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2024 级“贵百河—武鸣高中”10 月高一年级新高考月考测试
数 学
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改
动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1.已知集合 ，集合 ，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B.
C. D.
2.已知命题 ，则 是（ ）
A. B. C. D.
3.已知集合 ，则“ ”是“集合M仅有1个真子集”的（ ）
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
4.已知函数 的对应关系如下表，函数 的图象如图，则 的值为（ ）
x 1 2 3
2 3 0
A.3 B.0 C.1 D.2
5.给出下列结论：
①两个实数a，b之间，有且只有a﹥b，a＝b，a<b三种关系中的一种；②若 ，则a﹥b；
③若 ， ；④已知 ，则 .其中正确结论的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
6.已知函数 的定义域是 ，则 的定义域为（ ）
A. B. C. D.
7．已知函数 ，若对于任意的实数 与 至少有一个为
正 数，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.已知正实数a，b，记 ，则M的最小值为（ ）
A. B.2 C.1 D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题的选项中，有多项符合题目要求。
（答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选
两个都对得4分，错选不得分）
9.下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）
A. 和
B. 和
C.
D. 和
10.下列说法正确的有（ ）
A. 的最小值为2
B.已知 ，则 的最小值为
C.若正数x、y满足 ，则 的最小值为3
D.设x、y为实数，若 ，则 的最大值为
11.通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族.若以集合X的子集为元素的族 ，满足下列三
个 条件：（1） 和X在 中；（2） 中的有限个元素取交后得到的集合在 中；（3） 中的任
意多 个元素取并后得到的集合在 中，则称族 为集合X上的一个拓扑.已知全
集 为 的非空真子集，且 ，则（ ）
A.族 为集合 上的一个拓扑B.族 为集合 上的一个拓扑
C.族 为集合 上的一个拓扑
D.若族P为集合 上的一个拓扑，将P的每个元素的补集放在一起构成族Q，则Q也是集合
U上的一个拓扑
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合 ，集合 ，若 ，则实数m的值是 .
13.某年级先后举办了数学和音乐讲座，其中参加数学讲座的人数是参加音乐讲座的人数的 ，只
参加数学讲座的人数是只参加音乐讲座的人数的 ，有20人同时参加数学、音乐讲座，则参
加 讲座的人数为 .
14.若定义在 上的函数 同时满足；① 为奇函数；②对任意的x ，
1
， 且 ，都有 ＜0.则称函数 具有性质P.已知函数
具有性质P，则不 等式 的解集为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（本小题13分）党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计.而清洁
能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑.沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清
洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效.通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农
村 人居环境等方面，起到立竿见影的效果.为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备
建 造一个深为2米，容积为32立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为150元，池
壁每平方米的造价为120元，沼气池盖子的造价为3000元，问怎样设计沼气池能使总造价最
低，最低总造价是多少？
16.（本小题15分）已知集合 ， .
（1）若 ，求实数m的取值范围；
（2）命题 ：“ ，使得 ”是真命题，求实数m的取值范围.17.（本小题15分）函数 的图象过点 .
（1）求实数m的值，并判断函数的奇偶性；
（2）利用单调性定义证明 在区间 上是增函数；
（3）直接写出函数 的单调递减区间.
18.（本小题17分）已知函数 .
（1）若不等式 的解集为R，求实数m的取值范围；
（2）当 时，解关于x的不等式 ；
（3）若不等式 对一切 恒成立，求实数m的取值范围.
19.（本小题17分）若函数 的定义域为D.集合 ，若在非零实数t使得任意 都
有 ，且 ，则称 为M上的t-增长函数.
（1）已知函数 ，函数 ，判断 和 是否为区间[-1，0]上的 增长函
数， 并说明理由：
（2）已知函数 ，且 是区间 上的 增长函数，求正整数n的最小值；（3）如果 的图像关于原点对称，当 时， ，且 为R上的 增
长函数，求实数 的取值范围.2024级“贵百河一武鸣高中”10月高一年级新高考月考测试
数 学 参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B B B C C B A AC BCD ABD
1．D
【详解】解： ，
阴影部分表示的集合为 或 ．
故选：D．
2．B
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题 ，
则 是 .
