(411)--专题十二多元函数的极值与最值笔记_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高等数学17堂课
专题12 多元函数的极值与最值
（P139-146）
主讲 武忠祥 教授（一）无条件极值
1)定义: 极大：
f (x , y )  f (x, y);
0 0
极小：
f (x , y )  f (x, y);
0 0
2)极值的必要条件 f (x , y )  0, f (x , y )  0 （可导）
x 0 0 y 0 0
极值点 驻点
3)极值的充分条件
设 f (x , y )  0, 且 f ( x , y )  0
x 0 0 y 0 0
A  0 ;
极小值
（1）当 时,有极值
AC  B 2  0 
A  0 .
极大值
（2）当 AC  B 2  0 时,无极值.
（3）当 AC  B 2  0 时,不一定(一般用定义判定).（二）条件极值与拉格朗日乘数法
1) 函数 在条件 条件下的极值.
f ( x, y) ( x, y)  0
令
F ( x, y,)  f ( x, y)  ( x, y)
F  f  (x, y)   (x, y)  0,
x x x

F  f  (x, y)   (x, y)  0,
y y y

 F  x, y  0,

2) 函数 在条件 ( x, y, z)  0,( x, y, z)  0
f ( x, y, z)
条件下的条件极值.
令
F ( x, y, z,,)  f ( x, y, z)  ( x, y, z)  ( x, y, z)（三）最大最小值
1.求连续函数 f ( x, y) 在有界闭域 上的最大最小值
D
1) 求 在 内部可能的极值点.
f ( x, y) D
2) 求 在 的边界上的最大最小值.
f ( x, y) D
3) 比较
2.应用题1. 极值问题
f (x, y)  xy 2
【例1】已知函数 f ( x, y) 在点(0,0)的某个邻域内连续,且 lim  1 ,则
x01  cos x 2  y 2
y0
A) 点(0,0)不是 的极值点;
f ( x, y)
B) 点(0,0)是 的极大值点;
f ( x, y)
C) 点(0,0)是 的极小值点;
f ( x, y)
D)根据所给条件无法判断点 (0,0)是否是 的极值点;
f ( x, y)
f (x, y)  xy 2
【解】由 f (x, y) 在点 (0,0) 连续，lim  1 知 f (0,0)  0 ,且
x0 1  cos x 2  y 2
y0
f (x, y)  xy 2 f (x, y)  xy 2 f (x, y)  xy 2
lim  lim  1  1 
x0 1  cos x 2  y 2 x0 1 1
y0 y0 (x 2  x 2 ) (x 2  y 2 )
2 2
2
xy
1 lim  0
f (x, y)  (x 2  y 2 )  xy 2 (x 2  y 2 ) 1
x0
2 y0 (x 2  y 2 )
2【例2】设函数 f (x), g(x) 均有二阶连续导数,满足 f (0)  0, g(0)  0
且 f  (0)  g  (0)  0, 则函数 z  f (x)g( y) 在点 (0,0) 处取得极小
值的一个充分条件是（ ）.
（A） （B）
f  (0)  0, g  (0)  0 f  (0)  0, g  (0)  0
（C） f  (0)  0, g  (0)  0 （D） f  (0)  0, g  (0)  0
z z
【解】
 f  (x)g( y)  f (x)g  ( y)
x y
2
z
2
z 2
z
 f  (x)g( y)  f  (x)g  ( y)  f (x)g  ( y)
x 2 xy
y 2
在 处，
(0,0)
AC  B 2  f  (0)g(0)  f (0)g  (0)  [ f  (0)g  (0)] 2
 f  (0)g  (0) f (0)g(0).
.【例3】已知函数 z  f (x, y) 的全微分
则函数
dz  (ay  x 2 )dx  (ax  y 2 )dy (a  0), f (x, y)
(A)无极值点； (B)点 为极小值点；
(a,a)
(C)点 为极大值点；
(a,a)
(D)是否有极值点与 a 的取值有关。
【解】由 dz  (ay  x 2 )dx  (ax  y 2 )dy
z z
知，
 ay  x 2 ,  ax  y 2
x y
ay  x 2  0
令 得驻点
 (a,a),(0,0).
ax  y 2  0
AC  B 2  3a 2  0, A  2a  0
则点 为极大值点.
(a,a)【例4】设 f (x, y) 与 (x, y) 均为可微函数,且  (x, y)  0.
y
已知 (x , y ) 是 f (x, y) 在约束条件 (x, y)  0
0 0
下的一个极值点,下列选项正确的是（ ）.
（A）若 f  (x , y )  0 ,则 f  (x , y )  0
x 0 0 y 0 0
（B）若 f  (x , y )  0 ,则 f  (x , y )  0
x 0 0 y 0 0
（C）若 f  (x , y )  0 ,则 f  (x , y )  0
x 0 0 y 0 0
（D）若 f  (x , y )  0 ,则 f  (x , y )  0
x 0 0 y 0 0
【解】 令
F(x, y,)  f (x, y)  (x, y)
f  (x , y )   (x , y )  0,
x 0 0 x 0 0
f  (x , y )   (x , y )  0.
y 0 0 y 0 0【例5】求二元函数 f (x, y)  (x 2  y 2 )e x 2 y 2 的极值及最值.
【解】 f  (x, y)  2x(x 2  y 2  1)e x 2 y 2 , f  (x, y)  2 y(x 2  y 2  1)e x 2 y 2 .
x y
 f  (x, y)  0,
x
令
 解得驻点 (0,0),(0,1),(1,0) ，又
f  (x, y)  0,

