(411)--专题十二多元函数的极值与最值笔记_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高等数学17堂课 专题12 多元函数的极值与最值 （P139-146） 主讲 武忠祥 教授（一）无条件极值 1)定义: 极大： f (x , y )  f (x, y); 0 0 极小： f (x , y )  f (x, y); 0 0 2)极值的必要条件 f (x , y )  0, f (x , y )  0 （可导） x 0 0 y 0 0 极值点 驻点 3)极值的充分条件 设 f (x , y )  0, 且 f ( x , y )  0 x 0 0 y 0 0 A  0 ; 极小值 （1）当 时,有极值 AC  B 2  0  A  0 . 极大值 （2）当 AC  B 2  0 时,无极值. （3）当 AC  B 2  0 时,不一定(一般用定义判定).（二）条件极值与拉格朗日乘数法 1) 函数 在条件 条件下的极值. f ( x, y) ( x, y)  0 令 F ( x, y,)  f ( x, y)  ( x, y) F  f  (x, y)   (x, y)  0, x x x  F  f  (x, y)   (x, y)  0, y y y   F  x, y  0,  2) 函数 在条件 ( x, y, z)  0,( x, y, z)  0 f ( x, y, z) 条件下的条件极值. 令 F ( x, y, z,,)  f ( x, y, z)  ( x, y, z)  ( x, y, z)（三）最大最小值 1.求连续函数 f ( x, y) 在有界闭域 上的最大最小值 D 1) 求 在 内部可能的极值点. f ( x, y) D 2) 求 在 的边界上的最大最小值. f ( x, y) D 3) 比较 2.应用题1. 极值问题 f (x, y)  xy 2 【例1】已知函数 f ( x, y) 在点(0,0)的某个邻域内连续,且 lim  1 ,则 x01  cos x 2  y 2 y0 A) 点(0,0)不是 的极值点; f ( x, y) B) 点(0,0)是 的极大值点; f ( x, y) C) 点(0,0)是 的极小值点; f ( x, y) D)根据所给条件无法判断点 (0,0)是否是 的极值点; f ( x, y) f (x, y)  xy 2 【解】由 f (x, y) 在点 (0,0) 连续，lim  1 知 f (0,0)  0 ,且 x0 1  cos x 2  y 2 y0 f (x, y)  xy 2 f (x, y)  xy 2 f (x, y)  xy 2 lim  lim  1  1  x0 1  cos x 2  y 2 x0 1 1 y0 y0 (x 2  x 2 ) (x 2  y 2 ) 2 2 2 xy 1 lim  0 f (x, y)  (x 2  y 2 )  xy 2 (x 2  y 2 ) 1 x0 2 y0 (x 2  y 2 ) 2【例2】设函数 f (x), g(x) 均有二阶连续导数,满足 f (0)  0, g(0)  0 且 f  (0)  g  (0)  0, 则函数 z  f (x)g( y) 在点 (0,0) 处取得极小 值的一个充分条件是（ ）. （A） （B） f  (0)  0, g  (0)  0 f  (0)  0, g  (0)  0 （C） f  (0)  0, g  (0)  0 （D） f  (0)  0, g  (0)  0 z z 【解】  f  (x)g( y)  f (x)g  ( y) x y 2 z 2 z 2 z  f  (x)g( y)  f  (x)g  ( y)  f (x)g  ( y) x 2 xy y 2 在 处， (0,0) AC  B 2  f  (0)g(0)  f (0)g  (0)  [ f  (0)g  (0)] 2  f  (0)g  (0) f (0)g(0). .【例3】已知函数 z  f (x, y) 的全微分 则函数 dz  (ay  x 2 )dx  (ax  y 2 )dy (a  0), f (x, y) (A)无极值点； (B)点 为极小值点； (a,a) (C)点 为极大值点； (a,a) (D)是否有极值点与 a 的取值有关。 