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重难点突破 04 二次函数中的平移、翻折、
对称、旋转、折叠问题
目 录
题型01 二次函数平移问题
题型02 二次函数翻折问题
题型03 二次函数对称问题
题型04 二次函数旋转问题
题型05 二次函数折叠问题
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题型 01 二次函数平移问题
1. 二次函数的平移变换
平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀
向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加
向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减
向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加
向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减
2.平移与增加性变化
如果平移后对称轴不发生变化，则不影响增减性，但会改变函数最大(小) 值.
只对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值.
只对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.
1．（2023·上海杨浦·统考一模）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−2ax−3(a≠0)与x轴交于
点A、点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，且AB=4．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是线段BC上一点，如果∠PAC=45°，求点P的坐标；
(3)在第（2）小题的条件下，将该抛物线向左平移，点D平移至点E处，过点E作EF⊥直线AP，垂足为
1
点F，如果tan∠PEF= ，求平移后抛物线的表达式．
2
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√3 4√3
2．（2023·广东湛江·校考一模）如图1，抛物线y= x2+ x+2√3与x轴交于点A，B（A在B左
6 3
边），与y轴交于点C，连AC，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，过点D作DE∥AC交抛物线于点
E，交y轴于点P．
(1)点F是直线AC下方抛物线上点一动点，连DF交AC于点G，连EG，当△EFG的面积的最大值时，直
线DE上有一动点M，直线AC上有一动点N，满足MN⊥AC，连GM，NO，求GM+MN+NO的最小
值；
(2)如图2，在（1）的条件下，过点F作FH⊥x轴于点H交AC于点L，将△AHL沿着射线AC平移到点A
与点C重合，从而得到△A'H'L'（点A，H，L分别对应点A'，H'，L'），再将△A'H'L'绕点H'逆时针旋
转α(0°<α<180°)，旋转过程中，边A'L'所在直线交直线DE于Q，交y轴于点R，求当△PQR为等腰三
角形时，直接写出PR的长．
1
3．（2023·广东潮州·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=− x2+bx+c与x轴交于
2
A(−2,0),B(4,0)两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，点P为直线BC上方抛
物线上一动点，连接OP交BC于点Q．
(1)求抛物线的函数表达式；
PQ PQ
(2)当 的值最大时，求点P的坐标和 的最大值；
OQ OQ
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1
(3)把抛物线y=− x2+bx+c沿射线AC方向平移√5个单位得新抛物线y'，M是新抛物线上一点，N是新
2
抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出N点的坐标，并把求
其中一个N点坐标的过程写出来．
4．（2023·湖北襄阳·校联考模拟预测）坐标综合：
(1)平面直角坐标系中，抛物线 ： 的对称轴为直线 ，且经过点 ，求抛物线 的解
C y =x2+bx+c x=3 (6,3) C
1 1 1
析式，并写出其顶点坐标；
(2)将抛物线 在平面直角坐标系内作某种平移，得到一条新的抛物线 ： ，
C C y =x2−2mx+m2−1
1 2 2
①如图1，设自变量x在1≤x≤2的范围内取值时，函数y 的最小值始终等于−1．此时，若y 的最大值比最
2 2
1
小值大 m，求m的值；
2
1
②如图2，直线l：y=− x+n(n>0)与x轴、y轴分别交于A、C两点.过点A、点C分别作两坐标轴的平行
2
线，两平行线在第一象限内交于点B．设抛物线C 与x轴交于E、F两点（点E在左边）．现将图中的
2
△CBA沿直线l折叠，折叠后的BC边与x轴交于点M．当8≤n≤12时，若要使点M始终能够落在线段EF
（包括两端点）上，请通过计算加以说明：抛物线C 在向抛物线C 平移时，沿x轴的方向上需要向左还是
1 2
向右平移？最少要平移几个单位？最多能平移几个单位？
5．（2023·浙江湖州·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2−4x+c的图象与
y轴的交点坐标为(0,5)，图象的顶点为M．矩形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y
轴上，顶点B的坐标为(1,5)．
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(1)求c的值及顶点M的坐标，
(2)如图2，将矩形ABCD沿x轴正方向平移t个单位(0<t<3)得到对应的矩形A'B'C'D'．已知边C'D'，
A'B'分别与函数y=x2−4x+c的图象交于点P，Q，连接PQ，过点P作PG⊥A'B'于点G．
①当t=2时，求QG的长；
