c) C
15 (13 ) (1)∵ + sin - sin = + + sin ,
由正弦定理得a2 ac b2 ac bc c2 分
+ - = + + , ……………………………………………………… 2
a2 b2 c2 bc.
∴ = + +
A 1 又 A 分
∴ cos =- , 0< <π,…………………………………………………………………… 4
2
A 2π. 分
∴ = …………………………………………………………………………………… 6
3
S S
(2)∵ △ ABE= △ ACE,
1 c AE 1 b AE ° 分
∴ · · = · · sin30 , ………………………………………………………… 8
2 2
b c.
∴ =2
由余弦定理得 2 c2 c2 c2 2π 分
∴ 14 =4 + -4 cos ,………………………………………………… 10
3
c 由勾股定理得AE . 分
∴ =2 7, = 49-28= 21 ………………………………………… 13
. 分 解: 由PC 平面ABC 知PC AC.
16 (15 ) (1) ⊥ , ⊥
由AB是 O的直径 知AC BC. 分
☉ , ⊥ ………………………………………………………… 2
AC BC C
∵ ∩ = ,
AC 平面PBC. 分
∴ ⊥ …………………………………………………………………………… 4
由E F分别是PA PC的中点 知EF AC.
, , , ∥
EF 平面PBC. 分
∴ ⊥ …………………………………………………………………………… 6
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{#{QQABDYIAogAgAIAAAAgCUQFICAGQkAAACYgOREAAsAIAARNABAA=}#}以C为原点 CA CB CP所在直线分别为x轴 y轴 z轴
(2) , , , 、 、 ,
建立如图所示的空间直角坐标系 则P
, (0,0,2),
设A a B b 且a2 b2 a b .
( ,0,0), (0, ,0), + =8( >0, >0)
易知平面PAC的一个法向量m . 分
=(0,1,0) ………………… 8
设平面PAB的一个法向量n x y z 则
=( , , ),
{
n P→A {ax z
则 · =0, -2 =0,
∴ bx z .
n P→B -2 =0
· =0,
取z ab 得x b y a 则n b a ab 分
= , =2 , =2 , =(2 ,2 , ), …………………………………………… 10
二面角B PA C的正弦值为 6 则其余弦值为 3
∵ - - , ,
3 3
m n a
m n · 2 3 分
∴ cos〈 , 〉 = m n = = , ……………………………………… 12
b2 a2 a2b2
3
4 +4 +
又a2 b2 a b 解得a b .
+ =8,( >0, >0), =2, =2
故BC . 分
=2 …………………………………………………………………………………… 15
. 分 解: 由动点M x y 到直线x 的距离比它到定点 的距离多
17 (15 ) (1) ( , ) =-3 (2,0) 1,
知动点M x y 到直线x 的距离等于它到定点 的距离
( , ) =-2 (2,0) ,
故动点M x y 的轨迹是以 为焦点 x 为准线的抛物线
( , ) (2,0) , =-2 ,
故Γ的方程为 y2 x. 分
: =8 …………………………………………………………………… 6
由题意 可设直线l x t y
(2) , : = ( -4)+4,
代入y2 x 消去x得 y2 ty t .
=8 , : -8 +32 -32=0
显然有Δ 设A x y B x y
>0, ( 1, 1), ( 2, 2),
则y y t y y t . 分
1+ 2=8 , 1 2=32 -32 ………………………………………………………………… 9
y 2 y2 (y y )
由OA OB 知O→A O→B x x y y 1 2 y y y y 1 2 . 分
⊥ , · = 1 2+ 1 2= · + 1 2= 1 2 +1 =0 ………………… 11
8 8 64
得y y 或y y
1 2=0 1 2=-64,
解得t . 分
=±1 ………………………………………………………………………………… 13
当t 时 直线l x y 不合题意
=1 , : - =0 ;
当t 时 直线l x y 符合题意
=-1 , : + -8=0 ;
综上 所求直线l的方程为 x y . 分
, : + -8=0 …………………………………………………… 15
. 分 解: f 1 分
18 (17 ) (1) (0)= 4-2×0- =3,……………………………………………………… 1
0
e
f′ x 1 f′ . 分
( )= -2+ x,∴ (0)= -2+1=-1 ……………………………………………………… 2
e
切线方程为 y x 即y x . 分
∴ : -3=-1·( -0), =- +3 …………………………………………… 3
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{#{QQABDYIAogAgAIAAAAgCUQFICAGQkAAACYgOREAAsAIAARNABAA=}#}由题意得函数g x 的定义域为 .
(2) ( ) (0,+∞)
a2 a x2 x
g′ x a2 a 1 1 ( - ) - -1
( )= - -x2 -x = x2
ax a x
( +1)[( -1) -1] 分
= x2 ,……………………………………………………………… 4
当 a 时 g′ x g x 在 上单调递减 分
① 0< ≤1 , ( )<0,∴ ( ) (0,+∞) ;……………………………… 6
( ) ( )
当a 时 x 1 时 g′ x g x 在 1 上单调递减.
② >1 , ∈ 0,a , ( )<0,∴ ( ) 0,a
-1 -1
( ) ( )
x 1 时 g′ x g x 在 1 上单调递增. 分
∈ a ,+∞ , ( )>0,∴ ( ) a ,+∞ ………………………… 8
-1 -1
综上 当 a 时 g x 在 上单调递减.