【解】由 dz  (ay  x 2 )dx  (ax  y 2 )dy z z 知，  ay  x 2 ,  ax  y 2 x y ay  x 2  0 令 得驻点  (a,a),(0,0). ax  y 2  0 AC  B 2  3a 2  0, A  2a  0 则点 为极大值点. (a,a)【例4】设 f (x, y) 与 (x, y) 均为可微函数,且  (x, y)  0. y 已知 (x , y ) 是 f (x, y) 在约束条件 (x, y)  0 0 0 下的一个极值点,下列选项正确的是（ ）. （A）若 f  (x , y )  0 ,则 f  (x , y )  0 x 0 0 y 0 0 （B）若 f  (x , y )  0 ,则 f  (x , y )  0 x 0 0 y 0 0 （C）若 f  (x , y )  0 ,则 f  (x , y )  0 x 0 0 y 0 0 （D）若 f  (x , y )  0 ,则 f  (x , y )  0 x 0 0 y 0 0 【解】 令 F(x, y,)  f (x, y)  (x, y) f  (x , y )   (x , y )  0, x 0 0 x 0 0 f  (x , y )   (x , y )  0. y 0 0 y 0 0【例5】求二元函数 f (x, y)  (x 2  y 2 )e x 2 y 2 的极值及最值. 【解】 f  (x, y)  2x(x 2  y 2  1)e x 2 y 2 , f  (x, y)  2 y(x 2  y 2  1)e x 2 y 2 . x y  f  (x, y)  0, x 令  解得驻点 (0,0),(0,1),(1,0) ，又 f  (x, y)  0,  y f   2(2x 4  2x 2 y 2  5x 2  y 2  1)e x 2 y 2 f   4xy(x 2  y 2 )e x 2 y 2 xx xy f   2(2 y 4  2x 2 y 2  5 y 2  x 2  1)e x 2 y 2 yy . (0,0) AC  B 2  4  0, (0,1) AC  B 2  16e 2  0, A  4e 1  0,  e 1 . 1 (1,0) AC  B 2  16e 2  0, A  4e 1  0, e . f (x, y)  (cos 2 sin 2)r 2 e r 2 r  x 2  y 2 lim f (x, y)  0, r【例6】已知函数 满足 f (x, y) f  (x, y)  2( y  1)e x , f  (x,0)  (x  1)e x , f (0, y)  y 2  2 y, xy x 求 的极值. f (x, y) 【解】由 f   2( y  1)e x , 得 f   ( y  1) 2 e x (x). xy x 因为 f  (x,0)  (x  1)e x , 所以 e x (x)  (x  1)e x . x 得 (x)  xe x , 从而 f   ( y  1) 2 e x  xe x . x f (x, y)  ( y  1) 2 e x  (x  1)e x ( y). 因为 f (0, y)  y 2  2 y, 所以 ( y)  0, 从而 f (x, y)  (x  y 2  2 y)e x【例6】已知函数 满足 f (x, y) f  (x, y)  2( y  1)e x , f  (x,0)  (x  1)e x , f (0, y)  y 2  2 y, xy x 求 的极值. f (x, y) 【解】 f   (2 y  2)e x , f   ( y  1) 2 e x  xe x . y x 令 f   0, f   0, 得驻点 (0,1), x y f   (x  y 2  2 y  2)e x , f   2e x . xx yy 所以 A  f  (0,1)  1, B  f  (0,1)  0,C  f  (0,1)  2. xx xy yy 由于 AC  B 2  0, A  0, 所以极小值为 f (0,1)  1.2. 最大最小值 【例1】设函数 在有界闭区域 上连续,在 u(x, y) D D 2 u 2 u 2 u 的内部具有2阶连续偏导数,且满足  0 及   0, 则 xy x 2 y 2 （A） 的最大值和最小值都在 的边界上取得 u(x, y) D （B） u(x, y) 的最大值和最小值都在 的内部取得 D （C） 的最大值在 的内部取得,最小值都在 的边界上取得 u(x, y) D D （D） 的最小值在 的内部取得,最大值都在 的边界上取得 u(x, y) D D【例2】已知 z  f (x, y) 的全微分 d z  2x d x  2 y d y  y 2  且 f (1,1)  2. 求 f (x, y) 在 D  (x, y) x 2   1 上的最大最小值.  4  【解1】 由 d z  2x d x  2 y d y 可知 z  f (x, y)  x 2  y 2  C. 再由 f (1,1)  2 ,得 C  2 ,故 z  f (x, y)  x 2  y 2  2. f f 令  2x  0,  2 y  0, 解得驻点 (0,0) x y 2 y 在椭圆 x 2   1 上， z  x 2  (4  4x 2 )  2 4 即 z  5x 2  2 (1  x  1), 其最大值为 z  3 ,最小值为 z  2. 