文档内容
常州市二○二○年初中学业水平考试
数学试题
注意事项：
1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生应将答案全部填写在答题卡
相应位置上，写在本试卷上无效．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．考试时不允
许使用计算器．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、考试证号填写在试卷上，并填写好答题卡上的考生信息．
3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有
一项是正确的）
1. 2的相反数是（ ）
A. B. C. D.
2.计算 的结果是（ ）
A. B. C. D.
3.如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. 圆柱 B. 三棱柱 C. 四棱柱 D. 四棱锥
4.8的立方根是（ ）
.
A 2 B. ±2 C. ±2 D. 2
5.如果 ，那么下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
6.如图，直线a、b被直线c所截， ， ，则 的度数是（ ）A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
7.如图， 是 的弦，点C是优弧 上的动点（C不与A、B重合）， ，垂足为H，点M
是 的中点．若 的半径是3，则 长的最大值是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8.如图，点D是 内一点， 与x轴平行， 与y轴平行，
．若反比例函数 的图像经过A、D两点，则k的值是（ ）
A. B. 4 C. D. 6
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接
填写在答题卡相应位置上）
9.计算：|－2|＋(π－1)0＝____．10.若代数式 有意义，则实数x的取值范围是________．
11.地球半径大约是 ，将 用科学记数法表示为________．
12.分解因式： －x=__________．
13.若一次函数 的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k的取值范围是__________．
14.若关于x的方程 有一个根是1，则 _________．
15.如图，在 中， 的垂直平分线分别交 、 于点E、F．若 是等边三角形，则
_________°．
16.数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何 的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补
短．在菱形 中， ．如图，建立平面直角坐标系 ，使得边 在x轴正
半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是_________．
17.如图，点C在线段 上，且 ，分别以 、 为边在线段 的同侧作正方形 、
，连接 、 ，则 _________．18.如图，在 中， ，D、E分别是 、 的中点，连接 ，在直线
和直线 上分别取点F、G，连接 、 ．若 ，且直线 与直线 互相垂直，则
的长为_______．
三、解答题（本大题共10小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解
答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19.先化简，再求值： ，其中 ．
20.解方程和不等式组：
（1） ；
（2）
21.为了解某校学生对球类运动 的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动
对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如下统计图．（1）本次抽样调查的样本容量是_________；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数．
22.在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中．
（1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是_________；
（2）搅匀后先从中随机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上
签号的和为奇数的概率．
23.已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上， ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数．
24.某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．
（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；
（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？
25.如图，正比例函数 的图像与反比例函数 的图像交于点 ．点B为x轴正半轴
上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图像于点C，交正比例函数的图像于点D．（1）求a的值及正比例函数 的表达式；
（2）若 ，求 的面积．
26.如图1，点B在线段 上，Rt△ ≌Rt△ ， ， ，
．
（1）点F到直线 的距离是_________；
（2）固定△ ，将△ 绕点C按顺时针方向旋转30°，使得 与 重合，并停止旋转．
①请你在图1中用直尺和圆规画出线段 经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，
不要求写画法）该图形的面积为_________；
②如图2，在旋转过程中，线段 与 交于点O，当 时，求 的长．
27.如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之
间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”，把 的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系 中，点E的坐标为 ，半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、
B、C、D．
①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点_________（填“A”、“B”、“C”或
“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为_________；
②若直线n的函数表达式为 ，求 关于直线n的“特征数”；
（2）在平面直角坐标系 中，直线l经过点 ，点F是坐标平面内一点，以F为圆心， 为半
径作⊙F．若⊙F与直线l相离，点 是⊙F关于直线l的“远点”，且⊙F关于直线l的“特征
数”是 ，求直线l的函数表达式．
28.如图，二次函数 的图像与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，
抛物线过点 ，且顶点为D，连接 、 、 、 ．（1）填空： ________；
（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线 交直线 于点Q．若 ，求
点P的坐标；
（3）点E在直线 上，点E关于直线 对称的点为F，点F关于直线 对称的点为G，连接 ．
当点F在x轴上时，直接写出 的长．
常州市二○二○年初中学业水平考试
数学试题
注意事项：
1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生应将答案全部填写在答题卡
相应位置上，写在本试卷上无效．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．考试时不允
许使用计算器．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、考试证号填写在试卷上，并填写好答题卡上的考生信息．
3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有
一项是正确的）1. 2的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据相反数的概念解答即可．
【详解】2的相反数是-2，
故选D．
2.计算 的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用同底数幂除法的运算法则解答即可．
【详解】解： ．
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂除法，掌握公式 是解答本题的关键．
3.如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. 圆柱 B. 三棱柱 C. 四棱柱 D. 四棱锥
【答案】C
【解析】
【分析】
通过俯视图为圆得到几何体为柱体，然后通过主视图和左视图可判断几何体为四棱柱．【详解】解：由图可知：
该几何体是四棱柱．
故选：C．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体：由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视
图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．熟记一些简单的几何
体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助．
4.8的立方根是（ ）
A. 2 B. ±2 C. ±2 D. 2
【答案】D
【解析】
【详解】解：根据立方根的定义，由23=8，可得8的立方根是2
故选：D．
【点睛】本题考查立方根．
5.如果 ，那么下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据不等式的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、由x＜y可得： ，故选项成立；
B、由x＜y可得： ，故选项不成立；
C、由x＜y可得： ，故选项不成立；
D、由x＜y可得： ，故选项不成立；
故选A.
