文档内容
乐平三中 2024-2025 学年度上学期期中考试
高二数学试卷
满分：150分 考试时间：120（分钟） 命题人：洪乃明 审题人：叶休
第一部分 选择题（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知直线 过点 ， ，则直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出直线的斜率，由斜率与倾斜角关系即可求解.
【详解】由题可得： ，所以直线 的倾斜角为： ；
故选：C
2. 直线 的方向向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线的斜率及方向向量定义判断即可.
1
【详解】直线 的斜率为 ，所以方向向量是 .
2
故选：A.
3. “ ”是“两条直线 ， 平行”的（ ）
.
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C【解析】
【分析】利用直线平行的条件计算可得结论.
【详解】当 时，两条直线 ， ，两直线平行，
所以“ ”是“两条直线 ， 平行”的充分条件；
因为直线 的斜率存在且为 ，
由两直线平行，所以 的斜率存在且为 ，
所以 ，解得 或 ，
当 时，直线方程均为 ，此时直线重合，故 不符合题意，舍去；
所以“ ”是“两条直线 ， 平行”的充要条件.
故选：C.
4. 定义：通过 小时内降水在平地上的积水厚度（ ）来判断降雨程度；其中小雨（ ），
中雨（ ），大雨（ ），暴雨（ ）；小明用一个圆锥形容器（如
图）接了 小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级（ ）
.
A 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨
【答案】B
【解析】
【分析】计算圆锥的体积，进而可得降雨高度，即可判断.【详解】
做出容器的轴截面，如图所示，
则 ， ， ，
则 为 中点，
则 ， ，
由已知在直径为 的圆柱内的降雨总体积 ，
则降雨高度为 ，
所以降雨级别为中雨，
故选：B.
5. 直线 关于x=1对称直线 ，直线 的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可知直线 与直线 交于点 ，求出原点关于直线 对称的对称
点B，利用两点坐标求直线斜率公式和直线的点斜式方程即可得出结果.
【详解】如图，直线 与直线 交于点 ，直线 过原点 ，因为直线 与直线l关于直线 对称，
所以原点关于直线 的对称点为 ，且直线l过点A、B，
则直线l的斜率为 ，
所以直线l的方程为 ，
即 .
故选：C
6. 若P是 所在平面外一点，且 ， ，则点P在 所在平面内的射影O是
的（ ）
A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心
【答案】D
【解析】
【分析】根据且 ， ，利用线面垂直的判定定理得到 ， 即可.
【详解】解：如图所示：因为 ，且 ，
所以 平面 ，则 ，
同理得 ，
所以O是 的垂心．
故选：D
7. 四边形ABCD是矩形， ，点E，F分别是AB，CD的中点，将四边形AEFD绕 旋转至与
四边形 重合，则直线 所成角 在旋转过程中（ ）
A. 逐步变大 B. 逐步变小
C. 先变小后变大 D. 先变大后变小
【答案】D
【解析】
【分析】根据初始时刻ED与BF所成角可判断BC，由题可知 在平面 内的投影 一直落在直线
上，进而某一时刻 ，可得 与 所成角为 ，可判断AD.
【详解】由题可知初始时刻 与 所成角为0，故 错误，
在四边形AEFD绕 旋转过程中， ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，故 在平面 内的投影 一直落在直线 上，所以一定存在某一时刻 ，而 平面 ， ，又 平面
，
所以 平面 ，此时 与 所成角为 ，然后 开始变小，
故直线 所成角 在旋转过程中先变大后变小，故选项A错误，选项D正确.
故选：D.
8. 半球内放三个半径为 的小球，三小球两两相切，并且与球面及半球底面的大圆面也相切，则该半球
的半径是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件求出以三个小球的球心 、 、 构成的三角形的外接圆半径，再通过勾股定理求解
即可.
【详解】
三个小球的球心 、 、 构成边长为 的正三角形，则其外接圆半径为 ．
设半球的球心为 ，小球 与半球底面切于点 ．如图，经过点 、 、 作半球的截面，半圆 的半径 ， 于点 ．
则 ．
在 中，由 ．
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题中，正确的有（ ）
A. 若向量 、 与空间任意向量都不能构成一组基，则
B. 若非零向量 ， ， 满足 ， ，则有
C. “倾斜角相等”是“斜率相等”的充要条件
D. 若 是空间的一组基，则 也是空间的一组基
【答案】AD
【解析】
【分析】根据空间向量共线、垂直、基底、共面、倾斜角和斜率的关系、充要条件等知识对选项进行分析，
从而确定正确答案.
【详解】A选项，∵ ， 与任何向量都不构成空间向量的基底，
∴ ， 只能为共线向量，∴ ，A对；
B选项，取 ， ， ，显然满足 ， ，
但 与 不平行，B不对；
C选项，倾斜角相等时，可能倾斜角都是 ，此时直线没有斜率，所以C选项错误.
