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第十章 概率
（A 基础卷）
班级______ 姓名_______ 考号______
一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一
项是最符合题目要求的）
1．抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件 {至少1枚正面朝上}， {至多2枚正面朝上}，事件 {没有
硬币正面朝上}，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】
记事件 {1枚硬币正面朝上}， {2枚硬币正面朝上}， {3枚硬币正面朝上}，则 ，
，
显然 ， ， ，C不含于A.
故选：D
2．一个口袋内装有大小相同的红、篮球各一个，若有放回地摸出一个球并记下颜色为一次试验，试验共
进行三次，则至少摸到一次红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由题设，每次摸到红、篮球的概率均为 ，则三次都摸到篮球的概率为 ，
所以至少摸到一次红球的概率是 .
故选：B
3．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．至少有一个黑球与都是黑球
B．至少有一个黑球与至少有一个红球
C．恰有一个黑球与恰有两个黑球
D．至少有一个黑球与都是红球
【答案】C
【详解】
对于A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴A不正确；
对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，
∴B不正确；
对于C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时
还有可能是两个都是红球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴C正确；
对于D：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，∴这两个事件
是对立事件，∴D不正确.
故选：C．
4．5张卡片上分别写有数字0，1，2，3，4，从中任意抽取一张，抽到的卡片上的数字为奇数的概率是（
）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
解：5张卡片中卡片上的数字为奇数的有 张，从中任意抽取一张，抽到的卡片上的数字为奇数的概率是
；
故选：C
5．在试验“甲射击三次，观察中靶的情况”中，事件A表示随机事件“至少中靶1次”，事件B表示随
机事件“正好中靶2次”，事件C表示随机事件“至多中靶2次”，事件D表示随机事件“全部脱靶”，
则（ ）
A．A与C是互斥事件 B．B与C是互斥事件
C．A与D是对立事件 D．B与D是对立事件
【答案】C
【详解】
解：因为A与C，B与C可能同时发生，故选项A、B不正确；B与D不可能同时发生，但B与D不是事
件的所有结果，故选项D不正确；A与D不可能同时发生，且A与D为事件的所有结果，故选项C正确．
故选：C.
6．中国农历的“二十四节气”是凝结着中华民族的智慧与传统文化的结晶，“二十四节气歌”是以“春､
夏､秋､冬”开始的四句诗，2016年11月30日，“二十四节气”正式被联合国教科文组织列入人类非物质
文化遗产，也被誉为“中国古代第五大发明”.从某小学一年级随机抽查100名学生并提问“二十四节气
歌”，只能说出两句的有45人，能说出三句或三句以上的有32人，据此估计从该校一年级学生中抽取一
人，对“二十四节气歌”只能说出一句或一句也说不出的概率约为（ ）
A．0.45 B．0.32 C．0.23 D．0.77
【答案】C【详解】
由题意，只能说出第一句，或一句也说不出的同学有100﹣45﹣32＝23人，
故只能说出第一句或一句也说不出的学生占的比例为 ，
故选：C
7．连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m，n，记 ，则下列说法正确的是（ ）
A．事件“ ”的概率为 B．事件“t是奇数”与“ ”互为对立事件
C．事件“ ”与“ ”互为互斥事件 D．事件“ 且 ”的概率为
【答案】D
【详解】
连掷一枚均匀的骰子两次，
所得向上的点数分别为m，n，则共有 个基本事件，
记t＝m＋n，
则事件“t＝12”必须两次都掷出6点，则事件“t＝12”的概率为 ，故A错误；
事件“t是奇数”与“m＝n”为互斥不对立事件,如事件m=3,n=5，故B错误；
事件“t＝2”与“t≠3”不是互斥事件，故C错误；
事件“t＞8且mn＜32”有
共9个基本事件，
故事件“t＞8且mn＜32”的概率为 ，故D正确；
故选：D．
8．袋中有红､黄两种颜色的球各一个，这两个球除颜色外完全相同，从中任取一个，有放回地抽取3次，
记事件 表示“3次抽到的球全是红球”，事件 表示“ 次抽到的球颜色全相同”，事件 表示“3次抽
到的球颜色不全相同”，则（ ）
A．事件 与事件 互斥 B．事件 与事件 不对立
C． D．
【答案】C
【详解】
解：对于A，因为3次抽到的球全是红球为3次抽到的球颜色全相同的一种情况，所以事件 与事件 不
互斥，故 错误；
对于B，事件 与事件 不可能同时发生，但一定有一个会发生，所以事件 与事件 互为对立事件，故
错误；对于C，因为 ，所以 ，故 正确；
对于D，因为事件 与事件C互斥， ，所以 ，所以
，故D错误.
