2013年常州市中考数学试题及答案_中考真题_2.数学中考真题2015-2024年_地区卷_江苏省_常州中考数学08-22

2013 年江苏省常州市中招考试数学试卷
一．选择题（本大题共有8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确
的）
1．在下列实数中，无理数是（ ）
1
A．2 B．3.14 C． D． 3
2
2．如图所示圆柱的左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数中，图象经过点（1，﹣1）的反比例函数关系式是（ ）
1 1 2 2
A．y B．y C．y D．y
x x x x
4．下列计算中，正确的是（ ）
A．（a3b）2=a6b2 B．a•a4=a4 C．a6÷a2=a3 D．3a+2b=5ab
1
5．已知：甲乙两组数据的平均数都是5，甲组数据的方差S 2  ，乙组数据的方差
甲 12
1
S 2  ，下列结论中正确的是（ ）
乙 10
A．甲组数据比乙组数据的波动大 B．乙组数据的比甲组数据的波动大
C．甲组数据与乙组数据的波动一样大 D．甲组数据与乙组数据的波动不能比较
6．已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
7．二次函数yax2 bxc（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5
y 12 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 12
给出了结论：
（1）二次函数yax2 bxc有最小值，最小值为﹣3；
1
（2）当 <x<2时，y＜0；
2
1（3）二次函数yax2 bxc的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．
则其中正确结论的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
8．有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b（b＞a）的矩形纸片，5张边长为b
的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成
一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为（
）
A．a+b B．2a+b C．3a+b D．a+2b
二．填空题（本大题共有9小题，第9小题4分，其余8小题每小题2分，共20分，）
9．（4分）计算3_______，3 _______，31 _________，32 _________．
10．已知点P（3，2），则点P关于y轴的对称点P 的坐标是__________，点P关于原点O
1
的对称点P 的坐标是__________．
2
11．已知一次函数y=kx+b（k、b为常数且k≠0）的图象经过点A（0，﹣2）和点B（1，0），则
k=__________，b=__________．
12．已知扇形的半径为6cm，圆心角为150°，则此扇形的弧长是__________cm，扇形的
面积是__________cm2（结果保留π）．
2x3
13．函数y x3中自变量x的取值范围是__________；若分式 的值为0，则x=
x1
__________．
14．我市某一周的每一天的最高气温统计如下表：
最高气温（℃） 25 26 27 28
天数 1 1 2 3
则这组数据的中位数是__________，众数是__________．
15．已知x=－1是关于x的方程2x2 axa2 0的一个根，则a=__________．
16．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则
DC= _________ _ ．
21
17．在平面直角坐标系xOy中，已知第一象限内的点A在反比例函数y 的图象上，第
x
k 2
二象限内的点B在反比例函数y 的图象上，连接OA、OB，若OA⊥OB，OB= OA，
x 2
则k=__________．
三、解答题（本大题共2小题，共18分）
18．（ 8分）化简
2x 1
（1）（4分） 420130 2cos600 （2）（4分） 
x2 4 x2
19．（10分）解方程组和分式方程：
x2y0 7 5
（1）解方程组（5分） （2）（5分）解分式方程  ．
3x4y6 x2 2
四、解答题（本大题共2小题，共15分请在答题卡指定区域内作答，解答或写出文字说明及演算步
骤）
20．（ 7分）为保证中小学生每天锻炼一小时，某校开展了形式多样的体育活动项目，小
明对某班同学参加锻炼的情况进行了统计，并绘制了下面的统计图（1）和图（2）．
3（1）请根据所给信息在图（1）中将表示“乒乓球”项目的图形补充完整；
（2）扇形统计图（2）中表示”足球”项目扇形的圆心角度数为__________．
21．（8分）一只不透明的箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均
相同．
（1）从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少？
（2）从箱子中随机摸出一个球，记录下颜色后不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求
两次摸出的球都是白球的概率，并画出树状图．
五．解答题（本大题共2小时，共13分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出证明过程）
22．（6分）如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE．求证：∠A=∠B．
23．（7分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角，
