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福建省连城县第一中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题
一、单选题
1．若 ，则 （ ）
A．2 B．1 C． D．-1
2．已知向量 ， ，满足 ，则 的值为（ ）
A．2 B．-2 C． D．
3．设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
若随机变量Y=X-2，则P(Y=2)等于（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
4．小明同学在做市场调查时得到如下样本数据：
x 1 3 6 10
y 8 a 4 2
他由此得到回归直线方程为 ，则下列说法不正确的是（ ）
A．变量x与y线性负相关 B．当 时可以估计
C． D．变量x与y之间是函数关系
5．函数 的导函数为 的图象如图所示，关于函数 ，下列说法不正确的是（ ）A．函数 ， 上单调递增
B．函数在 ， 上单调递减
C．函数存在两个极值点
D．函数有最小值，但是无最大值
6．已知正四面体P-ABC的棱长为3，动点M满足 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C．2 D．3
7．为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每个店铺招收了两名员工，若某节假日每位员
工休假的概率均为 ，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家店铺无人休假，则从
无人休假的店铺调剂1人到员工全部休假的店铺，使得该店铺能够正常营业，否则该店就停业.则两家店铺
该节假日能正常营业的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．若函数 有 个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列结论中正确的有（ ）
A．若 ，则 B．
C．若 ，则 D．
10．如图，正三棱柱 的各条棱长都为2，M，N分别是AB， 的中点，则（ ）A． B． C． D． 平面
11．投壶是中国古代士大夫宴饮时玩的一种投掷游戏，游戏方式是把箭向壶里投．《醉翁亭记》中的
“射”指的就是指“投壶”这个游戏．现甲、乙两人玩投壶游戏，每次由其中一人投壶，规则如下：若投
中，则此人继续投壶，若未投中，则换为对方投壶．无论之前投壶的情况如何，甲每次投壶的命中率均为
，乙每次投壶的命中率均为 ，由抽签确定第1次投壶的人选，第1次投壶的人是甲、乙的概率各为 ，
则（ ）
A．第3次投壶的人是甲的概率为
B．在第3次投壶的人是甲的条件下，第1次投壶的人是乙的概率为
C．前4次投壶中甲只投1次的概率为
D．第10次投壶的人是甲的概率为
三、填空题
12．已知随机变量 ，若 ，则 的值为 ．
13．已知空间三点 ， ， ，且 的面积为 ，则 ．
14．已知关于 的不等式 恒成立， 的最小值为 ，则 ，并求
的最小值为 （其中 为自然对数的底数）
四、解答题15．如图， 是圆柱 的一条母线， 是底面的一条直径， 是圆
上一点，且 ， .
(1)求直线 与平面 所成角的大小；
(2)求点 到平面 的距离.
16．已知函数 ， .
(1)求 的单调区间；
(2)若曲线 在 处的切线平行于 轴，求 在 上的值域.
17．如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，底面 是梯形，
．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ， 为线段 的中点，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
18．某商超通过产品､价格､渠道和促销等各种营销策略，销售业绩得到不断提升，商超利润也有较大的攀
升，经统计，该商超近7周的利润数据如下：
第 周 1 2 3 4 5 6 7商超利润 （单位：万 3 4
32 36 45 51 55
元） 5 7
(1)若 关于 具有较强的线性相关关系，求 关于 的线性回归方程 ，并预测该商超下周的利润；
(2)该商超为提升业绩，决定对客户开展抽奖促销活动：单张小票不超过500元可参加抽奖一次；单张小票
超过500元可参加抽奖两次.若抽中“一等奖”，可获得30元的代金券；抽中“二等奖”，可获得20元的
代金券；抽中“谢谢参与”，则没有奖励.已知本次抽奖活动中获得“一等奖”的概率为 ，获得二等奖”
的概率为 .某客户有两次参与抽奖活动的机会，假设两次抽奖之间是否中奖相互独立，求该客户所获得代
金券总额 （元）的分布列及数学期望.
附： ；参考数据：
19．已知函数 ，其中 为常数．
(1)若 恰有一个解，求 的值；
(2) 若函数 ，其中 为常数，试判断函数 的单调性；
若 恰有两个零点 ， ，求证： ．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A D C B D D BD CD
题号 11
答案 ABD
12． /
13． 或 ，
14．
15．(1)
(2)
16．(1)递增区间为 ，递减区间为
(2)
17．(1)证明见解析
(2)
18．(1) ，59万元
(2)分布列答案见解析，数学期望： （元）
19．(1)
(2) 由已知可得 ，求导可判断 恒成立，即可得出结论； 恰有两个
零点 ， 等价于 ，有两解 ， .由 ，可得 （记 ．进而
可得 ，由 单调递增．可得 ，则有 ，化简可得 ，同理
．化简计算可证得结果.
