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重难点突破 04 二次函数中的平移、翻折、
对称、旋转、折叠问题
目 录
题型01 二次函数平移问题
题型02 二次函数翻折问题
题型03 二次函数对称问题
题型04 二次函数旋转问题
题型05 二次函数折叠问题
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题型 01 二次函数平移问题
1. 二次函数的平移变换
平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀
向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加
向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减
向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加
向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减
2.平移与增加性变化
如果平移后对称轴不发生变化，则不影响增减性，但会改变函数最大(小) 值.
只对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值.
只对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.
1．（2023·上海杨浦·统考一模）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−2ax−3(a≠0)与x轴交于
点A、点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，且AB=4．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是线段BC上一点，如果∠PAC=45°，求点P的坐标；
(3)在第（2）小题的条件下，将该抛物线向左平移，点D平移至点E处，过点E作EF⊥直线AP，垂足为
1
点F，如果tan∠PEF= ，求平移后抛物线的表达式．
2
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√3 4√3
2．（2023·广东湛江·校考一模）如图1，抛物线y= x2+ x+2√3与x轴交于点A，B（A在B左
6 3
边），与y轴交于点C，连AC，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，过点D作DE∥AC交抛物线于点
E，交y轴于点P．
(1)点F是直线AC下方抛物线上点一动点，连DF交AC于点G，连EG，当△EFG的面积的最大值时，直
线DE上有一动点M，直线AC上有一动点N，满足MN⊥AC，连GM，NO，求GM+MN+NO的最小
值；
(2)如图2，在（1）的条件下，过点F作FH⊥x轴于点H交AC于点L，将△AHL沿着射线AC平移到点A
与点C重合，从而得到△A'H'L'（点A，H，L分别对应点A'，H'，L'），再将△A'H'L'绕点H'逆时针旋
转α(0°<α<180°)，旋转过程中，边A'L'所在直线交直线DE于Q，交y轴于点R，求当△PQR为等腰三
角形时，直接写出PR的长．
1
3．（2023·广东潮州·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=− x2+bx+c与x轴交于
2
A(−2,0),B(4,0)两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，点P为直线BC上方抛
物线上一动点，连接OP交BC于点Q．
(1)求抛物线的函数表达式；
PQ PQ
(2)当 的值最大时，求点P的坐标和 的最大值；
OQ OQ
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1
(3)把抛物线y=− x2+bx+c沿射线AC方向平移√5个单位得新抛物线y'，M是新抛物线上一点，N是新
2
抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出N点的坐标，并把求
其中一个N点坐标的过程写出来．
4．（2023·湖北襄阳·校联考模拟预测）坐标综合：
(1)平面直角坐标系中，抛物线 ： 的对称轴为直线 ，且经过点 ，求抛物线 的解
C y =x2+bx+c x=3 (6,3) C
1 1 1
析式，并写出其顶点坐标；
(2)将抛物线 在平面直角坐标系内作某种平移，得到一条新的抛物线 ： ，
C C y =x2−2mx+m2−1
1 2 2
①如图1，设自变量x在1≤x≤2的范围内取值时，函数y 的最小值始终等于−1．此时，若y 的最大值比最
2 2
1
小值大 m，求m的值；
2
1
②如图2，直线l：y=− x+n(n>0)与x轴、y轴分别交于A、C两点.过点A、点C分别作两坐标轴的平行
2
线，两平行线在第一象限内交于点B．设抛物线C 与x轴交于E、F两点（点E在左边）．现将图中的
2
△CBA沿直线l折叠，折叠后的BC边与x轴交于点M．当8≤n≤12时，若要使点M始终能够落在线段EF
（包括两端点）上，请通过计算加以说明：抛物线C 在向抛物线C 平移时，沿x轴的方向上需要向左还是
1 2
向右平移？最少要平移几个单位？最多能平移几个单位？
5．（2023·浙江湖州·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2−4x+c的图象与
y轴的交点坐标为(0,5)，图象的顶点为M．矩形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y
轴上，顶点B的坐标为(1,5)．
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(1)求c的值及顶点M的坐标，
(2)如图2，将矩形ABCD沿x轴正方向平移t个单位(00)，y=−x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．
x
当△ABC的面积为3时，求b的值；
(3)若函数y=x2−2(x≥m)的图象记为W ，将其沿直线x=m翻折后的图象记为W ，当W ，W 两部分组
1 2 1 2
成的图象上恰有2个“等值点”时，请直接写出m的取值范围．
10．（2023·江苏无锡·无锡市民办辅仁中学校考一模）如图，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，
然后向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到二次函数y=ax2+bx+c的图象，函数