AD平分∠FAC，CD平分∠ECA．
求证：四边形ABCD是菱形．
4六．解答题（本大题共2小题，请在答题卡指定区域内作答，共13分）
24．（6分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC= 3，点O为Rt△ABC内一点，连接
A0、BO、CO，且∠AOC=∠COB=BOA=120°，按下列要求画图（保留画图痕迹）：
以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B（得到A、O的
对应点分别为点A′、O′），并回答下列问题：
∠ABC=__________，∠A′BC=__________，OA+OB+OC=__________．
25．（7分）某饮料厂以300千克的A种果汁和240千克的B种果汁为原料，配制生产甲
乙两种新型饮料，已知每千克甲种饮料含0.6千克A种果汁，含0.3千克B种果汁；每千
克乙种饮料含0.2千克A种果汁，含0.4千克B种果汁．饮料厂计划生产甲、乙两种新型
饮料共650千克，设该厂生产甲种饮料x（千克）．
（1）列出满足题意的关于x的不等式组，并求出x的取值范围；
（2）已知该饮料厂的甲种饮料销售价是每1千克3元，乙种饮料销售价是每1千克4元，
那么该饮料厂生产甲、乙两种饮料各多少千克，才能使得这批饮料销售总金额最大？
5七．解答题（本大题共3小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
26．（6分）用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的
顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．设格点多边形的面积为S，该
1
多边形各边上的格点个数和为a，内部的格点个数为b，则S ab1（史称“皮克公
2
式”）．
小明认真研究了“皮克公式”，并受此启发对正三角开形网格中的类似问题进行探
究：正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点
的多边形称为格点多边形，下图是该正三角形格点中的两个多边形：
根据图中提供的信息填表：
格点多边形各边格点边多边形内格点多边形的面
上的格点的个数 部的格点个数 积
多边形1 8 1
多边形2 7 3
… … … …
一般格点多边形 a b S
则S与a、b之间的关系为S=__________（用含a、b的代数式表示）．
627．（9分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3
的⊙O上，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C、O、D按逆时
针方向排列），连接AB．
（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为__________；
（2）连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出
△ABC的面积的最大值．
（3）连接AD，当OC∥AD时，
①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？请作出判断，并说明理由．
28．（10分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+2的图象与x轴交于A，与y轴交
于点C，点B的坐标为（a，0），（其中a＞0），直线l过动点M（0，m）（0＜m＜2），且与x
轴平行，并与直线AC、BC分别相交于点D、E，P点在y轴上（P点异于C点）满足
PE=CE，直线PD与x轴交于点Q，连接PA．
（1）写出A、C两点的坐标；
7（2）当0＜m＜1时，若△PAQ是以P为顶点的倍边三角形（注：若△HNK满足
HN=2HK，则称△HNK为以H为顶点的倍边三角形），求出m的值；
（3）当1＜m＜2时，是否存在实数m，使CD•AQ=PQ•DE？若能，求出m的值（用含a的
代数式表示）；若不能，请说明理由．
8江苏省常州市 2013 年中考数学试卷
一．选择题（本大题共有8小题，每小题2分，共16分）
1．（2分）（2013•常州）在下列实数中，无理数是（ ）
A．2 B．3.14 C． D．
考点：无理数．
分析：根据无理数，有理数的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答：解：A、2是有理数，故本选项错误；
B、3.14是有理数，故本选项错误；
C、﹣ 是有理数，故本选项错误；
D、 是无理数，故本选项正确．
故选D．
点评：主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像
0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．（2分）（2013•常州）如图所示圆柱的左视图是（ ）
A． B． C． D．
考点：简单几何体的三视图
8684
分析：找到从左面看所得到的图形即可．
解答：解：此圆柱的左视图是一个矩形，故选C．
点评：本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
3．（2分）（2013•常州）下列函数中，图象经过点（1，﹣1）的反比例函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征
分析：
设将点（1，﹣1）代入所设的反比例函数关系式y= （k≠0）即可求得k的值．
解答：
解：设经过点（1，﹣1）的反比例函数关系式是y= （k≠0），则﹣1= ，
解得，k=﹣1，
所以，所求的函数关系式是y=﹣ 或 ．
故选A．
点评：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．所有反比例函数图象上点的坐标都满足该函数解析
