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面积等量关系
一阶 方法突破练
1.如图，在平面直角坐标系中， △ABC三个顶点的坐标分别为 A(1,0),B(−3,0),C(−2,5)..点P是y轴上
1
一动点，若 S = S ,求点 P 的坐标.
ABP 2 ABC
2.如图，在平面直角坐标系中，已知 △ABC的顶点坐标分别为A(-2,0),B(2,4),C(3,0),若过点 C的一条直线平分.
△ABC的面积，求出这条直线的解析式.
3.如图，抛物线 y=−x²+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点 C，其顶点为E，抛物线的对称
轴与 BC交于点 M，在抛物线上是否存在一点 Q，使得 S =S ?若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请
QMB EMB
说明理由.
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二阶 设问进阶练
例 如图，抛物线 y=−x²+4x+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C，点D为抛物线的顶点，抛物线的
对称轴与x轴交于点 E.
1
(1)在x轴上是否存在点 F，使得 S = S ?若存在，求出点 F的坐标；若不存在，请说明理由；
AOC 2 CAF
3
(2)如图②，在抛物线上是否存在点H，使得 S = S ?若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理
HAE 5 BCE
由；
(3)如图③，在线段BC上方的抛物线上，是否存在点M(不与点D重合)，使得 S =S ?若存在，求出点
BCD BCM
M的坐标；若不存在，请说明理由；
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(4)如图④，是否存在过点A的直线l与线段BD相交且把四边形ABDC的面积分为相等的两部分?若存在，求
直线l的解析式；若不存在，请说明理由；
(5)如图⑤，若点 P 为线段 BC 上方抛物线上一动点(不与B，C重合)，过点P作x轴的垂线交BC于点 Q.若线
段PQ将 △PBC分成面积比为1：3的两部分，求点P的坐标.
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综合强化练
1.如图，已知抛物线 y=−x²−2x+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,3).
(1)求抛物线的解析式及A，B两点的坐标；
(2)若点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴下方，将 △ABD沿 BD 翻折得到. △A'BD,若点 A'
恰好落在抛物线的对称轴上，求点 A' 和点 D的坐标；
(3)(面积平分问题)点 P 为抛物线上一点，且直线 BP 把四边形ABCP分成面积相等的两部
分，求点 P的坐标.
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2.如图，已知抛物线 y=−x²+bx+c分别与x，y轴交于A，B两点，直线 y=x+3经过点A，B，抛物线的顶
点为 P.
(1)求抛物线的解析式；
(2)现将抛物线向右平移 m(m⟩0)个单位，若平移后的抛物线与 △ABP有且只有一个公共点时，求m的值；
(3)(面积倍数问题)在直线AB 下方的抛物线上是否存在点Q，使得 S =2S ?若存在，求出点 Q 的坐标；
ABQ ABP
若不存在，请说明理由.
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20
3.如图，抛物线
y=ax2+bx−
与x轴交于A(-5,0),B(1,0)两点,与y轴交于点 C,以AB为斜边在x轴的下方构
9
造等腰 Rt△ABD,，点 P是抛物线上的一个动点，作直线PD交x轴于点 E.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点 P 在直线AC的下方,当 PD=2PE时，求点 P的坐标；
(3)(面积比例问题)若点P在直线AC的上方，是否存在这样的点 P，使得对角线PD将四边形 PADC 分为面积
比为1：3的两部分?若存在，请求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由.
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考向2 面积等量关系
一阶 方法突破练
1. 解:∵A(1,0),B(-3,0),C(-2,5),∴AB=4,设点 P 的坐标为(0，m)(设出动点的坐标)，如解图，
1
则 S = ×4|m|=2|m| (表示出动三角形的面积).
ABP 2
1
由题意可得 S = ×4×5=10.
ABC 2
1 5
∴2|m|= ×10,∴|m|=
(根据两个三角形面积的等量关系求动点坐标)，
2 2
5 5
∴m=− 或 m= .
2 2
( 5) 5
∴点P 的坐标为 0,− 或(0,
2 2
2.解：如解图，取AB的中点D，作直线CD(三角形的任何一条中线都平分该三角形的面积)，
∴△ACD与△BCD 是等底等高的两个三角形，则直线CD 平分△ABC的面积,
∵A(-2,0),B(2,4),
∴D(0,2),
{ 2
{ b=2 k=− ,
设直线 CD的解析式为y=kx+b,将C(3,0),D(0,2)代入,得 , 解得 3 , ∴过点C且
3k+b=0
b=2
2
平分△ABC面积的直线CD 的解析式为
y=− x+2.