y=x2+2x+1的图象的顶点为A，函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为B，和x轴的交点为C，D（点D位
于点C左侧）．
(1)求函数y=ax2+bx+c的解析式；
(2)从A，C，D三点中任取两点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；
(3)点M是线段BC上的动点，N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的Rt△AMN，使△AMN
1
的面积为△ABC面积的 ？若存在，求tan∠MAN的值，请说明理由．
3
11．（2023·山东淄博·统考中考真题）如图，一条抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中O为坐
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标原点，点A(3,−3)，点B在第一象限内，对称轴是直线x= ，且△OAB的面积为18
4
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)求点B的坐标；
(3)设C为线段AB的中点，P为直线OB上的一个动点，连接AP，CP，将△ACP沿CP翻折，点A的对应
点为A ．问是否存在点P，使得以A ，P，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合
1 1
条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2023·辽宁鞍山·校考一模）抛物线与坐标轴交于A(−1,0)，B(4,0)，C(0,2)
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是x轴上的一点，过点D作EF∥AC，交抛物线于E、F，当EF=3AC时，求出点D的坐标；
(3)点D是x轴上的一点，过点D作DE∥AC，交线段BC于E，将△DEB沿DE翻折，得到△DEB'，若
△DEB'与△ABC重合部分的面积为S，点D的横坐标为m，直接写出S与m的函数关系式并写出取值范
围．
题型 03 二次函数对称问题
二次函数图象的翻折与旋转
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变换前 变换方式 变换后 口诀
绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变
y=a(x-h)²+k
绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号
沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变
沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号
13．（2023·湖南岳阳·统考二模）在平面直角坐标系中，将抛物线 ： 绕原点旋转
C y=2x2−(m+1)x+m
1
180°后得到抛物线C ，在抛物线C 上，当x<1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
2 2
A．m≥5 B．m≤5 C．m≥−5 D．m≤−5
14．（2023·广东河源·统考一模）抛物线y=2x2−4x−5的图象先向左平移3个单位，再向上平移4个单
位，再把抛物线绕顶点旋转180°，得到的新图象的解析式为 ．
15．（2023·吉林松原·校联考二模）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(1,0)，B(5,0)，顶点为P．
(1)求该抛物线的解析式，并直接写出点P的坐标；
(2)如图，把原抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，将翻折得到的部分与原抛物线x轴上方的部
分记作图形M，在图形M中，回答：
①点A，B之间的函数图象所对应的函数解析式为_______；
3
②当 ≤x≤4时，求y的取值范围；
2
3 15
③当m≤x≤m+2，且m> 时，若最高点与最低点的纵坐标的差为 ，直接写出m的值．
2 4
16．（2023·四川德阳·统考中考真题）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(−4,0)，
B(2,0)，与y轴交于点C(0,−4)．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折180°，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．
当平面内的直线y=kx+6与新图象有三个公共点时，求k的值；
(3)如图2，如果把直线AB沿y轴向上平移至经过点D，与抛物线的交点分别是E，F，直线BC交EF于点
DF
H，过点F作FG⊥CH于点G，若 =2√5．求点F的坐标．
HG
17．（2023·山东日照·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy内，抛物线y=−ax2+5ax+2(a>0)交y轴
于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．
(1)求点C，D的坐标；
1
(2)当a= 时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P为直线AD上方抛物线
3
上一点，将直线PD沿直线AD翻折，交x轴于点M(4,0)，求点P的坐标；
(1 )
(3)坐标平面内有两点E ,a+1 ,F(5,a+1)，以线段EF为边向上作正方形EFGH．
a
①若a=1，求正方形EFGH的边与抛物线的所有交点坐标；
5
②当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为 时，求a的值．
2
18．（2023·河南新乡·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2−2ax+a−1经过原点．
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(1)求抛物线的解析式及顶点坐标．
(2)将该抛物线在y轴右侧的部分记作W，将W绕原点O顺时针旋转180°得到W'，W与W'组成一个新的函
数图像，记作G．
①点M，N为图像G上两点（点M在点N的左侧），且到y轴的距离分别为2个单位长度和3个单位长度，
点Q为图像G上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标y 的取值范围；
Q
②若点(m,y )，(m+1,y )在图像G上，且y