式．
94．（2分）（2013•常州）下列计算中，正确的是（ ）
A．（a3b）2=a6b2 B．a•a4=a4 C．a6÷a2=a3 D．3a+2b=5ab
考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
分析：根据积的乘方，等于把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相
加；同底数幂相除，底数不变指数相减对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答：解：A、（a3b）2=a6b2，故本选项正确；
B、a•a4=a5，故本选项错误；
C、a6÷a2=a6﹣2=a4，故本选项错误；
D、3a与2b不是同类项，不能合并，故本选项错误．
故选A．
点评：本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，积的乘方的性质，理清指数的变化是解题的关键．
5．（2分）（2013•常州）已知：甲乙两组数据的平均数都是5，甲组数据的方差 ，乙组数据的方
差 ，下列结论中正确的是（ ）
A．甲组数据比乙组数据的波动大
B．乙组数据的比甲组数据的波动大
C．甲组数据与乙组数据的波动一样大
D．甲组数据与乙组数据的波动不能比较
考点：方差．
3718684
分析：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反
之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，结合选项进行判断即可．
解答：
解：由题意得，方差 ＜ ，
A、甲组数据没有乙组数据的波动大，故本选项错误；
B、乙组数据的比甲组数据的波动大，说法正确，故本选项正确；
C、甲组数据没有乙组数据的波动大，故本选项错误；
D、甲组数据没有乙组数据的波动大，故本选项错误；
故选B．
点评：本题考查了方差的意义，解答本题的关键是理解方差的意义，方差表示的是数据波动性的大小，方
差越大，波动性越大．
6．（2分）（2013•常州）已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是
（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
考点：直线与圆的位置关系．
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分析：根据圆O的半径和圆心O到直线l的距离的大小，相交：d＜r；相切：d=r；相离：d＞r；即可选出答案．
解答：解：∵⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为5，
∵6＞5，即：d＜r，
∴直线L与⊙O的位置关系是相交．
故选；C．
点评：本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的
关键．
7．（2分）（2013•常州）二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5
y 12 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 12
给出了结论：
10（1）二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣3；
（2）当 时，y＜0；
（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．
则其中正确结论的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
考点：二次函数的最值；抛物线与x轴的交点．
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分析：根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可
得解．
解答：解；由表格数据可知，二次函数的对称轴为直线x=1，
所以，当x=1时，二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣4；故（1）小题错误；
根据表格数据，当﹣1＜x＜3时，y＜0，
所以，﹣ ＜x＜2时，y＜0正确，故（2）小题正确；
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，分别为（﹣1，0）（3，0），它们分别在y轴两侧，故
（3）小题正确；
综上所述，结论正确的是（2）（3）共2个．
故选B．
点评：本题考查了二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，仔细分析表格数据，熟练掌握二次函数的性质是
解题的关键．
8．（2分）（2013•常州）有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b（b＞a）的矩形纸片，5张边
长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正
方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为（ ）
A．a+b B．2a+b C．3a+b D．a+2b
考点：完全平方公式的几何背景．
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分析：根据3张边长为a的正方形纸片的面积是3a2，4张边长分别为a、b（b＞a）的矩形纸片的面积是4ab，
5张边长为b的正方形纸片的面积是5b2，得出a2+4ab+4b2=（a+2b）2，再根据正方形的面积公式即可
得出答案．
解答：解；3张边长为a的正方形纸片的面积是3a2，
