文档内容
2022 年江苏南通数学标卷标答
注意事项:
考生在答题前请认真阅读本注意事项：
1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡
一并交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题
卡上指定的位置。
3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有
一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 若气温零上 记作 ，则气温零下 记作（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据气温是零上2 记作＋2 ，则可以表示出气温是零下3 ，从而可以解答本题．
【详解】解：∵气温是零上2 记作＋2 ，
∴气温是零下3 记作−3 ．
故选：A．
【点睛】本题考查正数和负数，解题的关键是明确正数和负数在题中表示的含义．
2. 下面由北京冬奥会比赛项目图标组成的四个图形中，可看作轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，
这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
学科网（北京）股份有限公司D．是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．
3. 沪渝蓉高铁是国家中长期铁路网规划“八纵八横”之沿江高铁通道的主通道，其中南通段总投资约
39000000000元，将39000000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变
成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正整数数．
【详解】解：由题意可知：
，
故选：C
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为
整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 用一根小木棒与两根长分别为 的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设第三根木棒的长为xcm，再根据三角形的三边关系得出x取值范围即可．
【详解】解：设第三根木棒的长为xcm，则6−3＜x＜6＋3，即3＜x＜9．观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．
5. 如图是中5个相同的正方体搭成的立体图形，则它的主视图为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据主视图的意义，从正面看该组合体所得到的图形进行判断即可．
【详解】解：从正面看该组合体，所看到的图形与选项A中的图形相同，
故选：A．
【点睛】本题考查简单组合体的主视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是正确判断的前提．
6. 李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都
相同，则这个平均增长率是（ ）
A. 10.5% B. 10% C. 20% D. 21%
【答案】B
【解析】
【分析】设每月盈利的平均增长率为x，根据今年1月盈利3000元，3月盈利3630元，即可得出关于x的
一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设每月盈利的平均增长率为x，
依题意，得：3000（1＋x）2＝3630，
解得：x＝0.1＝10%，x＝−2.1（不合题意，舍去）．
1 2
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7. 如图， ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据平行线的性质和三角形外角的性质可得∠1＋∠2＝80°，结合 ，两式相加即可
求出 ．
【详解】解：如图，∵ ，
∴∠4＝∠1，
∴∠3＝∠4＋∠2＝∠1＋∠2＝80°，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，求出∠1＋∠2＝80°是解题的关键．
8. 根据图像，可得关于x的不等式 的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】写出直线y＝kx在直线y＝−x＋3上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：根据图象可得：不等式kx＞−x＋3的解集为：x＞1．
故选：D．
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两个函数的交点坐标及图象确定不等式的解集是解
题的关键．
9. 如图，在 中，对角线 相交于点O， ，若 过点O
且与边 分别相交于点E，F，设 ，则y关于x的函数图像大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点O向AB作垂线，交AB于点M，根据含有30°角的直角三角形性质以及勾股定理可得AB、
AC的长，再结合平行四边形的性质可得AO的长，进而求出OM、AM的长，设 ，则 ，
然后利用勾股定理可求出y与x的关系式，最后根据自变量的取值范围求出函数值的范围，即可做出判断．
【详解】解：如图过点O向AB作垂线，交AB于点M，
∵AC⊥BC，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∵BC＝4，
学科网（北京）股份有限公司∴AB＝8，AC＝ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理、含有30°角的直角三角形的性质以及二次函数图
象等知识，解题关键是求解函数解析式和函数值的范围．
10. 已知实数m，n满足 ，则 的最大值为（ ）
A. 24 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先将所求式子化简为 ，然后根据 及 求
出 ，进而可得答案．
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：
；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最大值为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，不等式的性质，正确对所求式子化简并求出
的取值范围是解题的关键．
二、填空题（本人题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题4分，共30分．
不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11. 为了了解“双减”背景下全国中小学生完成课后作业的时间情况，比较适合的调查方式是___________
（填“全面调查”或“抽样调查”）．
【答案】抽样调查
【解析】
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果
比较近似进行判断．
【详解】解：为了了解“双减”背景下全国中小学生完成课后作业的时间情况，比较适合的调查方式是抽
样调查，
学科网（北京）股份有限公司故答案为：抽样调查．
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查 的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵
活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，
对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
12. 分式 有意义，则x应满足的条件是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0得出不等式，求解即可．
【详解】解：分式 有意义，即 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查分式有意义的条件，牢记分式有意义的条件是分式的分母不为0．
13. 《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三．问人数、羊价各几何？”
其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱。问人数、羊价各是多
少？若设人数为x，则可列方程为___________．
【答案】5x+45=7x-3
【解析】
【分析】根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱”，即可得出关于x的方程，此题得解．
【详解】解：依题意，得：5x+45=7x-3．
故答案为：5x+45=7x-3．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
14. 如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，要使 ABC≌△DEF，还需添加一个条件
是________．（只需添一个） △
学科网（北京）股份有限公司【答案】BC=EF或AB=DE或AC=DF（填一个）
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定定理进行添加即可.