3
3.解:存在,
∵ 抛物线 y=−x²+2x+3与 x 轴交于A,B 两点,与y轴交于点 C,顶点为E,∴B(3,0),C(0,3),E(1,4),∴直线BC的
表达式为y=-x+3,∴M(1,2),EM=2,如解图，设抛物线对称轴与x轴交于点 G，过点 E与BC 平行的直线与抛物线
的交点为Q(同底等高的两个三角形面积相等)，
此时 S =S ,
QMB EMB
设直线EQ 的表达式为y=-x+m,
将E(1,4)代入,得4=-1+m,解得m=5,
∴ 直线EQ 的表达式为y=-x+5,
∵ 直线y=-x+5 与抛物线 y=−x²+2x+3交于点Q，
{ y=−x+5 {x =1 {x =2
, 1 2 ,
∴联立 解得 舍去)
y=−x2+2x+3 y =4 y =3
1 2
∴点Q的坐标为(2,3),
∵EG=4,EM=2,
∴GM=EM=2,
设过点 G 与BC 平行的直线与抛物线的交点为 Q₁，Q₂，此时 S
QMB
=S
EMB
,
则设直线 GQ₁(Q₂)的表达式为 y=-x+n,将 G(1,0)代入,得0=-1+n,
解得 n=1,∴直线GQ₁(Q₂)的表达式为y=-x+1(求出与直线 BC 平行的直线解析式).
).
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∵直线y=-x+1 与抛物线 y=−x²+2x+3交于点Q₁,Q₂,
{ y=−x+1
,
∴联立
y=−x2+2x+3
3+√17
{ x =
1 2
1−√17
解得 y =− ,
1 2
−1+√17
y =
2 2
(3+√17 −1−√17) (3−√17 −1+√17)
∴Q , ,Q , .
1 2 2 2 2 2
(3+√17 −1−√17) (3−√17 −1+√17)
综上所述，点Q的坐标为(2，3)或 , 或 , .
2 2 2 2
二阶 设问进阶练
例 解:(1)存在,
∵ 抛物线 y=−x²+4x+5与x轴交于A，B两点，
∴A(-1,0),B(5,0),
1
∵△AOC 和△CAF等高,且 S = S ,
AOC 2 CAF
∴△CAF的底是△AOC底的2倍,
∵△AOC的底为 AO=1,∴△CAF 的底AF=2,
∴当点 F 在A 点左侧时,F(-3,0),当点 F 在 A 点右侧时,F(1,0).
综上所述,点F的坐标为(-3,0)或(1,0);
(2)存在,
由题意可知,AE=BE,
∵抛物线 y=−x²+4x+5与y轴交于点 C，
∴C(0,5),
3
∵S = S ,且△BCE 的底边 BE 上的高为5,∴△HAE 的底边AE 上的高为3,
HAE 5 BCE
①当y=3时, −x²+4x+5=3,
解得 x =2+√6,x =2−√6,此时 H(2+√6,3)或 H (2−√6,3);
1 2
②当y=-3|时, −x²+4x+5=−3,
解得. x =2−2√3,x =2+2√3,此时 H(2−2√3,−3)或 H(2+2√3,−3),
1 2
综上所述，点 H 的坐标为( (2+√6,3)或 (2−√6,3)或(2-2 √3,-3)或(2+2 √3,-3);
(3)存在,
如解图①，过点 D 作 BC 的平行线交抛物线于点M,连接BM,CM,则, S =S ,
BCD BCM
∵D(2,9),B(5,0),C(0,5),
∴ 直线 BC 的 解 析 式 为y=-x+5,
∴设直线 DM 的解析式为y=-x+b,
将 D(2,9)代入解析式得9=-2+b,解得b=11,
∴ 直线 DM 的解析 式 为y=-x+11,
∵ M 是直线 DM 与抛物线的交点，
∴令 −x+11=−x²+4x+5,解得 x₁=2(舍去), x₂=3,
∴M(3,8);
(4)存在,
∵B(5,0),D(2,9),
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∴ 直线 BD 的解析式为y=-3x+15,
设直线l的解析式为y=ax+c，且直线l与直线 BD的交点为F(m,n),直线AF 即为所求,如解图②,由点坐标易得
1 1 1
1×5× +(5+9)×2× +3×9× =30,
2 2 2
1
使 S = S四边形ABDC,
ABF 2
1
即
AB⋅n=15,∴n=5,
2
∵F(m,5)在y=-3x+15上,
10
∴5=-3m+15,解得 m= ,
3
(10 )
∴F ,5 ,
3
10 15 15
将A(-1,0),F( ,5)代入γ=ax+c,解得 a= , c= ,
3 13 13
15 15
∴直线l的解析式为 y= x+ ;
13 13
(5)∵线段 PQ 将△PBC 分成面积比为1:3的两部分，
S 1 S
∴ PQc = 或 PQC =3.