4张边长分别为a、b（b＞a）的矩形纸片的面积是4ab，
5张边长为b的正方形纸片的面积是5b2，
∵a2+4ab+4b2=（a+2b）2，
∴拼成的正方形的边长最长可以为（a+2b），
故选D．
点评：此题考查了完全平方公式的几何背景，关键是根据题意得出a2+4ab+4b2=（a+2b）2，用到的知识点是
完全平方公式．
二．填空题（本大题共有9小题，第9小题4分，其余8小题每小题4分，共20分，）
9．（4分）（2013•常州）计算﹣（﹣3）= 3 ，|﹣3|= 3 ，（﹣3）﹣1= ﹣ ，（﹣3）2= 9 ．
考点：有理数的乘方；相反数；绝对值；有理数的减法．
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分析：根据相反数的定义，绝对值的性质，负整数指数幂，有理数的乘方的意义分别进行计算即可得解．
解答：解：﹣（﹣3）=3，
|﹣3|=3，
（﹣3）﹣1=﹣ ，
（﹣3）2=9．
11故答案为：3；3；﹣ ；9．
点评：本题考查了相反数的定义，绝对值的性质，负整数指数幂，以及有理数的乘方的意义，是基础题．
10．（2分）（2013•常州）已知点P（3，2），则点P关于y轴的对称点P 的坐标是 （﹣ 3 ， 2 ） ，点P关
1
于原点O的对称点P 的坐标是 （﹣ 3 ，﹣ 2 ） ．
2
考点：关于原点对称的点的坐标；关于x轴、y轴对称的点的坐标．
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分析：根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同；
关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
解答：解：点P（3，2）关于y轴的对称点P 的坐标是（﹣3，2），
1
点P关于原点O的对称点P 的坐标是（﹣3，﹣2）．
2
故答案为：（﹣3，2）；（﹣3，﹣2）．
点评：本题考查了关于原点对称点点的坐标，关于y轴对称的点的坐标，熟记对称点的坐标特征是解题的
关键．
11．（2分）（2013•常州）已知一次函数y=kx+b（k、b为常数且k≠0）的图象经过点A（0，﹣2）和点B
（1 ，0），则k= 2 ，b= ﹣ 2 ．
考点：待定系数法求一次函数解析式．
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分析：把点A、B的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求一次函数解析式解答即可．
解答：解：∵一次函数y=kx+b（k、b为常数且k≠0）的图象经过点A（0，﹣2）和点B（1，0），
∴ ，
解得 ．
故答案为：2，﹣2．
点评：本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法是求函数解析式常用的方法之一，要熟
练掌握并灵活运用．
12．（2分）（2013•常州）已知扇形的半径为6cm，圆心角为150°，则此扇形的弧长是 5 π cm，扇形
的面积是 15 π cm2（结果保留π）．
考点：扇形面积的计算；弧长的计算．
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分析：
根据扇形的弧长公式l= 和扇形的面积= ，分别进行计算即可．
解答：解：∵扇形的半径为6cm，圆心角为150°，
∴此扇形的弧长是：l= =5π（cm），
根据扇形的面积公式，得
S扇= =15π（cm2）．
故答案为：5π，15π．
点评：此题主要考查了扇形弧长公式以及扇形面积公式的应用，熟练记忆运算公式进行计算是解题关键．
13．（2分）（2013•常州）函数y= 中自变量x的取值范围是 x≥ 3 ；若分式 的值为0，则
x= ．
12考点：分式的值为零的条件；函数自变量的取值范围．
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分析：根据被开方数大于等于0列式计算即可得解；
根据分式的值为0，分子等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
解答：解：根据题意得，x﹣3≥0，
解得x≥3；
2x﹣3=0且x+1≠0，
解得x= 且x≠﹣1，
所以，x= ．
故答案为：x≥3； ．
点评：本题主要考查了分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺
一不可．
14．（2分）（2013•常州）我市某一周的每一天的最高气温统计如下表：
最高气温（℃） 25 26 27 28
天数 1 1 2 3
则这组数据的中位数是 2 7 ，众数是 2 8 ．
考点：众数；中位数．
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分析：根据中位数、众数的定义，结合表格信息即可得出答案．
解答：解：将表格数据从大到小排列为：25，26，27，27，28，28，28，
中位数为：27；
众数为：28．
故答案为：27、28．
点评：本题考查了众数、中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间
的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把
数据按要求重新排列，就会出错．
15．（2分）（2013•常州）已知x=﹣1是关于x的方程2x2+ax﹣a2=0的一个根，则a= ﹣ 2 或 1 ．
考点：一元二次方程的解．
3718684
分析：方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，把x=﹣1代入方程，即可得到一个关于a的方
程，即可求得a的值．
解答：解：根据题意得：2﹣a﹣a2=0
解得a=﹣2或1
