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2023年数学（二）真题解析
一、选择题
（1）【答案】（B）.
【解】由
ln(e H-----)— 1 In 1 + —~37TT
lim ^- = l,lim(y-x) = lim-----------------------= lim —~潺二 1) 2_
J-»0O 工 J-»OO 工―8 ] 工―8 e
7 7
得曲线的斜渐近线方程为、=工+土,应选(B).
e
(2) 【答案】(D).
【解】当工$0时，
F愆)=[ = ln(\/x2 + 1 + 工)+ C1 ；
J 71+x2
当了> 0时，
F (工)=J(x + l)cos x dx = (x + l)sin x + cos x + C2»
因为 F(工)在 x =0 处连续，所以 F(0 — 0) =F(0) = F(0 + 0),取 C2 = 0,则 G = 1,
故
ln( Jz 2 + 1 + 0,
选(D).
(3) 【答案】(B).
【解】 由题意得z” > 0,再由xb+1 =sin z” W z”得｝单调递减，则limz”存在，
“f 8
令limx" = A ,由 A = sin A 得 A = 0,即limz„ =0；
”-*8 n~»8当;I,丰Xi为实数时，通解v=Ge”' +C2e2X在(一 OO , + OO) 上无界；
当;11 =A2为实数时，通解y=(Ci +C2x)ei,x在(一8,十8)上无界；
当 A lt2 =a 士 i。且。尹 0 时，通解 y =eax (Geos 伙r + C2sin fix )在(一00> + °°)上无界‘
[a =0,
故 即a =0,6 >0,应选(C).
la2 -46 <0,
(5)【答案】(C)・
【解】2=0时,z=0,、=0,
t
得 V = — 1 sin z ;
y = — i sin t,
—xsin x » z V 0,
(x =3i, T T
当 ^2。时,z>0,由 得、=〒sin即:y =<
\y =Zsin 19 3 3 fsin § z 2 0,
o O
由 iim 火).一些=lim 川)一冲=0 得y(0)=05
x-0~ X x-0+ X
当1 VO时，
yf = — sin x — x cos x ;
当z >0时，
, 1 . X . X X
y =1^皿司+亏cos耳，
即
—sin x — xcos x > x < 0,
因为 lim;y'(z ) = limy^x ) =yr(0) = 0,所以 yf(x )在 x ==0 处连续;
•r-*。— x-*0+
因为
/'&)—/(0) 9 , r >Z(X)—^'(O) 2
lim ------------------= — 2 尹 lim ---------------------=—
x-»o— z x-»o+ 二X 9
所以r(o)不存在，选(o.
(6)【答案】(A).
【解】g =『Tin K-Blnz) = j：；L&
J_ .广广(in 2)~°
a I in 2 a
由
2023年数学（二）第7页（共14页）_f(a) =一(In 2)f • Indn 2)-------- =0
1
得一和方'选（A）。
（7）［答案】（C）.
【解】（x ） = （x2 + 2x + a ） ex ,因为f （工）没有极值点，所以x2 +2x + a 2。，即乙=
4 一 4a W 0,即 a 2 1 ；
) = (x2 + 4jc + a + 2 ) ex ,因为曲线 y =f(x )有拐点，所以 16 — 4(q+2) >0,即
q V2,故 1 <2,选(C).
（8）【答案】 (D).
E
【解】 =1 A |・| B I，令
O B
E\T *】】X12
O B X21 X22*
由
E X E O
O B X O E
AX】】 +EX21 =E, XH =A-1,
AX】？ +EX22 =O， x12=-a~ B1
得］ 解得】 '则
BX2i =O, x2l =0,
BX 22 = E , X22=B',
/A E\ * -71 — A , B * \
==1 A | • | B | 1 A | '
\o \ 0
选(D).
1
-1(10)【答案】(D).
【解】 令 y = 4 ] a 1 +互2。2 = —，1P I — I 2。2，或龙 1 a 1 + & 2。2 + + I 2。2 =。，
由
Z1 2 2 1\ /I 2 2 1 /I 0 0 -3\
2 1 5 0 ——► 0 -3 1 -2 0 1 0
‘0 11
J
1 9 1 -1 0 '0 0 1
ki 3 3互
如 _ 1 -k
得 —L ，故
—K
-1 -k
1" .1 k .
