(7)--函数求导数巩固练习及答案_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{3}--全部课件

巩固练习 一、选择题 f  ah2  f  ah2 1.若极限lim  A，则函数 f x在xa处 h0 eh2 1 （A）不一定可导. （B） 不一定可导，但 fa A.  （C）不一定可导，但 fa A （D）可导，且 fa A.  2.设 f x3x2 x2 x ，则使 fn0存在的最高阶数n （A）0. （B）1. （C）2. （D）3.  1 x2sin , x0, 3.设 f x x 在x0处可导，则a,b满足  axb, x0 （A）a0，b0. （B）a1，b1. （C）a为任意常数，b0. （D）a为任意常数，b1.   x, x0, 4.设 f x 则  x,x0 （A） f x在x0处不连续. （B） f0存在. （C） f0不存在，曲线y f x在点0,0处不存在切线. （D） f0不存在，曲线y f x在点0,0处存在切线. 二、填空题 1.若函数 f x在x1处的导数存在，则极限 f 1x f 12sinx2f 13tanx lim ______________. x0 x f 1cosx 2.设 f01， f 00，则lim ____________. x0 tanx2 3x2 dy 3.设y f   ，且 fxarctanx2，则 _____________. 3x2 dx x0 dy 4.设ysinx2，则 ______________. d  x35.设 f x有任意阶导数且 fx f3x，n1，则 fnx_____________. 6.设yln  1x2，则y50__________________. x1t2, d2y 7.设 则 _____________. ycost, dx2 8.曲线x13  y2上点5,8处的切线方程是______________. 9.曲线ylnx上与直线x y1垂直的切线方程为_____________. x1t2, 10.曲线 上对应点t 2处的切线方程为______________. yt3  1 xsin , x0, 11.设函数 f x x2 的导函数在x0处连续，则的取值为____________.  0, x0 三、计算题 1.计算下列各题： dy （Ⅰ）设yesin2x  cosx2 cosx，求 ； dx 2  ab x （Ⅱ）设y arctan tan ，其中ab0，求y.   a2 b2  ab 2  x ft, dy d2y d3y 2.设 其中 f t三阶可导，且 ft0，求 ， ， ；  ytft f t, dx dx2 dx3 3.计算下列各题（提示，等式两边取对数后再求导）： dx （Ⅰ）由方程xy  yx确定x xy，求 ； dy （Ⅱ）方程yxey 1确定y yx，求yx； 4.设函数y f x有反函数x gy，且 f a3， fa1， fa2，求g3. gxcosx  ,x0 5.设函数 f x x 其中gx二阶连续可导，且g01.  a, x0 （1）确定常数a，使得 f x在x0处连续； （2）求 fx； （3）讨论 fx在x0处的连续性.答案解析 一、选择题 1.【分析】只有极限 f  ah2  f  ah2 f  ah2  f  ah2 lim  Alim  A h0 eh2 1 h0 h2 f  ah2  f a f  ah2  f a 存在并不能保证极限lim 与lim 都存在，因此两个单侧导数 h0 h2 h0 h2 都不一定存在，应选（A）. f  ah2  f  ah2 h2  h2 例如：设 f(x) xa ，则lim lim 0，极限存在，但 f x h0 eh2 1 h0 h2 在xa处不可导. x3,x0, 2.【分析】设gxx2 x  ，所以 x3,x0 3x2, x0,   x2 x 0 gxlim 0,x0,3x x ， x0 x0 3x2, x0  6x, x0,   3x x 0 gxlim 0,x0,6 x ， x0 x0 6x, x0  由于 x 在x0处不可导，因此n2.选（C）. 3.【分析】首先， f x在x0连续 lim f x lim f x f 0，即b0. x0 x0 然后， f x在x0可导 f 0 f 0.    1 x2sin ,x0, 当b0时， f x x   ax, x0. 1 f x f 0 x2sin 按定义求出 f 0 lim  lim x 0.  x0 x x0 x 由求导法则知 f 0ax a.  x0由 f 0 f 0得a0，因此选（A）.   4.【分析】显然lim f x0 f 0，又 x0 f x f 0 x f x f 0 x lim  lim ， lim  lim ， x0 x x0 x x0 x x0 x y f x的图形如图： 因此， f0不存在，但y f x在0,0处存在切线x0（y轴），选（D）. 二、填空题 1.【分析】按导数定义，将原式改写成  f 1x f 1 f 12sinx f 1 sinx f 13tanx f 1 tanx 原式lim 2  6   x0 x 2sinx x 3tanx x   f12f16f19f1. f 1cosx f 0 1cosx 1cosx 1 2.【分析】原式lim   f0lim  . x0 1cosx tanx2 x0 x2 2 3x2 4 3.【分析】y f u，u 1 ，u 1. 