高三联考数学参考答案
!!#!"$!#"%#&’##("$#’!$&%$$$!#"%$)*#"$&%$+,’$则"$$$&%$&%!
-!#!将这.个数据从小到大排列为($"$"$"$.$/$!%$!!$因为"%01.$&!.$所以该组数据的
第"%百分位数为.!
! 槡(
2!3!因为椭圆&的焦点在%轴上$所以’-$&+!-$($故椭圆&的离心率($ $ !
槡( (
2 &! ’
&!#!因为!%&%$!’$且45*-!$-45*!674!$’ &%$所以!% $! $所以45*!’674!’
& -
8 槡8
%!因为&45*!’674!’-$!’-45*!674!$ $所以45*!’674!$ !
& -
(!9!圆台甲的高为槡&2)’-’&-)’-$槡()$圆台乙的高为槡&&)’-’&-)’-$-槡2)$
!
&++++槡++ ’,
所以 * 甲 $ 2 - ! - ! 甲 $ , 甲 $ 槡() $ 槡!( !
* 乙 ! &++++槡++ ’, , 乙 -槡2) "
2 - ! - ! 乙
"!3!由"!+""+"""$"!"可得"!+""$"!"’"""$平方可得!-+-!("+"-$"!"-’
-"!""""+"""-$解得!("$’"!""""$所以!$"反向!故)!("*是)"!+""+"""$"!"*的
必要不充分条件!
#! ’
8!3!-&#’在&%$.%上的值域为 $+, !因为函数-&#’的值域为!$所以-&#’$)7:#+!
. .
& !’ ! !
在&.$+,’上的值域包含 ’,$ $则%&.&!$且)7:.+!) $解得 #.&!$所以.
. . . -
#! ’
的取值范围是 $! !
-
&!’ 槡2 .
.!3!由题可知-&%’$- $则.$ + $解得.$槡2$所以-&#’$45*-#+槡2674-#$
" - -
& !’
-45*-#+ !在坐标系中结合五点法画出%$-&#’与%$674#的图象$如图所示!
2
由图可知$共有&个交点!
!高三数学"参考答案!第!!!!!页#共"页$%
!"#$%&
书书书/!9#;!由题可知/$&!+25’&2’5’$2+.5’25-$"+.5$则"/"$槡"-+.-$!%$/$"’.5$
/的虚部为.$/在复平面内对应的点为&"$.’$位于第一象限!故选9#;!
!%!3#!#-+%-’"#+8$%可化为&#’2’-+%-$-$所以圆心"&2$%’$半
径为槡-!
由题知焦点0&!$%’$准线为直线#$’!$"10"$槡--’&槡-’-$槡-$9错误!
易知直线02的斜率存在$设直线02的方程为%$3&#’!’$
"-3"
所以 $槡-$解得3$<!!因为切点1在线段02上$所以3$!$故直线02的方程
槡!+3-
为#’%’!$%$3正确!
!%-$&#$
联立 可得#-’"#+!$%$所以# $2+-槡-或2’-槡-&舍去’$% $-+
2 2
#’%’!$%$
-槡-$"20"$"24"$!+2+-槡-$&+-槡-$#正确!
! !
+ $ ("24"(% $ 1&&+-槡-’1&-+-槡-’$.+"槡-$;错误!
*402 - 2 -
!!!9;!因为-&#’$-&-’#’+-#’-$所以-&#’’#$-&-’#’’&-’#’!令5&#’$-&#’
’#$则5&#’$5&-’#’$所以5&#’的图象关于直线#$!对称!因为-&#’与%$#都为奇
函数$所以5&#’也是奇函数$则5&#’是以&为周期的周期函数$所以5&#+&’$5&#’!由
-&2’$-$可得5&2’$-&2’’2$’!$所以5&’(’$5&2’$’!$则-&’(’+($’!$解得
-&’(’$’"$9正确!-&#+&’$5&#+&’+#+&$5&#’+#+&$-&#’+&$3错误!由
-&#’$-&-’#’+-#’-$求导可得-6&#’$’-6&-’#’+-$所以-6&!’$’-6&!’+-$即
-6&!’$!!由-&#+&’$-&#’+&$求导可得-6&#+&’$-6&#’$所以-6&!%!’$-6&!’$!$
!%% !%% !%%
#错误!+-&7’$+#5&7’+7%$+7$(%(%$;正确!
7$! 7$! 7$!
!-!’-!设等比数列!."的公比为9$由.$.$. 成等差数列$得.+.$-.$整理得9-+9
8 2 - & 2 & -
’-$%$则9$’-!
!2!!-!从这"张卡片中随机抽取&张$这&张卡片的字母恰有两个相同的情况共有#!#-$
2 -
2种$字母不相同的-张卡片均有-种选择$所以不同的取法种数为21--$!-!