【详解】解：∵AB∥ED，AC∥FD，
∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，
∴任意添加一组对应边相等即可证明 ABC≌△DEF，
故可添加BC=EF或AB=DE或AC=D△F，
故答案为BC=EF或 AB=DE或AC=DF（填一个）.
【点睛】本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用全等三角
形的判定定理进行证明是解此题的关键，是一个开放型的题目，比较典型．
15. 根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以 的速度将小球沿与地面成 角的方向击出，小球
的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是 ，当飞行时间t为
___________s时，小球达到最高点．
【答案】2
【解析】
【分析】将函数关系式转化为顶点式即可求解．
【详解】根据题意，有 ，
当 时， 有最大值．
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次函数解析式的相互转化及应用，解决本题的关键是熟练二次函数解析式的特点及应
用．
16. 如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为 ，在B处放置 高的测角仪 ，测得树
顶A的仰角为 ，则树高 为___________m（结果保留根号）．
学科网（北京）股份有限公司【答案】 ##
【解析】
【分析】在 中，利用 ，求出 ，再加上1m即为AC的
长．
【详解】解：过点D作 交于点E，如图：
则四边形BCED是矩形，
∴BC=DE，BD=CE，
由题意可知： ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了解直角三角形，解直角三角形的应用—仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角
三角形并解直角三角形．
17. 平面直角坐标系 中，已知点 是函数 图象上的三
点。若 ，则k的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由点A、B、C的坐标可知 ，m＝n，点B、C关于原点对称，求出直线BC的解析式，
不妨设m＞0，如图，过点A作x轴的垂线交BC于D，根据 列式求出 ，进而可得k的值．
【详解】解：∵点 是函数 图象上的三点，
∴ ， ，
∴m＝n，
∴ ， ，
∴点B、C关于原点对称，
∴设直线BC的解析式为 ，
代入 得： ，
解得： ，
∴直线BC的解析式为 ，
不妨设m＞0，如图，过点A作x轴的垂线交BC于D，
学科网（北京）股份有限公司把x＝m代入 得： ，
∴D（m， ），
∴AD＝ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
而当m＜0时，同样可得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，中心对称的性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握反比
例函数的图象和性质，学会利用数形结合的数学思想解答是解题的关键．
学科网（北京）股份有限公司18. 如图，点O是正方形 的中心， ． 中， 过点D，
分别交 于点G，M，连接 ．若 ，则 的
周长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】连接BD，则BD过正方形 的中心点O，作FH⊥CD于点H，解直角三角形可得BG＝
，AG＝ AB，然后证明 ABG≌ HFD（AAS），可得DH＝AG＝ AB＝ CD，BC＝HF，进而可
△ △
证 BCM≌ FHM（AAS），得到MH＝MC＝ CD，BM＝FM，然后根据等腰三角形三线合一求出DF＝
△ △
FM，则BG＝DF＝FM＝BM＝ ，再根据直角三角形斜边中线的性质和三角形中位线定理分别求出
OM、EM和OE即可解决问题．
【详解】解：如图，连接BD，则BD过正方形 的中心点O，作FH⊥CD于点H，
∵ ， ，
∴
学科网（北京）股份有限公司∴AG＝ AB＝ ，
∴BG＝ ，
∵∠BEF＝90°，∠ADC＝90°，
∴∠EGD＋∠EDG＝90°，∠EDG＋∠HDF＝90°，
∴∠EGD＝∠HDF
∵∠AGB＝∠EGD，
∴∠AGB＝∠HDF，
在 ABG和 HFD中， ，
△ △
∴ ABG≌ HFD（AAS），
∴△AG＝DH，△AB＝HF，
∵在正方形 中，AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝90°，
∴DH＝AG＝ AB＝ CD，BC＝HF，
在 BCM和 FHM中， ，
△ △
∴ BCM≌ FHM（AAS），
△ △
∴MH＝MC＝ CD，BM＝FM，
∴DH＝MH，
∵FH⊥CD，
∴DF＝FM，
∴BG＝DF＝FM＝BM＝ ，
∴BF＝ ，
∵M是BF中点，O是BD中点， BEF是直角三角形，
△
学科网（北京）股份有限公司∴OM＝ ，EM＝ ，
∵BD＝ ， BED是直角三角形，
△
∴EO＝ ，
∴ 的周长＝EO＋OM＋EM＝3＋ ＋ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角
形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质以及三角形中位线定理，综合性较强，能够作出合适的辅助
线，构造出全等三角形是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤）
19.