点评：本题主要考查了方程的解得定义，是需要掌握的基本内容．
16．（2分）（2013•常州）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，
则DC= 2 ．
考点：圆周角定理；含30度角的直角三角形；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系．
13分析：根据直径所对的圆周角是直角可得∠BAD=∠BCD=90°，然后求出∠CAD=30°，利用同弧所对的圆
周角相等求出∠CBD=∠CAD=30°，根据圆内接四边形对角互补求出∠BDC=60°再根据等弦所对的
圆周角相等求出∠ADB=∠ADC，从而求出∠ADB=30°，解直角三角形求出BD，再根据直角三角形
30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．
解答：解：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∵∠BAC=120°，
∴∠CAD=120°﹣90°=30°，
∴∠CBD=∠CAD=30°，
又∵∠BAC=120°，
∴∠BDC=180°﹣∠BAC=180°﹣120°=60°，
∵AB=AC，
∴∠ADB=∠ADC，
∴∠ADB= ∠BDC= ×60°=30°，
∵AD=6，
∴在Rt△ABD中，BD=AD÷cos60°=6÷ =4 ，
在Rt△BCD中，DC= BD= ×4 =2 ．
故答案为：2 ．
点评：本题考查了圆周角定理，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，以及圆的相关性质，熟记
各性质是解题的关键．
17．（2分）（2013•常州）在平面直角坐标系xOy中，已知第一象限内的点A在反比例函数 的图象
上，第二象限内的点B在反比例函数 的图象上，连接OA、OB，若OA⊥OB，OB= OA，则k=
﹣ ．
考点：反比例函数综合题．
3718684
分析：
过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，设点A的坐标为（a， ），点B的坐标为（b，
），判断出△OBF∽△AOE，利用对应边成比例可求出k的值．
解答：解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，
设点A的坐标为（a， ），点B的坐标为（b， ），
∵∠AOE+∠BOF=90°，∠OBF+∠BOF=90°，
∴∠AOE=∠OBF，
又∵∠BFO=∠OEA=90°，
∴△OBF∽△AOE，
∴ = = ，即 = = ，
则 =﹣ b①，a= ②，
①×②可得：﹣2k=1，
解得：k=﹣ ．
故答案为：﹣ ．
14点评：本题考查了反比例函数的综合题，涉及了相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标的
特点，解答本题要求同学们能将点的坐标转化为线段的长度．
三、解答题（本大题共2小题，共18分）
18．（8分）（2013•常州）化简
（1）
（2） ．
考点：分式的加减法；实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
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专题：计算题．
分析：（1）分别进行二次根式的化简、零指数幂的运算，代入特殊角的三角函数值即可得出答案．
（2）先通分，然后再进行分子的加减运算，最后化简即可．
解答：
解：（1）原式=2﹣1+2× =2．
（2）原式= ﹣ = = ．
点评：本题考查了分式的加减运算、特殊角的三角函数值及零指数幂的运算，属于基础题，掌握各部分的
运算法则是关键．
19．（10分）（2013•常州）解方程组和分式方程：
（1）
（2） ．
考点：解分式方程；解二元一次方程组．
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分析：（1）利用代入消元法解方程组；
（2）最简公分母为2（x﹣2），去分母，转化为整式方程求解，结果要检验．
解答：
解：（1） ，
由①得x=﹣2y ③
把③代入②，得3×（﹣2y）+4y=6，
解得y=﹣3，
把y=﹣3代入③，得x=6，
所以，原方程组的解为 ；
15（2）去分母，得14=5（x﹣2），
解得x=4.8，
检验：当x=4.8时，2（x﹣2）≠0，
所以，原方程的解为x=4.8．
点评：本题考查了解分式方程，解二元一次方程组．（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方
程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
四、解答题（本大题共2小题，共15分请在答题卡指定区域内作答，解答或写出文字说明及演算步
骤）
20．（7分）（2013•常州）为保证中小学生每天锻炼一小时，某校开展了形式多样的体育活动项目，小
明对某班同学参加锻炼的情况进行了统计，并绘制了下面的统计图（1）和图（2）．
（1）请根据所给信息在图（1）中将表示“乒乓球”项目的图形补充完整；
（2）扇形统计图（2）中表示”足球”项目扇形的圆心角度数为 72 ° ．
考点：条形统计图；扇形统计图．
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分析：（1）首先根据打篮球的人数是20人，占40%，求出总人数，再用总人数减去篮球、足球和其它人数得
出乒乓球的人数，用各个爱好的人数除以总人数，即可得出所占的百分百，从而补全统计图；
（2）用360°乘以足球所占的百分百，即可得出扇形的圆心角的度数．
解答：解：（1）总人数是：20÷40%=50（人），
则打乒乓球的人数是：50﹣20﹣10﹣15=5（人）．
足球的人数所占的比例是： ×100%=20%，
打乒乓球的人数所占的比例是： ×100%=10%；