!&!&’!$%’!由%$&#’-’=#$可得%6$&#’!’=#$则%$&#’-’=#在&’,$!’上单调递减$
在&!$+,’上单调递增$且当#&-时$-&#’&%!直线%$3#’-恒过点&%$’-’$当直线%
-&#’-’= #%$3#’-$
% %
$3#’-与曲线%$&#’-’=#相切于点&#$%’时$, 即&#-’-#+
% % % %
.&#’!’= #%$3$
%
-’= #%$-!令-&#’$&#-’-#+-’=#$则-6&#’$#-=#)%$所以-&#’在!上单调递增!因
为-&%’$-$所以#$%$3$’!$结合图象&图略’可知$若直线%$3#’-与曲线%$&#’
%
!高三数学"参考答案!第!!!!-页#共"页$%
!"#$%&-’=#有2个交点$则3的取值范围为&’!$%’!
!(!解+&!’由正弦定理可得-45*&674&+45*"674$+45*$674"$%$,,,,,,,-分
!
所以-45*&674&+45*&"+$’$%$-45*&674&+45*&$%$得674&$’ ! ,,,&分
-
-!
因为&%&%$!’$所以&$ !,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,"分
2
&-’由余弦定理可得:-$.-+;-’-.;674&$.-+;-+.;$ ,,,,,,,,,,,/分
(
因为.+:$-;$所以&-;’.’-$.-+;-+.;$化简可得;$ .$,,,,,,,,,!!分
2
&( ’- &8 ’-
. + . ’.-
8 ;-+:-’.- 2 2 !2
则:$-;’.$ .$所以674"$ $ $ !,,,,!2分
2 -;: ( 8 !&
-1 .1 .
2 2
!"!&!’证明+过"作$$ 的垂线$垂足为<$连接<&!
!
因为*"$&为等边三角形$所以"$$$&!
!
因为$<$$<$/$$&$/$$"$ $所以*$<"0*$<&$
! ! &
则"<$&<$!$$<1&<!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2分
又&<$"<$<$所以$$1平面"<&$,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(分
!
因为"&2平面"<&$所以"&1$$!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,8分
!
&-’解+由&!’可知"<$<&$!$所以"<-+&<-$"&-$故"<1&<$ ,,,,,,.分
所以<$$<"$<&两两垂直$则以<为原点$建立如图所示
的空间直角坐标系!
443
"&%$%$!’$$&!$%$%’$&&%$!$%’$& &’-$!$%’$则&& $
! !
443 443 443
&’-$%$%’$&"$&%$’!$!’$$&$&’!$!$%’$"$$&!$%$
’!’! ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,/分
设平面"$&的法向量为#$&#$%$/’$
443
-#("$$%$ !#’/$%$
则, 即 令#$!$得#$&!$!$!’!,,,,,,,,,,,!!分
443
.#($&$%$ ’#+%$%$
设平面"&& 的法向量为$$&.$;$:’$
!
443
-$(&"$%$ !’;+:$%$
则, 即 令;$!$得$$&%$!$!’!,,,,,,,,,,,,!2分
443
.$(&&$%$ ’-.$%$
!
#($ 槡"
"674-#$$."$ $ $
"#""$" 2
槡"
所以平面"$&与平面"&& 夹角的余弦值为 ! ,,,,,,,,,,,,,,!(分
! 2
!高三数学"参考答案!第!!!!2页#共"页$%
!"#$%&! 2 ! & (’ -
!8!解+&!’第一题结束时甲获得!分的概率为 1 + 1 !’ $ !,,,,,,"分
- & - !- 2
- !
&-’由&!’知$在每道题的抢答中$甲/乙得!分的概率分别为 $ $,,,,,,,,.分
2 2
=的可能取值为-$&$(!
- - ! ! (
4&=$-’$ 1 + 1 $ $,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,/分
2 2 2 2 /
- ! &- - ! !’ -%
4&=$&’$#!1 1 1 1 + 1 $ $,,,,,,,,,,,,,,!%分
- 2 2 2 2 2 2 .!
!"
4&=$(’$!’4&=$-’’4&=$&’$ $,,,,,,,,,,,,,,,,,!!分
.!
= - & (
( -% !"
4
/ .! .!
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!-分
( -% !" -(%
1&=’$-1 +&1 +(1 $ ! ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!(分
/ .! .! .!
#- %- ;
!.!&!’解+因为%$槡-#是双曲线&+ ’ $!的一条渐近线$所以 $槡-$,,,,,-分
.- ;- .
& &
因为点&-$-’在&上$所以 ’ $!$,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,&分
.- ;-
#- %-
解得.-$-$;-$&$即&的方程为 ’ $!!,,,,,,,,,,,,,,,,,(分
- &
-%$3#+?$
&-’&5’证明+设>+%$3#+?&?5%’$由,#-
%-
得&-’3-’#-’-3?#’?-’&$%$,,
’ $!$
.- &
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,8分
由题意得-’3-5%$"$.&?-’-3-+&’’%!