（1）计算： ；
（2）解不等式组：
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】(1)首先利用平方差公式进行因式分解，再进行约分和加法运算，即可求得结果；
学科网（北京）股份有限公司(2)首先解每一个不等式，再据此即可求得不等式组的解集．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：
由①解得 ，
由②解得 ，
所以，原不等式组的解集为 ．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，求一元一次不等式组的解集，熟练掌握和运用各运算法则和方法是
解决本题的关键．
20. 为了了解八年级学生本学期参加社会实践活动的天数情况，A，B两个县区分别随机抽查了200名八年
级学生．根据调查结果绘制了统计图表，部分图表如下：
A，B两个县区的统计表
平均数 众数 中位数
A县区 3.85 3 3
B县区 3.85 4 2.5
学科网（北京）股份有限公司的
（1）若A县区八年级共有约5000名学生，估计该县区八年级学生参加社会实践活动不少于3天 学生约
为___________名；
（2）请对A，B两个县区八年级学生参加社会实践活动的天数情况进行比较，做出判断，并说明理由．
【答案】（1）3750
（2）见详解
【解析】
【分析】（1）根据A县区统计图得不小于三天的比例，根据总数乘以比例即可得到答案；
（2）根据平均数、中位数和众数的定义进行比较即可．
【小问1详解】
解：根据A县区统计图得，该县区八年级学生参加社会实践活动不少于3天的比例为：
，
∴该县区八年级学生参加社会实践活动不少于3天的学生约为： 名，
故答案为：3750；
【小问2详解】
∵A县区和B县区的平均活动天数均为3.85天，
∴A县区和B县区的平均活动天数相同；
∵A县区的中位数是3，B县区的中位数是2.5，
∴B县区参加社会实践活动小于3天的人数比A县区多；
∵A县区的众数是3，B县区的众数是4，
∴A县区参加社会实践人数最多的是3天，B县区参加社会实践人数最多的是4天．
【点睛】本题考查数据统计、平均数、中位数和众数，解题的关键是熟练掌握扇形统计图、平均数、中位
数和众数的相关知识．
21. 【阅读材料】
老师的问题：
小明的作法：
已知：如图， ．
（1）以A为圆心， 长为半径画弧，交 于点
求作：菱形 ，使点C，D分别在 D；
上．
（2）以B为圆心， 长为半经画弧，交 于点
C；
（3）连接 ．
四边形 就是所求作的菱形，
学科网（北京）股份有限公司【解答问题】
请根据材料中的信息，证明四边形 是菱形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由作图可知AD＝AB＝BC，然后根据 可得四边形ABCD是平行四边形，再由AD＝AB
可得结论．
【详解】解：由作图可知AD＝AB＝BC，
∵ ，即 ，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形．
【点睛】本题考查了尺规作线段，平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握相关判定定理是解题的关键．
22. 不透明的袋子中装有红球、黄球、蓝球各一个，这些球除颜色外无其他差别．
（1）从袋子中随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是___________；
（2）从袋子中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球．求两次摸到的球的颜色为“一红一
黄”的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）画出树状图得出所有等可能的情况数，找出摸到“一红一黄”的情况数，然后根据概率公式即可得出答
案．
【
小问1详解】
解：∵不透明的袋子中共有3个球，其中1个蓝球，
学科网（北京）股份有限公司∴随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是 ，
故答案为： ；
【小问2详解】
根据题意画树状图如下：
由图可知，共有9种等可能的情况数，其中摸到“一红一黄”的情况有2种，
则两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的概率是 ．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率，概率公式的应用，如果一个事件有n种可能，而且这些事
件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
23. 如图，四边形 内接于 ， 为 的直径， 平分 ，点E在 的
延长线上，连接 ．
（1）求直径 的长；
（2）若 ，计算图中阴影部分的面积．