其它的人数所占的比例是： ×100%=30%．
补图如下：
（2）根据题意得：
360°× =72°，
16则扇形统计图（2）中表示”足球”项目扇形的圆心角度数为72°；
故答案为：72°．
点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信
息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总
体的百分比大小．
21．（8分）（2013•常州）一只不透明的箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均
相同．
（1）从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少？
（2）从箱子中随机摸出一个球，记录下颜色后不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出的
球都是白球的概率，并画出树状图．
考点：列表法与树状图法．
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专题：图表型．
分析：（1）根据概率的意义列式即可；
（2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
解答：解：（1）∵共有3个球，2个白球，
∴随机摸出一个球是白球的概率为 ；
（2）根据题意画出树状图如下：
一共有6种等可能的情况，两次摸出的球都是白球的情况有2种，
所以，P（两次摸出的球都是白球）= = ．
点评：本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
五．解答题（本大题共2小时，共13分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出证明过程）
22．（6分）（2013•常州）如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE．
求证：∠A=∠B．
考点：全等三角形的判定与性质．
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专题：证明题．
分析：根据中点定义求出AC=BC，然后利用“SSS”证明△ACD和△BCE全等，再根据全等三角形对应角
相等证明即可．
解答：证明：∵C是AB的中点，
∴AC=BC，
17在△ACD和△BCE中， ，
∴△ACD≌△BCE（SSS），
∴∠A=∠B．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，比较简单，主要利用了三边对应相等，两三角形全等，以及全
等三角形对应角相等的性质．
23．（7分）（2013•常州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角，
AD平分∠FAC，CD平分∠ECA．
求证：四边形ABCD是菱形．
考点：菱形的判定．
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专题：证明题．
分析：根据平行四边形的判定方法得出四边形ABCD是平行四边形，再利用菱形的判定得出．
解答：证明：∵∠B=60°，AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，
∴∠ACB=60°，
∠FAC=∠ACE=120°，
∴∠BAD=∠BCD=120°，
∴∠B=∠D=60°，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形．
点评：此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定和角平分线的性质等内容，注意菱形与平行四边
形的区别，得出AB=BC是解决问题的关键．
六．解答题（本大题共2小题，请在答题卡指定区域内作答，共13分）
24．（6分）（2013•常州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC= ，点O为Rt△ABC内一点，连接
A0、BO、CO，且∠AOC=∠COB=BOA=120°，按下列要求画图（保留画图痕迹）：
以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B（得到A、O的对应点分别为
点A′、O′），并回答下列问题：
∠ABC= 30 ° ，∠A′BC= 90 ° ，OA+OB+OC= ．
18考点：作图-旋转变换．
专题：作图题．
分析：解直角三角形求出∠ABC=30°，然后过点B作BC的垂线，在截取A′B=AB，再以点A′为圆心，以AO
为半径画弧，以点B为圆心，以BO为半径画弧，两弧相交于点O′，连接A′O′、BO′，即可得到
△A′O′B；根据旋转角与∠ABC的度数，相加即可得到∠A′BC；
根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB=2AC，即A′B的长，再根据旋转的性
质求出△BOO′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BO=OO′，等边三角形三个角都
是60°求出∠BOO′=∠BO′O=60°，然后求出C、O、A′、O′四点共线，再利用勾股定理列式求出A′C，从
而得到OA+OB+OC=A′C．
解答：解：∵∠C=90°，AC=1，BC= ，
∴tan∠ABC= = = ，
∴∠ABC=30°，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，
∴△A′O′B如图所示；
∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°，
∵∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，
