(7)--函数求导数巩固练习及答案_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{3}--全部课件

巩固练习
一、选择题
f
 ah2
 f
 ah2
1.若极限lim  A，则函数 f x在xa处
h0 eh2 1
（A）不一定可导. （B） 不一定可导，但 fa A.

（C）不一定可导，但 fa A （D）可导，且 fa A.

2.设 f x3x2 x2 x ，则使 fn0存在的最高阶数n
（A）0. （B）1. （C）2. （D）3.
 1
x2sin , x0,
3.设 f x x 在x0处可导，则a,b满足
 axb, x0
（A）a0，b0. （B）a1，b1.
（C）a为任意常数，b0. （D）a为任意常数，b1.
  x, x0,
4.设 f x 则
 x,x0
（A） f x在x0处不连续.
（B） f0存在.
（C） f0不存在，曲线y f x在点0,0处不存在切线.
（D） f0不存在，曲线y f x在点0,0处存在切线.
二、填空题
1.若函数 f x在x1处的导数存在，则极限
f 1x f 12sinx2f 13tanx
lim ______________.
x0 x
f 1cosx
2.设 f01， f 00，则lim ____________.
x0 tanx2
3x2 dy
3.设y f   ，且 fxarctanx2，则 _____________.
3x2 dx x0
dy
4.设ysinx2，则 ______________.
d
 x35.设 f x有任意阶导数且 fx f3x，n1，则 fnx_____________.
6.设yln  1x2，则y50__________________.
x1t2, d2y
7.设 则 _____________.
ycost, dx2
8.曲线x13  y2上点5,8处的切线方程是______________.
9.曲线ylnx上与直线x y1垂直的切线方程为_____________.
x1t2,
10.曲线 上对应点t 2处的切线方程为______________.
yt3
 1
xsin , x0,
11.设函数 f x x2 的导函数在x0处连续，则的取值为____________.
 0, x0
三、计算题
1.计算下列各题：
dy
（Ⅰ）设yesin2x  cosx2 cosx，求 ；
dx
2  ab x
（Ⅱ）设y arctan tan ，其中ab0，求y.
 
a2 b2  ab 2 
x ft, dy d2y d3y
2.设 其中 f t三阶可导，且 ft0，求 ， ， ；
 ytft f t, dx dx2 dx3
3.计算下列各题（提示，等式两边取对数后再求导）：
dx
（Ⅰ）由方程xy  yx确定x xy，求 ；
dy
（Ⅱ）方程yxey 1确定y yx，求yx；
4.设函数y f x有反函数x gy，且 f a3， fa1， fa2，求g3.
gxcosx
 ,x0
5.设函数 f x x 其中gx二阶连续可导，且g01.

a, x0
（1）确定常数a，使得 f x在x0处连续；
（2）求 fx；
（3）讨论 fx在x0处的连续性.答案解析
一、选择题
1.【分析】只有极限
f
 ah2
 f
 ah2
f
 ah2
 f
 ah2
lim  Alim  A
h0 eh2 1 h0 h2
f  ah2  f a f  ah2  f a
存在并不能保证极限lim 与lim 都存在，因此两个单侧导数
h0 h2 h0 h2
都不一定存在，应选（A）.
f  ah2  f  ah2 h2  h2
例如：设 f(x) xa ，则lim lim 0，极限存在，但 f x
h0 eh2 1 h0 h2
在xa处不可导.
x3,x0,
2.【分析】设gxx2 x  ，所以
x3,x0
3x2, x0,

 x2 x 0
gxlim 0,x0,3x x ，
x0 x0
3x2, x0

6x, x0,

 3x x 0
gxlim 0,x0,6 x ，
x0 x0
6x, x0

由于 x 在x0处不可导，因此n2.选（C）.
3.【分析】首先， f x在x0连续 lim f x lim f x f 0，即b0.
x0 x0
然后， f x在x0可导 f 0 f 0.
 
 1
x2sin ,x0,
当b0时， f x x
  ax, x0.
1
f x f 0
x2sin
按定义求出 f 0 lim  lim x 0.
 x0 x x0 x
由求导法则知 f 0ax a.
 x0由 f 0 f 0得a0，因此选（A）.
 
4.【分析】显然lim f x0 f 0，又
x0
f x f 0 x f x f 0 x
lim  lim ， lim  lim ，
x0 x x0 x x0 x x0 x
y f x的图形如图：
因此， f0不存在，但y f x在0,0处存在切线x0（y轴），选（D）.
二、填空题
1.【分析】按导数定义，将原式改写成
 f 1x f 1 f 12sinx f 1 sinx f 13tanx f 1 tanx
原式lim 2  6  
x0 x 2sinx x 3tanx x 
 f12f16f19f1.
f 1cosx f 0 1cosx 1cosx 1
2.【分析】原式lim   f0lim  .
x0 1cosx tanx2 x0 x2 2
3x2 4
3.【分析】y f u，u 1 ，u 1.
3x2 3x2 x0
dy  4    43 
 f11   f1 
dx x0  3x2 x0  3x22 
 
x0
 3
 3 .
4 4
2 2
4.【分析一】设 u x3，则x 3u ，x2 u3，ysinu3，于是由复合函数求导法则即得
y  cosu 2 3  2 u  1 3  2cosx2 .
u 3 3x
【分析二】用微分来求.
dy dy/dx cosx22x 2cosx2
   .
d  x3 d  x3 /dx 3x2 3x
5.【分析】 fx3f2x fx3f5x， fx35f4x fx35f7x，
找规律得： fnx2n1!!f2n1x.
1 1 f(5)(0)
6.【分析】yln  1x2 x2  x4  x6  ，由泰勒公式的唯一性可知： 0，所