【答案】（1）4 （2）6
【解析】
【分析】（1）设 辅助线，利用直径、角平分线的性质得出 的度数，利用圆周角与圆心角的关
系得出 的度数，根据半径与直径的关系，结合勾股定理即可得出结论．
学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）已知 ， 得出 的度数，根据圆周角的性质结合
得出 ，再根据直径、等腰直角三角形的性质得出 的值，进而利用直角三角形面积公式求
出 ，由阴影部分面积 可知 即为所求．
【小问1详解】
解：如图所示，连接 ，
为 的直径， 平分 ，
， ， ．
．
， ，
，即 ．
．
．
【小问2详解】
解：如图所示，设其中小阴影面积为 ，大阴影面积为 ，弦 与劣弧 所形成的面积为 ，
由（1）已知 ， ， ， ，
学科网（北京）股份有限公司．
，
弦 弦 ，劣弧 劣弧 ．
．
为 的直径， ，
， ．
，
．
．
．
【点睛】本题考查圆的性质的理解与综合应用能力．涉及对半径与直径的关系，直径的性质，圆周角与圆
心角的关系，圆周角的性质，勾股定理，直角三角形，角平分线等知识点．半径等于直径的一半；直径所
对的圆周角是直角；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角等于圆心角的一半；在同圆或等圆中，圆周
角相等 弧相等 弦相等．一个直角三角中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方．恰当借助
辅助线，灵活运用圆周角的性质建立等式关系是解本题的关键．
24. 某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/ 、12元/ ，这两种苹果的销售额y（单位：元）
与销售量x（单位： ）之间的关系如图所示．
学科网（北京）股份有限公司（1）写出图中点B表示的实际意义；
（2）分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位： ）之间的函数解析式，并写出x
的取值范围；
（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为 时，它们的利润和为1500元．求a的值．
【答案】（1）当销售量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额相等
（2） ，
（3）80
【解析】
【分析】（1）结合图象可知：B点表示的意义为：当销售量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额相等；
（2）利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）分别表示出甲的利润，乙的利润，再根据甲、乙两种苹果的销售量均为 时，它们的利润和为
1500元建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：由图可知：
B表示的实际意义：当销售量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额相等．
【小问2详解】
解：由图可知： 过 ， ，
设甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位： ）之间的函数解析式为： ，
∴ ，解得： ，
学科网（北京）股份有限公司∴甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位： ）之间的函数解析式为： ；
当 时，乙函数图象过 ， ，
设乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位： ）之间的函数解析式为： ，利用待定系
数法得： ，解得： ，
∴ ；
当 时，乙函数图象过 ， ，
设乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位： ）之间的函数解析式为： ，利用待
定系数法得： ，解得： ，
∴ ；
综上所述：乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位： ）之间的函数解析式为
；
【小问3详解】
解：甲的利润为： ，
乙的利润为：
∴当 时，
甲乙的利润和为： ，解得 （舍去）；
当 时，
甲乙的利润和为： ，解得 ；
学科网（北京）股份有限公司∴当甲、乙两种苹果的销售量均为 时，它们的利润和为1500元．
【点睛】本题考查一次函数图象的实际应用，解题的关键是掌握待定系数法求解析式，结合图象获取有用
信息．
25. 如图，矩形 中， ，点E在折线 上运动，将 绕点A顺时针旋转得到
，旋转角等于 ，连接 ．
（1）当点E在 上时，作 ，垂足为M，求证 ；
（2）当 时，求 的长；
（3）连接 ，点E从点B运动到点D的过程中，试探究 的最小值．
