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江苏省常州市 2021 年数学中考真题
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有
一项是正确的）
1. 的倒数是（ ）
A. 2 B. ﹣2 C. D. ﹣
2. 计算 的结果是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. 正方体 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 球
4. 观察所示脸谱图案，下列说法正确的是（ ）
A. 它是轴对称图形，不是中心对称图形 B. 它是中心对称图形，不是轴对称图形
C. 它既是轴对称图形，也是中心对称图形 D. 它既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
5. 如图， 是 的直径， 是 的弦．若 ，则 的度数是（ ）A. B. C. D.
6. 以下转盘分别被分成2个、4个、5个、6个面积相等的扇形，任意转动这4个转盘各1次．已知某转盘
停止转动时，指针落在阴影区域的概率是 ，则对应的转盘是（ ）
A.
B.
C.D.
7. 已知二次函数 ，当 时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 为规范市场秩序、保障民生工程，监管部门对某一商品的价格持续监控．该商品的价格 （元/件）随
时间t（天）的变化如图所示，设 （元/件）表示从第1天到第t天该商品的平均价格，则 随t变化的
图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接
填写在答题卡相应位置上）9. 计算： ___．
10. 计算： __________．
11. 分解因式： __________．
12. 近年来，5G在全球发展迅猛，中国成为这一领域基础设施建设、技术与应用落地的一大推动者．截至
2021年3月底，中国已建成约819000座5G基站，占全球70%以上．数据819000用科学记数法表示为
__________．
13. 数轴上的点A、B分别表示 、2，则点__________离原点的距离较近（填“A”或“B”）．
14. 如图，在平面直角坐标系 中，四边形 是平行四边形，其中点A在x轴正半轴上．若
，则点A的坐标是__________．
15. 如图，在 中，点D、E分别在 、 上， ．若 ，则
________ ．16. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在
中，分别取 、 的中点D、E，连接 ，过点A作 ，垂足为F，将 分割
后拼接成矩形 ．若 ，则 的面积是__________．
17. 如图，在 中， ，点D、E分别在 、 上，点F在 内．若四边形
是边长为1 的正方形，则 ________．
18. 如图，在 中， ，D是 上一点（点D与点A不重合）．
若在 的直角边上存在4个不同的点分别和点A、D成为直角三角形的三个顶点，则 长的取值
范围是________．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解
答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 计算： ．
20. 解方程组和不等式组：
（1）
（2）
21. 为降低处理成本，减少土地资源消耗，我国正在积极推进垃圾分类政策，引导居民根据“厨余垃圾”、
“有害垃圾”、“可回收物”和“其他垃圾”这四类标准将垃圾分类处理调查小组就某小区居民对垃圾分
类知识的了解程度进行了抽样调查，并根据调查结果绘制成如下统计图．（1）本次调查的样本容量是_______；
（2）补全条形统计图；
（3）已知该小区有居民2000人，请估计该小区对垃圾分类知识“完全了解”的居民人数．
22. 在3张相同的小纸条上，分别写上条件：①四边形 是菱形；②四边形 有一个内角是直
角；③四边形 的对角线相等．将这3张小纸条做成3支签，放在一个不透明的盒子中．
（1）搅匀后从中任意抽出1支签，抽到条件①的概率是__________；
（2）搅匀后先从中任意抽出1支签（不放回），再从余下 的2支签中任意抽出1支签．四边形 同
时满足抽到的2张小纸条上的条件，求四边形 一定是正方形的概率．
23. 如图，B、F、C、E是直线l上的四点， ．（1）求证： ；
（2）将 沿直线l翻折得到 ．
①用直尺和圆规在图中作出 （保留作图痕迹，不要求写作法）；
②连接 ，则直线 与l的位置关系是__________．
24. 为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景
点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天，该景点在设施改造后平均
每天用水多少吨？
25. 如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比
例函数 的图像交于点C，连接 ．已知点 ， ．
（1）求b、k的值；
（2）求 的面积．
26. 通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，
这是“数形结合”思想的典型应用．
【理解】
（1）如图1， ，垂足分别为C、D，E是 的中点，连接 ．已知 ，
．
①分别求线段 、 的长（用含a、b的代数式表示）；
②比较大小： __________ （填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代数式表示该大小关系．【应用】
（2）如图2，在平面直角坐标系 中，点M、N在反比例函数 的图像上，横坐标分别为
m、n．设 ，记 ．
①当 时， __________；当 时， ________；
②通过归纳猜想，可得l的最小值是__________．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．
27. 在平面直角坐标系 中，对于A、 两点，若在y轴上存在点T，使得 ，且
，则称A、 两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点 、
，点 在一次函数 的图像上．
（1）①如图，在点 、 、 中，点M的关联点是_______（填“B”、“C”或
“D”）；
②若在线段 上存在点 的关联点 ，则点 的坐标是_______；
（2）若在线段 上存在点Q的关联点 ，求实数m的取值范围；
（3）分别以点 、Q为圆心，1为半径作 、 ．若对 上的任意一点G，在 上总存在点 ，使得G、 两点互相关联，请直接写出点Q的坐标．
28. 如图，在平面直角坐标系 中，正比例函数 和二次函数 的图像都
经过点 和点B，过点A作 的垂线交x轴于点C．D是线段 上一点（点D与点A、O、B不重
合），E是射线 上一点，且 ，连接 ，过点D作x轴的垂线交抛物线于点F，以 、
为邻边作 ．
（1）填空： ________， ________；
（2）设点D的横坐标是 ，连接 ．若 ，求t的值；（3）过点F作 的垂线交线段 于点P．若 ，求 的长．
