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1993年全国硕士研究生招生考试
数学(一)
(科目代码：301)
一、 填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)
(1) 函数FQ) =「(2 —厶)业& >0)的单调减区间为________ .
Ji 4t
9v2 =12
2 _i_
(2) 由曲线 ’绕夕轴旋转一周而得到的旋转曲面在点(0,73 ,72 )处的指向外
G =0
侧的单位法向量为________ .
(3) 设函数 f O = KX + 2 (— 7T V H V兀)的傅里叶级数展开式为豊+ 丫(a”cos nx +
/ n = l
bn sin nx ),则其中系数久的值为________ .
(4) 设数量场 u = In Jx2 + + z2，则 div(grad u) =_________.
(5) 设兀阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为72-1,则线性方程组AX=0的通解
为________ .
二、 选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)
f sin x
(1) 设 /(x ) = sin 八 ck ,g(z )=工3+d ,则当工0 时，/"(工)是 g (工)的( ).
J
0
(A)等价无穷小 (E)同阶但非等价的无穷小
(C)高阶无穷小 (D)低阶无穷小
(2) 双纽线(工2 + )2)2 =工2 _ y2所围成的区域面积可用定积分表示为( ).
(A)2 f4 cos 26d3 ,n_
(B)4 4 cos 20 d0
J 0 0
(02 [4 a/cos 29( 1
(D) — cos2 20d0
J 22 J o
0
(3) 设有直线斗卫与L2：f —则L|与L2的夹角为( ).
丄 —/ 丄 \2y十n = 3 9
(A)召 (B)手 ©伶 ①)守
o 4
(4)设曲线积分J [/Xh ) — e" ]sin jydz 一 f G )cos y^y与路径无关，其中/(jc )具有一阶连续
导数，且/(0)=0,则/(^)等于( ).
「乂 — eJ eJ — e_x X I —X (D)l - -e" +± _e
(A)(B) (C) 1I1 2 3\
(5)已知Q= 2 4 t ,P为3阶非零矩阵，且满足PQ =O,!3iJ( ).
'3 6 9'
(A)/ =6时,P的秩必为1 (E)/ — 6时,P的秩必为2
(C)t H 6时,P的秩必为1 (D)/工6时,P的秩必为2
三、(本题共3小题，每小题5分，满分15分)
(1)求 lim (sin ? + cos—).
x— »\ x T '
(2)求［37 - d.z.
J 一 1
(3)求微分方程X2y' + xy =3/满足初始条件y L = i =1的特解.
四、(本题满分6分)
计算曲面积分『2>zzd;ydz + yz^z^oc — z'dzdjy ,其中X是由曲面z = J工% + 了？与
z = J2 —芒— J/'所围立体表面的外侧.五、（本题满分7分）
求级数£ （-" + 】）的和.
71 = 0 /
六、（本题共2小题，每小题5分，满分10分）
（1）设在［0, +*）上函数fS 有连续导数，且十（工）0,/（0） < 0.证明/（工）在
（0,+°°）内有且仅有一个零点.
(2)设 b >a〉e,证明：q" > b°.
七、（本题满分8分）
已知二次型/（J7 ! ,22，工3）=2# + 2 + 3 + 2ax 2JC 3> 0）,通过正交变换化为标准
形f=y\+ 2疋+ 5诚，求参数a及所用的正交变换矩阵.
八、（本题满分6分）
设A是nXm矩阵，B是mXn矩阵，其中n