【点睛】本题考查了不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不
变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一
个负数，不等号的方向改变．
6.如图，直线a、b被直线c所截， ， ，则 的度数是（ ）A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据邻补角相等求得∠3，然后再根据两直线平行、内错角相等即可解答．
【详解】解：∵∠1+∠3=180°，
∴∠3=180°-∠1=180°-140°=40°
∵
∴∠2=∠3=40°．
故答案为B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行、内错角相等”是解答本题的关键．
7.如图， 是 的弦，点C是优弧 上的动点（C不与A、B重合）， ，垂足为H，点M
是 的中点．若 的半径是3，则 长的最大值是（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直角三角形斜边中线定理，斜边上的中线等于斜边的一半可知MH= BC，当BC为直径时长度最大，
即可求解．
【详解】解：∵
∴∠BHC=90°
∵在Rt△BHC中，点M是 的中点
∴MH= BC
∵BC为 的弦
∴当BC为直径时，MH最大
∵ 的半径是3
∴MH最大为3．
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线定理，数形结合是结题关键．
8.如图，点D是 内一点， 与x轴平行， 与y轴平行，
．若反比例函数 的图像经过A、D两点，则k的值是（ ）A. B. 4 C. D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】
作 交BD的延长线于点E，作 轴于点F，计算出AE长度，证明 ，得
出AF长度，设出点A的坐标，表示出点D的坐标，使用 ，可计算出 值．
【详解】作 交BD的延长线于点E，作 轴于点F
∵
∴
∴ 为等腰直角三角形
∵
∴ ，即
∴DE=AE=
∵BC=AO，且 ，
∴
∴
∴∴
设点A ，
∴
解得：
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，利用点Ａ和点Ｄ表示出ｋ的计算是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接
填写在答题卡相应位置上）
9.计算：|－2|＋(π－1)0＝____．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据绝对值和0次幂的性质求解即可．
【详解】原式=2＋1=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了绝对值和0次幂的性质．
10.若代数式 有意义，则实数x的取值范围是________．
【答案】x≠1
【解析】
【分析】分式有意义时，分母x-1≠0，据此求得x的取值范围．
【详解】解：依题意得：x-1≠0，
解得x≠1，
故答案为：x≠1．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件．（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条
件是分母等于零．
11.地球半径大约是 ，将 用科学记数法表示为________．
【答案】
【解析】
【分析】
对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成 的形式，其中 ，n是比原整数位数少1
的数.
【详解】6400= .
故答案为： .
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12.分解因式： －x=__________．
【答案】x（x+1）（x－1）
【解析】
解：原式
13.若一次函数 的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k的取值范围是__________．
【答案】k＞0
【解析】
【分析】
直角利用一次函数增减性与系数的关系解答即可．【详解】解：∵一次函数 的函数值y随自变量x增大而增大
∴k＞0．
故答案为k＞0．
【点睛】本题主要考查了一次函数增减性与系数的关系，当一次函数的一次项系数大于零时，一次函数的
函数值随着自变量x的增大而增大．
14.若关于x的方程 有一个根是1，则 _________．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得到关于a的一次方程，然后解此一次方程即可．
【详解】解：把x=1代入方程 得1+a-2=0，
解得a=1．
故答案是：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．
15.如图，在 中， 的垂直平分线分别交 、 于点E、F．若 是等边三角形，则
_________°．
【答案】30
【解析】
【分析】
根据垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC=60°，从而可得∠B.