故选：C
二、多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。每小题列出的四个选项中有多项
是符合题目要求的，多选或错选不得分）
9．甲、乙两人下棋，和棋的概率为 ，乙获胜的概率为 ，则下列说法错误的是（ ）
A．甲获胜的概率是 B．甲不输的概率是
C．乙输的概率是 D．乙不输的概率是
【答案】BCD
【详解】
“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率是 ，故A正确；设甲不
输为事件A，则事件A是“甲获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以 ，故B
错误；“乙输”的概率即“甲获胜”的概率，为 ，故C错误；设乙不输为事件B，则事件B是“乙获
胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以 ，故D错误；
故选：BCD
10．设靶子上的环数取1~10这10个正整数，脱靶计为0环．某人射击一次，设事件 “中靶”；事件
“击中环数大于5”；事件 “击中环数大于1且小于6”；事件 “击中环数大于0且小于6”，则
错误的关系是（ ）
A．B与C互斥 B．B与C互为对立 C．A与D互斥 D．A与D互为对立
【答案】BCD
【详解】
由题意知，
事件B、C不会同时发生，但可能会同时不发生，
所以事件B与C为互斥事件，但不是对立事件；
事件A、D会同时发生，所以事件A与D既不互斥也不对对立.
故选：BCD
11．“新冠肺炎”席卷全球，我国医务工作者为了打好这次疫情阻击战，充分发挥优势，很快抑制了病毒，据统计老年患者治愈率为 ，中年患者治愈率为 ，青年患者治愈率为 .某医院共有 名老年
患者， 名中年患者， 名青年患者，则（ ）
A．若从该医院所有患者中抽取容量为 的样本，老年患者应抽取 人
B．该医院中年患者所占的频率为
C．估计该医院的平均治愈率大约是
D．估计该医院的平均治愈率大约是
【答案】ABC
【详解】
对于A选项，若从该医院所有患者中抽取容量为 的样本，老年患者应抽取的人数为 ，A对；
对于B选项，该医院中年患者所占的频率为 ，B对；
对于CD选项，估计该医院的平均治愈率大约是 ，C对D错.
故选：ABC.
12．某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：
投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数
100 55 18
记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估
计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】
依题意， ， ，
显然事件A，B互斥， ，
事件B，C互斥，则 ，
于是得选项A，B，C都正确，选项D不正确.
故选：ABC
三、填空题（每小题5分，共计20分）
13．为了迎接春节，小王买了红､黄､紫三种颜色的花各一盆，准备并排摆放在自家阳台上，则红和紫两种
颜色的花不相邻的概率为___________.【答案】
【详解】
红､黄､紫三种颜色的花依次摆放的方法有：
（红､黄､紫），（红､紫､黄），（黄､红､紫），（黄､紫､红），
（紫､红､黄），（紫､黄､红），共6种不同的情况，
其中满足条件的是（红､黄､紫），（紫､黄､红），共2种情况，
所以红和紫两种颜色的花不相邻的概率为 .
故答案为： .
14．将2个1和1个0随机排成一排，则这个试验的样本空间 __________.