S 3 S
PQB PQB
设点 P 坐标为(xp, yp),
1
PQ⋅x
S 1 2 p 1
①若 PQC = , J = ,
S 3 1 3
PQB PQ⋅(x −x )
2 B p
x 1 x 1 5
即 P = , P = ,解得 x = .
x −x 3 5−x 3 P 4
B P P
(5 135)
此时点 P 的坐标为 , ;
4 16
1
PQ⋅x
S 2 p
②若
PQC =3,
I
=3,
S 1
PQB PQ⋅(x −x )
2 B p
x x 15
即 P =3, P =3,解得 x = .
x −x 5−x p 4
B P P
(15 95)
此时点 P的坐标为 , .
4 16
(5 135) (15 95)
综上所述，点P 的坐标为 , 或 , .
4 16 4 16
三阶 综合强化练
1. 解:(1)A(-3,0),B(1,0);
(2)由(1)得,A(-3,0),B(1,0),
∴AB=4,抛物线的对称轴为直线x=-1,
如解图①，设抛物线的对称轴与x轴交于点 H，则点H的坐标为(-1,0),
∴AH=BH=2,
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由翻折的性质得A'B=AB=4,
∴在Rt△A'BH中,
A'H=√A'B2−BH2=2√3,
∵点D 在x轴下方,
∴A'(−1,−2√3),
A'H
∴tan∠ABA'= =√3,
BH
∴∠ABA'=60°,
1
由翻折的性质得
∠ABD=∠A'BD= ∠ABA'=30❑∘,
2
√3 2√3
∴DH=BH⋅tan∠ABD=2× = ,
3 3
( 2√3)
∴ 点D的坐标为 −1,− ;
3
(3)【思路点拨】观察发现分割后的两个三角形共底，想到利用高相等，进而作垂线构造全等
三角形.
如解图②,连接AC,BP交于点Q,过点A 作AE⊥BP于点E,过点 C作CF⊥BP于点 F.连接
AP,PC,BC.
∵ BP 平分四边形 ABCP 的面积，
∴S =S ,
ABP BCP
1 1
∴ BP⋅AE= BP⋅CF,
2 2
∴AE=CF,
且∠EQA=∠FQC,
∠AEQ=∠CFQ=90°,
∴△AEQ≌△CFQ(AAS),∴AQ=CQ,
( 3 3)
∴ 点 Q 为线段AC 的中点,. ∴Q − , .
2 2
3 3
又∵B(1,0),∴直线 BQ 的解析式为 y=− x+ .
5 5
∵ 点 P 为直线 BQ 与抛物线的交点，
3 3 12
∴令 x+ =−x2−2x+3,解得 x = ,x =1(舍去).
5 5 1 5 2
( 12 51)
∴点P的坐标为 − , .
5 25
2.解：(1)抛物线的解析式为 y=−x²−2x+3;
(2)由(1)得 y=−x²−2x+3=−(x+1)²+4,将抛物线向右平移m个单位，
∴ 平移后的抛物线解析式为 y=−(x+1−m)²+4,
∵平移后的抛物线与△ABP 只有一个公共点，
∴平移后的抛物线经过点 B，
把B(0,3)代入,得 3=−(1−m)²+4,
解得 m₁=2,m₂=0(舍去),
∴m的值为2;
(3)【思路点拨】设出点Q的坐标，可以先计算出△ABP的面积,由 S =2S ,结合所设点Q的坐标利用三
ABQ ABP
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角形面积公式列方程求解.