②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得△PGQ的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存
在，请说明理由．
1
6．（2023·江苏·统考中考真题）如图，二次函数y= x2+bx−4的图像与x轴相交于点A(−2,0)、B，
2
其顶点是C．
(1)b=_______；
5
(2)D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，tan∠AOD= ；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物
2
线经过点D，过点(k,0)作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范
围；
(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接
PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求点P的坐标．
7．（2023·湖北宜昌·统考模拟预测）如图，过原点的抛物线y =ax(x−2n)(a≠0,a,n为常数)与x轴交于
1
另一点A，B是线段OA的中点，B(−4,0)，点M(−3,3)在抛物线y 上．
1
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(1)点A的坐标为______；
(2)C为x轴正半轴上一点，且CM=CB．
①求线段BC的长；
②线段CM与抛物线y 相交于另一点D，求点D的坐标；
1
16
(3)将抛物线y 向右平移(4−t)个单位长度，再向下平移 个单位长度得到抛物线y ，P，Q是抛物线y
1 5 2 2
上两点，T是抛物线y 的顶点．对于每一个确定的t值，求证：矩形TPNQ的对角线PQ必过一定点R，并
2
求出此时线段TR的长．
题型 02 二次函数翻折问题
二次函数的翻转问题的解题思路：
①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式；
②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式；
③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可
能性；
④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值。
8．（2023·广东潮州·一模）如图，直线y=−2x+3交x轴于点B，交y轴于点C，抛物线y=−x2+bx+c经
过A，C两点，且A(−1，0)．
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(1)求抛物线的解析式．
(2)P是抛物线第一象限内的一个动点，过P作PH⊥BC于H，求PH+2HB的最大值．
(3)M是抛物线对称轴上的一个动点，连接MB，把线段MB沿着直线BC翻折，M的对应点M'恰好落在抛
物线上，求M点坐标．
9．（2023·江苏南京·南师附中新城初中校考二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则
称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点(−1,−1)是函数y=2x+1的图象的“等值点”．
(1)分别判断函数y=x+2，y=x2−x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；
如果不存在，说明理由；
3
(2)设函数y= (x>0)，y=−x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．
x
当△ABC的面积为3时，求b的值；
(3)若函数y=x2−2(x≥m)的图象记为W ，将其沿直线x=m翻折后的图象记为W ，当W ，W 两部分组
1 2 1 2
成的图象上恰有2个“等值点”时，请直接写出m的取值范围．
10．（2023·江苏无锡·无锡市民办辅仁中学校考一模）如图，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，
然后向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到二次函数y=ax2+bx+c的图象，函数
y=x2+2x+1的图象的顶点为A，函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为B，和x轴的交点为C，D（点D位
于点C左侧）．
(1)求函数y=ax2+bx+c的解析式；
(2)从A，C，D三点中任取两点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；
(3)点M是线段BC上的动点，N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的Rt△AMN，使△AMN
1
的面积为△ABC面积的 ？若存在，求tan∠MAN的值，请说明理由．
3
11．（2023·山东淄博·统考中考真题）如图，一条抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中O为坐
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9
标原点，点A(3,−3)，点B在第一象限内，对称轴是直线x= ，且△OAB的面积为18
4
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)求点B的坐标；
(3)设C为线段AB的中点，P为直线OB上的一个动点，连接AP，CP，将△ACP沿CP翻折，点A的对应
点为A ．问是否存在点P，使得以A ，P，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合
1 1
条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2023·辽宁鞍山·校考一模）抛物线与坐标轴交于A(−1,0)，B(4,0)，C(0,2)
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是x轴上的一点，过点D作EF∥AC，交抛物线于E、F，当EF=3AC时，求出点D的坐标；