【答案】
【详解】
将2个1和1个0随机排成一排，这个试验的样本空间 ，
故答案为：
15．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“三局两胜制”（即先赢两局者为胜，若前两局某人连胜，
则无需比第三局），根据以往两人的比赛数据分析，甲在每局比赛中获胜的概率为 ，则本次比赛中甲获
胜的概率为___________.
【答案】
【详解】
因为甲在每局比赛中获胜的概率为 ，
若甲前两局获胜，其概率为 ；
若甲前两局中一胜一负，第三局胜利，其概率为 ,
所以本次比赛中甲获胜的概率为 .
故答案为： .
16．一个质地均匀的正四面体，其四个面涂有不同的颜色，抛掷这个正四面体一次，观察它与地面接触的
颜色得到样本空间 {红，黄，蓝，绿}，设事件 {红，黄}，事件 {红，蓝}，事件 {黄，绿}，
则下列判断：①E与F是互斥事件；②E与F是独立事件；③F与G是对立事件；④F与G是独立事件．
其中正确判断的序号是______（请写出所有正确判断的序号）．【答案】②③
【详解】
{红}，则E与F不是互斥事件； 且 ，则F与G是对立事件；
，则E与F是独立事件； ，
，则F与G不是独立事件．
故答案为：②③
四、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，共70分）
17．一批产品有30个，其中含有3个次品，从中随机抽取1个．计算：
(1)这个产品是次品的概率；
(2)这个产品是正品的概率．
【解析】
(1)
解：依题意一批产品有30个，其中含有3个次品，则正品有 个；
从中随机抽取1个，则这个产品是次品的概率 ；
(2)
解：从中随机抽取1个，则这个产品是正品的概率 ；
18．某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球（每个球除颜色外都相同）的袋中红球接近多少个，
在不将袋中的球倒出来的情况下，分小组进行摸球试验，两人一组，共20组．其中一位学生摸球，另一
位学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇总起来后，得到摸到红球次数
为6000次．
(1)估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率；
(2)请你估计袋中红球的个数．
【解析】
(1)
解：由题意得 ，所以摸到红球的概率为 ，
因为试验次数很大，大量试验时，频率接近概率，
所以估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率为 .
(2)
解：设袋中红球的个数为 ，
根据题意得 ，解得 ，
经检验 是原方程的解，所以估计袋中红球接近 个.
19．某电台一档谈话节目的听众来自某市的甲、乙、丙3个县，主持人从这3个县接听到的电话数与这3个县的人口数成正比．已知甲、乙、丙3个县的人口数分别为185万、81万和36万，试求：
(1)随机接听1个电话来自甲县的概率；
(2)这天的第一个电话来自乙县的概率；
(3)这天的第一个电话不是来自丙县的概率．
【解析】
(1)
随机接听1个电话来自甲县的概率为： ．
(2)
这天的第一个电话来自乙县的概率为： ．
(3)
这天的第一个电话不是来自丙县的概率为： ．
20．近年来，国家大力推动职业教育发展，职业教育体系不断完善，人才培养专业结构更加符合市场需求.