【答案】（1）见详解 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）证明 即可得证．
（2）借助 ，在 中求解．
（3）分别讨论当点E在BC和CD上时，点F所在位置不同，DF的最小值也不同，综合比较取最小即可．
【小问1详解】
如图所示，
由题意可知， ， ，
，
由旋转性质知：AE=AF，
学科网（北京）股份有限公司在 和 中，
，
，
．
【小问2详解】
在 中， ， ，
则 ，
在
中， ， ，
则 ，
由（1）可得， ，
在 中， ， ，
则 ，
故CF的长为 ．
【小问3详解】
如图1所示，当点E在BC边上时，过点D作 于点H，
由（1）知， ，
故点F在射线MF上运动，且点F与点H重合时，DH的值最小．
学科网（北京）股份有限公司在 与 中，
，
，
，
即 ，
， ，
，
在 与 中，
，
，
，
即 ，
，
故 的最小值 ；
学科网（北京）股份有限公司如图2所示，当点E在线段CD上时，将线段AD绕点A顺时针旋转 的度数，得到线段AR，连接
FR，过点D作 ， ，
由题意可知， ，
在 与 中，
，
，
，
故点F在RF上运动，当点F与点K重合时，DF的值最小；
由于 ， ， ，
故四边形DQRK是矩形；
，
，
，
，
故此时DF的最小值为 ；
学科网（北京）股份有限公司由于 ，故DF的最小值为 ．
【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理、解直角
三角形，解决本题的关键是各性质定理的综合应用．
26. 定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于 的点叫做这个函数图像的“n阶方点”．例如，
点 是函数 图像的“ 阶方点”；点 是函数 图像的“2阶方点”．
（1）在① ；② ；③ 三点中，是反比例函数 图像的“1阶方点”的有
___________（填序号）；
（2）若y关于x的一次函数 图像的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
（3）若y关于x的二次函数 图像的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范
围．
【答案】（1）②③ （2）3或 ；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据“n阶方点”的定义逐个判断即可；
（2）如图作正方形，然后分a＞0和a＜0两种情况，分别根据“2阶方点”有且只有一个判断出所经过的
点的坐标，代入坐标求出a的值，并舍去不合题意的值即可得；
学科网（北京）股份有限公司（3）由二次函数解析式可知其顶点坐标在直线y＝－2x＋1上移动，作出简图，由函数图象可知，当二次
函数图象过点（n，－n）和点（－n， n）时为临界情况，求出此时n的值，由图象可得n的取值范围．
【小问1详解】
解：∵点 到x轴的距离为2，大于1，
∴不是反比例函数 图象的“1阶方点”，
∵点 和点 都在反比例函数 的图象上，且到两坐标轴的距离都不大于1，
∴ 和 是反比例函数 图象的“1阶方点”，
故答案为：②③；
【小问2详解】
如图作正方形，四个顶点坐标分别为（2，2），（－2，2），（－2，－2），（2，－2），
当a＞0时，若y关于x的一次函数 图象的“2阶方点”有且只有一个，
则 过点（－2，2）或（2，－2），
把（－2，2）代入 得： ，解得： （舍去）；
把（2，－2）代入 得： ，解得： ；
当a＜0时，若y关于x的一次函数 图象的“2阶方点”有且只有一个，
则 过点（2，2）或（－2，－2），
把（2，2）代入 得： ，解得： ；
把（－2，－2）代入 得： ，解得： （舍去）；
综上，a的值为3或 ；
学科网（北京）股份有限公司【小问3详解】
∵二次函数 图象的顶点坐标为（n， ），
∴二次函数 图象的顶点坐标在直线y＝－2x＋1上移动，
∵y关于x的二次函数 图象的“n阶方点”一定存在，
∴二次函数 的图象与以顶点坐标为（n，n），（－n，n），（－n，－n），（n，
－n）的正方形有交点，
如图，当 过点（n，－n）时，
将（n，－n）代入 得： ，
解得： ，
当 过点（－n，n）时，
将（－n，n）代入 得： ，
解得： 或 （舍去），
由图可知，若y关于x的二次函数 图象的“n阶方点”一定存在，n的取值范围为：
．
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了新定义，反比例函数图象上点 的坐标特点，一次函数的图象和性质，二次函数的图象
和性质，正确理解“n阶方点”的几何意义，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
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