【详解】解：∵EF垂直平分BC，
∴BF=CF，
∴∠B=∠BCF，
∵△ACF为等边三角形，∴∠AFC=60°，
∴∠B=∠BCF=30°.
故答案为：30.
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线
的性质得到∠B=∠BCF.
16.数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补
短．在菱形 中， ．如图，建立平面直角坐标系 ，使得边 在x轴正
半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是_________．
【答案】(2， )
【解析】
【分析】
根据菱形的性质可知AD=AB=CD=2，∠OAD=60°，由三角函数即可求出线段OD的长度，即可得到答案．
【详解】解：∵四边形 为菱形，
∴AD=AB=CD=2，
∵
∴
在Rt△DOA中，
∴OD=
∴点C的坐标是(2， )．故答案为：(2， )．
【点睛】本题考查了平面直接坐标系中直角三角形的计算问题，以及菱形的性质，熟练掌握特殊三角函数
值是解题关键．
17.如图，点C在线段 上，且 ，分别以 、 为边在线段 的同侧作正方形 、
，连接 、 ，则 _________．
【答案】
【解析】
【分析】
设BC=a，则AC=2a，然后利用正方形的性质求得CE、CG的长、∠GCD=ECD=45°，进而说明△ECG为
直角三角形，最后运用正切的定义即可解答．
【详解】解：设BC=a，则AC=2a
∵正方形
∴EC= ，∠ECD=
同理：CG= ,∠GCD=
∴ ．
故答案为 ．【点睛】本题考查了正方形的性质和正切的定义，根据正方形的性质说明△ECG是直角三角形是解答本题
的关键．
18.如图，在 中， ，D、E分别是 、 的中点，连接 ，在直线
和直线 上分别取点F、G，连接 、 ．若 ，且直线 与直线 互相垂直，则
的长为_______．
【答案】4或2
【解析】
【分析】
分当点F在点D右侧时，当点F在点D左侧时，两种情况，分别画出图形，结合三角函数，勾股定理以及
平行四边形的性质求解即可.
【详解】解：如图，当点F在点D右侧时，
过点F作FM∥DG，交直线BC于点M，过点B作BN⊥DE，交直线DE于点N，
∵D，E分别是AB和AC中点，AB= ，
∴DE∥BC，BD=AD= ，∠FBM=∠BFD，
∴四边形DGMF为平行四边形，
则DG=FM，∵DG⊥BF，BF=3DG，
∴∠BFM=90°，
∴tan∠FBM= =tan∠BFD，
∴ ，
∵∠ABC=45°=∠BDN，
∴△BDN为等腰直角三角形，
∴BN=DN= ，
∴FN=3BN=9，DF=GM=6，
∵BF= = ，
∴FM= = ，
∴BM= ，
∴BG=10-6=4；
当点F在点D左侧时，过点B作BN⊥DE，交直线DE于N，过点B作BM∥DG，交直线DE于M，延长
FB和DG，交点为H，
可知：∠H=∠FBM=90°，四边形BMDG为平行四边形，
∴BG=MD，BM=DG，
∵BF=3DG，
∴tan∠BFD= ，同理可得：△BDN为等腰直角三角形，BN=DN=3，
∴FN=3BN=9，
∴BF= ，
设MN=x，则MD=3-x，FM=9+x，
在Rt△BFM和Rt△BMN中，
有 ，
即 ，
解得：x=1，即MN=1，
∴BG=MD=ND-MN=2.
综上：BG的值为4或2.
故答案为：4或2.
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，三角函数，平行四边形的判定和性质，勾股定理，难
度较大，解题的关键是根据题意画出图形，分清情况.
三、解答题（本大题共10小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解
答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19.先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ；3
【解析】
【分析】
先利用完全平方公式和单项式乘多项式化简，再代入求值即可．
【详解】解：=
=
将x=2代入，
.