D选项，∵ ， ， 为一组基底，
∴对于空间任意向量 ，存在实数m，n，t，
使 ，∴ ， ， 也是一组基底，D对；
故选：AD
10. 用一个平面去截正方体，所得截面不可能是（ ）
A. 直角三角形 B. 直角梯形 C. 正五边形 D. 正六边形
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据正方体的几何特征，我们可分别画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，然后逐一
与四个答案中的图形进行比照，即可判断选项．
【详解】当截面为三角形时，可能出现正三角形，但不可能出现直角三角形；
截面为四边形时，可能出现矩形，平行四边形，等腰梯形，但不可能出现直角梯形；
当截面为五边形时，不可能出现正五边形；
截面为六边形时，可能出现正六边形，
故选：ABC．
11. 如图，在正方体 中，点P在线段 上运动，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线 平面
B. 三棱锥 的体积为定值
C. 异面直线 与 所成角的取值范围是D. 直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】在选项A中，利用线面垂直的判定定理，结合正方体的性质进行判断即可；
在选项B中，根据线面平行的判定定理、平行线的性质，结合三棱锥的体积公式进行求解判断即可；
在选项C中，根据异面直线所成角的定义进行求解判断即可；
在选项D中，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法
进行求解即可.
【详解】在选项A中，∵ ， ， ，
且 平面 ，
∴ 平面 ， 平面 ，
∴ ，
同理， ，
∵ ，且 平面 ，
∴直线 平面 ，故A正确；
在选项B中，
∵ ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
∵点 在线段 上运动，
∴ 到平面 的距离为定值，又 的面积是定值，
∴三棱锥 的体积为定值，故B正确；
在选项C中，∵ ，
∴异面直线 与 所成角为直线 与直线 的夹角.
易知 为等边三角形，
当 为 的中点时， ；
当 与点 或 重合时，直线 与直线 的夹角为 .
故异面直线 与 所成角的取值范围是 ，故C错误；
在选项D中，
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，如图，
设正方体 的棱长为1，
则 ， ， ， ，
所以 ， .
由A选项正确：可知 是平面 的一个法向量，
∴直线 与平面 所成角的正弦值为： ，∴当 时，直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 ，故D正确.
故选：ABD
第二部分 非选择题（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设直线 ， 的方向向量分别为 ， ，若 ，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标表示可得方程，解方程即可.
【详解】由已知 ，即 ，
则 ，
解得 ，
故答案为： .
13. 有一根高为 ，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落
在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为________.
【答案】
【解析】
【分析】考虑圆柱的侧面展开图，将其延展一倍后矩形的对角线的长度即为铁丝的最短长度.
【详解】如图，把圆柱的侧面展开图再 延展一倍，
所以铁丝的最短长度即为 的长，又 ，填 .
【点睛】几何体表面路径最短问题，往往需要考虑几何体的侧面展开图，把空间问题转为平面问题来处理.
14. 如图，已知正三棱锥 的侧棱长为 ，过其底面中心 作动平面 ，交线段 于点 ，交， 的延长线于 ， 两点.则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】利用空间向量的线性运算得到 ，再利用空间四点共面的
性质即可得解.
【详解】依题意，设 ，
则 ， ， ，
由 为底面 中心，连接 ， ，，
又因为 四点共面，
所以 且 ，
所以 ，即 ，
即 .
故答案为：
【点睛】关键点睛：空间向量的有效运用：空间向量是解决空间几何问题的有力工具. 通过设定向量的关
系，可以有效地将几何问题转化为代数问题，简化求解过程.共面条件的判断：四点共面的条件在空间几何
中非常重要. 利用这一条件，可以将空间中的复杂关系转化为简单的线性关系，方便求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知直线 ．
（1）若直线 不经过第一象限，求k的取值范围；
（2）若直线 交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B， 的面积为S（O为坐标原点），求S的最小
值和此时直线 的方程．
【答案】（1）
（2） 的最小值为 ，此时直线 的方程为
【解析】
【分析】(1)验证 时，直线 是否符合要求，当 时，将直线方程化为斜截式，结合条件列不等式求k的取值范围；(2)先求直线在 轴和 轴上的截距，表示 的面积，利用基本不等式求其最小值.
【小问1详解】
当 时，方程 可化为 ，不经过第一象限；
当 时，方程 可化为 ，
要使直线不经过第一象限，则
解得 ．
综上，k的取值范围为 ．
【小问2详解】
由题意可得 ，
由 取 得 ，
取 得 ，
所以 ，
当且仅当 时，即 时取等号，
综上，此时 ，直线 的方程为 ．
16. 如图， 平面 ， ， ， ， ，
．（1）求证： 平面ADE；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可利用面面平行的判定定理证明平面 平面ADE，再由面面平行的性质可得
结论；
（2）由几何体特征建立以 为原点的空间直角坐标系 ，利用空间向量求出直线 的方向向量与
平面 的法向量，即可求出直线 与平面 所成角的正弦值.