y
f   2(2x 4  2x 2 y 2  5x 2  y 2  1)e x 2 y 2 f   4xy(x 2  y 2 )e x 2 y 2
xx xy
f   2(2 y 4  2x 2 y 2  5 y 2  x 2  1)e x 2 y 2
yy
.
(0,0) AC  B 2  4  0,
(0,1) AC  B 2  16e 2  0, A  4e 1  0,  e 1 .
1
(1,0) AC  B 2  16e 2  0, A  4e 1  0, e .
f (x, y)  (cos 2 sin 2)r 2 e r 2 r  x 2  y 2
lim f (x, y)  0,
r【例6】已知函数 满足
f (x, y)
f  (x, y)  2( y  1)e x , f  (x,0)  (x  1)e x , f (0, y)  y 2  2 y,
xy x
求 的极值.
f (x, y)
【解】由 f   2( y  1)e x , 得 f   ( y  1) 2 e x (x).
xy x
因为 f  (x,0)  (x  1)e x , 所以 e x (x)  (x  1)e x .
x
得 (x)  xe x , 从而 f   ( y  1) 2 e x  xe x .
x
f (x, y)  ( y  1) 2 e x  (x  1)e x ( y).
因为 f (0, y)  y 2  2 y, 所以 ( y)  0,
从而 f (x, y)  (x  y 2  2 y)e x【例6】已知函数 满足
f (x, y)
f  (x, y)  2( y  1)e x , f  (x,0)  (x  1)e x , f (0, y)  y 2  2 y,
xy x
求 的极值.
f (x, y)
【解】
f   (2 y  2)e x , f   ( y  1) 2 e x  xe x .
y x
令 f   0, f   0, 得驻点 (0,1),
x y
f   (x  y 2  2 y  2)e x , f   2e x .
xx yy
所以 A  f  (0,1)  1, B  f  (0,1)  0,C  f  (0,1)  2.
xx xy yy
由于 AC  B 2  0, A  0, 所以极小值为 f (0,1)  1.2. 最大最小值
【例1】设函数 在有界闭区域 上连续,在
u(x, y) D D
2
u
2
u
2
u
的内部具有2阶连续偏导数,且满足  0 及   0, 则
xy x 2 y 2
（A） 的最大值和最小值都在 的边界上取得
u(x, y)
D
（B） u(x, y) 的最大值和最小值都在 的内部取得
D
（C） 的最大值在 的内部取得,最小值都在 的边界上取得
u(x, y)
D D
（D） 的最小值在 的内部取得,最大值都在 的边界上取得
u(x, y) D D【例2】已知 z  f (x, y) 的全微分 d z  2x d x  2 y d y
 y 2 
且 f (1,1)  2. 求 f (x, y) 在 D  (x, y) x 2   1 上的最大最小值.
 4 
【解1】 由 d z  2x d x  2 y d y
可知 z  f (x, y)  x 2  y 2  C.
再由 f (1,1)  2 ,得 C  2 ,故 z  f (x, y)  x 2  y 2  2.
f f
令  2x  0,  2 y  0, 解得驻点 (0,0)
x y
2
y
在椭圆 x 2   1 上， z  x 2  (4  4x 2 )  2
4
即 z  5x 2  2 (1  x  1),
其最大值为 z  3 ,最小值为 z  2. 再与 f (0,0)  2
x1 x0
比较,可知 f (x, y) 在椭圆域 上的最大值为3，最小值为  2 .
D【解2】 同解法一，得驻点
(0,0)
 y 2 
设 L  x 2  y 2  2   x 2   1
 