原式=3
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是正确的化简．
20.解方程和不等式组：
（1） ；
（2）
【答案】（1）x=0；（2）﹣2≤x＜3
【解析】
【分析】
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的方法部分即可．
【详解】解：（1）
去分母得：
解得x=0，
经检验x=0是分式方程的解；
（2）
由①得：x＜3
由②得：x≥﹣2
则不等式组的解集为﹣2≤x＜3．
【点睛】本题考查了解分式方程与解不等式组，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化
为整式方程求解．解一元一次不等式组要注意不等号的变化．
21.为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动
对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如下统计图．（1）本次抽样调查的样本容量是_________；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数．
【答案】（1）100；（2）见解析；（3）300人．
【解析】
【分析】
（1）用条形统计图中最喜爱打排球的人数除以扇形统计图中最喜爱打排球的人数所占百分比即可求出本
次抽样调查的样本容量；
（2）用总人数乘以最喜爱打乒乓球的人数所占百分比即可求出最喜爱打乒乓球的人数，用总人数减去最
喜爱其它三项运动的人数即得最喜爱踢足球的人数，进而可补全条形统计图；
（3）用最喜爱打篮球的人数除以总人数再乘以2000即可求出结果．
【详解】解：（1）本次抽样调查的样本容量是25÷25%=100；
故答案为：100；
（2）打乒乓球的人数为100×35%=35人，踢足球的人数为100－25－35－15=25人；
补全条形统计图如图所示：（3） 人；
答：估计该校最喜爱“打篮球”的学生有300人．
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、样本容量以及利用样本估计总体等知识，属于基本题型，
熟练掌握上述基本知识是解题关键．
22.在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中．
（1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是_________；
（2）搅匀后先从中随机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上
签号的和为奇数的概率．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）由概率公式即可得出答案；
（2）画出树状图，得到所有等可能的情况，再利用概率公式求解即可．
【详解】解：（1）∵共有3个号码，
∴抽到1号签的概率是 ，
故答案为： ；
（2）画树状图如下：
所有等可能的情况有6种，其中抽到的2支签上签号的和为奇数的有4种，
∴抽到的2支签上签号的和为奇数的概率为： = .
【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23.已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上， ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数．
【答案】（1）见解析；（2）60°
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件证明△ACE≌△BDF，即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠D=∠ACE=80°，再利用三角形内角和定理求出结果.
【详解】解：（1）∵AE∥BF，
∴∠A=∠DBF，
∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，
又∵AE=BF，
∴△ACE≌△BDF（SAS），
∴∠E=∠F；
（2）∵△ACE≌△BDF，
∴∠D=∠ACE=80°，
∵∠A=40°，
∴∠E=180°-∠A-∠ACE=60°.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质和三角形内角和，解题的关键是找出三角形全等的条件.
24.某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．
（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；
（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？
【答案】（1）每千克苹果售价8元，每千克梨6千克；（2）最多购买5千克苹果
【解析】
【分析】（1）设每千克苹果售价x元，每千克梨y千克，由题意列出x、y的方程组，解之即可；
（2）设购买苹果a千克，则购买梨（15-a）千克，由题意列出a的不等式，解之即可解答．
【详解】（1）设每千克苹果售价x元，每千克梨y千克，由题意，