【小问1详解】
由 ， 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
由 ， 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
而 ， 平面 ，
故平面 平面 ，
又 平面BCF，则 平面 ；
【小问2详解】
平面ABCD， 平面 ，
则 ， ，又 ，以 为原点，分别以 为 轴构建空间直角坐标系 ，如下图所示：
又 ， ，
所以 ， ， ， ，
则 ， ， ，
令平面 的一个法向量 ，则 ，
令 ，则 ，即 ，
所以 ，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
17. 如图， 为矩形， 为梯形，平面 平面 ， ，
， .（1）若M为 中点，求证： 平面 ；
（2）求直线 与直线 所成角的大小；
（3）设平面 平面 ，试判断l与平面 能否垂直？并证明你的结论.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）能垂直，证明见解析
【解析】
【分析】（1）先证明 ，再利用线面垂直的判定定理即可证明；
（2）利用线线平行可得 是直线 与直线 所成角，利用面面垂直可得 ，结合已知条
件可得 ，利用线面垂直可得 ，可得出 的值，即可求解.
（3）根据题意可得 ，利用平行的传递性，可证明 平面 .
【小问1详解】
连结 ，交 于 ，连接 ，
∵ 为矩形，∴ 为 的中点，
在 中， ， 分别为 ， 的中点，
∴ ，
因为 面 ， 面 ，
所以 平面 .
【小问2详解】
∵ ，∴ ，∴ 是直线 与直线 所成角.
∵ 为矩形，∴ ，
∵平面 平面 ，
又 平面 ，平面 平面 ，
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴ ， ，
在 中，∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
又∵ ， ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，∵ 平面 ，∴ ，
在 中，∵ ，∴ ，
∴ ，从而直线 与直线 所成的角为 ；
【小问3详解】
l与平面 垂直.证明如下：
∵ 为矩形，∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，
平面 ，∵平面 平面 ，
∴ ，则 ，
由（2）可知 平面 ，∴ 平面 .18. 如 图 ， 平 行 六 面 体 的 所 有 棱 长 均 为 ， 底 面 为 正 方 形 ，
，点 为 的中点，点 为 的中点，动点 在平面 内．
（1）若 为 中点，求证： ；
的
（2）若 平面 ，求线段 长度 最小值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由条件先求 ， ， ，再证明 ，由此完成证明；
（2）建立空间直角坐标系，设 ，求平面 的法向量和直线 的方向向量，由条件列方程
确定 的关系，再求 的最小值即可.
【小问1详解】由已知 ， ， ， ，
所以 ，
，
，
因为 为 中点，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以
所以
【小问2详解】
连接 ， ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
连接 ，
由正方形的性质可得 三点共线， 为 的中点，
所以 ，
由第一问 ，
平面 ， ，
所以 平面 ，
以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系
、 、 、 、
，
设平面 法向量为 ， ，
则 ，所以 ，
∴ ，
令 ，则 ， ．
∴ 为平面 的一个法向量，
因为点 在平面 内，故设点 的坐标为 ，
因为 ，
所以 ，
，则 ，
所以 ，
所以当 时， 有最小值，最小值为 .
19. 在空间直角坐标系中，若平面 过点 ，且平面 的一个法向量为⃗n=(a,b,c)，则平面
的方程为 ，该方程称为平面 的点法式方程，整理后为
（其中 ），该方程称为平面 的一般式方程.如图，在四棱柱
中，底面 是平行四边形， ， ， 两两垂直， ， ，
直线 与平面 所成的角为 ，以 为坐标原点， ， ， 的方向分别是 ， ， 轴的
正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.（1）求平面 的一般式方程.
（2）求 到直线 的距离.
（3）在棱 是否存在点 ，使得平面 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，请
说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）存在，且
【解析】
【分析】（1）根据直线 与平面 所成的角求得 ，根据平面的点法式方程求得正确答案.
（2）利用等面积法来求得 到直线 的距离.
（3）设出 点的坐标，利用面面垂直列方程，化简求得正确答案.
【小问1详解】
由于 平面 ，
的
所以 平面 ，所以 是直线 与平面 所成 角，
所以 ，所以 .
所以 ，所以 ,
，设平面 的法向量为 ，
则 ，故可设 ， 平面 ，
则平面 的方程为 ，
即 .
【小问2详解】
在 中， ， ，
设 到 的距离为 ，则 ，
由于平行四边形 和平行四边形 全等，
所以 到直线 的距离等于设 到 的距离，
即 到直线 的距离为 .
【小问3详解】
， ， ，
，
即 ，而 ，
所以 ，
设 ，则 ，即 ，
所以 ， ，， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，故可设 .
设平面 的法向量为 ，
则 ，故可设 ，
若平面 平面 ，则 ，
即 ，
解得 ，负根舍去，
所以存在符合题意的点 ，且 .