故选：B.
3．B
【详解】集合 仅有1个真子集，即集合M只有一个元素，
若 ，方程 等价于 ，解得 ，满足条件；
若 ，方程 要满足 ，有 ，
则集合 仅有1个真子集，有 或 ，
则 时满足集合M仅有1个真子集， 集合M仅有1个真子集时不一定有 ，
所以“ ”是“集合M仅有1个真子集”的充分不必要条件.
故选：B.
4．B
【详解】根据 的图像可知， ，根据表格可知， .
故选：B5．C
【详解】两个实数a,b之间,有且只有 三种关系中的一种,所以①正确
,则 ,即 或 ,所以②错误
因为 ,所以 ,即 ,即 ,所以③正确
因为 ,所以 ,所以④正确.
即正确结论的个数为3
故选：C
6．C
【详解】因为函数 的定义域是 ，即 ，则 ；
对于函数 ，可知 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 .
故选：C.
7．B
【详解】当 时， 在 上恒成立， 在 上恒成立， ，
而 ，所以 在 上需恒成立，
又因为 开口向上，所以 或 ，
解得 或 ，所以 ；
当 时， ， 不恒成立，故 不符合；
当 时， 在 上恒成立， 在 上恒成立， ，
而 ，所以 在 上需恒成立，
又因为 开口向下，所以 在 上不恒成立，故 不符合；
综上可得 .故选：B.
8．A
【详解】由 得， ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ， ，当且仅当 ，即 时，等号
成立，
故选：A．
9．AC
【详解】A： 与 定义域和对应法则都相同，为同一函数；
B： 定义域为 ，而 定义域为R，它们的定义域、对应法则都不同，
不为同一函数；
C： 与 定义域和对应法则都相同，为同一函数；
D： 定义域为 ，而 定义域为 或 ，它们定
义域不同，不为同一函数.
故选：AC
10．BCD
【详解】显然当 时， ，故A错误；原式可化为： ，
当且仅当 即 时取得等号，故B正确；
由 ，
所以 ，
当且仅当 即 时取得等号，故C正确；
由 ，
则 ，当且仅当 时取得等号，
故D正确.
故选：BCD
11．ABD
【详解】对于A， 首先 满足条件（1），
其次， 中的有限个元素取交后得到的集合为 或 ，都在 中，满足条件（2），
再次， 中的任意多个元素取并后得到的集合为 或 ，都在 中，满足条件（3），
故A正确；
对于B，首先 满足条件（1），
其次， 中的有限个元素取交后得到的集合为 或 或 ，都在 中，满足条件
（2），
再次， 中的任意多个元素取并后得到的集合为 或 或 ，都在 中，满足条件
（3），故B正确；对于C，不妨设 ，则 ，不在 中，故C错误；
对于D，由题意不妨设族 为集合 上的一个拓扑，
由条件（2）可知 中的有限个元素取交后得到的集合都在
，
且由条件（3）可知 中的任意多个元素取并后得到的集合都在
，
则Q={U,C A ···,C A ,∅}(n≥1)， 下证： 也是集合 上的一个拓扑.
U 1 U n
首先∅,U∈Q={U,C A ···,C A ,∅}(n≥1) 满足条件（1），
U 1 U n
其次，设 ，则Q ∩···∩Q =C ((C Q )∪···∪(C Q )），
i i U U i U i
1 k 1 k
而C Q ,···，C Q ∈p ，故(C Q )∪···∪(C Q )∈p ，
U i U i U i U i
1 k 1 k
故 ，同理可证 ，
故Q={U,C A ···,C A ,∅}(n≥1) 中的有限个元素取交后得到的集合都在 中，
U 1 U n
任意多个元素取并后得到的集合都在Q={U,C A ···,C A ,∅}(n≥1) 中，
U 1 U n
满足条件（3），故D正确.
故选：ABD.
填空题：12． 13．120 14．
12．
【详解】因为集合 ，集合 ，且 ，
当 时，则 ，不满足 ；
当 时，则 ，满足 ；所以 .
故答案为：
13．120
【详解】解：设参加数学讲座的学生的集合为A, 参加音乐讲座的学生的集合为B，
则 ，
解得： ,又 ，
所以 ,
则参加讲座的人数为120,
故答案为：120.