存在.设点Q的坐标为 (a,−a²−2a+3),
分两种情况：①如解图①，当Q在对称轴的左侧，过点P作PD⊥x轴于点 D,过点 Q 作QE∥y轴交直线AB
于点E,
∴E(a,a+3),QE=a+3−(−a²−2a+3)=a²+3a,
1
∵S =S +S −S = ×4×[(−1)−
ABP APD 梯 形PDOBAOB 2
1 1
(−3)]+ ×(3+4)×1− ×3×3=3,
2 2
∴S =2S =6,
ABQ ABP
1 1
∴S =S −S = QE∘(x −x )− QE.
ABQ BEQ AEQ 2 B E 2
1 1 1
(x −x )= (a2+3a)×(−a)− (a2+3a)×(−3 −a)= (a2+3a)×3=6,
A E 2 2 2
解得 a₁=−4,a₂=1 舍去 ∴
( ), Q(-4,-5);
②如解图②，当Q在对称轴右侧，连接BQ，过点 P作PD⊥x轴于点 D,过点 Q 作QE∥y轴交直线AB于点E,
同理可得Q(1,0).
综上所述,点Q的坐标为(-4,-5)或(1,0).
4 16 20
3.解：(1)抛物线的解析式为 y= x2+ x− ;
9 9 9
(2)∵△ABD为等腰直角三角形,如解图①,过点 D作DG⊥x轴于点G,则DG=AG=GB,
∴点D 的坐标为(-2,-3),
过点 P作PM⊥x轴交于点 M,
∴△EPM∽△EDG,
PM EP
∴ = ,
DG ED
∵PD=2PE,
∴PM=1,
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∴点 P 的纵坐标为-1,
4 16 20 −4±3√3
代入二次函数解析式可得 x2+ x− =−1,解得 x= ,
9 9 9 2
又∵ 点 P 在直线AC 的下方,
(−4−3√3 )
∴ 点 P 的坐标为 ,−1 ;
2
(3)存在,
设点 P 的坐标为 ( m, 4 m2+ 16 m− 20) ,
9 9 9
9
∵A(-5,0),D(-2,-3),C(0,-2
9
可得直线AD的解析式为y=-x-5,
7 20
直线 CD的解析式为 y= x− ,
18 9
如解图②,③,过点 P 作 PH⊥x轴,交直线 AD 于点H,交直线 CD于点 N,连接PA,PC,
( 7 20)
∴点 H 的坐标为(m,-m-5),点 N 的坐标为 m, m− ,
18 9
4 16 20 4 25 25
∴PH= y −y = m2+ m− +m+5= m2+ m + ,
P H 9 9 9 9 9 9
4 16 20 7 20 4 25
PN= y −y = m2+ m− − m+ = m2+ m.
P N 9 9 9 18 9 9 18
在解图②中，当 S :S =1:3时,
PAD PCD
1 1 3
S =S −S = PH⋅(−2−m)− PH(−5− m)= PH,
PAD PHD PHA 2 2 2
1 1
S =S −S = PN⋅(0−m)− PN(−2−m)=PN.
PCD PNC PND 2 2
∵S :S =1:3,
PAD PCD
3
∴ PH:PN=1:3,
2
∴PH:PN=2:9,|即 9 (4 m2+ 25 m+ 25) =2 (4 m2+ 25 m ) ,解得 m= −50±5√37 ,
9 9 9 9 18 14
又∵ 点 P 在直线AC的上方,
−50−5√37
∴m= ;
14
在解图③中，当 S :S =1:3时,
PCD PAD
1 1 3
S =S −S = PH⋅(m+5)− PH⋅(m+ 2)= PH,
PAD PAB PDH 2 2 2
1 1
S =S −S = PN⋅(m+2)− PN⋅m=PN,
PCD PDN PCN 2 2
∵S :S =1:3,
PCD PAD
),
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3
∴ PH:PN=3:1,
2
∴PH:PN=2:1,即
4
m2+
25
m+
25
=2
(4
m2+
25)
m),解得 m=±
5
,
9 9 9 9 18 2
5 −50−5√37 5
又∵ 点 P 在直线AC的上方,∴ m= ,综上所述，点 P的横坐标为 - .
2 14 2
13