再与 f (0,0)  2 x1 x0 比较,可知 f (x, y) 在椭圆域 上的最大值为3，最小值为  2 . D【解2】 同解法一，得驻点 (0,0)  y 2  设 L  x 2  y 2  2   x 2   1    4   L   2x  2x  0, x    令 L   2 y  y  0, y 2  2 y  L   x 2   1  0,    4 解得4个可能的极.值点 (0,2),(0,2),(1,0) 和 (1,0) 又 f (0,2)  2, f (0,2)  2, f (1,0)  3, f (1,0)  3 ,再与 f (0,0)  2 比较,得 f (x, y) 在 D 上的最大值为3，最小值为  2.【解3】 同解法一，得驻点 (0,0) 2 y 椭圆 x 2   1 的参数方程为 x  cos t, y  2sin t. 4 则 z  f (x, y)  x 2  y 2  2  cos 2 t  4sin 2 t  2  3  5sin 2 t 故 f  3, f  2 max min【例3】设函数 z  z(x, y) 的微分 dz  (2x  12 y)dx  (12x  4 y)dy 且 z(0,0)  0, 求函数 z  z(x, y) 在 4x 2  y 2  25 上的最大值 得驻点 【解 】 z  2x  12 y  0, z  12x  4 y  0 (0,0), z(0,0)  0 x y 令 F(x, y,)  x 2  12xy  2 y 2 (4x 2  y 2  25)  F  2x  12 y  8x  0 (1) x  F  12x  4 y  2y  0 (2) y   F  4x 2  y 2  25  0  (1  4)x  6 y  0 由(1) 和(2)式知： 且有非零解.  6x  (2  ) y  0 1  4 6 17 则  0, 解得   2,   6 2   1 2 4   2 时, 驻点 P (2,3), P (2,3),z  50. 1 1 2 17 3 3 425    时, 驻点 P ( ,4), P ( ,4), z  . 2 3 4 4 2 2 4【例4】求函数 u  x 2  y 2  z 2 在约束条件 z  x 2  y 2 和 x  y  z  4 下的最大值和最小值. 【解】 F(x, y, z,,)  x 2  y 2  z 2  (x 2  y 2  z)  (x  y  z  4). F   2x  2x   0, x  F   2 y  2y   0,  y  令  F   2 z    0, z  F   x 2  y 2  z  0,   F   x  y  z  4  0,   解方程组，得 (x , y , z )  (1,1,2), (x , y , z )  (2,2,8). 1 1 1 2 2 2 故所求的最大值为72，最小值为6.【例5】求曲线 x 3  xy  y 3  1 (x  0, y  0) 上的点到坐标原点的 的最长距离与最短距离. 【解】 d(x, y)  x 2  y 2 L(x, y,)  x 2  y 2  (x 3  xy  y 3  1) L ① 令  2x  (3x 2  y) 0 x L  2 y  (3 y 2  x) 0 ② y L  x 3  xy  y 3  1  0 ③  x 3x 2  y 当 x  0, y  0 时,由①,②得  , 即 y 3 y 2  x 3xy( y  x)  (x  y)(x  y) 得 y  x 或 3xy  (x  y) (舍去).【例5】求曲线 x 3  xy  y 3  1 (x  0, y  0) 上的点到坐标原点的 的最长距离与最短距离. 【解】 将 y  x 代入③得 2x 3  x 2  1  0, 即 (2x 2  x  1)(x  1)  0 所以, 是唯一可能的极值点，此时 (1,1) x 2  y 2  2 当 或 时， x  0, y  1 x  1, y  0 x 2  y 2  1 故所求最长距离为 ，最短距离为 1. 21 1 x p y q 【例6】已知 p  1,   1, x, y  0. 求证： xy   . p q p q p q x y 【证】只要证明函数 在条件 下的最大值不 xy   k(k  0) p q 超过 k. p q x y 令 L(x, y)  xy  (   k) p q   L  y  x p1  0 x  则  L  x  y q1  0 y  p q x y L    k  0  .  p q 1 1 由此解得 x  k p , y  k q , 这是唯一的驻点，为最大值点，则 1 1 1 1 p q  x y xy  k p  k q  k p q  k   p q祝同学们 考研路上一路顺利！