(3)点D是x轴上的一点，过点D作DE∥AC，交线段BC于E，将△DEB沿DE翻折，得到△DEB'，若
△DEB'与△ABC重合部分的面积为S，点D的横坐标为m，直接写出S与m的函数关系式并写出取值范
围．
题型 03 二次函数对称问题
二次函数图象的翻折与旋转
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变换前 变换方式 变换后 口诀
绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变
y=a(x-h)²+k
绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号
沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变
沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号
13．（2023·湖南岳阳·统考二模）在平面直角坐标系中，将抛物线 ： 绕原点旋转
C y=2x2−(m+1)x+m
1
180°后得到抛物线C ，在抛物线C 上，当x<1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
2 2
A．m≥5 B．m≤5 C．m≥−5 D．m≤−5
14．（2023·广东河源·统考一模）抛物线y=2x2−4x−5的图象先向左平移3个单位，再向上平移4个单
位，再把抛物线绕顶点旋转180°，得到的新图象的解析式为 ．
15．（2023·吉林松原·校联考二模）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(1,0)，B(5,0)，顶点为P．
(1)求该抛物线的解析式，并直接写出点P的坐标；
(2)如图，把原抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，将翻折得到的部分与原抛物线x轴上方的部
分记作图形M，在图形M中，回答：
①点A，B之间的函数图象所对应的函数解析式为_______；
3
②当 ≤x≤4时，求y的取值范围；
2
3 15
③当m≤x≤m+2，且m> 时，若最高点与最低点的纵坐标的差为 ，直接写出m的值．
2 4
16．（2023·四川德阳·统考中考真题）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(−4,0)，
B(2,0)，与y轴交于点C(0,−4)．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折180°，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．
当平面内的直线y=kx+6与新图象有三个公共点时，求k的值；
(3)如图2，如果把直线AB沿y轴向上平移至经过点D，与抛物线的交点分别是E，F，直线BC交EF于点
DF
H，过点F作FG⊥CH于点G，若 =2√5．求点F的坐标．
HG
17．（2023·山东日照·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy内，抛物线y=−ax2+5ax+2(a>0)交y轴
于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．
(1)求点C，D的坐标；
1
(2)当a= 时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P为直线AD上方抛物线
3
上一点，将直线PD沿直线AD翻折，交x轴于点M(4,0)，求点P的坐标；
(1 )
(3)坐标平面内有两点E ,a+1 ,F(5,a+1)，以线段EF为边向上作正方形EFGH．
a
①若a=1，求正方形EFGH的边与抛物线的所有交点坐标；
5
②当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为 时，求a的值．
2
18．（2023·河南新乡·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2−2ax+a−1经过原点．
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(1)求抛物线的解析式及顶点坐标．
(2)将该抛物线在y轴右侧的部分记作W，将W绕原点O顺时针旋转180°得到W'，W与W'组成一个新的函
数图像，记作G．
①点M，N为图像G上两点（点M在点N的左侧），且到y轴的距离分别为2个单位长度和3个单位长度，
点Q为图像G上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标y 的取值范围；
Q
②若点(m,y )，(m+1,y )在图像G上，且y <y ，请直接写出m的取值范围．
1 2 1 2
19．（2023·湖南永州·统考二模）在平面直角坐标系中，二次函数y=−x2+2mx−m2+9的图象与x轴交于
A，B两点（点A在点B的左侧）．
(1)求A、B两点的坐标（用含m的式子表示）；
(2)将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象．若当
−3≤x≤−1时，这个新函数G的函数值y随x的增大而减小，结合函数图象，求m的取值范围；
(3)已知直线l：y=1，点C在二次函数y=−x2+2mx−m2+9的图象上，点C的横坐标为2m，二次函数
y=−x2+2mx−m2+9的图象在C、B之间的部分记为M（包括点C，B），图象M上恰有一个点到直线l
的距离为2，直接写出m的取值范围．
20．（2023·河北·统考二模）如图，函数 的图象过原点，将其沿 轴翻折，得到函
y =−a(x+1) 2+3(x≤0) y
1
数y 的图象，把函数y 与y 的图象合并后称为函数L的图象.
2 1 2
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(1)a的值为__________；函数y 的解析式为_______________（注明x的取值范围）；
2
(2)对于函数L，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是_____________；
(3)当直线y=x+b与函数L的图象有3个公共点时，求b的值.