∴AB=2AC=2，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，
∴A′B=AB=2，BO=BO′，A′O′=AO，
∴△BOO′是等边三角形，
∴BO=OO′，∠BOO′=∠BO′O=60°，
∵∠AOC=∠COB=BOA=120°，
∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BO′O=120°+60°=180°，
∴C、O、A′、O′四点共线，
在Rt△A′BC中，A′C= = = ，
∴OA+OB+OC=A′O′+OO′+OC=A′C= ．
故答案为：30°；90°； ．
点评：本题考查了利用旋转变换作图，旋转变换的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半
的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，综合性较强，最后一问求出C、O、A′、O′四点共线是解
题的关键．
1925．（7分）（2013•常州）某饮料厂以300千克的A种果汁和240千克的B种果汁为原料，配制生产甲、
乙两种新型饮料，已知每千克甲种饮料含0.6千克A种果汁，含0.3千克B种果汁；每千克乙种饮料
含0.2千克A种果汁，含0.4千克B种果汁．饮料厂计划生产甲、乙两种新型饮料共650千克，设该厂
生产甲种饮料x（千克）．
（1）列出满足题意的关于x的不等式组，并求出x的取值范围；
（2）已知该饮料厂的甲种饮料销售价是每1千克3元，乙种饮料销售价是每1千克4元，那么该饮料
厂生产甲、乙两种饮料各多少千克，才能使得这批饮料销售总金额最大？
考点：一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．
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分析：（1）表示出生产乙种饮料（650﹣x）千克，然后根据所需A种果汁和B种果汁的数量列出一元一次不
等式组，求解即可得到x的取值范围；
（2）根据销售总金额等于两种饮料的销售额的和列式整理，再根据一次函数的增减性求出最大销售
额．
解答：解：（1）设该厂生产甲种饮料x千克，则生产乙种饮料（650﹣x）千克，
根据题意得， ，
由①得，x≤425，
由②得，x≥200，
所以，x的取值范围是200≤x≤425；
（2）设这批饮料销售总金额为y元，
根据题意得，y=3x+4（650﹣x）=3x+2600﹣4x=﹣x+2600，
即y=﹣x+2600，
∵k=﹣1＜0，
∴当x=200时，这批饮料销售总金额最大，为﹣200+2600=2400元．
点评：本题考查了一次函数的应用，列一元一次不等式组解实际问题，根据A、B果汁的数量列出不等式组
是解题的关键，（2）主要利用了一次函数的增减性．
七．解答题（本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
26．（6分）（2013•常州）用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的
顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．设格点多边形的面积为S，该多边形各边上
的格点个数和为a，内部的格点个数为b，则S= a+b﹣1（史称“皮克公式”）．
小明认真研究了“皮克公式”，并受此启发对正三角开形网格中的类似问题进行探究：正三角形网
格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，
下图是该正三角形格点中的两个多边形：
根据图中提供的信息填表：
格点多边形各边上格点边多边形内部格点多边形的面积
的格点的个数 的格点个数
多边形1 8 1
多边形2 7 3
20… … … …
一般格点多边形 a b S
则S与a、b之间的关系为S= a+ 2 （ b﹣ 1 ） （用含a、b的代数式表示）．
考点：规律型：图形的变化类．
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分析：根据8=8+2（1﹣1），11=7+2（3﹣1）得到S=a+2（b﹣1）．
解答：解：填表如下：
格点多边形各边上格点边多边形内部格点多边形的面积
的格点的个数 的格点个数
多边形1 8 1 8
多边形2 7 3 11
… … … …
一般格点多边形 a b S
则S与a、b之间的关系为S=a+2（b﹣1）（用含a、b的代数式表示）．
点评：考查了作图﹣应用与设计作图．此题需要根据图中表格和自己所算得的数据，总结出规律．寻找规
律是一件比较困难的活动，需要仔细观察和大量的验算．
27．（9分）（2013•常州）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为
3的⊙O上，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排
列），连接AB．
（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为 45 ° 或 135 ° ；
（2）连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积的
最大值．
（3）连接AD，当OC∥AD时，
①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？请作出判断，并说明理由．
考点：圆的综合题．
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专题：综合题．
分析：（1）根据点A和点B坐标易得△OAB为等腰直角三角形，则∠OBA=45°，由于OC∥AB，所以当C点