一批职业培训学校以市场为主导，积极参与职业教育的改革和创新.某职业培训学校共开设了六个专业，
根据前若干年的统计数据，学校统计了各专业每年的就业率（直接就业的学生人数与招生人数的比值）和
每年各专业的招生人数，具体统计数据如下表：
专 业 机电维修 车内美容 衣物翻新 美容美发 泛艺术类 电脑技术
招生人数
就 业 率
(1)从该校已毕业的学生中随机抽取 人，求该生是“衣物翻新”专业且直接就业的概率；
(2)为适应市场对人才需求的变化，该校决定从明年起，将“电脑技术”专业的招生人数减少
人，将“机电维修”专业的招生人数增加 人，假设“电脑技术”专业的直接就业人数不变，
“机电维修”专业的就业率不变，其他专业的招生人数和就业率都不变，要使招生人数调整后全校整体的
就业率比往年提高 个百分点，求 的值．
【解析】
(1)
由题意，该校往年每年的招生人数为 ，
“衣物翻新”专业直接就业的学生人数为 ，
所以所求的概率为 ．
(2)
由表格中的数据，可得往年各专业直接就业的人数分别为 ， ， ， ， ， ，往年全校整体的就业率为 ，
招生人数调整后全校整体的就业率为 ，
解得
21．某公司为了解蚌埠市用户对其产品的满意度，从蚌埠市 ， 两地区分别随机调查了40个用户，根
据用户对产品的满意度评分，得到 地区用户满意度评分的频率分布直方图（如图）和 地区的用户满意
度评分的频数分布表（如表1）．
满意度评
分
频数 2 8 14 10 6
表1
满意度评分 低于70分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
表2
(1)求图中 的值，并分别求出 ， 两地区样本用户满意度评分低于70分的频率．
(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级（如表2），将频率看作概率，从 ， 两地用户
中各随机抽查1名用户进行调查，求至少有一名用户评分满意度等级为“不满意”概率．
【解析】
(1)
解：依题意可得
解得 ，
所以 地区样本用户满意度评分低于的频率为 ， 地区样本用户满意度评分低
于的频率为 ；(2)
解：根据用样本频率可以估计总体的频率，可以记从 地区随机抽取一名用户评分低于70分的事件记为
，则 ；可以记从 地区随机抽取一名用户评分低于70分的事件记为 ，则 ．
易知事件 和事件 相互独立，则事件 和事件 相互独立，记事件“至少有一名用户评分满意度等级
为“不满意为事件 ．
所以 ，
故至少有一名用户评分满意度等级为“不满意”概率为0.7
22．为建立中国特色现代教育考试招生制度，形成分类考试、综合评价、多元录取的考试招生模式，健全
促进公平、科学选才、监督有力的体制机制，构建衔接沟通各级各类教育、认可多种学习成果的终身学习
“立交桥”，江西省进行高考改革，2021级高一学生高考不再采用“3＋3”考试模式（即理科学生考语，
数，外，物，化，生；文科学生考语，数，外，政，史，地）；而改革为“3＋1＋2”考试模式，“3＋1＋
2”考试模式为3门必考＋1门首选＋2门再选．即“3”统一高考科目语文、数学、外语3科（不分文理科）；
“1”普通高中学业水平考试选择性考试物理、历史2门首选科目中所选择的1门科目，“2”政治、地理、
化学、生物4门中选择的2门科目．
(1)若甲同学随机选择任何学科，且相互没有影响，求：他选择的组合恰好是原“3＋3”考试模式的概率；
(2)若甲同学不选政治，乙同学不选化学，求：甲乙两位同学最终选择了同一种组合的概率．
【解析】
(1)
解：因为“3＋1＋2”考试模式为3门必考＋1门首选＋2门再选．
则语文、数学、外语3科不用选，从物理、历史中选1门有物理、历史2种，
从政治、地理、化学、生物中选2门有（政治、地理）、（政治、化学）、（政治、生物）、（地理、化
学）、（地理、生物）、（化学、生物）共6种，
则共有 种，
甲所选组合恰好是原“3＋3”考试模式有（物，化，生）、（政，史，地）共2种，
所以甲所选组合恰好是原“3＋3”考试模式的概率为 ；
(2)
因为甲同学不选政治，则从物理、历史中选1门有物理、历史2种，
，
从地理、化学、生物中选2门有（地理、化学）、（地理、生物）、（化学、生物）3种，共有 种；
同理乙同学不选化学，共有 种；
所以甲同学不选政治，乙同学不选化学有 种；
甲乙两位同学选择了同一种组合有（物理、地理、生物），（历史、地理、生物）2种，
所以甲乙两位同学最终选择了同一种组合的概率 ．