2 3 5!以 f(5)(0)0.
dy y sint d2y  sint  dx 1tcostsint 1 sinttcost
7.【分析】  t  ，      .
dx x 2t dx2  2t  dt 2 t2 2t 4t3
t t
8.【分析】由隐函数求导法，将方程x13  y2两边对x求导，得
3x12 2yy.
令x5，y8即得y53.故曲线x13  y2在点5,8处的切线方程是
y83x5 y3x7.
9.【分析】与直线x y1垂直的直线族为yxc，其中c是任意常数，又因ylnx上点
1 1
x ,y x ,lnx x 0处的切线方程是ylnx  xx  xlnx 1，从而，切线
0 0 0 0 0 0 x 0 x 0
0 0
1
与x y1垂直的充分必要条件是 1 x 1，即该切线为yx1.
x 0
0
dy y 3t2 3
10.【分析】t2时x,y5,8，  t   t3.
dx x 2t 2
t
切线方程为y83x5，即y3x7.
11.【分析】由导数定义可求得
1
xsin
f0lim
x2
limx1sin
1
.
x0 x x0 x2
上述极限只在1时存在，且此时 f00，于是 f x的导函数为
 1 1
x1sin 2x3cos ,x0,
fx x2 x2
  0, x0.
欲使 fx在x0处连续，必须有
 1 1 
lim fxlimx1sin 2x3cos 0，
x0 x0 x2 x2 
而这一极限为零应满足3.
三、计算题
dy 1 sinx  sinx 
1.【解】（Ⅰ） esin2x2sinxcosx 2 cosx  cosx2 cosx  ln2
dx 2 cosx 2 cosxesin2xsin2x sinx 2 cosx  1 cosxln2 
2 cosx
2 1 ab 1 1
（Ⅱ）y 
a2 b2  ab x 2 ab cos2 x 2
1  tan   2
ab 2
 
1 ab

ab  x x
ababtan2 cos2
 
 2 2
1

x x
abcos2 absin2
2 2
1
 .
1cosx 1cosx
ab ab
2 2
1

abcosx
dy y   tft f t   tft
2.【解】  t   t，
dx x ft ft
t
dy dy
d  d  dt
d2y dx dx 1
   ，
d2x dx dx/dt ft
d2y d2y
d  d  dt
d3y d2x d2x ft 1 ft
     .
dx3 dx dx/dt f2t ft ft 3
 
3.【解】（Ⅰ）两边取对数得ylnx xlny，两边对y求导，并注意xxy，得
y dx dx x
lnx  lny .
x dy dy y
dx dx dx x2 xylnx
上式两边乘xy，并移项得 y2 xylny  x2 xylnx.解出 得  .
dy dy dy y2 xylny
（Ⅱ）ey  yx，两边取对数得yxlny.对x求导
dy x dy dy dy dy lny
lny ，y  ylnyx   .
dx y dx dx dx dx yx
dy dy dy
将 的方程y  ylnyx 两边对x求导得
dx dx dx
d2y dy 2 dy dy d2y
y    lny2 x .
dx2 dx dx dx dx2
d2y dy
解出 并代入 表达式得
dx2 dxd2y ylny y2ln2 y   lny2yx ylny  ylny
yx lny2  
dx2 yx yx2 yx2
d2y y2xylny
注意yxlny，于是  .
dx2 yx3
1 dg(y) dg(y) dx fx
4.【解】gy ，gy   .
fx dy dy dx fx 3
 
fa
因为 f a3，所以当y3时，xa，所以g3 2.
fa 3
 
gxcosx gxg0 1cosx
5.【解】（1）lim f xlim lim   g0，
x0 x0 x x0 x x 
当ag0时， f x在x0处连续。
xgxsinxgxcosx
   
（2）当x0时， fx
x2
gxcosx
f x f 0
g0
gxcosxg0x
x
而lim lim lim
x0 x x0 x x0 x2
gxsinxg0 1 gxg0 sinx 1
lim  lim   

g01

x0 2x 2x0 x x  2
 x  gxsinx    gxcosx   
所以 fx 
x2
 
gxsinxgxcosxgxsinx
 
lim
x0 2x
1 1
lim gx1 g01
   
x02 2
因为lim fx f0，所以 fx在x0处连续.
x0