在y轴左侧时，有∠BOC=∠OBA=45°；当C点在y轴右侧时，有∠BOC=180°﹣∠OBA=135°；
（2）由△OAB为等腰直角三角形得AB= OA=6 ，根据三角形面积公式得到当点C到AB的距
离最大时，△ABC的面积最大，过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，
此时C点到AB的距离的最大值为CE的长然后利用等腰直角三角形的性质计算出OE，然后计算
△ABC的面积；
（3）①过C点作CF⊥x轴于F，易证Rt△OCF∽Rt△AOD，则 = ，即 = ，解得CF= ，再利用勾
股定理计算出OF= ，则可得到C点坐标；
②由于OC=3，OF= ，所以∠COF=30°，则可得到∴BOC=60°，∠AOD=60°，然后根据“SAS”判断
21△BOC≌△AOD，所以∠BCO=∠ADC=90°，再根据切线的判定定理可确定
直线BC为⊙O的切线．
解答：解：（1）∵点A（6，0），点B（0，6），
∴OA=OB=6，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OBA=45°，
∵OC∥AB，
∴当C点在y轴左侧时，∠BOC=∠OBA=45°；当C点在y轴右侧时，∠BOC=180°﹣∠OBA=135°；
（2）∵△OAB为等腰直角三角形，
∴AB= OA=6 ，
∴当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，
过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，如图，此时C点到AB的距离的最大值为CE
的长，
∵△OAB为等腰直角三角形，
∴AB= OA=6 ，
∴OE= AB=3 ，
∴CE=OC+CE=3+3 ，△ABC的面积= CE•AB= ×（3+3 ）×6 =9 +18．
∴当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，△ABC的面积最大，最大值为9
+18．
（3）①如图，过C点作CF⊥x轴于F，
∵OC∥AD，
∴∠ADO=∠COD=90°，
∴∠DOA+∠DAO=90°
而∠DOA+∠COF=90°，
∴∠COF=∠DAO，
∴Rt△OCF∽Rt△AOD，
∴ = ，即 = ，解得CF= ，
在Rt△OCF中，OF= = ，
∴C点坐标为（﹣ ， ）；
②直线BC是⊙O的切线．理由如下：
在Rt△OCF中，OC=3，OF= ，
∴∠COF=30°，
∴∠OAD=30°，
∴∠BOC=60°，∠AOD=60°，
∵在△BOC和△AOD中
，
∴△BOC≌△AOD（SAS），
∴∠BCO=∠ADC=90°，
∴OC⊥BC，
∴直线BC为⊙O的切线．
22点评：本题考查了圆的综合题：掌握切线的判定定理、平行线的性质和等腰直角三角形的判定与性质；熟
练运用勾股定理和相似比进行几何计算．
28．（10分）（2013•常州）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+2的图象与x轴交于A，与y轴
交于点C，点B的坐标为（a，0），（其中a＞0），直线l过动点M（0，m）（0＜m＜2），且与x轴平行，并
与直线AC、BC分别相交于点D、E，P点在y轴上（P点异于C点）满足PE=CE，直线PD与x轴交于
点Q，连接PA．
（1）写出A、C两点的坐标；
（2）当0＜m＜1时，若△PAQ是以P为顶点的倍边三角形（注：若△HNK满足HN=2HK，则称
△HNK为以H为顶点的倍边三角形），求出m的值；
（3）当1＜m＜2时，是否存在实数m，使CD•AQ=PQ•DE？若能，求出m的值（用含a的代数式表示）；
若不能，请说明理由．
考点：一次函数综合题
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分析：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征求解；
23（2）如答图1所示，解题关键是求出点P、点Q的坐标，然后利用PA=2PQ，列方程求解；
（3）如答图2所示，利用相似三角形，将已知的比例式转化为： ，据此列方程求出m的值．
解答：解：（1）在直线解析式y=2x+2中，令y=0，得x=﹣1；x=0，得y=2，
∴A（﹣1，0），C（0，2）；
（2）当0＜m＜1时，依题意画出图形，如答图1所示．
∵PE=CE，∴直线l是线段PC的垂直平分线，
∴MC=MP，又C（0，2），M（0，m），
∴P（0，2m﹣2）；
直线l与y=2x+2交于点D，令y=m，则x= ，∴D（ ，m），
设直线DP的解析式为y=kx+b，则有
，解得：k=﹣2，b=2m﹣2，
∴直线DP的解析式为：y=﹣2x+2m﹣2．
令y=0，得x=m﹣1，∴Q（m﹣1，0）．
已知△PAQ是以P为顶点的倍边三角形，由图可知，PA=2PQ，
∴ ，即 ，
整理得：（m﹣1）2= ，解得：m= （ ＞1，不合题意，舍去）或m= ，
∴m= ．
（3）当1＜m＜2时，假设存在实数m，使CD•AQ=PQ•DE．
依题意画出图形，如答图2所示．
由（2）可知，OQ=m﹣1，OP=2m﹣2，由勾股定理得：PQ=yax2bxc（m﹣1）；
∵A（﹣1，0），Q（m﹣1，0），B（a，0），∴AQ=m，AB=a+1；
∵OA=1，OC=2，由勾股定理得：CA=yax2bxc．
∵直线l∥x轴，∴△CDE∽△CAB，
∴ ；
又∵CD•AQ=PQ•DE，∴ ，
∴ ，即 ，
解得：m= ．
∵1＜m＜2，∴当0＜a≤1时，m≥2，m不存在；当a＞1时，m= ．
∴当1＜m＜2时，若a＞1，则存在实数m= ，使CD•AQ=PQ•DE；若0＜a≤1，则m不存在．
24点评：本题是代数几何综合题，考查了坐标平面内一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、勾股
定理、解方程等知识点．题目综合性较强，有一定的难度．第（3）问中，注意比例式的转化 ，这
样可以简化计算．
25