3x2 3x2 x0 dy  4    43   f11   f1  dx x0  3x2 x0  3x22    x0  3  3 . 4 4 2 2 4.【分析一】设 u x3，则x 3u ，x2 u3，ysinu3，于是由复合函数求导法则即得 y  cosu 2 3  2 u  1 3  2cosx2 . u 3 3x 【分析二】用微分来求. dy dy/dx cosx22x 2cosx2    . d  x3 d  x3 /dx 3x2 3x 5.【分析】 fx3f2x fx3f5x， fx35f4x fx35f7x， 找规律得： fnx2n1!!f2n1x. 1 1 f(5)(0) 6.【分析】yln  1x2 x2  x4  x6  ，由泰勒公式的唯一性可知： 0，所  2 3 5!以 f(5)(0)0. dy y sint d2y  sint  dx 1tcostsint 1 sinttcost 7.【分析】  t  ，      . dx x 2t dx2  2t  dt 2 t2 2t 4t3 t t 8.【分析】由隐函数求导法，将方程x13  y2两边对x求导，得 3x12 2yy. 令x5，y8即得y53.故曲线x13  y2在点5,8处的切线方程是 y83x5 y3x7. 9.【分析】与直线x y1垂直的直线族为yxc，其中c是任意常数，又因ylnx上点 1 1 x ,y x ,lnx x 0处的切线方程是ylnx  xx  xlnx 1，从而，切线 0 0 0 0 0 0 x 0 x 0 0 0 1 与x y1垂直的充分必要条件是 1 x 1，即该切线为yx1. x 0 0 dy y 3t2 3 10.【分析】t2时x,y5,8，  t   t3. dx x 2t 2 t 切线方程为y83x5，即y3x7. 11.【分析】由导数定义可求得 1 xsin f0lim x2 limx1sin 1 . x0 x x0 x2 上述极限只在1时存在，且此时 f00，于是 f x的导函数为  1 1 x1sin 2x3cos ,x0, fx x2 x2   0, x0. 欲使 fx在x0处连续，必须有  1 1  lim fxlimx1sin 2x3cos 0， x0 x0 x2 x2  而这一极限为零应满足3. 三、计算题 dy 1 sinx  sinx  1.【解】（Ⅰ） esin2x2sinxcosx 2 cosx  cosx2 cosx  ln2 dx 2 cosx 2 cosxesin2xsin2x sinx 2 cosx  1 cosxln2  2 cosx 2 1 ab 1 1 （Ⅱ）y  a2 b2  ab x 2 ab cos2 x 2 1  tan   2 ab 2   1 ab  ab  x x ababtan2 cos2    2 2 1  x x abcos2 absin2 2 2 1  . 1cosx 1cosx ab ab 2 2 1  abcosx dy y   tft f t   tft 2.【解】  t   t， dx x ft ft t dy dy d  d  dt d2y dx dx 1    ， d2x dx dx/dt ft d2y d2y d  d  dt d3y d2x d2x ft 1 ft      . dx3 dx dx/dt f2t ft ft 3   3.【解】（Ⅰ）两边取对数得ylnx xlny，两边对y求导，并注意xxy，得 y dx dx x lnx  lny . x dy dy y dx dx dx x2 xylnx 上式两边乘xy，并移项得 y2 xylny  x2 xylnx.解出 得  . dy dy dy y2 xylny （Ⅱ）ey  yx，两边取对数得yxlny.对x求导 dy x dy dy dy dy lny lny ，y  ylnyx   . dx y dx dx dx dx yx dy dy dy 将 的方程y  ylnyx 两边对x求导得 dx dx dx d2y dy 2 dy dy d2y y    lny2 x . dx2 dx dx dx dx2 d2y dy 解出 并代入 表达式得 dx2 dxd2y ylny y2ln2 y   lny2yx ylny  ylny yx lny2   dx2 yx yx2 yx2 d2y y2xylny 注意yxlny，于是  . dx2 yx3 1 dg(y) dg(y) dx fx 4.【解】gy ，gy   . fx dy dy dx fx 3   fa 因为 f a3，所以当y3时，xa，所以g3 2. fa 3   gxcosx gxg0 1cosx 5.【解】（1）lim f xlim lim   g0， x0 x0 x x0 x x  当ag0时， f x在x0处连续。 xgxsinxgxcosx     （2）当x0时， fx x2 gxcosx f x f 0 g0 gxcosxg0x x 而lim lim lim x0 x x0 x x0 x2 gxsinxg0 1 gxg0 sinx 1 lim  lim     g01  x0 2x 2x0 x x  2  x  gxsinx    gxcosx    所以 fx  x2   gxsinxgxcosxgxsinx   lim x0 2x 1 1 lim gx1 g01     x02 2 因为lim fx f0，所以 fx在x0处连续. x0