- -3?
#+#$ $
! - -’3-
设"&#$%’$$&#$%’$"$中点的坐标为&#$%’$则, ,,,,,.分
! ! - - % %
?-+&
##$’ $
.! - -’3-
#+# 3? -?
所以#$ ! - $ $%$3#+?$ !,,,,,,,,,,,,,,,,/分
% - -’3- % % -’3-
因为"$的中点在直线%$-#上$所以%$-#$
% %
-? -3?
即 $ $因为?5%$所以3$!!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!!分
-’3- -’3-
!高三数学"参考答案!第!!!!&页#共"页$%
!"#$%&&55’解+""$"$槡!+3-"#’#"$槡-槡&#+#’-’&## $&槡?-+-$,,,,,!2分
! - ! - ! -
"!+?’!" "?"
点@到>的距离A$ $ $,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!&分
槡- 槡-
!
所以+ $ ""$"(A$槡-(槡&?-+-’?-$槡"$,,,,,,,,,,,,,,!"分
*@"$ -
解得?$<!$所以>的方程为#’%<!$%!,,,,,,,,,,,,,,,,,!8分
!
!/!&!’解+由-&#’$#’)*#$可得->&#’$!’ $令-6&#’’%$解得#’!$令-6&#’&%$解得
#
%&#&!$可知-&#’在&%$!’上单调递减$在&!$+,’上单调递增$
所以-&#’的最小值为-&!’$!!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,-分
因为)-&#’’5&#’*为三角形函数$所以6:%&%$+,’$5&:’&-!
因为5&-’#’$5&#’$所以5&#’的图象关于直线#$!对称$又5&#’为二次函数$所以
5&#’$’#-+-#!&答案不唯一$只需满足5&#’$.#-’-.#+:$且:’.&-$.&%即可’
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,&分
-#+? -#+-+?’- ?’-
&-’解+-&#’$ $ $!+ !
-#+- -#+- -#+-
当?’-$%$即?$-时$-&#’$!$此时-&.’$-&;’$-&:’$!$满足-&.’+-&;’’-&:’$
符合题意0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(分
&?+!’
当?’-’%$即?’-时$-&#’是&%$+,’上的减函数$所以-&#’的值域为 !$ $
2
?+!
因为6.$;$:%&%$+,’$-&.’+-&;’’-&:’$所以!+!) $得-&?#(0,,,8分
2
&?+! ’
当?’-&%$即?&-时$-&#’是&%$+,’上的增函数$所以-&#’的值域为 $! $
2
?+! ?+! !
因为6.$;$:%&%$+,’$-&.’+-&;’’-&:’$所以 + )!$得 #?&-!,,/分
2 2 -
#! %
综上$实数?的取值范围是 $( !,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!%分
-
!
&2’证明+由题可知56&#’$ ’)*#!
#+!
! ! !
设,&#’$56&#’$ ’)*#$则,6&#’$’ ’ &%在&%$+,’上恒成立$所以
#+! &#+!’- #
56&#’在&%$+,’上单调递减!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!!分
! &2’ - 2
又56&!’$ ’%$56 $ ’)* 7%?&’%?&%(&%$
- - ( -
& 2’ !
所以存在#% !$ $使得56&#’$%$即)*#$ "!,,,,,,,,,,!-分
% - % % #+!
%
!高三数学"参考答案!第!!!!(页#共"页$%
!"#$%&当#%&%$#’时$56&#’’%$则5&#’在&%$#’上单调递增0
% %
当#%&#$+,’时$56&#’&%$则5&#’在&#$+,’上单调递减! ,,,,,,,!2分
% %
故当#$# 时$5&#’取得唯一极大值$也是最大值$令5&#’的最大值为@$
%
则@$5&#’$)*&#+!’’#)*#+#! ,,,,,,,,,,,,,,,,,!&分
% % % % %
# #-
将"式代入上式$可得@$5&#’$)*&#+!’’ % +#$)*&#+!’+ % !,,,
% % #+! % % #+!
% %
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!(分
#- & 2’ ! #-+-#
令B&#’$)*&#+!’+ $#% !$ $则由B6&#’$ + ’%$可知B&#’在
#+! - #+! &#+!’-
& 2’
!$ 上单调递增$,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!"分
-
/
所以@$)*&#+!’+
#-
% &B
&2’
$)*
(
+
&
$)*
(
+
/
&!+
/
&-$5&:’&-#-&.’
% #+! - - ( - !% !%
%
-
+-&;’成立!
故)-&#’’5&#’*为三角形函数!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!8分
!高三数学"参考答案!第!!!!"页#共"页$%
!"#$%&