 4 

L   2x  2x  0,
x

 
令 L   2 y  y  0,
y
2

2
y

L   x 2   1  0,



4
解得4个可能的极.值点 (0,2),(0,2),(1,0) 和 (1,0)
又 f (0,2)  2, f (0,2)  2, f (1,0)  3, f (1,0)  3 ,再与
f (0,0)  2 比较,得 f (x, y) 在 D 上的最大值为3，最小值为
 2.【解3】 同解法一，得驻点
(0,0)
2
y
椭圆 x 2   1 的参数方程为 x  cos t, y  2sin t.
4
则 z  f (x, y)  x 2  y 2  2  cos 2 t  4sin 2 t  2
 3  5sin 2 t
故 f  3, f  2
max min【例3】设函数 z  z(x, y) 的微分 dz  (2x  12 y)dx  (12x  4 y)dy
且 z(0,0)  0, 求函数 z  z(x, y) 在 4x 2  y 2  25 上的最大值
得驻点
【解 】 z  2x  12 y  0, z  12x  4 y  0 (0,0), z(0,0)  0
x y
令 F(x, y,)  x 2  12xy  2 y 2 (4x 2  y 2  25)

F  2x  12 y  8x  0 (1)
x

F  12x  4 y  2y  0 (2)
y

 F  4x 2  y 2  25  0

(1  4)x  6 y  0
由(1) 和(2)式知： 且有非零解.

6x  (2  ) y  0
1  4 6 17
则  0, 解得   2,  
6 2   1 2 4
  2 时, 驻点 P (2,3), P (2,3),z  50.
1
1 2
17 3 3 425
   时, 驻点 P ( ,4), P ( ,4), z  .
2 3 4
4 2 2 4【例4】求函数 u  x 2  y 2  z 2 在约束条件 z  x 2  y 2
和 x  y  z  4 下的最大值和最小值.
【解】
F(x, y, z,,)  x 2  y 2  z 2  (x 2  y 2  z)  (x  y  z  4).
F   2x  2x   0,
x

F   2 y  2y   0,
 y

令  F   2 z    0,
z

F   x 2  y 2  z  0,
 
F   x  y  z  4  0,


解方程组，得 (x , y , z )  (1,1,2), (x , y , z )  (2,2,8).
1 1 1 2 2 2
故所求的最大值为72，最小值为6.【例5】求曲线 x 3  xy  y 3  1 (x  0, y  0) 上的点到坐标原点的
的最长距离与最短距离.
【解】 d(x, y)  x 2  y 2
L(x, y,)  x 2  y 2  (x 3  xy  y 3  1)
L
①
令  2x  (3x 2  y) 0
x
L
 2 y  (3 y 2  x) 0 ②
y
L
 x 3  xy  y 3  1  0 ③

x 3x 2  y
当 x  0, y  0 时,由①,②得  , 即
y 3 y 2  x
3xy( y  x)  (x  y)(x  y) 得 y  x 或 3xy  (x  y) (舍去).【例5】求曲线 x 3  xy  y 3  1 (x  0, y  0) 上的点到坐标原点的
的最长距离与最短距离.
【解】
将 y  x 代入③得 2x 3  x 2  1  0, 即 (2x 2  x  1)(x  1)  0
所以, 是唯一可能的极值点，此时
(1,1) x 2  y 2  2
当 或 时，
x  0, y  1 x  1, y  0 x 2  y 2  1
故所求最长距离为 ，最短距离为
1.
21 1 x p y q
【例6】已知 p  1,   1, x, y  0. 求证： xy   .
p q p q
p q
x y
【证】只要证明函数 在条件 下的最大值不
xy   k(k  0)
p q
超过
k.
p q
x y
令
L(x, y)  xy  (   k)
p q


L  y  x
p1
 0
x

则
 L  x  y
q1
 0
y

p q
x y
L    k  0
 .
 p q
1 1
由此解得 x  k p , y  k q , 这是唯一的驻点，为最大值点，则
1 1 1 1
p q
 x y
xy  k p  k q  k p q  k  
p q祝同学们
考研路上一路顺利！