21．（2023·江苏苏州·统考一模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）交x轴于
A(1，0)、B(3，0)两点，交y轴于C(0，3)，将该抛物线位于直线y=m（m为常数，m≥0）下方的部
分沿直线y=m翻折，其余部分不变，得到的新图像记为“图像W”．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若m=0时，直线y=x+n与图像W有三个交点，求n的值；
(3)若直线y=x与图像W有四个交点，直接写出m的取值范围．
题型 04 二次函数旋转问题
22．（2023·安徽·校联考模拟预测）如图，已知抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于A(−3,0)，B(1,0)两点，
与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线l，点P是直线l上一点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求△PBC周长的最小值；
(3)将线段PC绕点P旋转90°，得到线段PQ，点C的对应点为点Q，当点Q在抛物线上时，求点Q的坐标．
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1
23．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y= x2+bx+c的图象经过
3
点 ，与 轴的交点为点 和点 ．
A(0,2) x B(√3,0) C
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)点E，G在y轴正半轴上，OG=2OE，点D在线段OC上，OD=√3OE．以线段OD，OE为邻边作矩
形ODFE，连接GD，设OE=a．
①连接FC，当△GOD与△FDC相似时，求a的值；
②当点D与点C重合时，将线段GD绕点G按逆时针方向旋转60°后得到线段GH，连接FH，FG，将
△GFH绕点F按顺时针方向旋转α(0°<α≤180°)后得到△G'FH'，点G，H的对应点分别为G'、H'，连
接DE．当△G'FH'的边与线段DE垂直时，请直接写出点H'的横坐标．
24．（2023·河南周口·校联考二模）如图1，抛物线 分别交 轴于 ， 两点，
y =ax2+bx+c x A(−1,0) B(3,0)
1
且与y轴交于点C(0,−3)．
(1)求抛物线的表达式及顶点P的坐标．
(2)如图2，将该抛物线绕点(4,0)旋转180°．
①求旋转后的抛物线的表达式．
②旋转后的抛物线顶点坐标为Q，且与x轴的右侧交于点D，顺次连接A，P，D，Q，求四边形APDQ的
面积．
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25．（2023·广东东莞·东莞市东莞中学初中部校考三模）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们
一起研究某条抛物线y=ax2(a<0)的性质时，如图将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原
点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：
(1)如图1，若测得OA=OB=2√2，求a的值；
(2)对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得
OF=1，求此时点A、B的坐标；
(3)对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的
点，试说明理由并求出该点的坐标．
题型 05 二次函数折叠问题
3
26．（2023·山西大同·校联考模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，直线y= x−9与x轴、y轴分别
4
1
交于B，C两点，抛物线y= x2+bx+c经过B，C两点，与x轴的另一个交点为A．
4
(1)求B，C两点的坐标及抛物线的解析式，并直接写出点A的坐标；
(2)如图1，点D在线段OB上运动，连接CD，沿直线CD折叠△BCD得到△B'CD，当B'D⊥x轴时，求
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∠BDC的度数及点D的坐标；
(3)如图2，连接AC，作∠COE=∠ACO，OE交△ABC的边于点E，请直接写出CE的长．
27．（2023·安徽芜湖·校考一模）已知抛物线y=ax2+2x+c(a≠0)与x轴交于点A(−1,0)和点B(3,0)，与
y轴交于点C，连接BC，点O与点D关于线段BC对称．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，P为AD上方的抛物线上的一个动点，连接PB交AD于点E．当△ABD的面积被直线BP分成
1:3的两部分时，求点P的坐标．
(21 )
(3)如图2，若直线AD沿过点D的直线m折叠后恰好经过点M ,0 ，请直接写出直线m与抛物线的交
4
点Q的坐标．
1
28．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，二次函数y= x2+bx+c与x轴交于O(0,0)，A(4,0)两点，顶点
2
为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A'的位
置，线段A'C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．
(1)求二次函数的表达式；
DB
(2)①求证：△OCD∽△A'BD；② 的最小值；
BA
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(3)当 时，求直线 的解析式．
S =8S A'B
△OCD △A'BD
29．（2023·浙江湖州·统考一模）一张矩形纸片ABCD（如图1），AB=6，AD=3．点E是BC边上的一
个动点，将△ABE沿直线AE折叠得到△AEF，延长AE交直线CD于点G，直线AF与直线CD交于点Q．
初步探究
(1)求证：△AQG是等腰三角形；
(2)设FQ=m，当BE=2CE时，计算m的值；
深入探究
(3)将矩形纸片放入平面直角坐标系中（如图2所示），点B与点О重合，边OC、OA分别与x轴、y轴正
半轴重合．点H在OC边上，将△AOH沿直线AH折叠得到△APH．
①当AP经过CD的中点N时，求点P的坐标；
②在①的条件下，已知二次函数y=−x2+bx+c的图象经过A、D两点．若将直线AH右侧的抛物线沿AH
对折，交y轴于点M，请求出AM的长度．
30．（2023·山东枣庄·校考模拟预测）已知：如图，抛物线y=−x2+bx+c经过原点O，它的对称轴为直线
x=2，动点P从抛物线的顶点A出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向下运动，设动点P运动的时间为
t秒，连接OP并延长交抛物线于点B，连接OA，AB．
(1)求抛物线解析式及顶点坐标；
(2)当三点A，O，B构成以为OB为斜边的直角三角形时，求t的值；
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(3)将△PAB沿直线PB折叠后，那么点A的对称点A 能否恰好落在坐标轴上？若能，请直接写出所有满足
1
条件的t的值；若不能，请说明理由．
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