14．
【详解】因为对任意的 ， ，且 ，都有 ，
不妨设 ，则 ，可得 ，则 ，
构造函数 ，则 ， ，
所以函数 在 上为单调递减函数，
又因为 为奇函数，所以 ，
所以函数 为 上的偶函数，
所以函数 在 为单调递增函数，
当 时，即 时，有 ，
由 ，可得 ，
所以 ，解得 ，此时无解；
当 时，即 时，由 ，可得 ，所以 ，解得 或 ，
综上可得，不等式 的解集为 .
故答案为： .
解答题
15．当沼气池的底面是边长为4米的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是9240元.
【详解】设沼气池的底面长为x米，则宽为 ........................1分
可知池底总造价为： ........................2分
池壁总造价为： ........................3分
沼气池盖子的造价为3000元
设沼气池总造价为y元，且 ........................4分
由题可得： ........................7分
........................10分，当且仅当 ，即
时，等号成立.........................12分
所以当沼气池的底面是边长为4的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是9240元.................13分
16．【详解】（1）若 ，满足 ，此时 ，即 ，........................2分
当 时，要使 ，则 ，即 ，即 ，.....................5分
综上实数 的取值范围为 .........................6分
（2）命题 ：“ ，使得 ”是真命题，等价于 ....................7分
若 时....................8分当 ，满足 ，此时 ，即 ，....................10分
当 时， ，
若 ，则满足 或 ，....................13分
即 或 ，
综上若 ，得 或 ....................14分
则当 时，即实数 的取值范围是 .....................15分
17．【详解】（1）因为 的图象过点 ，
所以 ，则 .....................1分
此时 ,则 为奇函数，理由如下：
易知 的定义域为 ，关于原点对称，....................2分
又 ，则 ，所 ，....................3分
所以 是奇函数．....................4分
（2）取任意 ，....................5分
则 ，....................7分
又 ， ， ，所以 ，....................8分
所以 ，即 ， ...................9分
即 在区间 上是增函数.....................10分
（3）由（2）易知，当 时， ，
所以 在 上单调递减，....................11分
在 上单调递增，又 是奇函数....................13分所以 在 上单调递增，在 上单调递减，....................14分
故 的单调递减区间为 ， .....................15分
18．【详解】（1）①当 ，即 时，原不等式化为 ，
解集为 ，不合题意；...................1分
②当 ，即 时，
的解集为R，即 的解集为R，
则应有 ...............2分
即 ，解得 ...............3分
综上，m的取值范围是 ................4分
（2）由已知可得 ，
即 ，即
（i）当 ，即 时，不等式化为 ，解得 ；...............5分
（ⅱ）当 时，有 ，
解 可得， 或 ................6分
①当 ，又 可得，即 时，有 ，
则解 可得， 或 ；...............7分
②当 ，有 ，
解 可得， ．...............8分
综上所述，当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解集为 ．...............10分
（3）不等式 ，即 ，
即 ．
恒成立， ................11分
设 ， ， ．...............12分
．...............14分
，当且仅当 时取等号，...............15分
，当且仅当 时取等号...............16分
所以m的取值范围是 ．...............17分
19．
【详解】（1） 是：因为 ， ， ；...............2分
不是，反例：当 时， ．...............4分
（2）由题意得， 对于 恒成立，
等价于 ，即 对 恒成立，...............5分
令 ，因为 ，所以 是区间 上单调递增的一次函数............7分
要保证 对 恒成立，则 ，...............8分即 ， 解得 ，...............9分
所以满足题意的最小正整数 为9．...............10分
（3）根据题意， 当 时， ，当 时， ，因为 的图像关于原点对
称，所以可作出其函数图象，如下图所示：
所以 ， ...............12分
（有图像得一分）.......................13分
若 是R上的 增长函数，则对任意的 ，都有 ，
因为 是将 向左平移四个单位得到，如下图所示，（文字表述得一分，图像得一
分......................15分）
所以2a2-4<-2a2 ，解得−1<a<1，所以实数a的取值范围为
(-1,1)...............17分