, 0< ≤1 , ( ) (0,+∞)
( ) ( )
当a 时 g x 在 1 上单调递减 在 1 上单调递增. 分
>1 , ( ) 0,a , a ,+∞ …………………… 9
-1 -1
( )
证明 当a 时 h x x 1 x 1 x x x 1 x
(3) : =1 , ( )= 4-2 - x- x -ln = ln - x-2 +3,
e e
h′ x x 1 . 分
∴ ( )=ln + x-1 ……………………………………………………………………… 10
e
x x
令c x h′ x 则c′ x 1 1 e - .
( )= ( ), ( )= x - x = x x
e e
构建函数p x x x p′ x x .
( )=e - ,∴ ( )=e -1
当x 时 p′ x x 函数p x 单调递增.
∴ >0 , ( )=e -1>0,∴ ( )
当x 时 p x x x p c′ x 函数h′ x 单调递增.
∴ >0 , ( )=e - > (0)= 1>0,∴ ( )>0,∴ ( )
h′ 1 h′ 1 h′ x 在 内有唯一零点x .
∵ (1)= -1<0, (e)= e >0,∴ ( ) (1,e) 0
e e
当x x h′ x h′ x 函数h x 单调递减.
∴ ∈(0, 0), ( )< ( 0)= 0,∴ ( )
当x x h′ x h′ x 函数h x 单调递增.
∈( 0,+∞), ( )> ( 0)= 0,∴ ( )
当x x 时 函数h x 取最小值h x x x 1 x . 分
∴ = 0 , ( ) ( 0)= 0ln 0- x -2 0+3 ………………………… 14
0
e
h′ x x 1 1 x .
∵ ( 0)=ln 0+ x -1=0,∴ - x =ln 0-1
0 0
e e
h x x x x x .
∴ ( 0)=( 0+1)ln 0-2 0+2, 0∈(1,e)
构造函数q x x x x q′ x 1 x .
( )=( +1)ln -2 +2,∴ ( )= x +ln -1
x
令d x q′ x d′ x -1.
( )= ( ),∴ ( )= x2
当x 时 d′ x 函数q′ x 单调递增.
∴ >1 , ( )>0,∴ ( )
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{#{QQABDYIAogAgAIAAAAgCUQFICAGQkAAACYgOREAAsAIAARNABAA=}#}当x 时 q′ x q′ . 函数q x 单调递增.
∴ >1 , ( )> (1)= 0 ∴ ( )
h x q h x h x . 分
∴ ( 0)> (1)= 0,∴ ( )≥ ( 0)>0 ………………………………………………… 17
19 . (17 分 ) 解: (1) a n= n2 , a n +1- a n=( n +1) 2 - n2 =2 n +1,
{a a }是公差为 的等差数列 则数列{a }是 二阶等差数列 . 分
∴ n +1- n 2 , n “ ” ………………… 3
由题意{a a }是 一阶等差数列 又{a a }首项为 公差为 .
(2) n +1- n “ ”, n +1- n 1, 3
a a n 分
∴ n +1- n=3 -2, …………………………………………………………………………… 5
a a a a a a a a 分
∴ n = n- n -1+ n -1- n -2+…+ 2- 1+ 1 …………………………………………………… 7
n n
(1+3 -5)( -1)
= +1
2
n2 n
3 -7 +6 n .
= , ≥2
2
n2 n
a 满足上式 a 3 -7 +6 n .
∵ 1=1 ,∴ n= , ≥1
2
n2 n
二阶等差数列 {a }的通项公式为a 3 -7 +6. 分
∴ “ ” n n= ………………………………… 9
2
{a }是 三阶等差数列 {a a }是 二阶等差数列
(3)∵ n “ ”,∴ n +1- n “ ”,
设c a a {c c }是 一阶等差数列 . 分
n= n +1- n,∴ n +1- n “ ” ………………………………………… 10
由题意得c c c
1=3, 2=6, 3=10,
c c n 分
∴ n +1- n= +2, …………………………………………………………………………… 12
n n
c c c c c c c c [3+( +1)]( -1)
∴ n= n- n -1+ n -1- n -2+…+ 2- 1+ 1= +3
2
n2 n n n
∴
c
n=
+3 +2
=
( +2)( +1)
=
C2n
+2,
n
≥2
.
2 2
∵
c
1=3
满足上式
,∴
c
n=
C2n
+2,
n
≥1
.
……………………………………………………… 14
分
a a a a a a a a
∴ n = n- n -1+ n -1- n -2+…+ 2- 1+ 1
=
C2n
+1+
C2n+ C2n
-1+…+
C2
3+1 …………………………………………………………… 15
分
=
C3
3+
C2
3+
C2
4+
C2
5+…+
C2n
+1=
C3n
+2,
n
≥2
.
∵
a
1=1
满足上式
,∴
a
n=
C3n
+2,
n
≥1
.
…………………………………………………… 16
分
∴
S
n =
C3
3+
C3
4+
C3
5+…+
C3n
+2
=
C4
4+
C3
4+
C3
5+…+
C3n
+2
=
C4n
+3
n n n n
( +1)( +2)( +3)
=
24
n4 n3 n2 n
+6 +11 +6 . 分
= ………………………………………………………………… 17
24
注:若解答题有不同解法,请酌情给分.
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{#{QQABDYIAogAgAIAAAAgCUQFICAGQkAAACYgOREAAsAIAARNABAA=}#}