A
I2}
y = 3ka! —ka2 =邱】—kp2 =3A 2 —k 1 2 5 以 6 R),
V
V V
选(D).
二、填空题
(11)［答案】 -2.
【解】 由 111(1+])=]— *- + 寻+。(]3)得
乙 «5
(。-§)工 2 + 寻 + °(H 3 )；
/(x ) = (a + l)x +
2 o
由 ex2 = 1 + Z 2 + o (z 3 ) , cos X =1 —号 + 0(]3)得 g(x ) = —X 2 + 0(1 3 ),
乙 乙
1 3
再由 /(x )〜g(z )得 a = — 1,6----=或，即 a = — l,b =2,故沥=—2.
(12)［答案】苧+0
0
【解】 显然x e L-V3,V3］,曲线段的长度为
i =伫 yi+T^dx =伫 J =-2sin£
2 3 4cos2idi
J 0
=4『(1 + cos 2[)血=挡 + 2 .卓=栏 + V3.
J o o Z o
_3_
(13)【答案】
~~2
【解】 当x = \yy = 1得^=0,e€ + xz =2x —两边对z求偏导得
dz 3z
e‘ • 3- + 2+Z —=2
ox dx
2023年数学(二)第9页(共14页)代入得方I =1;
ox
I (1,1)
ex •祭+ z+ z容=2两边对x求导得
ox ox
d2 z dz 32 z
+「F+2 淳
+f=°，
d2z 3
代入得Y
ox (1,1) 2
（14）【答案】—号.
【解】1=1代入得、=1,3工3=疣+2、3两边对］求导得
M 2 =（5^4 + 6/）股，
or
代入得£L=1 =号，故曲线在工=i对应点处的法线斜率为一?・
（15）［答案】 y.
【解】 由 /(x 4-2)—/(x)=x 得/(x + 2)~/(x)+^,则
J /(x)dx =J f{x )dx +1 /(x )dx + J f (x )dx
=—[/(x )dx + f /(x )dj： = — f /(x )dj? + [ /(x + 2)dr
J 0 J 2 J 0 J 0
=—f /(x)dx + f /(x )dx + f xdx =[・
Jo Jo Jo Z
（16）［答案】8.
0 1 1
- 1 a 1 0 _
【解】A = ，因为原方程组有解，所以r(A)=r(A) <3<4,
1 2 a 0
6 0 2
从而| A | = 0,
由
0 1 1
1 a 1 a 0 1 1 a 1
a 1 0
1 2 q +2 1 a 1 =8 — 12a =0
2 a 0
a b 0 1 2 a a b 0
b 0 2
1 Q 1
得 1 2 a =8.
a b Q
2023年数学（二）第10页（共14页）三、解答题
(17)【解】(1)切线方程为丫一 v =/(X —1),在 > 轴上的截距为Y = v — z：/,由题意得
y — xy' =x，整理得 yr —y = — 1,解得
x
y = J(- 1) J 7dr dx + c] e，X^ 时,S'(z) > 0.
故工=/时，三角形面积最小，最小面积为S(e§)=e3.
+z =0,
OX
(18)［解】由< 得
? = — x e009y sin jz =0,
dy
—e x = — e,
及 M Z,
y = C2k + 1)k y = ，
= 19 ' [ = — e008 y • sin y , —= x e008 y • sin2j/ — x eCO8> • cos y ,
=—
dx 3 工 dy
当(3)= (— e-,,(2i + l)K)时,A =1,B =0,C=-e~2
因为AC — B? < 0,所以& ,/)=(- e'\C2k + l)n)不是极值点;
当(C)= (— e,2D 时,A =1,B = 0,C = e2,
因为AC — B，> 0且A >0,所以(x,>)=(-e,2^7t)(^ E Z)为函数的极小值点，极小
e2
值为 /*(—e,2D=—万.
(19)【解】(1)D的面积为
7 sec" dt =
A = :esc tdt
f sec Ztan t
x v 1 + x
=In | esc t — cot t | ：=—ln(^ — 1) = ln(l +42}.
(2)D绕工轴旋转所成的旋转体的体积为
2023年数学(二)第11页(共14页)V = C ^71^75=/「(土 一土)dzW—arctandreXl _ j).
（20）【解】如图所示，令
20题图
x =rcos 0,
1
o