得： ，
解得： ，
答：每千克苹果售价8元，每千克梨6千克，
（2）设购买苹果a千克，则购买梨（15-a）千克，由题意，
得：8a+6(15-a)≤100，
解得：a≤5，
∴a最大值为5，
答：最多购买5千克苹果．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答的关键是认真审题，分析相关
信息，正确列出方程组和不等式．
25.如图，正比例函数 的图像与反比例函数 的图像交于点 ．点B为x轴正半轴
上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图像于点C，交正比例函数的图像于点D．
（1）求a的值及正比例函数 的表达式；
（2）若 ，求 的面积．
【答案】（1）a=2；y=2x；（2）
【解析】【分析】
（1）已知反比例函数解析式，点A在反比例函数图象上，故a可求；求出点A的坐标后，点A同时在正
比例函数图象上，将点A坐标代入正比例函数解析式中，故正比例函数的解析式可求．
（2）根据题意以及第一问的求解结果，我们可设B点坐标为(b，0)，则D点坐标为(b，2b)，根据
BD=10，可求b值，然后确认三角形的底和高，最后根据三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）已知反比例函数解析式为y= ，点A(a，4)在反比例函数图象上,将点A坐标代入，解得
a=2，故A点坐标为(2，4)，又∵A点也在正比例函数图象上，设正比例函数解析为y=kx，将点A(2，4)代
入正比例函数解析式中，解得k=2，则正比例函数解析式为y=2x．
故a=2；y=2x．
（2）根据第一问的求解结果，以及BD垂直x轴，我们可以设B点坐标为(b，0)，则C点坐标为(b， )、
D点坐标为(b，2b)，根据BD=10，则2b=10，解得b=5，故点B的坐标为(5，0)，D点坐标为(5，10)，C
点坐标为(5， )，则在△ACD中， = ．
故△ACD的面积为 ．
【点睛】（1）本题主要考查求解正比例函数及反比例函数解析式，掌握求解正比例函数和反比例函数解
析式的方法是解答本题的关键．
（2）本题根据第一问求解的结果以及BD垂直x轴，利用待定系数法，设B、C、D三点坐标，求出B、
C、D三点坐标，是解答本题的关键，同时掌握三角形面积公式，即可求解．
26.如图1，点B在线段 上，Rt△ ≌Rt△ ， ， ，
．（1）点F到直线 的距离是_________；
（2）固定△ ，将△ 绕点C按顺时针方向旋转30°，使得 与 重合，并停止旋转．
①请你在图1中用直尺和圆规画出线段 经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，
不要求写画法）该图形的面积为_________；
②如图2，在旋转过程中，线段 与 交于点O，当 时，求 的长．
【答案】（1）1；（2） ；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据直角三角形的性质和全等三角形的性质可得∠ACF=∠ECF=30°，即CF是∠ACB的平分线，然后
根据角平分线的性质可得点F到直线 的距离即为EF的长，于是可得答案；
（2）①易知E点和F点的运动轨迹是分别以CF和CE为半径、圆心角为30°的圆弧，据此即可画出旋转
后的平面图形；在图3中，先解Rt△CEF求出CF和CE的长，然后根据S =（S +S ）－
阴影 △CEF 扇形ACF
（S +S ）即可求出阴影面积；
△ACG 扇形CEG
②作EH⊥CF于点H，如图4，先解Rt△EFH求出FH和EH的长，进而可得CH的长，设OH=x，则CO和
OE2都可以用含x的代数式表示，然后在Rt△BOC中根据勾股定理即可得出关于x的方程，解方程即可求
出x的值，进一步即可求出结果．
【详解】解：（1）∵ ， ，∴∠ACB=60°，
∵Rt△ ≌Rt△ ，∴∠ECF=∠BAC=30°，EF=BC=1，
∴∠ACF=30°，∴∠ACF=∠ECF=30°，
∴CF是∠ACB的平分线，
∴点F到直线 的距离=EF=1；
故答案为：1；
（2）①线段 经旋转运动所形成的平面图形如图3中的阴影所示：
在Rt△CEF中，∵∠ECF=30°，EF=1，
∴CF=2，CE= ，
由旋转的性质可得：CF=CA=2，CE=CG= ，∠ACG=∠ECF=30°，
∴S =（S +S ）－（S +S ）=S －S = ；
阴影 △CEF 扇形ACF △ACG 扇形CEG 扇形ACF 扇形CEG
故答案为： ；
②作EH⊥CF于点H，如图4，
在Rt△EFH中，∵∠F=60°，EF=1，
∴ ，
∴CH= ，设OH=x，则 ， ，
∵OB=OE，∴ ，
在Rt△BOC中，∵ ，∴ ，
解得： ，
∴ ．
【点睛】本题考查了旋转的性质和旋转作图、全等三角形的性质、角平分线的性质、扇形面积公式、勾股
定理和解直角三角形等知识，涉及的知识点多，综合性较强，熟练掌握上述知识、灵活应用整体思想和方
程思想是解题的关键．
27.如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之
间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”，把 的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系 中，点E的坐标为 ，半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、
B、C、D．
①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点_________（填“A”、“B”、“C”或
“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为_________；
②若直线n的函数表达式为 ，求 关于直线n的“特征数”；
（2）在平面直角坐标系 中，直线l经过点 ，点F是坐标平面内一点，以F为圆心， 为半
径作⊙F．若⊙F与直线l相离，点 是⊙F关于直线l的“远点”，且⊙F关于直线l的“特征
数”是 ，求直线l的函数表达式．
【答案】（1）①D；10；②⊙O关于直线n的“特征数”为6；（2）直线l的解析式为y=-3x+7或y= x+
【解析】
【分析】
（1）①根据题干中“远点”及“特征数”的定义直接作答即可；②过圆心 O作OH⊥直线n，垂足为点
H，交⊙O 于点 P、Q，首先判断直线 n 也经过点 E（0，4），在 Rt△EOF 中，利用三角函数求出
∠EFO=60°，进而求出PH的长，再根据“特征数”的定义计算即可；（2）连接NF并延长，设直线l的解析式为y=kx+b,用待定系数法得到 ，再根据两条直线
1
互相垂直，两个一次函数解析式的系数k互为负倒数的关系可设直线NF的解析式为y= x+b,用待定系
2
数法同理可得 ，消去b 和b，得到关于m、n的方程组 ；根据⊙F关
1 2
于直线l的“特征数”是 ，得出NA= ，再利用两点之间的距离公式列出方程(m+1)2+n2=10，把
代入，求出k的值，便得到m、n的值即点A的坐标，再根据待定系数法求直线l的函数
表达式．注意有两种情况，不要遗漏．
【详解】解：（1）①⊙O关于直线m的“远点”是点D，
⊙O关于直线m的“特征数”为DB·DE=2×5=10；
②如下图：过圆心O作OH⊥直线n，垂足为点H，交⊙O于点P、Q，∵直线n的函数表达式为 ，
当x=0时，y=4；当y=0时，x= ，
∴直线n经过点E（0，4），点F（ ，0），
在Rt△EOF中，∵tan∠FEO= = = ，
∴∠FEO=30°，
∴∠EFO=60°，
在Rt△HOF中，∵sin∠HFO= ，
∴HO= sin∠HFO·FO=2，
∴PH=HO+OP=3，
∴PQ·PH=2×3=6，
∴⊙O关于直线n的“特征数”为6；
（2）如下图，∵点F是圆心，点 是“远点”，
∴连接NF并延长，则直线NF⊥直线l，设NF与直线l的交点为点A（m，n），
设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0）,
1将点 与A（m，n）代入y=kx+b 中，
1
②-①得：n-4=mk-k，③
又∵直线NF⊥直线l，
∴设直线NF的解析式为y= x+b（k≠0）,
2
将点 与A（m，n）代入y= x+b 中，
2
④-⑤得：-n= + ，⑥
联立方程③与方程⑥，得：
解得： ，
∴点A的坐标为（ ， ）；
又∵⊙F关于直线l的“特征数”是 ，⊙F的半径为 ，
∴NB·NA= ，
即2 ·NA= ，解得：NA= ，
∴[m-(-1)]2+(n-0)2=( )2，
即(m+1)2+n2=10，
把 代入，解得k=-3或k= ；
当k=-3时，m=2，n=1，
∴点A的坐标为（2，1），
把点A（2，1）与点 代入y=kx+b 中，解得直线l的解析式为y=-3x+7；
1
当k= 时，m=-2，n=3，
∴点A的坐标为（-2，3），
把点A（-2，3）与点 代入y=kx+b 中，解得直线l的解析式为y= x+ ．
1
∴直线l的解析式为y=-3x+7或y= x+ ．
【点睛】本题是一次函数与圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系、一次函数的图象和性质、解直角三
角形等，理解“远点”和“特征数”的意义，熟练掌握一次函数的图象和性质、两点之间距离公式、两条
直线互相垂直的两个一次函数解析式中系数k互为负倒数的关系是解题的关键．
28.如图，二次函数 的图像与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，
抛物线过点 ，且顶点为D，连接 、 、 、 ．（1）填空： ________；
（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线 交直线 于点Q．若 ，求
点P的坐标；
（3）点E在直线 上，点E关于直线 对称的点为F，点F关于直线 对称的点为G，连接 ．
当点F在x轴上时，直接写出 的长．
【答案】（1）-4；（2）（3，0）或（ ， ）；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）分点Q在CD上方和点Q在CD下方时，两种情况，结合三角函数，勾股定理等知识求解；
（3）设点C关于BD的对称点为C′，BD中点为点R，直线AC与直线BD交于N′，设C′（p，q），利用
点R到点C和点C′的距离相等以及点N′到点C和点C′的距离相等，求出点C′的坐标，从而得到C′N′直线
的解析式，从而求出点F坐标，再利用点F和点G关于直线BC对称，结合BC的表达式可求出点G坐标，
最后得到AG的长.
【详解】解：（1）∵抛物线过点C（1，0），
∴将C（1，0）代入 得0=1+b+3，
解得b=-4，
故答案为：-4；（2）由（1）可得抛物线解析式为： ，
当x=0时，y=3，
∴A的坐标为（0，3），
当y=3时得 ，
解得x=0，x=4，
1 2
∴点B的坐标为（4，3），
∵ ，
∴顶点D的坐标为（2，-1），
设BD与x轴的交点为M，作CH⊥AB于H，DG⊥CM于G，
∴tan∠ACH= tan∠OAC= ，
根据勾股定理可得BC= ，CD= ，BD= ，
∴BD= ，
∴∠BCD=90°，
∴tan∠CBD= ，
∴∠ACH=∠CBM，
∵∠HCB=∠BCM=45°，
∴∠ACH+∠HCB=∠CBM+∠MCB，
即∠ACB=∠CMD，Q在CD上方时：若 ，则Q与M点重合，
∵ 中，令y=0，解得：x=1或3，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
即此时P的坐标为（3，0）；
Q在CD下方时：过点Q作QK⊥x轴，过点C作CL⊥QM于点L，过点A作AN⊥BC于点N，
可得：AB=4，BC= ，AC= ，设CN=x，则BN= -x，
在△ABC中， ，
即 ，解得：x= ，
∴cos∠ACN= = ，
设直线BD的表达式为：y=mx+n，将B，D代入得：
，解得： ，
∴直线BD的表达式为y=2m-5，
令y=0，则x= ，即点M（ ，0），
设点Q坐标为（a，2a-5），
则QK=5-2a，CM= ，QM= ，
∵∠ACB=∠CMD，∠ACB=∠CQD，
∴∠CMD=∠CQD，即CQ=CM= ,
∴cos∠CQD=cos∠ACB= ,
∴QL= ，QM= ，CL= ，在△CQM中， ，
即 ，解得：KQ= ，
∴CK= ,
∴Q（ ， ），
设直线CQ表达式为：y=sx+t，将点C和点Q代入，
，解得： ，
则CQ表达式 为： ，联立：
，解得 ，
即点P坐标为（ ， ），
综上：点P的坐标为（3，0）或（ ， ）；（3）设点C关于BD的对称点为C′，BD中点为点R，直线AC与直线BD交于N′，
∴R（3，1），设C′（p，q），
由题意可求得：直线AC表达式为：y=-3x+3，
直线BD表达式为：y=2x-5，
直线BC的表达式为：y=x-1，
令-3x+3=2x-5，解得：x= ，则y= ，
∴点N′（ ， ），
∵点C和C′关于直线BD对称，
∴CR=C′R= BD= ，CN′=C′N′= ，
则有 ， ，
即 ，
①-②得： ③，代入①，解得： 或0（舍），代入③中，得： ，
解得： ，即点C′（ ， ），
∵N′（ ， ），
求得直线C′N′的表达式为： ，
∵点F在x轴上，令y=0，则x=7，
∴点F（7，0），
又∵点F和点G关于直线BC对称，BC：y=x-1，连接CG，
可得∠BCF=45°=∠BCG，
∴∠FCG=90°，
∴CG=CF=6,
∴点G的坐标为（1,6），又A（0，3），
∴AG的长为 .
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数解析式，一次函数，三角函数，面积法，对称的性质，
知识点较多，难度较大，解题时要注意分类讨论，画图相应图形，利用数形结合思想解答.
